COLEGIO INTERNACIONAL SEK

Prof. lvaro Elizondo Montoya.

TEMA: PRISMAS Y PIRMIDES.

Nombre: ___________________Fecha:_______Grupo: 9

GEOMETRA ESPACIAL DE PRISMAS Y PIRMIDES.

DEFINICIN: Dados cuatro o ms polgonos no coplanares, tales que cada uno de sus

lados sea comn a dos de ellos y que el plano de cada uno de esos polgonos deje a los restantes

en un mismo semiespacio de los que l determina, se llama poliedro, al conjunto de los puntos

comnes a todos los semiespacios a que pertenecen esos polgonos.

NOTA:

1. Los polgonos que determinan al poliedro se llaman caras del mismo, y los lados y vrtices

de los polgonos se llaman aristas y vrtices del poliedro.

2. Se estudiarn seguidamente algunos poliedros, en particular los llamados prismas.

NOTA: Si se consideran las rectas paralelas a, b, c, d y e, tales que tres de ellas no pertenecen

a un mismo plano y que el plano determinado por dos consecutivas deja a las restantes en un

mismo semiespacio de los que l determina, y si estas rectas se cortan con dos planos paralelos

y , queda determinado un cuerpo poliedro llamado prisma, que se destaca en la gura.

Fig 1: Procedimiento para la obtencin de un prisma.

1

ELEMENTOS DEL PRISMA Los polgonos congruentes, ABCDE y ABC DE se

llaman bases del prisma, los paralelogramos AABB; BBC C; CC DD; DDE E y EE AA

se llaman caras laterales del prisma. Las caras laterales y las bases de un prisma se llaman

en general caras del prisma. Las intersecciones de dos caras laterales, en el caso de la gura

AA; BB; CC ; DD y EE se llaman aristas laterales del prisma y los lados de los polgonos

de las bases se llaman aristas de la base. El segmento perpendicular a los planos de las bases

comprendido entre los mismos se llama altura del prisma, as en el prisma de la gura, la

altura es el segmento HH .

Fig 2: Prisma oblcuo de base pentagonal.

Si en vez de cinco paralelas, como en la gura, se consideran tres, las bases son tringulos,

y al prisma se le llama prisma de base triangular; si se consideran cuatro, las bases son cua-

drilteros y al prisma de le llama prisma de base cuadrangular,..., etc.

PRISMA RECTO: Un prisma se dice recto, cuando las aristas laterales son perpendicu-

lares a los planos de las bases.

1. Las caras laterales de un prisma recto son rectngulos.

2. Las aristas laterales de un prisma recto son congruentes con la altura del prisma.

Fig 3: Prisma recto de base hexagonal.

2

PARALELEPPEDO: Se llama paraleleppedo a un prisma cuyas bases son paralelo-

gramos.

1. Dos caras de un paraleleppedo que no tienen ningn punto en comn, se llaman caras

opuestas.

2. Dos aristas paralelas de un paraleleppedo que no pertenecen a una misma cara, se llaman

aristas opuestas.

3. Dos vrtices de un paraleleppedo que no pertenecen a una misma cara, se llaman vrtices

opuestos.

4. Se llama diagonal de un paraleleppedo, al segmento que tiene por extremos dos vrtices

opuestos.

Fig 4: Paraleleppedo oblicuo de base romboidal.

PARALELEPPEDO RECTNGULO: Se llama paraleleppedo rectngulo, al pa-

raleleppedo cuyas bases son rectngulos y que tiene sus aristas laterales perpendiculares a los

planos de las bases.

1. Las seis caras del paraleleppedo rectngulo son rectngulos.

2. En todo paraleleppedo rectngulo las diagonales son congruentes.

3. En todo paraleleppedo rectngulo, el cuadrado de una de sus diagonales, es igual a la suma

de los cuadrados de las tres aristas que concurren en uno de sus vrtices.

Como frmula se escribe: d =`2 + a2 + h2, donde, d es diagonal, ` es largo, a es

ancho y h es altura.

Fig 5: Paraleleppedo rectngulo.

3

CUBO: El cubo o hexaedro regular es un paraleleppedo rectngulo que tiene todas sus aristas

congruentes.

1. Las diagonales del cubo son congruentes.

2. El cuadrado de una diagonal (d) es igual a 3 veces el cuadrado de una de las aristas (a).

Como frmula se escribe: d = a3

Fig 6: Cubo o hexaedro regular.

SUPERFICIE DE LOS PRISMAS

SUPERFICIE LATERAL: Se llama supercie lateral de un prisma, a la suma de las

supercies de sus caras laterales.

NOTAS:

1. La supercie lateral de un prisma recto es igual al producto del permetro de la base por la

altura del prisma.

2. Si el prisma no es recto (o sea oblcuo), la supercie lateral se obtiene multiplicando el

permetro de la seccin perpendicular a sus aristas laterales por una de estas aristas.

