Matrices. · 2016-09-21 · como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones...

Matrices.

1. DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE MATRICES

Las matrices son utilizadas por primera vez hacia el año 1850 porJames Joseph Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría matricial sedebe al matemático británico William Rowan Hamilton en 1853. En1857 el matemático Arthur Cayley introduce la notación matricialcomo una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuacioneslineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en cálculo numérico, solución de sistemasde ecuaciones lineales, ecuaciones diferenciales y derivadasparciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas deecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural engeometría, estadística, economía, informática, física, etc.

La utilización de matrices (arreglos, arrays) constituye actualmente una parte esencial en los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en las computadoras como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos,etc.

Se denomina matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas):

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

=

--

mnmm

nm

inijii

n

n

aaaa

aaaaaaaaaa

A

..................

...

......

......

21

11

21

22221

11211

En nomenclatura matricial, a las matrices se les denota con una letramayúscula, A=[A]=(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Lossubíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, elprimero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). El elementoa25, por ejemplo, es el elemento de la fila 2 y columna 5.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y loselementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

Atendiendo a su forma, las matrices se clasifican en:

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, m =1 y por tantoes de orden 1´n.

[ ]690358 -=A

[ ]naaaaA 1131211 ......=

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m ´1.

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û

ù

êêêêêê

ë

é

=

-

1

1,1

21

11

...

m

m

aa

aa

A

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ù

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ë

é-

=

80541

A

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û

ù

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ë

é

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

...............

...

...

21

22221

11211

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n ´ n.

úúúú

û

ù

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ë

é

---

=

5098102121243650151

A

Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la diagonal principalde la matriz cuadrada.

Atendiendo a los elementos, se pueden identificar los siguientestipos de matrices:

Matriz nula: es aquella que todos sus elementos son 0.

[ ]0=A

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos loselementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

úû

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é=

000000

Aúúú

û

ù

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ë

é=

000000000

A

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û

ù

êêê

ë

é-=

1100070003

A

Matriz escalar: Es una matrizdiagonal cuyos elementospertenecientes a la diagonalprincipal son iguales.

Matriz unidad o identidad: Es unamatriz escalar con los elementos de ladiagonal principal iguales a 1.

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û

ù

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ë

é

=

3000030000300003

A

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û

ù

êêêê

ë

é

=

1000010000100001

A

Matriz triangular: Es una matriz cuadrada cuyos elementos que estána un mismo lado de la diagonal principal son cero. Pueden ser de dostipos:

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é-

=

90005110032506541

A

Triangular superior: Si loselementos que están por debajo dela diagonal principal son todosnulos. Es decir, aij =0 " i<j.

Triangular inferior: Si loselementos que están porencima de la diagonalprincipal son todos nulos.Es decir, aij =0 "j<i.

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

--

--=

1986501612100530004

A

Matriz transpuesta: La matriz transpuesta de A (A es una matrizcualquiera), se representa por At. Esta se obtiene cambiando filas porcolumnas. La primera fila de A es la primera columna de At , lasegunda fila de A es la segunda columna de At, etc.

De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n ´ m.

úû

ùêë

é-=

809641

32xAúúú

û

ù

êêê

ë

é-=

860491

23txA

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji " i, j.

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

----

--

=

7171012219149611109084126865211452

A

úúúú

û

ù

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ë

é

--

----

=

97101279411047212121

AMatriz antisimétrica: Unamatriz cuadrada esantisimétrica si A = –At, esdecir, si aij = –aji" i, j.

2. OPERACIONES CON MATRICES.

Transposición de matrices. Dada una matriz de orden m x n, A=(aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a lamatriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (oviceversa) en la matriz A.

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é-

=

50375492

A

Propiedades de la transposición de matrices

1. Dada una matriz A, siempre existe su transpuesta y además es única.

2. (At)t = A.

úû

ùêë

é-

=53590742tA

Suma y diferencia de matrices. La suma de dos matrices A=(aij),B=(bij), es otra matriz S=(sij) del mismo orden que los sumandos ycon término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dosmatrices estas deben ser del mismo orden o dimensión.

