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PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA

Ahora la función objetivo f(x) debe ser cuadrática; esta incluye variables cuadráticas o el producto de 2 variables.

La pendiente.

m= Y 2−Y 1X 2−X1

m=tan∝= y1

La distancia.

d2=(x2−x1)2+( y2− y 1)2

distancia de un punto a la recta

d=|ax+by+c√a2+b2

CIRCUNFERENCIA, HIPÉRBOLE, ELIPSE Y PARÁBOLA

CircunferenciaEsta se reconoce porque tiene dos variables elevadas al cuadrado con un mismo

coeficiente; se representa por: (X ¿¿1−h)¿2+ (X2−k )¿2¿

EJEMPLO 1:

X2+3 X+Y 2−5Y=3

(x2+3 x+ 94 )+( y2−5 y+ 25

4 )=3+ 94+25

4

(x+ 32 )

2

+( y−52 )

2

=232

Centro C=(−32;52 )

Radio R=( 23√22 )

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EJEMPLO 2:

2 X2+2Y 2=7

X2+Y 2=3.5C=(0 ;0)R=√3.5R=1.87

Ecuación de la elipse

A diferencia de la ecuación que representa una circunferencia, en la elipse los coeficientes de los cuadrados son diferentes.

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Las curvas que más se utilizan en I.O. son la circunferencia y la elipse.

Ecuación de la hipérbole

Cuando la ecuación tiene signo negativo representa una hipérbole.

Ecuación de la parábola

Se da cuando tengo una variable cuadrática y una lineal.

MINIMIZAR LA FUNCION

X1+X2−3≤0

8 X1++5 X2−10≥0

MINIMIZAR: -2 X1 -2 X2

1 X1 + 2 X2 ≤ 38 X1 + 5 X2 ≥ 101 X1 + 0 X2 ≥ 0X1, X2 ≥ 0

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X1+2 X2=3 8 X1+5 X2=10

8X1+5X2=10 X1+X2=3

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Y = mx + b

X1= 2 X2 = 2 X1+2X2 =3

C(2,2) 2X2 = -X1 +3

X 2=−

X1+3

2

X 2=−1

2X 1+

32

m=−1

2 m1xm2 =-1

−1

2xm2=−1

m2=

−1−12

m 2= 2

Ecuación de la recta

y− y1=m ( x−x ) 2x1 – x2 = 2 m1 xm2=−1

x2 – 2 = 2(x1 -2) x1 + 2x2 = 3(-2)−1

2m2=−1

x2 -2 = 2x1 – 4 2X1-X2 = 2

m2=−1−12

x2 – 2x1 = -4+2

2 x1−x2=2 ¿−2 x1− 4 x2=−6 ¿

¿−5 x2=4 ¿

x2=−45

¿¿¿

m2 = 2

2x1-x2 = 2 z=(3

5−2)

2

+( 45−2)

2

(X1−2 )2+(X2−2 )2

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2 x1+45=2

z= 3,4

2 x1=2−45

x1=652

x1=

35

MINIMIZAR LA FUNCIÓN

Z=−2 X1−X2+X12

MINIMIZAR: -2 X1 -1 X2

2 X1 + 3 X2 ≤ 62 X1 + 1 X2 ≤ 41 X1 + 0 X2 ≥ 0X1, X2 ≥ 0

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1.- 2 x1+3 x2≤6 2.- 2 x1+x2≤4

−2 x1−x2+x1

2=c

x2=x12−2 x1

dx 2dx1

=2x1−2

dx 2dx1

=2 ( x1−1 )=0

x1=1

Calculamos la pendiente

2 x1+3 x2=6

x2=−23x1+2

m2=−23

m1m2=−1

m1+23

=1

m1=32

X1 X2

0 23 0

X1 X2

0 42 0

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−23

=2 ( x1−1 )

−13

=x1−1

x1=23

x2=−23x1+2

x2=−23 (23 )+2

x2=−49

+2

x2=149

−2 x1−x2+x1

2=c

−2(23 )−149

+49

=c

−43

−149

+49

=c

La pendiente es igual a

m=tg αy2− y1

x2−x1 = primera derivada yꞌ

α opuestoα adyacente

MAXIMIZAR

z=( x−3 )2+( y−1 )2

sa2 x− y≤2x+3 y≤3y≤4( x−3 )2+( y−1 )2

X = 3 y =1

C(3,1)