SUPERFICIE TOTAL: Se llama supercie total AT del prisma, a la suma de la supercie

lateral AL ms la supercie de las bases AB.

NOTAS:

1. La supercie total de un prisma recto es igual al producto del permetro de la base, por la

suma de la altura ms la apotema de la base. As: AT = p(h+ a)

2. Si el prisma no es recto, para hallar su supercie total se emplea: AT = AL + 2 AB

3. Si el prisma recto es un cubo, la expresin de la supercie total se simplica, pues sus seis

caras son cuadrados congruentes, llamando con a a la arista, se tiene: ACARA = a2y

AT = 6a2

4

VOLUMEN DE LOS PRISMAS

VOLUMEN DE UN PARALELEPPEDO RECTNGULO: El volumen de un pa-

raleleppedo rectngulo es igual al producto de las tres aristas que concurren en un vrtice.

Simblicamente: V = a b c

Fig 7: Volumen de un paraleleppedo rectngulo: V = a b c

VOLUMEN DE UN CUBO: El volumen de un cubo es igual al cubo de su arista.

Simblicamente: V = a3

Fig 8: Volumen de un cubo o hexaedro regular: V = a3

VOLUMEN DE UN PARALELEPPEDO CUALQUIERA: El volumen de un para-

leleppedo cualquiera es igual al producto de la supercie de la base por la altura. Simblicamente:

V = Ab h

Fig 9: Volumen de un paraleleppedo cualquiera: V = Ab h

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VOLUMEN DE UN PRISMA: El volumen de un prisma es igual al producto de la

supercie de la base por la altura. Simblicamente: V = Ab h

Fig 10: Volumen de un prisma: V = Ab h

EJERCICIOS DE REAS Y VOLUMENES DE PRISMAS:

1. Determine el rea de la base (una base), el rea basal (ambas bases), el rea lateral, el rea

total y el volumen de un cubo cuya arista mide 10 cm.

2. Una tienda de campaa tiene forma de prisma recto de base triangular, la altura de la

tienda es de 4 ft y la base corresponde a un rectngulo de 9 ft de largo y 6 ft de ancho.

Halle la cantidad de lona que se requiri para confeccionarla y el volumen de aire en su

interior.

3. Cuntos cubos de un centmetro de arista se pueden colocar en una caja cuyas dimensiones

son: largo = 3, 5 cm; ancho = 2, 6 cm y altura = 7, 1 cm. ?

6

4. El rea total de un prisma recto de base cuadrada es de 360 cm2, si la arista lateral mide

el doble de la arista de la base, halle el volumen del prisma.

5. Si se desea cubrir unos moldes cuadrados para hacer queques con material antiadherente,

si los moldes tienen 6 cm de profundidad y 20 cm de lado y se dispone de antiadherente

para cubrir 100m2, cuntos moldes podrn cubrirse?

6. Si se duplican las dimensiones de un paraleleppedo rectngulo, en cunto aumenta su

rea y en cunto aumenta su volumen?

7. Se desea construir con hormign armado un tanque sptico sin tapa, si las dimensiones

de las paredes externas del tanque miden 2m el ancho, 3m el largo y 1, 8m de altura y

las paredes y el piso tienen 10 cm de espesor, cunto concreto se requiere para hacer esta

colada?

8. Halle el rea total y volumen de un prisma recto de base hexagonal si la altura mide el

triple de la arista de la base y el rea lateral es de 280 cm2.

7

9. En un acuario hay un estanque que tiene la forma de paraleleppedo rectngulo cuyas

dimensiones son 6m 3m y 2m de altura, se sabe adems que el nivel del agua llegahasta 1,7m y una vez introducidos todos los peces el nivel sube 20 cm. Si se ha comprado

36 kg alimento y cada pez consume diariamente en kilogramos un equivalente numrico al

10% de su volumen en m3 por da, cuntos das durar el alimento?

(Suponga que los peces no crecen de forma signicativa durante el periodo de alimentacin.)

10. Un ingeniero civil desea constuir un paso a desnivel, por ello debe remover una porcin

de terreno tal como se muestra en la gura, si una vez removida la tierra esta se expande

en un 35% y las vagonetas contratadas pueden transportar 12m3 por cada viaje, cuntos

viajes deberan contratarse para remover toda esta la tierra?

Si el costo de cda uno de los viajes es de 18000 colones y se deben considerar un 10%

de costo adicional por concepto de imprevistos, cunto dinero se debe desembolsar para

contratar el transporte de la tierra?

Fig 11: Asuma que los planos ABCD y ABC D son paralelos.