La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

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û

ù

êêê

ë

é=

764876903

Aúúú

û

ù

êêê

ë

é

--=465330154

B

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ú

úú

û

ù

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ë

é=

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û

ù

êêê

ë

é

-++-+++++

=+312951061057

476654383706195043

BA

Propiedades de la suma de matrices

1. A + 0 = A (0 es la matriz nula)

2. Propiedad conmutativa: A + B = B + A

3. Propiedad asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

4. Matriz opuesta: Es la matriz que se obtiene cambiando todos los signos de la matriz A, se denota con –A. La suma de una matriz con su opuesta es cero, A + (-A) = 0.

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B).

Unidad 8. Matrices

164 Apuntes de Matemáticas II (2ºBachillerato) para preparar el examen de la PAU (LOE)

Ejercicio 4: Calcular el valor de a, b, c y d: !2# 2$2% 2&' ( ! # ) 5 7 ) # ) $

,2 ) % ) & 3& ) 4 '

2a=a+5 ! a=5

2b=7+a+b ! b=12

2c=-2+c+d ! c=d-2 !c=-6

2d=3d+4 ! d=-4

Ejercicio 5: dadas las matrices A, B y C calcular las siguientes operaciones:

A=

−

−=

−−

=

−

32

21

21

04

10

11CB

a) A+B=

−−

−

11

15

b) A-B-C=

−−

03

32

c) 3A+5B-6C=

−

−

257

1529

Ejercicio 6: resolver los siguientes sistemas

a)

−

−−−=−

−

=+

101

2343)2(

012

2212)1(

YX

YX

Llamemos A=

− 012

221y B=

−

−−−

101

234

(1)-2·(2) ! Y+6Y=A-2B ! Y=1/7(A-2B)=

− 210

689

7

1

X=B+3Y=

−

−

137

431

7

1

b)

=−

=+

10

26)2(

03

12)1(

YX

YX

Llamamos A=

03

12 y B=

10

26

Producto de una matriz por un número. El producto de una matrizA= (aij) por un número real k es otra matriz B= (bij) de la mismadimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtienemultiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij.

Si k=5 y B=kA,

El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A.Al número real k se le llama también escalar, y a este producto,producto de escalares por matrices.

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

764876903

A( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ú

úú

û

ù

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ë

é=

úúú

û

ù

êêê

ë

é

´´´´´´´´´

=35302040353045015

756545857565950535

B

Propiedades del producto de una matriz por un escalar

1. Propiedad distributiva:

k (A + B) = k A + k B

(k + h)A = k A + h A (k y h son escalares)

2. Propiedad asociativa mixta: k [h A] = (k h) A

3. Elemento unidad: 1·A = A

Propiedades simplificativas

1. A + C = B + C ÛA = B.

2. k A = k B ÛA = B si k es diferente de 0.

3. k A = h A Û h = k si A es diferente de 0.

Producto de matrices. Dadas dos matrices A y B, su producto es otramatriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de Apor las columnas de B elemento a elemento. Es evidente que elnúmero de columnas de A debe coincidir con el número de filas deB. Es más, si A tiene dimensión m ´ n y B dimensión n ´ r, lamatriz P será de orden m´ r.

å=

=n

kkjikij bap

1

úû

ùêë

é-

=368042

32xA

úúú

û

ù

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ë

é=943

13xB

rjmi,...1,...1

==

å=

=\´=3

1133212

kkjikijxxx bacBAC

311321121111

3

11111 babababac

kkk ++==å

=

312321221121

3

11221 babababac

kkk ++==å

=

( ) ( ) ( ) 2290443211 =´+´+´=c

( ) ( ) ( ) 2193463821 =´-+´+´=c

úû

ùêë

é=2122

21C

12,1

==ji

úû

ùêë

é-368042

úúú

û

ù

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ë

é

943

úû

ùêë

é-368042

úúú

û

ù

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ë

é

943

Unidad 8. Matrices

165

(1)+(2)! 2X=A+B ! X=1/2(A+B)=

1338

21

Y=A-X=

−

−−

1314

21

c)