1)2 x− y=2 2)x+3y =3 3) y =4

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La recta más cercana

C = ( 6, 8 )

X1+2X2 = 12

X1+2X2-12 = 0

x y0 13 0

x y 0 21 0

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Distanci

d=¿¿

d=¿ √ ¿

d=6+16−12√5

¿d=10

√5¿

(X1−h )2+(X 2−k )2 ¿ (X1−6 )2+(X2−8 )2=(10

√5 )2

¿¿¿ [ (12−2 X2 )−6 ]2+(X2−8 )2=20 ¿¿¿ [(12−2 X2)2−6 (12−2 X2) (2 )+62]+( X22−16X2+64) ¿¿¿144−48X2+4 X

22−144+24 X2+36+X

22−16X 2+64 ¿¿¿5 X

22−40X2+100 ¿¿¿X=

−b±√b2−4 ac2a

¿¿¿ X=40±√402−4 (5 ) (100)

2 (5 )¿¿¿ X=

40±√1600−200010

¿¿¿X=40±√40010

¿¿¿X=40±2010

¿¿¿X=6 ¿¿¿ X=2 ¿¿¿ X1+2 X2−12=0 ¿¿¿X1=12−2 X2 ¿¿¿X1=12−2 (4 ) ¿¿¿ X1=12−8 ¿¿¿2 X2=12−X 1 ¿¿¿X2=12−X1

2¿¿¿ X2=

12−42

¿¿¿ X2=4 ¿¿¿comprobación ¿¿¿ Z=20 ¿¿¿ Z=( 4−6 )2+( 4−8 )2 ¿¿¿Z=20 ¿¿¿¿+ ¿¿¿¿¿

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MINIMIZAR

Z=(X 1−6 )2+(X2−8 )2

Sa X1 =7

X2 =5

X1 +2X2 = 12 X1+X2 = 9

X1=6 X2 = 8

C(6,8)

X Y0 612 0

X Y0 99 0

X1≤7X 2≤5X1+2 X2≤12

X1+X2≤9X1≥0

Z=(X 1−6 )2+(X2−8 )2

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CALCULO DE LA PENDIENTE

3X+4Y-5=0

Y=34X+

54

m1=−34 Si las rectas son paralelas

m2=43

m 1-m2= -1

f(x) = X2 + 2X – 3

vértice de la parábola

V X=− b2a

V x=−22 (1 ) V(h,k)

V= -1

PUNTO DE CORTE CON EL EJE Y

X = 0

F ( X )=X2+2 X−3F (0 )=(0 )2+2 (0 )−3F (0 )=−3

P = (0,3)

Sustituyendo el valor de h en la función para obtener el vértice

F(x) = -12 + 2(-1) – 3

F(x) = 1-2-3

F(x) = -4

PUNTO DE CORTE POR X

F(x) ó y = 0 igualamos la función a cero

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X2 +2X -3 = 0 (trinomio de la forma simple)

(X+3)(X-1) = 0

(x+3) = 0 (X-1) = 0

X1=-3 X2 = 1

PUNTOS DE CORTE

P1(-3,0) P2(1,0)

OTRA FORMA DE RESOLVER(DANDO VALORES A X)

X2 + 2X -3 = F(X)

(-4)2+2(-4) – 3 = 5

(-3)2+2(-3)-3 = 0

(-2)2+2(-2)-3 = -3

(-1)2+2(-1)-3 = -4

(2)2+2(2)-3 = 5

(3)2+2(3)-3 = 12

(4)2+2(4)-3 = 21

X Y-4 5-3 0-2 -3-1 -40 -31 02 59 124 21

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MINIMIZAR

Z = (X1-5) + (X2-10)

MINIMIZAR: -5 X1 -10 X2

1 X1 + 0 X2 ≤ 40 X1 + 1 X2 ≤ 61 X1 + 3 X2 ≤ 81 X1 + 1 X2 ≤ 10X1, X2 ≥ 0X1 = 4 X2 = 6 X1+3X2 = 8 X1 + X2 = 10

C(5,10)