8

Ejercicios adicionales:

1. Calcular la diagonal de un paraleleppedo rectngulo cuyas aristas miden 3 cm; 5 cm y 7 cm.

R/

83 cm

2. En un paraleleppedo rectngulo el largo es la mitad del alto y el triple del espesor. Sabiendo

que la arista mayor del paraleleppedo mide 15 cm. Calcular la diagonal del mismo.R/5462cm

3. Calcular la diagonal de un paraleleppedo rectngulo de 10cm de altura y cuya base es un

cuadrado de 9 cm2 de supercie. R/118 cm

4. Calcular la diagonal de un paraleleppedo rectngulo de 10 cm de altura y cuya base es un

cuadrado de 20 cm de permetro. R/56 cm

5. La diagonal de un paraleleppedo rectngulo es de 12 cm. Calcular la altura sabiendo que

los lados de la base son de 6 cm y 5 cm respectivamente. R/83 cm

6. Un paraleleppedo rectngulo tiene un cuadrado por base. Calcular la supercie de la misma

sabiendo qua la diagonal del paraleleppedo es de 10 cm y la altura de 8 cm.R/18 cm2

7. La arista de un cubo es de 8 cm. Calcular la diagonal del mismo. R/83 cm

8. Sabiendo que una de las diagonales del cubo es de 874, 8mm, expresar en cm la arista del

mismo. R/

7293

25cm 50, 51 cm

9. La supercie de la cara de un cubo es de 49 cm2 . Calcular la diagonal del mismo. R/73 cm

10. La diagonal de una cara de un cubo es de 12 cm. Calcular la diagonal del cubo. R/66 cm

9

11. Cul es la supercie lateral de un prisma recto de 12 cm de altura cuya base es un pen-

tgono regular de 3 cm de lado? R/180 cm2

12. Calcular la supercie lateral de un prisma recto cuyas aristas laterales tienen 15cm y cuya

base es un cuadrado de 4, 5 cm de lado. R/270 cm2

13. Cul es la supercie lateral de un prisma recto de 8 cm de altura, cuya base es un hexgono

regular de 30 cm2 de supercie? R/165

43 cm2 27, 18 cm2

14. Cul es la supercie lateral de un prisma recto de 15 cm de altura, cuya base es un

hexgono regular de 6, 92 cm de apotema? R/20763

5cm2 719, 15 cm2

15. Un prisma recto de 30 cm de altura tiene por base un cuadrado de 7, 05 cm de diagonal.

Cul es la supercie lateral del prisma? R/4232 cm2

16. Cul es la supercie lateral de un prisma recto de 12 cm de altura, cuya base es un

cuadrado de 90, 25 cm2 de supercie? R/456 cm2

17. Cul es la supercie lateral de un prisma recto de 9 cm de altura, cuya base es un hexgono

regular de 10, 39 cm2 de supercie? R/ 108 cm2

18. Un prisma recto de 25 cm de altura tiene por base un tringulo equiltero de 27, 68 cm2 de

supercie. Calcular la supercie lateral del prisma. R/ 600 cm2

19. Cul es la altura de un prisma recto, sabiendo que el permetro de la base es de 22, 5 cm

y la supercie lateral es de 202, 50 cm2 ? R/9 cm

20. Un prisma recto tiene una altura de 7 cm y una supercie lateral de 175 cm2 . Cul es el

permetro de la base? R/25 cm

21. Cuntas caras tiene un prisma recto, cuya arista lateral es de 12 cm, un lado de la base

de 4 cm y la supercie lateral es de 288 cm2 ? R/8

22. La supercie lateral de un prisma recto es de 420 cm2. Si la base es un hexgono de

10, 38 cm2 de supercie, cunto mide la altura del prisma? R/ 35 cm

23. Hallar la supercie total de un prisma recto de 13 cm de altura, cuya base es un octgono

regular de 5 cm de lado y 6, 04 cm de apotema. R/761, 6 cm2

24. Cul es la supercie total de un prisma recto de 20 cm de arista lateral, cuya base un

heptgono regular de 6 cm de lado y 6, 23 cm de apotema? R/1101, 66 cm2

10

25. Hallar le supercie total de un prisma recto de 15 cm de altura, cuya base es un rombo de

12 cm y 16 cm de diagonales.

26. Hallar la supercie total de un prisma recto cuyas aristas laterales tienen 25 cm y cuyas

bases son cuadrados de 7, 5 cm de lado.

27. Un prisma recto de 45 cm de altura, tiene por base un cuadrado de 210, 25 cm2 de supercie.

Cul es la supercie total del prisma?

28. Hallar la supercie total de un prisma recto de 9 cm de altura, cuya base es un tringulo

equiltero de 2, 5 cm de lado.

29. Cul es la supercie total de un prisma recto de 12 cm de altura, cuya base es un hexgono

regular de 5 cm de lado?

30. Un prisma recto de 20 cm de altura, tiene por base un rectngulo de 6 cm de lado y 10 cm

de diagonal. Cul es la supercie total del prisma?