−

=+

−

=+

4201

2)2(

2013

2)1(

YX

YX

Llamamos A=

− 2013

y B=

− 42

01

(1)-2(2)! -3Y=A-2B ! Y=-1/3(A-2B)=

−

−10411

31

X=B-2Y=

− 8225

31

3. Producto de Matrices El producto de matrices es una operación más compleja que las anteriores. Para poder multiplicar dos matrices es necesario que el nº de columnas de la primera matriz del producto sea igual al nº de filas de la segunda matriz. Veamos la definición del producto de matrices:

Definición: El producto de la matriz A=(aij)∈Mmxn y B=(bij)∈Mnxp es otra matriz C=A·B∈Mmxp, con igual nº de filas que A y de columnas que B, tal que el elemento de la matriz C que ocupa la fila i y columna j, cij se obtiene multiplicando la fila i-esima de la primera matriz con la columna j-ésima de la segunda.

Resulta más sencillo comprender el producto de matrices a partir de varios ejemplos:

−

−

−

=

−++

−++

−++

=

−

222

)1(90·81·7)1·(60·51·4)1·(30·21·1

101

·987654321

3x3 3x1 3x1

Unidad 8. Matrices


−

−=

−+++−+

−+++−+=

−

−

141788

)4·(62·50·43·6)1·(51·4)4·(32·20·13·3)1(21·1

432101

·654321

2x3 3x2 2x2

654321

·987654321

No se puede multiplicar, pues la primera matriz tiene 3 columnas y la segunda 2 filas.

Nota: Veamos la utilidad de sacar factor común en el producto de matrices con un ejemplo:

−

=

−++

−++=

−

15001500

15000)90·(50100·3050·300·100

)90·(030·500·300·509030

300·

50100050

Más simple!

−

=

−++

−++=

−

11

101500

)3(12·11·12·0)3·(01·11·00·1

150031

1030·

1201

50

Ejercicio7: ver todos los productos posibles con las siguientes matrices y calcularlos:

A=

−110111321

, B=

121

, C=

543012

A∈M3x3, B∈M3x1, C∈M2x3, solo posibles los siguientes productos:

A·B=

=

−+

++

++

=

− 148

120121341

121

·110

111321

3x3 3x1 3x1

C·A=

=

−+++++

++++++=

−

8157753

549546043016014012

110111321

·543012

2x3 3x3 2x3

C·B=

=

=

++

+++=

41

·4164

583022

121

·543012

2x3 3x1 2x1

Propiedades del producto de matrices

1. A·(B·C) = (A·B)·C

2. El producto de matrices en general no es conmutativo.

úû

ùêë

é-

=úû

ùêë

é-

´úû

ùêë

é -¹ú

û

ùêë

é--

=úû

ùêë

é -´úû

ùêë

é- 1618

49185043

8656

40301742

8656

5043

3. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A(In es la matriz identidad de orden n).

4. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otramatriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se diceque es la matriz inversa de A y se representa por A–1 .

5. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma dematrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C

Consecuencias de las propiedades

1. Si A·B= 0 no implica que A=0 ó B=0.

2. Si A·B=A·C no implica que B = C.

úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

é´úû

ùêë

é0000

0065

0050

úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

é´úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

é´úû

ùêë

é0000

4900

0007

0100

0007

3. En general (A+B)2 ¹ A2 + B2 +2AB,ya que A·B ¹ B·A.

4. En general (A+B)·(A–B) ¹ A2–B2, ya que A·B ¹ B·A.

Unidad 8. Matrices


−

−=

−+++−+

−+++−+=

−

−

141788

)4·(62·50·43·6)1·(51·4)4·(32·20·13·3)1(21·1

432101

·654321

2x3 3x2 2x2

654321

·987654321

No se puede multiplicar, pues la primera matriz tiene 3 columnas y la segunda 2 filas.

Nota: Veamos la utilidad de sacar factor común en el producto de matrices con un ejemplo:

−

=

−++

−++=

−

15001500

15000)90·(50100·3050·300·100

)90·(030·500·300·509030

300·

50100050

Más simple!

