@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 1

Números complejos

TEMA 7

@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 2

FORMA POLAR Y TRIGONOMÉTRICA

TEMA 7.3 * 1º BCT

@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 3

FORMA TRIGONOMÉTRICA• FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO

• A partir de un número complejo en forma binómica, se calcula su módulo y su argumento para expresarle en forma polar y trigonométrica.

b

a

α

r

z = a + b.i

@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 4

FORMA POLAR• FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO

• A partir de un número complejo en forma binómica, se calcula su módulo y su argumento para expresarle en forma polar y trigonométrica.

b

a

α

r

z = a + b.i

@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 5

Ejercicio_1• Escribir en las 3 formas posibles el siguiente número complejo:• z=4+4√3i

• Calculamos el argumento:• α=arctg 4√3/4 = 60º

• Calculamos el módulo:• |z|=√ [(4)2+(4√3)2] = √64 = 8

• En forma trigonométrica:• z=8.(cos 60º + i.sen 60º)

• En forma polar:• z=860º

@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 6

Ejercicio_2• Escribir en las 3 formas posibles el siguiente número complejo:• z=i

• Calculamos el argumento:• α=arctg 1/0 = 90º

• Calculamos el módulo:• |z|=√ [(0)2+(1)2] = √1 = 1

• En forma trigonométrica:• z=(cos 90º + i.sen 90º)

• En forma polar:• z=190º

@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 7

Ejercicio_3• Escribir en las 3 formas posibles el siguiente número complejo:• z=6225º

• En forma trigonométrica:• z=6(cos 225º + i.sen 225º)

• Calculamos a:• a=6.cos 225º = 6.0,707 = 4,242

• Calculamos b:• b=6.sen 225º = 6.0,707 = 4,242

• En forma binómica:• z=(a+bi)• z=4,242 + 4,242.i

@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 8

Ejercicio_4• Escribir en las 3 formas posibles el siguiente número complejo:• z=3(cos 60º - i.sen 60º)

• Calculamos a:• a=3.cos 60º = 3.0,5 = 1,5• Calculamos b:• b= - 3.sen 60º = - 3.0,863 = - 2,5981

• En forma binómica:• z=1,5 – 2,5981.i

• Calculamos el ángulo o argumento, que no es de 60º:• α=arctg -2,5981/1,5 = - 60º = 300º

• En forma polar:• z=3300º

@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 9

OPERACIONES EN FORMA POLAR

TEMA 7.4 * 1º BCT

@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 10

• PRODUCTO DE COMPLEJOS EN FORMA POLAR

• El producto de dos números complejos en forma polar es otro número complejo que tiene por módulo el producto de los módulos y por argumento la suma de los argumentos.

• Demostración:

PRODUCTOS EN FORMA POLAR

@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 11

PRODUCTOS EN FORMA POLAR• EJEMPLO 1

• 330º .245º

• 330º .245º = (3.2)30º+45º = 675º

• En forma trigonométrica: z=6.(cos 75º + i.sen 75º)• En forma binómica: z=1,5529 + 0,1011.i

• EJEMPLO 2

• 4240º .5120º

• 4240º .5120º = (4.5)240º+120º = 20360º = 200º

• En forma trigonométrica: z=20.(cos 0º + i.sen 0º)• En forma binómica: z=20.1 + 20.0.i = 20 + 0i = 20

@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 12

COCIENTE EN FORMA POLAR

• COCIENTE DE COMPLEJOS EN FORMA POLAR

• El cociente de dos números complejos en forma polar es otro número complejo que tiene por módulo el cociente de los módulos y por argumento la resta de los argumentos.

• Demostración:

@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 13

COCIENTES EN FORMA POLAR

• EJEMPLO 1

• 830º :260º

• 830º .260º = (8:2)30º - 60º = 4-30º = 4330º

• En forma trigonométrica: z=4.(cos 330º + i.sen 330º)• En forma binómica: z=3,464 – 2.i

• EJEMPLO 2

• 230º : 3300º

• 230º : 3300º = (2:3)30º - 300º = (2/3)-270º = (2/3)90º

• En forma trigonométrica: z=(2/3).(cos 90º + i.sen 90º)• En forma binómica: z=(2/3).0 + (2/3).1.i = 0 + (2/3)i = (2/3)i