31. Cul es la supercie total de un prisma recto de 30 cm de altura si su base es un tringulo

equiltero de 12, 11 cm de altura?

32. Un prisma recto de 15 cm de altura, tiene por base un cuadrado cuya diagonal es de 9 cm.

Calcular la supercie total del prisma.

33. Calcular la supercie total de un prisma recto cuya altura es el doble de un lado de la base

y sta es un hexgono regular de 24 cm de permetro.

34. Calcular la supercie total de un prisma recto de 40 cm de altura cuya base es un hexgono

regular de 373, 68 cm2 de supercie.

35. Calcular la supercie total de un prisma recto de 22cm de altura, cuya base es un hexgono

de 5, 19 cm de apotema.

36. La supercie total de un prisma recto es de 7, 02 cm2 su base es un cuadrado de 9 cm de

lado. Cul es su altura?

37. La supercie total de un prisma recto es de 0, 1488 cm2; su base es un cuadrado de 144 cm2

de supercie. Cuntos cm. mide cada una de sus aristas laterales?

38. La supercie total de un prisma recto es de 300 cm2; si la base es un pentgono regular de

15 cm2 de supercie y 2 cm de apotema. Cul es el valor de la altura?

11

39. La supercie total de un prisma recto es de 1779 cm2. Si la base es un hexgono regular

de 8, 65 cm de apotema, calcular la altura del prisma.

40. La supercie total de un prisma recto es de 280 cm2. Si la base es un rombo cuyas diagonales

tienen 6 cm y 8 cm, calcular la altura del prisma.

41. Expresar en cm2 la supercie total de un cubo de 45mm de arista.

42. Calcular la supercie total de un cubo de 8, 4 cm de arista.

43. El permetro de una de las caras de un hexaedro regular es igual a 22, 40 cm. Cul es la

supercie total del hexaedro?

44. La suma de todas las aristas de un cubo es de 372mm. Calcular la supercie total del cubo.

45. La diagonal de una cara de un cubo es de 320mm. Cul es en cm2 la supercie total del

cubo?

46. La diagonal de un cubo es de 10, 38 cm. Cul es la supercie total del cubo?

47. La supercie total de un cubo es de 4, 86 dm2. Expresar en cm el valor de la arista del

mismo.

48. La supercie total de un cubo es de 675 cm2. Calcular la diagonal de una cara.

49. Si la supercie total de un hexaedro regular es de 96. Calcule la longitud de cada una de

las diagonales del mismo.

50. Hallar el volumen de un paraleleppedo rectngulo de 15 cm de altura y cuya base es un

rectngulo de 5 cm de base y 2 cm de altura.

51. Calcular el volumen de un paraleleppedo rectngulo de 7 cm de largo, 18 cm de alto y 5 cm

de ancho.

52. Cuntos litros de agua puede contener un recipiente en forma de un paraleleppedo rec-

tngulo cuyas dimensiones interiores son: largo, 3m; alto, 0, 90m y ancho, 1, 20m?

53. La diagonal de un paraleleppedo rectngulo es de 15 cm; la altura de 8 cm y un lado de la

base de 5 cm. Calcular el volumen.

54. El volumen de un paraleleppedo rectngulo es de 10 cm3. Calcular la diagonal del mismo

sabiendo que dos de sus aristas son de 8, 5 cm y 12 cm.

12

55. Calcular el volumen de un cubo de 3, 5 cm de arista.

56. La supercie de una de las caras de un cubo es de 30, 25 cm2 . Cul es el volumen del

cubo?

57. La diagonal de un cubo es de 25, 95 cm. Calcular el volumen del cubo.

58. La diagonal de una cara de un cubo es de 9, 87 cm. Cul es el volumen del cubo?

59. La supercie total de un hexaedro regular es de 726 cm2 . Calcular su volumen.

60. Un cubo de 8 cm de arista es de hierro. Calcular la masa del cubo, sabiendo que la densidad

del hierro es 7, 8 gcm3.

61. La supercie total de un cubo es de 1350 cm2 . Calcular su masa sabiendo que es de cobre

cuya densidad es de 8, 8 gcm3

62. Un cubo tiene 8000 cm3 de volumen. Calcular la arista.

63. Un depsito cbico contiene exactamente 729 litros. Expresar en cm el valor de la arista

interior.

64. Calcular la arista de un cubo, sabiendo que su volumen es equivalente a un paraleleppedo

rectangular cuyas aristas son respectivamente de 16 cm, 6, 4 cm y 5 cm.

65. La suma de las aristas de un depsito cbico es de 10, 8m. Expresar en litros la capacidad

del recipiente; calcular su masa cuando est lleno de aceite (densidad del aceite: 0, 9 gcm3).

66. Calcular el volumen de un prisma de 15 cm de altura y cuya base es un pentgono regular

de 3 cm de lado y 20, 6mm de apotema.