−

=

−++

−++=

−

11

101500

)3(12·11·12·0)3·(01·11·00·1

150031

1030·

1201

50

Ejercicio7: ver todos los productos posibles con las siguientes matrices y calcularlos:

A=

−110111321

, B=

121

, C=

543012

A∈M3x3, B∈M3x1, C∈M2x3, solo posibles los siguientes productos:

A·B=

=

−+

++

++

=

− 148

120121341

121

·110

111321

3x3 3x1 3x1

C·A=

=

−+++++

++++++=

−

8157753

549546043016014012

110111321

·543012

2x3 3x3 2x3

C·B=

=

=

++

+++=

41

·4164

583022

121

·543012

2x3 3x1 2x1

Unidad 8. Matrices

167

Ejercicio 8: multiplicar A·B y B·A, ¿Qué ocurre?

A=

987654321

B=

−

321002101

A·B= ·987654321

−

321002101

=

201832141220868

B·A=

−

321002101

987654321

· =

−−−

423630642666

Nota: en las matrices cuadradas, no siempre cumplen que A·B≠B·A, es decir no se cumple la propiedad conmutativa del producto de matrices. Existen algún tipo de matrices que si conmutan, A·B=B·A, si esto ocurre se dice que A y B conmutan

Ejercicio 9: Calcular A2-B2, (A+B)2 y (A-B)2 siendo A y B las siguientes matrices:

A=

−112110021

, B=

−

120011210

a) A2=

=

−

− 240022241

112110021

·112

110021

nótese que no coincide con elevar al

cuadrado cada término de A

B2=

−

−−

−

=

−

−

142201

251

120011210

·120011210

A2-B2=

240022241

-

−

−−

−

142201

251=

−

102223012

b) (A+B)2=(A+B)·(A+B)=

−

−=

−

−

71210415152

032121231

·032121231

c) (A-B)2=(A-B)·(A-B)=

−−

−

−

=

−−

−

−−

−

143403

332

212101211

·212

101211

Matrices invertibles. Una matriz cuadrada que posee inversa se diceque es invertible.

Propiedades de las matrices invertibles.

1.La matriz inversa, si existe, es única.

2.A-1A=A·A-1=I

3.(A·B) -1=B-1A-1

4.(A-1) -1=A

5.(kA) -1=(1/k·A-1)

6.(At) –1=(A-1) t

Observación. Existen matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A¹I, en tal caso, se dice que A es la inversa de B “por la izquierda” oque B es la inversa de A “por la derecha”.

Unidad 8. Matrices


Ejercicio 20. Descomponer toda matriz cuadrada como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica

Sea B∈Mnxn la matriz cuadrada, veamos las siguientes matrices:

S=2

tBB +! demostremos que es simétrica St=

22BBBB ttt +

=

+ =S

A=2

tBB −! demostremos que es antismétrica At= ABBBBBB tttt

−=−

−=−

=

−

222

Tendremos que comprobar que la suma de A y S suman B:

A+S=2

tBB − +2

tBB + =B

5. Matriz inversa

5.1 Definición

Definición: la matriz inversa de una matriz cuadrada A∈Mnxn(R) es otra matriz cuadrada de misma dimensión que se denota como A-1

∈Mnxn(R) tal que se cumple:

A·A-1=A-1·A= Id con Id∈Mnxn(R)

No todas las matrices cuadradas tienen inversa, así las matrices que tiene inversa se llaman matrices regulares y las que no tienen inversa se denominan matrices singulares.

5.2 Cálculo de la inversa

El método más sencillo para el cálculo de la inversa lo veremos en el tema siguiente, cuando definamos el determinante de las matrices.

Para matrices 2x2 podemos calcular la inversa a partir de la definición:

Ejemplo:

=

++

++

=

=

=

=

−

−

1001

73732222

1001

·7322

·

7322

1

1

tyzxtyzx

tzyx

AA

tzyx

AA

Tenemos 4 ecuaciones con 4 incógnitas, que podemos agruparlas en dos sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas:

(1) 2x+2z=1 (2) 2y+2t=0 (3) 3x+7z=0 (4) 3y+7t=1

Unidad 8. Matrices

175

Los sistemas son:

(1) 2x+2z=1

(3) 3x+7z=0

(2) 2y+2t=0

(4) 3y+7t=1

Las soluciones son x=7/8, y=-1/4, z=-3/8 y t=1/4, con lo que

−

−=−

23

27

8

11A

Comprobación: A·A-1

= Id=

=

10

01

80

08

8

1

Ejercicio 21. Calcular la inversa de las siguientes matrices

a)

=

02

10A

=−

tzyx

A 1 !

