@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1

MÉTRICA PLANA

U.D. 8 * 3º ESO E.AC.

@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 2

TEOREMA DE THALES

U.D. 8.6 * 3º ESO E.AC.

@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 3

FIGURAS SEMEJANTES

• Dos figuras son semejantes si presentan la misma forma pero distinto tamaño.

• Ejemplos: Un árbol en la realidad y una fotografía impresa del mismo árbol. O un edificio y la maqueta de dicho edificio.

• Al reducir o ampliar una figura obtenemos otra figura semejante.• Las dimensiones de las figuras semejantes son proporcionales.

• La constante que permite pasar de las dimensiones de una figura a las dimensiones de la figura semejante se llama razón de semejanza.

• Para ampliar, la razón de semejanza es mayor que la unidad.• Ejemplo: Al dibujar un virus o una bacteria visto por microscopio.• Para reducir la razón de semejanza es menor que la unidad.• Ejemplo: Al dibujar el plano callejero de mi ciudad.

@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 4

Teorema de Tales

• Si dos rectas secantes (en rojo en la figura) son cortadas por rectas paralelas entre sí (en azul en la figura), los segmentos que determinan en las rectas secantes son proporcionales.

• Podemos poner:• AB’ AC’ B’C’• ----- = ----- = ------ = r• AB AC BC• Y también:• AB” AC” B”C”• ----- = ----- = ------ = r’• AB AC BC• Los triángulos ABC, AB’C’ y

AB”C” son semejantes.

A

B C

B’

B”

C’

C”

@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 5

• Ejemplo:

• Sea el triángulo ABC tal que,• AB=10, BC=6, CA = 8• Trazamos una recta paralela al

lado BC.• Los triángulos ABC y AB’C’ son

semejantes.• Se cumple que:• AB’ AC’ B’C’• ----- = ----- = ------ = r• AB AC BC

• 5 4 3• --- = ---- = ---- = 0,5• 10 8 6

• La razón de semejanza es r=0,5

A

B C

B’ C’

@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 6

Triángulos en posición de Tales• Dos o más triángulos están en

posición de Tales si comparten un ángulo y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos.

• En la figura comparten el ángulo A y los lados a, a’, a’’ son paralelos.

• Si dos o más triángulos están en posición de Tales, entonces son semejantes y se cumple:

• a b c• ----- = ----- = ------ = r• a’ b’ c’

• Siendo a, b y c los lados de un triángulo; y a’, b’ y c’ los lados homólogos del otro triángulo.

A

B C

B’

B”

C’

C”

a

a’

a’’

b

b’

b’’

c

c’

c’’

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Problema

• Para medir la altura de un edificio hemos empleado el método de la sombra por el Teorema de Tales, utilizando una varilla de 1 m de longitud. Hallar la altura del edificio si sabemos que las sombras de la varilla y del edificio son de 0,5 m y de 8,4 m respectivamente.

1 m

Como los rayos del sol se consideran paralelos, los dos triángulos rectángulos formados son semejantes:

1 0,5

--- = ------ 0,5. h = 8,4 h = 16,8 m

H 8,4

s S

H

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Problema_2

• Para medir la altura de un edificio hemos empleado el método de la sombra por el Teorema de Tales, utilizando una varilla de 1 m de longitud. Hallar la altura del edificio si sabemos que las sombras de la varilla y del edificio suman 10 m y la sombra del edifico, en ese instante, es la cuarta parte de su altura.

1 m

Como los rayos del sol se consideran paralelos, los dos triángulos rectángulos formados son semejantes:

1 s 1 10 - S

--- = ------ ------ = --------

H S 4.S S

1 = 40 – 4.S 4.S = 39 S = 9,75 m

Luego H = 4.S = 4.9,75 = 39 m

s S

H

@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 9

Problema_3

• En la siguiente figura, hallar la medida de los segmentos x, y y z.

• Se sabe que las dos líneas rojas son paralelas al lado a , de valor desconocido.

• Las líneas paralelas a la base a forman triángulos en posición de Tales.

• Al ser triángulos semejantes se cumplirá:

• r = x / 4 = 9 / 3 = y / 2• Luego r = 3• Y por tanto:• x = 4.r = 4.3 =12 cm• y = 2.r = 2.3 = 6 cm

2 cm

3 cm

4 cm

x 9 cm y

a

@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 10

Problema_4

• Veamos de otra manera:• r = 27 / (4+2+x) = (y+z) / (4+2)• r = 27 / (4+2+x) = (27 – 9) / (4+2)• O sea: 27 /(6+x) = 18 / 6• 27 /(6+x) = 3 ; 27 = 18+3.x ; 3.x = 9 ; x = 3• Como r = 9 / x r = 9 / 3 = 3• Y ya podemos hallar y y z:• y = 4.r = 4.3 = 12 ; z = 2.r = 2.3 = 6

2 cm

x

4 cm

y 9 cm z

27 cm

a

• En la siguiente figura, hallar la medida de los segmentos x, y y z.

• Se sabe que las dos líneas rojas son paralelas al lado a , de valor desconocido.

• Las líneas paralelas a la base a forman triángulos en posición de Tales.• Al ser triángulos semejantes se cumplirá:• r = y / 4 = 9 / x = z / 2 = (9+y+z)/(4+x+2)• Pero no podemos obtener r.

@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 11

Aplicación de Thales

• Dividir un segmento AB en 7 partes iguales.

• 1.- Se traza una recta desde A• con una inclinación cualquiera • respecto al segmento AB.

A B

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• Dividir un segmento AB en 7 partes iguales.

• 2.- Sobre dicha recta se llevan siete veces consecutivas una distancia d cualquiera.

d

d

d

d

d

d

d

A B

@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 13

• Dividir un segmento AB en 7 partes iguales.

• 3.- Se une el extremo resultante de la recta con el punto B del segmento a dividir. Se trazan paralelas a la línea trazada anteriormente que pasen por las divisiones de la recta.

d

d

d

d

d

d

d

A B

@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 14

• Dividir un segmento AB en 7 partes iguales.

• 4.- Los cortes de las paralelas así trazadas con el segmento AB nos determinarán las 7 partes en que queda dividido el segmento AB.

d

d

d

d

d

d

d

A B