67. Calcular el volumen de un prisma de 12 cm de altura y cuya base es un hexgono regular

de 4 cm de lado.

68. Calcular el volumen de un prisma de 20 cm de altura, cuya base es un cuadrado de 28 cm

de permetro.

69. Calcular el volumen de un prisma de 9 cm de altura, cuya base es un tringulo equiltero

de 5 cm de lado.

70. Cul es el volumen de un prisma de 18 cm de altura, cuya base es un hexgono regular

de 5 cm de apotema?

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71. Calcular el volumen de un prisma de 25 cm de altura, cuya base es un tringulo equiltero

de 10 cm de altura.

72. Calcular el volumen de un prisma recto cuyas aristas laterales son de 24 cm y cuya base

es un cuadrado de 11, 28 cm de diagonal.

73. Un prisma de 2, 6 cm de altura tiene por base un hexgono regular inscrito en una circun-

ferencia de 1 cm de radio. Calcular su volumen.

74. Calcular el volumen de un prisma triangular de igual altura y base equivalente respectiva-

mente a una pirmide de 5, 4 cm de altura y 4, 5 cm2 de base.

75. Un prisma de 14 cm de altura tiene por base un tringulo rectngulo cuyos catetos son de

5, 4 cm y 7, 8 cm. Calcular su volumen.

76. Calcular el volumen de un prisma recto de 9 cm de diagonal cuya base es un cuadrado de

3, 2 cm de lado.

77. Un prisma de 15cm de altura tiene 360 cm3 de volumen. Calcular la supercie de la base.

78. Un prisma recto tiene 2295 cm3 de volumen. Si la base es un hexgono de 360mm de

permetro, calcular la altura del prisma.

79. Un depsito en forma de prisma recto tiene una capacidad de 1 080 000 litros. Sabiendo

que la base interior es un cuadrado de 12m de diagonal, calcular la altura del depsito.

80. Un prisma tiene 519 cm3 de volumen. Si la base es un tringulo equiltero de 10 cm de

altura, calcular la altura del prisma.

81. Un prisma de 2335, 5 cm3 de volumen tiene 18 cm de altura. Calcular el valor de un lado

del hexgono regular de la base.

82. Un prisma recto tiene 263, 250 cm3 de volumen. Si la base es un cuadrado de 45mm de

lado, calcular el valor de las aristas laterales del prisma.

83. Un prisma recto rectangular de 15cm de altura, tiene 5, 040 dm3 de volumen. Si uno de los

lados de la base es de 12 cm, cunto mide el otro lado de la base?

84. Un prisma recto de 11 cm de arista lateral tiene 134, 750 cm3 de volumen. Cul es el valor

del lado del cuadrado de la base?

85. Un prisma recto de 8 cm de altura tiene 162 cm3 de volumen. Calcular el valor de la

diagonal del cuadrado que tiene por base.

14

PIRMIDES

1

NGULOS TRIEDROS: Dadas tres semirrectas V A, V B y V C con un mismo origen V

y tales que no pertenecen a un mismo plano, determinan un ngulo triedro que es el conjunto

de puntos formado por la interseccin de los tres semiespacios limitados, respectivamente, por

cada plano determinado por dos de esas semirrectas y que contiene a la otra semirrecta.

Fig 12: ngulo triedro.

NGULOS POLIEDROS: Se denen similarmente que los ngulos poliedros, solo que

en este se dene un nmero n de semirrectas con un mismo origen. (n 3)

Fig 13: ngulo poliedro.

PIRMIDE: Dado un ngulo poliedro y un plano secante, se llama pirmide a la parte del

ngulo poliedro que se encuentra en el semiespacio respecto del plano que contiene al vrtice del

ngulo poliedro.

Fig 14: Pirmide como resultado de la seccin de un ngulo poliedro.

1

TEOREMA DE EULER: En todo poliedro, el nmero de caras ms el nmero de vrtices es igual al nmero de aristas ms 2.

Simblicamente: C + V = A+ 2 donde C indica el nmero de caras, V el nmero de vrtices y A el nmero de aristas.

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ELEMENTOS DE LA PIRMIDE:

1. El vrtice del ngulo poliedro, V, se llama vrtice de la pirmide.

2. El polgono seccin, ABCDE, se llama base de la pirmide.

3. Los tringulos que sobre cada cara del ngulo poliedro determina el plano de la base, se

llaman caras laterales de la pirmide.

4. Las intersecciones de dos caras laterales se llaman aristas laterales.

5. Los lados del polgono base se llaman aristas de la base.

6. El segmento trazado desde el vrtice de la pirmide, perpendicular a la base se le llama

altura de la pirmide.

Fig 15: Elementos de la pirmide.