02

10·

tzyx

=

=

10

01

22 yxtz

(1) z=1

(2) t=0

(3) 2x=0

(4) 2y=1

Solución x=t=0 y=1/2 z=1 !

=

=−

02

10

2

1

01

2

101A


= Id=

=

10

01

20

02

2

1

b)

=

43

21A

=−

tzyx

A 1 !

43

21·

tzyx

=

=

++

++

10

01

4343

22

tyzxtyzx

(1) x+2z=1

(2) y+2t=0

(3) 3x+4z=0

(4) 3y+4t=1

(1) x+2z=1

x=-2, z=3/2

(3) 3x+4z=0

(2) y+2t=0

y=1, t=-1/2

(4) 3y+4t=1

−

−=

−

−=−

13

24

2

1

2/12/3

121A

Ejercicio

úû

ùêë

é-

=104122

A úû

ùêë

é=-

dcba

A 1úû

ùêë

é=

1001

2I

a2

Unidad 8. Matrices

175

Los sistemas son:

(1) 2x+2z=1

(3) 3x+7z=0

(2) 2y+2t=0

(4) 3y+7t=1


−

−=−

23

27

8

11A


= Id=

=

10

01

80

08

8

1


a)

=

02

10A

=−

tzyx

A 1 !

02

10·

tzyx

=

=

10

01

22 yxtz

(1) z=1

(2) t=0

(3) 2x=0

(4) 2y=1


=

=−

02

10

2

1

01

2

101A


= Id=

=

10

01

20

02

2

1

b)

=

43

21A

=−

tzyx

A 1 !

43

21·

tzyx

=

=

++

++

10

01

4343

22

tyzxtyzx

(1) x+2z=1

(2) y+2t=0

(3) 3x+4z=0

(4) 3y+4t=1

(1) x+2z=1

x=-2, z=3/2

(3) 3x+4z=0

(2) y+2t=0

y=1, t=-1/2

(4) 3y+4t=1

−

−=

−

−=−

13

24

2

1

2/12/3

121A

Unidad 8. Matrices

175

Los sistemas son:

(1) 2x+2z=1

(3) 3x+7z=0

(2) 2y+2t=0

(4) 3y+7t=1


−

−=−

23

27

8

11A


= Id=

=

10

01

80

08

8

1


a)

=

02

10A

=−

tzyx

A 1 !

02

10·

tzyx

=

=

10

01

22 yxtz

(1) z=1

(2) t=0

(3) 2x=0

(4) 2y=1


=

=−

02

10

2

1

01

2

101A


= Id=

=

10

01

20

02

2

1

b)

=

43

21A

=−

tzyx

A 1 !

43

21·

tzyx

=

=

++

++

10

01

4343

22

tyzxtyzx

(1) x+2z=1

(2) y+2t=0

(3) 3x+4z=0

(4) 3y+4t=1

(1) x+2z=1

x=-2, z=3/2

(3) 3x+4z=0

(2) y+2t=0

y=1, t=-1/2

(4) 3y+4t=1

−

−=

−

−=−

13

24

2

1

2/12/3

121A

Unidad 8. Matrices


c)

=

84

21A

=−

tzyx

A 1 !

84

21·

tzyx

=

=

++

++

10

01

8484

22

tyzxtyzx

(1) x+2z=1

(2) y+2t=0

(3) 4x+8z=0

(4) 4y+8t=1

(1) x+2z=1 no solución

(3) 4x+8z=0

(2) y+2t=0 no solución

(4) 4y+8t=1

Luego la matriz A no tiene inversa, por lo que es una matriz singular .

6. Resolución de ecuaciones matriciales

6.1 Definición

Definición: son ecuaciones algebraicas donde los coeficientes y las incógnitas son matrices.

