@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1 1

SUCESIONES

U.D. 3 * 1º BCT

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El número “e”

U.D. 3.8 * 1º BCT

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El número e

• Ya hemos visto que los logaritmos son la función inversa de las potencias.

• Y que e es un número, la base de los logaritmos naturales o neperianos.

• ¿Qué tienen en común una tela de araña, el tendido eléctrico, la edad de un fósil, el interés de una cuenta bancaria o el crecimiento de una población de bacterias?.

• Todo ello tiene en común un número, el número e, tan importante o más que el número π, el i o el Φ, y como ellos es un número irracional.

• Hay números que aparecen en los lugares más insospechados, en las situaciones más dispares. Tal vez por ello es tan popular, por su versatilidad.

• ¿Qué valor tiene?.

• Su valor es e = 2’7182818284 …

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• El número e no tiene tanta historia como π, pero tiene un papel estelar en el crecimiento exponencial.

• El número e está muy relacionado con el cálculo, al igual que π es clave para los lugares geométricos.

• Surge de cualquier parte. Esta constante siempre está presente cuando se trata de “crecimiento continuo”. Y este tipo de crecimiento es muy frecuente en la naturaleza, porque ningún organismo vivo crece a saltos.

• En las postrimerías del siglo XVI las dos grandes potencias marítimas, España e Inglaterra necesitaban un mecanismo que facilitase los cálculos trigonométricos ligados a la navegación y a la astronomía.

• Fue el escocés John Napier quien descubrió esta herramienta matemática en 1614, los logaritmos naturales. En un apéndice de su trabajo, aparece su constante base, el número e.

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• En 1647, Saint-Vincent calculó el área bajo una hipérbola rectangular. Si reconoció o no la conexión con los logaritmos es debatible y, aún si lo hubiera hecho, no había realmente razón para que se encontrara explícitamente con el número e.

• Sin lugar a dudas, hacia 1661 Huygens comprendió la relación entre la hipérbola rectangular y el logaritmo.

• Examinó explícitamente la relación entre el área bajo la hipérbola rectangular yx = 1 y el logaritmo. Por supuesto, el número e es tal que el área bajo la hipérbola rectangular entre 1 y e es igual a 1.

• Ésta es la propiedad que hace que e sea la base de los logaritmos naturales pero los matemáticos de la época no lo entendían, aunque se estaban acercando lentamente a ello.

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• Vamos a buscar al número e.• Sigue el patrón. Fíjate que el

denominador de la fracción coincide con el exponente de la potencia.

• Los matemáticos siempre dispuestos a llevar las cosas al límite, definen a e así:

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• El ilustre Leonard Euler , el matemático más prolífico de todos los tiempos, usa en 1727 la notación e en relación con la teoría de los logaritmos. La coincidencia entre la primera letra de su apellido y el nombre de nuestro número es mera casualidad.

• Es probable que e ni siquiera venga de “exponencial” sino que sea simplemente la vocal que sigue de la a, la cual Euler ya estaba usando en su trabajo.

• En 1748 Euler llegó a calcular su valor con 23 decimales utilizando series infinitas como esta:

• No es extraño que se llegase a conocer a e como el número de Euler, al ser su padrino y captar su extraordinaria importancia. El genio suizo fue el primero en estudiar este número.

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•   ➨ Una cuerda o un cable colgados por sus extremos, tienden a adoptar la forma de una curva muy conocida cuya expresión analítica es:

• Todos los tendidos eléctricos tienen forma de catenaria. Es la misma curva que podemos observar en los segmentos de las telas de araña.

• ➨ Una de las numerosas aplicaciones del número e en biología es el crecimiento exponencial de poblaciones (como bacterias). Cuando no hay factores que limiten el crecimiento, se aplica esta fórmula:

• Que te permite saber cuál será la población P en un tiempo t a partir de una población inicial Po.

Ecuaciones con el número e

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•  ➨ Se puede determinar de forma aproximada la antigüedad de un fósil. Cualquier ser vivo tiene una cantidad de carbono 14 constante. Al morir, esta cantidad  va desapareciendo lentamente. La función que regula esta desintegración se determina mediante esta fórmula:

• donde Q es la cantidad final de carbono 14, Qo es la cantidad inicial y t es el tiempo transcurrido.

• ➨ En estadística, en la famosa curva de la campana de Gauss (a la que siempre se ajusta el estudio de cualquier población suficientemente grande), siempre está presente el número e

• ➨ Da el valor del interés compuesto continuo, que se usa en préstamos e inversiones

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• La identidad de Euler incluye a los números más famosos de las matemáticas.

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Límites relacionados con e

3.3.

3

3. 3

1 1lim 1 ) 1 1 0 1

1 1lim 1 ) lim 1

n

n

nn

n n

n

en n

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Ejemplos 1-2-3 (Siempre noo y sólo si [1oo])

41 )nlimn

.441

1 )

4

n

limn

4e

31 )

2nlim

n

2.3.3 21

1 )23

n n

nlimn

3lim

32

n

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5( )

2nn

limn

2.( 3).3 21

1 )23

n n

nlimn

3lim

323

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3

1 )2

nlimn

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Ejemplos 4-5-6 (Siempre noo y sólo si [1oo])

271 )nlimn

. .7

7

211 )

7

n n

nlimn

7.( 2) 7 14

lim7

n nlim

n ne e e

251 )

3nlim

n

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32

3.1

1 )35

nn

nlimn

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53

n

ne e

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3

n

nnlim

n

23.

8

1 18. .

311 )

38

n

n n

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2 2

2

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n nn n n ne e e

81 )

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n