PIRMIDE REGULAR: Cuando la base de una pirmide es un polgono regular y el pie

de la altura es el centro de la base, la pirmide se dice regular.

Fig 16: Pirmide regular de base cuadrada.

16

ELEMENTOS DE LA PIRMIDE REGULAR:

1. Las aristas laterales de una pirmide regular son congruentes.

2. Las caras laterales de una pirmide regular son tringulos issceles congruentes entre

s.

3. Se llama apotema de una pirmide regular, al segmento determinado por el vrtice

de la pirmide y el punto medio de un lado de la base.

SUPERFICIE LATERAL DE UNA PIRMIDE: La supercie lateral de una pir-

mide, es igual a la suma de la supercie de sus caras laterales.

1. La supercie lateral de una pirmide regular es igual al semiproducto del permetro de la

base por la apotema de la pirmide.

2. La supercie total de una pirmide regular es igual al semiproducto del permetro de la

base por la suma de la apotema de la pirmide ms la apotema de la base.

3. Si la pirmide regular es un tetraedro, en este caso particular, la expresin de su supercie

total se simplica, pues sus cuatro caras son tringulos equilteros congruentes entre s y

designando por a la arista, se tiene:

1. REA LATERAL : AL =3 a23

4

2. REA TOTAL : AT = a23

VOLUMEN DE UNA PIRMIDE

2

: El volumen de una pirmide es igual a la tercera

parte del producto del rea de la base por la altura. Simblicamente: V =Ab h

3

Fig 17: Volumen de una pirmide: V =Ab h

3

2

El volumen de un tetraedro regular de arista a se puede determinar por la frmula: V =a3 2

12

17

EJEMPLOS:

1. La arista de la base de una pirmide regular de base hexagonal mide 12 cm, si la altura

mide el triple de la apotema de la base, halle el rea total de la pirmide.

2. Halle el volumen de una pirmide regular de base cuadrada si se sabe que la altura coincide

en longitud con la diagonal de la base y la apotema de la pirmide mide 6 cm.

3. Se vierte el lquido que llena completamente una pirmide regular de base pentagonal en

un prisma que tiene una base de igual rea que la pirmide e igual altura, qu parte del

prisma queda sin llenar?

4. Dos pirmides regulares tienen por bases un hexgono regular y un tringulo equiltero, si

ambas pirmides tienen el mismo volumen y las aristas de la base son congruentes, halle

la relacin entre las alturas de las pirmides.

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5. Halle el rea total y el volumen de un tetraedro regular cuya arista mide 123 cm.

6. Halle la longitud de la altura de un tetraedro regular cuya arista mide 33m

7. Halle el rea total y el volumen de una pirmide regular de base hexagonal, si el permetro

de la base es de 24 cm y la apotema de la pirmide mide 219 cm.

8. Una pirmide regular de base cuadrangular tiene por arista de la base un segmento de 4 cm

de longitud y 8 cm de altura, si esta se secciona mediante un plano paralelo a la base de la

pirmide y esta seccin tiene forma de cuadrado de lado 1 cm. Determine el volumen de

la pirmide truncada as obtenida.

19

9. Compruebe que la razn entre el volumen de un tetraedro regular de arista a respecto a

su rea total es de

a6

36

10. Halle el rea total de una pirmide regular de forma tetraedrca si su base corresponde a

un tringulo de rea 1443 cm2 y la altura de la pirmide es de 3

3 cm.

Ejercicios adicionales.

1. Calcule la longitud de una de las aristas laterales de una pirmide regular sabiendo que la

apotema de la pirmide es de 5 cm y las aristas de la base son de 6 cm.

2. Calcular las aristas laterales de una pirmide regular de 6 cm de altura y tal que la base

es un hexgono de 24 cm de permetro.

3. Calcule la longitud de la apotema de una pirmide regular sabiendo que las aristas laterales

son de 29 cm y la base es un pentgono de 1m de permetro.

4. Hallar la altura de una pirmide regular cuya base es un cuadrado de 32 cm2 de supercie

y cuyas aristas laterales tienen 5 cm.

5. Hallar la apotema de una pirmide regular de 15 cm de altura y cuya base es un cuadrado

de 7 cm de lado.

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6. En una pirmide el pie de la altura coincide con el centro de simetra de la base, que es

un rectngulo de 24 cm de largo y 18 cm de ancho. Siendo la arista lateral de la pirmide

es de 17 cm cuntos centmetros mide su altura?

7. Una pirmide regular de 32 cm de altura tiene por base un hexgono de 8 cm de lado.

Expresar en cm el valor de la apotema de la pirmide.

8. En una pirmide su altura es de 12 cm y su pie coincide con el centro de simetra de la

base, que es un rectngulo de 15 cm y 9 cm de lados. Calcular cada una de las aristas

laterales de la pirmide.