Ejemplos

(PAU JUN 2004 PRUEBA A, C-4) !!!! X·B+B=B-1 siendo B=

−

−

21

12

31

(PAU SEP 2004 PRUEBA B, C-1)!!!! P-1·B·P=A siendo

−

−

=

−

−=

200

010

001

,

110

101

111

AP

6.2 Resolución de ecuaciones.

Tenemos que obtener la matriz incógnita, que generalmente se denota como X, despejándola de la igualdad. Para conseguirlo tenemos las siguientes reglas:

1) Si una matriz está sumando a un lado de la igualdad pasa restando al otro lado de la igualdad y al revés.

X+B=C ! X=C-B

X-B=C ! X=C+B

Unidad 8. Matrices

175

Los sistemas son:

(1) 2x+2z=1

(3) 3x+7z=0

(2) 2y+2t=0

(4) 3y+7t=1


−

−=−

23

27

8

11A


= Id=

=

10

01

80

08

8

1


a)

=

02

10A

=−

tzyx

A 1 !

02

10·

tzyx

=

=

10

01

22 yxtz

(1) z=1

(2) t=0

(3) 2x=0

(4) 2y=1


=

=−

02

10

2

1

01

2

101A


= Id=

=

10

01

20

02

2

1

b)

=

43

21A

=−

tzyx

A 1 !

43

21·

tzyx

=

=

++

++

10

01

4343

22

tyzxtyzx

(1) x+2z=1

(2) y+2t=0

(3) 3x+4z=0

(4) 3y+4t=1

(1) x+2z=1

x=-2, z=3/2

(3) 3x+4z=0

(2) y+2t=0

y=1, t=-1/2

(4) 3y+4t=1

−

−=

−

−=−

13

24

2

1

2/12/3

121A

Unidad 8. Matrices

175

Los sistemas son:

(1) 2x+2z=1

(3) 3x+7z=0

(2) 2y+2t=0

(4) 3y+7t=1


−

−=−

23

27

8

11A


= Id=

=

10

01

80

08

8

1


a)

=

02

10A

=−

tzyx

A 1 !

02

10·

tzyx

=

=

10

01

22 yxtz

(1) z=1

(2) t=0

(3) 2x=0

(4) 2y=1


=

=−

02

10

2

1

01

2

101A


= Id=

=

10

01

20

02

2

1

b)

=

43

21A

=−

tzyx

A 1 !

43

21·

tzyx

=

=

++

++

10

01

4343

22

tyzxtyzx

(1) x+2z=1

(2) y+2t=0

(3) 3x+4z=0

(4) 3y+4t=1

(1) x+2z=1

x=-2, z=3/2

(3) 3x+4z=0

(2) y+2t=0

y=1, t=-1/2

(4) 3y+4t=1

−

−=

−

−=−

13

24

2

1

2/12/3

121A

Unidad 8. Matrices


c)

=

84

21A

=−

tzyx

A 1 !

84

21·

tzyx

=

=

++

++

10

01

8484

22

tyzxtyzx

(1) x+2z=1

(2) y+2t=0

(3) 4x+8z=0

(4) 4y+8t=1


(3) 4x+8z=0


(4) 4y+8t=1



6.1 Definición


Ejemplos


−

−

21

12

31


−

−

=

−

−=

200

010

001

,

110

101

111

AP




X+B=C ! X=C-B

X-B=C ! X=C+B

No es invertible

Unidad 8. Matrices


c)

=

84

21A

=−

tzyx

A 1 !

84

21·

tzyx

=

=

++

++

10

01

8484

22

tyzxtyzx

(1) x+2z=1

(2) y+2t=0

(3) 4x+8z=0

(4) 4y+8t=1


(3) 4x+8z=0


(4) 4y+8t=1



6.1 Definición


Ejemplos


−

−

21

12

31


−

−

=

−

−=

200

010

001

,

110

101

111

AP




X+B=C ! X=C-B

X-B=C ! X=C+B

Unidad 8. Matrices


c)

=

84

21A

=−

tzyx

A 1 !