9. Una pirmide regular de base cuadrada tiene 9 cm de altura y 15 cm de apotema. Calcular

la longitud de las arista lateral de la pirmide.

10. Una pirmide regular de 15 cm de altura, tiene por base un hexgono regular de 6 cm de

apotema. Calcular la longitud de las arista lateral de la pirmide.

11. Una pirmide regular de base hexagonal tiene 8 cm de altura y 10 cm de apotema. Calcular

la longitud de las arista lateral de la pirmide.

12. Las aristas laterales de una pirmide regular son de 6 cm y los ngulos que forman con el

eje son iguales a los que forman con la base. Calcular la altura de la pirmide.

13. Cul es la supercie lateral de una pirmide regular de 2 cm de apotema si su base es un

cuadrado de

118cm de lado?

14. Cul es la supercie lateral de una pirmide recta de 15 cm de apotema si su base es un

hexgono regular de 6 cm de lado?

15. Hallar la supercie lateral de una pirmide regular de 8 cm de altura si su base es un

cuadrado de 4 cm de lado.

16. Hallar la supercie lateral de una pirmide regular de 9 cm de altura cuya base es un

tringulo equiltero de 6 cm de lado.

17. Hallar la supercie lateral de una pirmide regular de 12 cm de altura cuya base es un

hexgono de 8, 65 cm de apotema.

18. Calcular la supercie lateral de una pirmide regular de 9 cm de altura cuya base es un

rombo cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm.

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19. Una pirmide regular de 15 cm de altura tiene por base un cuadrado cuya diagonal es de

11, 52 cm. Calcular la supercie lateral de la pirmide.

20. Una pirmide recta cuya base es un hexgono regular de 5 cm de lado tiene 337, 50 cm2 de

rea lateral. Calcular la apotema de la pirmide.

21. La supercie lateral de una pirmide regular es de 200 cm2. Calcule el permetro de la base

si la apotema de la pirmide es de 16 cm.

22. Cuntas caras tiene una pirmide regular cuya apotema es de 12 cm, un lado de la base

de 3 cm y la supercie lateral de 144 cm2?

23. Una pirmide regular de 12 cm de apotema, tiene 84 cm2 de supercie lateral. Calcular la

diagonal del cuadrado que tiene por base.

24. Una pirmide regular tiene 750 cm2 de supercie lateral. Calcular su altura, sabiendo que

la base es un hexgono regular de 8, 65 cm de apotema.

25. Calcular la altura de una pirmide regular sabiendo que su supercie lateral es de 570 cm2

y que la base es un cuadrado de 90, 25 cm2 de supercie.

26. Hallar la supercie total de una pirmide regular de 25 cm de apotema si su base es un

octgono de 4 cm de lado y 4, 89 cm de apotema.

27. Determinar la supercie total de una pirmide regular de 20 cm de apotema sabiendo que

su base es un hexgono de 8 cm de lado.

28. Hallar la supercie total de una pirmide regular de base hexagonal de 30 cm de altura,

sabiendo que el radio de la circunferencia en que est inscrito el polgono es de 10cm.

29. Hallar la supercie total de una pirmide recta de 15 cm de altura, cuya base es un cuadrado

de 81 cm2 de supercie.

30. Hallar la supercie total de una pirmide recta de 8 cm de altura, sabiendo que la longitud

de la circunferencia en que est inscrito el cuadrado de la base es de 25, 12 cm.

31. Hallar la supercie total de una pirmide regular de 25 cm de apotema si su base es un

tringulo equiltero de 27, 68 cm2 de supercie.

32. Calcular la supercie total de una pirmide regular de 12 cm de altura si su base es un

hexgono de 41, 52 cm2 de supercie.

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33. Hallar la supercie total de una pirmide regular de 20 cm de altura cuya base es un

tringulo equiltero de 15, 57 cm2 de supercie.

34. Calcular la apotema de una pirmide recta, si su supercie total es de 24, 1290 cm2 y la

base es un cuadrado de 9 cm2 de supercie.

35. Una pirmide recta de 343 cm2 de supercie total tiene por base un cuadrado de 7 cm de

lado. Expresar en cm el valor de la apotema de la pirmide.

36. Calcular la apotema de una pirmide regular de 54 cm2 de supercie total, cuya base tiene

una supercie de 15 cm2 y una apotema de 5 cm.

37. La supercie total de una pirmide regular de base hexagonal es de 740, 76 cm2 . La super-

cie de la base es de 20, 76 cm2. Calcular la altura de la pirmide.

38. Hallar la supercie total de un tetraedro regular de 10 cm de arista.

39. Hallar la supercie lateral de un tetraedro regular de 6, 5 cm de arista.

40. Calcular la supercie de un tetraedro regular, sabiendo que la suma de sus aristas es igual

a 30 cm.

41. Sabiendo que la altura de una de las caras de un tetraedro regular es de 9 cm, calcular la

supercie del mismo.