84

21·

tzyx

=

=

++

++

10

01

8484

22

tyzxtyzx

(1) x+2z=1

(2) y+2t=0

(3) 4x+8z=0

(4) 4y+8t=1


(3) 4x+8z=0


(4) 4y+8t=1



6.1 Definición


Ejemplos


−

−

21

12

31


−

−

=

−

−=

200

010

001

,

110

101

111

AP




X+B=C ! X=C-B

X-B=C ! X=C+B Unidad 8. Matrices

177

2) Si multiplicamos una matriz por la izquierda a un lado de la igualdad también lo tenemos que hacer en el otro lado de la igualdad por la izquierda. Igual por la derecha.

A·X=B ! A-1·A·X=A-1·B !Id· X=A-1·B ! X=A-1·B

X·A=B ! X·A·A-1=B·A-1 ! X·Id=B·A-1! X=B·A-1

Ejemplo: veamos la resolución de los dos anteriores ejemplos:

(PAU JUN 2004 PRUEBA B, C-4)

X·B+B=B-1⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯ miembrootroBpasamos X·B=B-1-B ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

− derechalaaBpormosmultiplica 1

X·B·B-1=(B-1-B)·B-1

X·Id=(B-1-B)·B-1 ! X=B-1· B-1-B· B-1= B-1· B-1-Id

Calculando B-1 tenemos que B-1=

2112

con lo que X=

2112

·

2112

-

1001

=

= −

5445

1001

= 44444

=

1111

(PAU SEP 2004 PRUEBA B, C-1)

P-1·B·P=A ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯ izquierdalaporPpormosmultiplica P·P-1·B·P=P·A ! Id·B·P=A·P !B·P=P·A ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

− derechalaporPpormosmultiplica 1

B·P·P-1=P·A·P-1 !B=P·A·P-1

Calculando

−

−

=−

111211

121

311P tenemos que la matriz B buscada es:

B=

−

−

−

−

−

−

111211

121

31·

200010001

·110101111

=

=

011101110

033303330

31

Ejercicio 22: Las matrices A tal que A2=A se llaman idelpotentes, calcular las matrices idelpotentes de orden 2

=

++

++=

=

=

cbba

bcbcabbcbaba

cbba

cbba

Acbba

A 22

222 ·

=+

=+

=+

=+

cbcbbcbabbcbaaba

22

22

)4()3()2()1(

! (2) y (3) son iguales b=b(a+c) ! caso 1: a=1-c ; caso 2 b=0

Resumen de propiedades.

PROPIEDADES DE MATRICES Y DETERMINANTES

DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM Asignatura: Álgebra Lineal Profra. Dra. Norma Patricia López Acosta

(a) Suma de matrices y multiplicación de un escalar por una matriz:

1. A B B A+ = + 2. ( ) ( )A B C A B C+ + = + +

3. ( )A B A Bα α α+ = +

4. ( ) A A Aα β α β+ = +

5. ( ) ( )A Aα β αβ= 6. 0A A+ = 7. ( ) 0A A+ − =

(b) Multiplicación de matrices:

1. ( )A B C AB AC+ = +

2. ( )A B C AC BC+ = +

3. ( ) ( )A BC AB C=

4. ( ) ( ) ( )AB A B A Bα α α= =

5. 0 0 0n n nA A= = 6. n nBI I B B= = 7. En general, AB BA≠ (la multiplicación no es conmutativa) 8. 0AB = no implica necesariamente que 0A = ó 0B = 9. AB AC= no implica necesariamente que B C=

(c) Propiedades de la traza:

1. ( ) ( ) ( )tr A B tr A tr B+ = +

2. ( ) ( )tr AB tr BA=

3. ( ) ( )tr A tr Aα α= ⋅

4. ( ) ( )Ttr A tr A=

(d) Propiedades de matrices diagonales:

Si A y B son matrices diagonales:

1. ( )11 11 22 22, ,..., nn nnA B diag a b a b a b+ = + + +

2. ( )11 11 22 22, ,..., nn nnAB diag a b a b a b=

3. ( )11 22, ,..., nnA diag a a aα α α α=

(e) Propiedades de la inversa:

1. 1A− es única

2. ( ) 11A A−− =

3. ( ) 1 1 1AB B A− − −=

4. ( ) 1 110A Aα α

α− −= ∀ ≠

5. ( ) ( )1 1 nnA A− −=

6. ( ) ( )1 1 TTA A− −=

7. ( ) ( )1 1

detA Adj A

A− = donde Adj A es la adjunta de A

(f) Propiedades de la transpuesta:

1. ( )TTA A=

2. ( )T T TA B A B+ = +

3. ( )T T TAB B A=

4. ( )T TA Aα α=

Donde “0” es la matriz nula




1. A B B A+ = + 2. ( ) ( )A B C A B C+ + = + +

3. ( )A B A Bα α α+ = +

4. ( ) A A Aα β α β+ = +

5. ( ) ( )A Aα β αβ= 6. 0A A+ = 7. ( ) 0A A+ − =


1. ( )A B C AB AC+ = +

2. ( )A B C AC BC+ = +

3. ( ) ( )A BC AB C=

4. ( ) ( ) ( )AB A B A Bα α α= =



1. ( ) ( ) ( )tr A B tr A tr B+ = +

2. ( ) ( )tr AB tr BA=

3. ( ) ( )tr A tr Aα α= ⋅

4. ( ) ( )Ttr A tr A=





3. ( )11 22, ,..., nnA diag a a aα α α α=


1. 1A− es única

2. ( ) 11A A−− =

3. ( ) 1 1 1AB B A− − −=

4. ( ) 1 110A Aα α

α− −= ∀ ≠

5. ( ) ( )1 1 nnA A− −=

6. ( ) ( )1 1 TTA A− −=

7. ( ) ( )1 1

detA Adj A



1. ( )TTA A=

2. ( )T T TA B A B+ = +

3. ( )T T TAB B A=

4. ( )T TA Aα α=





1. A B B A+ = + 2. ( ) ( )A B C A B C+ + = + +

3. ( )A B A Bα α α+ = +

4. ( ) A A Aα β α β+ = +

5. ( ) ( )A Aα β αβ= 6. 0A A+ = 7. ( ) 0A A+ − =


1. ( )A B C AB AC+ = +

2. ( )A B C AC BC+ = +

3. ( ) ( )A BC AB C=

4. ( ) ( ) ( )AB A B A Bα α α= =



1. ( ) ( ) ( )tr A B tr A tr B+ = +

2. ( ) ( )tr AB tr BA=

3. ( ) ( )tr A tr Aα α= ⋅

4. ( ) ( )Ttr A tr A=





3. ( )11 22, ,..., nnA diag a a aα α α α=


1. 1A− es única

2. ( ) 11A A−− =

3. ( ) 1 1 1AB B A− − −=

4. ( ) 1 110A Aα α

α− −= ∀ ≠

5. ( ) ( )1 1 nnA A− −=

6. ( ) ( )1 1 TTA A− −=

7. ( ) ( )1 1

detA Adj A



1. ( )TTA A=

2. ( )T T TA B A B+ = +

3. ( )T T TAB B A=

4. ( )T TA Aα α=





1. A B B A+ = + 2. ( ) ( )A B C A B C+ + = + +

3. ( )A B A Bα α α+ = +

4. ( ) A A Aα β α β+ = +

5. ( ) ( )A Aα β αβ= 6. 0A A+ = 7. ( ) 0A A+ − =


1. ( )A B C AB AC+ = +

2. ( )A B C AC BC+ = +

3. ( ) ( )A BC AB C=

4. ( ) ( ) ( )AB A B A Bα α α= =



1. ( ) ( ) ( )tr A B tr A tr B+ = +

2. ( ) ( )tr AB tr BA=

3. ( ) ( )tr A tr Aα α= ⋅

4. ( ) ( )Ttr A tr A=





3. ( )11 22, ,..., nnA diag a a aα α α α=


1. 1A− es única

2. ( ) 11A A−− =

3. ( ) 1 1 1AB B A− − −=

4. ( ) 1 110A Aα α

α− −= ∀ ≠

5. ( ) ( )1 1 nnA A− −=

6. ( ) ( )1 1 TTA A− −=

7. ( ) ( )1 1

detA Adj A



1. ( )TTA A=

2. ( )T T TA B A B+ = +

3. ( )T T TAB B A=

4. ( )T TA Aα α=


Matrices. · 2016-09-21 · como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones...

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