42. Siendo 43, 35 cm2 la supercie total de un tetraedro regular, calcular la arista del mismo.

43. Sabiendo que la supercie total de un tetraedro regular es de 140, 13 cm2 calcular la altura

de una de sus caras.

44. Calcular el volumen de una pirmide regular de 18 cm de altura y cuya base es un pentgono

de 8 cm de lado y 5, 6 cm de apotema.

45. Calcular el volumen de una pirmide de 17, 6 cm de altura y cuya base es un rombo que

tiene diagonales de 6 cm y 8, 5 cm.

46. Cul es el volumen de una pirmide de 8 cm de altura, cuya base es un cuadrado de

9, 6 cm de permetro?

47. La base de una pirmide es un rectngulo cuyos lados son de 6 cm y 8 cm. Calcular su

volumen sabiendo que la altura es el doble de la diagonal del rectngulo base.

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48. Hallar el volumen de una pirmide regular de 15 cm de altura y cuya base es un hexgono

de 4, 5 cm de apotema.

49. Cul es el volumen de una pirmide regular de 9 cm de arista lateral y cuya base es un

cuadrado de 36 cm2 de supercie?

50. Calcular el volumen de una pirmide regular de 12 cm de apotema y cuya base es un

cuadrado de 64 cm2 de supercie.

51. Calcular el volumen de una pirmide de 30 cm de apotema y cuya base es un cuadrado de

14, 10 cm de diagonal.

52. Cul es el volumen de una pirmide regular cuya arista lateral es de 10 cm y la base es

un hexgono de 5 cm de apotema?

53. Calcular el volumen de una pirmide regular de 16 cm de apotema cuya base es un hexgono

de 36 cm de permetro.

54. Cul es el volumen de una pirmide regular cuya arista lateral es de 8 cm y la base es un

hexgono de 5 cm de apotema?

55. Hallar el volumen de una pirmide de 13 cm de apotema y cuya base es un tringulo

equiltero de 4 cm de lado.

56. Calcular el volumen de una pirmide cuya arista lateral es de 19 cm la base es un tringulo

equiltero de 8 cm de altura.

57. Hallar el volumen de una pirmide regular cuya apotema es de 21 cm y cuya base es un

tringulo equiltero de 18 cm de permetro.

58. Un molde tiene la forma de una pirmide regular cuya arista lateral es de 8 cm y cuya

base es un rectngulo cuyos lados miden 3 cm y 4 cm. Calcular el volumen del molde.

59. Calcular la masa de una pirmide de mrmol de 1, 20m de apotema y cuya base es un

hexgono de 42 cm de permetro (densidad del mrmol = 2,7gcm3).

60. Una pirmide recta de 20 cm de altura tiene por base un rombo de 8 cm y 15 cm de diago-

nales. Calcular la masa de esa pirmide si es de vidrio, cuya densidad es de

2,5gcm3

61. El volumen de una pirmide regular es 1440, 840 cm3. Si la supercie de la base es de

345, 20 cm2, calcular el valor de la altura.

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62. El volumen de una pirmide recta es de 846 cm3. Si la base es un hexgono de 9 cm de

lado, calcular el valor de la altura de la pirmide.

63. Una pirmide regular tiene 441, 600 cm3 de volumen. Si la base es un hexgono de 4 cm de

lado, calcular la apotema de la pirmide.

64. Una pirmide regular tiene 368 cm3 de volumen; si la base es un hexgono de 8 cm de

apotema, calcular el valor de la arista lateral de la pirmide.

65. Una pirmide regular cuadrangular de 12 cm de altura, tiene 100 cm3 de volumen. Calcular

el valor de una arista lateral de la pirmide.

66. Una pirmide regular de 63 cm3 de volumen, tiene por base un cuadrado de 3 cm de lado.

Calcular el valor de la apotema de la pirmide.

67. Una pirmide recta tiene 160 cm3 de volumen. La base es un rectngulo de 8 cm y 6 cm de

lados. Calcular el valor de la arista lateral de la pirmide.

68. Una pirmide regular tiene 392 cm3 de volumen. Si la base es un cuadrado de 14 cm de

diagonal, calcular el valor de la apotema de la pirmide.

69. Deducir de la expresin que da el volumen de una pirmide, la frmula del volumen de un

tetraedro regular, en funcin (en trminos) de su arista.

70. Hallar el volumen de un tetraedro de 4, 5 cm de arista.

71. La supercie total de un tetraedro es de 253 cm2. Calcular el volumen del mismo.

72. La supercie de una cara de un tetraedro es de 43 cm2. Cul es el volumen del tetraedro?

73. El volumen de un tetraedro es de

92

4cm3.. Cunto vale su arista?

74. El volumen de un tetraedro es de

22

3cm3. Calcular su supercie.

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