12+2(1,2)+22

X Y 0 2,78 0

X Y0 1010 0

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X1+3X2 = 8

X1 8 -3X2

(X1−5 )2+(X2−10 )2=(27√10 )

2

(8−3 X2−5 )2+(X2−10 )2=(27√10 )

2

(3−3 X2 )2+(X 22−20 X2+100)=(27√10 )

2

9−18 X2+9 X22+X

22−20 X 2+100=

72910

10 X2

2−38 X2+109−72910

=0

100 X2

2−380 X2+1090−729=0

100 X22−380 X2+361=0

X 2=−b±√b2−4 ac

2a

X 2=380±√3802−4 (100 ) (361 )2 (100 )

X 2=380±√144400−144400200

X 2=380200 X1= 8-3X2 X1= 8-3(1,9)

X 2=1 . 9 X1= 8-5,7 X1= 2,3

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d=AX+BX+C

√A2+B2

d=1 (5 )+3 (10 )−8

√12+32 P1 ( 2,3; 1,9)

COMPROBACIÓN

Z=(X 1−5 )2+(X2−10 )2

Z=(2,3−5 )2+(1,9−10 )2

Z=7 ,29+65 ,6Z=72 ,9

ALGORITMO DE RAMIFICACIÓN Y ACOTAMIENTO

X≤[ [a ] ] parte entera

La parte entera es el número que no excede al número dado´. Cando maximizamos encontramos el menor valor y cuando minimizamos encontramos el mayor valor.

MAXIMIZAR

Z = 3X1 + 4X2 2X1+X2 = 6 2X1+3X2= 9

Sa

ALGORITMO DE RAMIFICACIÓN Y ACOTAMIENTO

Este método se aplica para obtener soluciones enteras.

x≤ ⟦a ⟧ x≥ ⟦a ⟧+1

X Y0 6 3 0

X Y0 34,5 0

d=27

√10

d=272

10d=72,9

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⟦−3,5 ⟧=−4

⟦−3,8 ⟧=−4

⟦−3,2 ⟧=−4

⟦2,5 ⟧=2

⟦2,8 ⟧=2

⟦2,1 ⟧=2

La parte entera es el número que no excede al número dado.

En esta técnica al maximizar encontramos el menor valor, y Al minimizar encontramos el mayor valor.

ALGORITMO DE BRANCH AND BOUND (RAMIFICACIÓN Y ACOTAMIENTO)

Es un algoritmo diseñado para la resolución de modelos de programación entera, sin embargo, es muy frecuente que la naturaleza del problema nos indique que las variables son enteras o binarias. Su operatoria consiste en resolver este como si fuese un modelo de programación lineal y luego generar cotas en caso que al menos una variable de decisión adopte un valor fraccionario. El algoritmo genera en forma recursiva cotas (o restricciones adicionales) que favorecen la obtención de valores enteros para las variables de decisión.

En este contexto resolver el modelo lineal asociado a un modelo de programación entera se conoce frecuentemente como resolver la relajación continua del modelo entero.

MAXIMIZAR: 3 X1 + 4 X2

2 X1 + 1 X2 ≤ 62 X1 + 3 X2 ≤ 91 X1 + 0 X2 ≥ 0X1, X2 ≥ 0

- 0 +- 0 +- 0 +- 0 +- 0 +- 0 +- 0 +- 0 +- 0 +- 0 +- 0 +- 0 +- 0 +- 0 +- 0 +- 0 +- 0 +- 0 +- 0 +

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2X1+X2 = 6

2X1+3X2 = 9

2 X1+X2=6 ¿−2 X1−3 X2=−9 ¿

−2 X2=−3

X2=−3−2

X2=32

2 X1+X2=6

2 X1+32

=6

2 X1=6−32

X1=922

X1=94

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Z=3(32 )+4(94 )

Z=92

+9

Z=272

Z=514

=12 ,75

X1=94

=2 ,25

X 2=32

=1 ,50

2 X1+X2≤62 X1+3 X2≤9X1≤2

X1 . X2≤0X1=2X 2≤2

X 2=53

2 X1+X2≤6

2 (3 )+X2≤6X 2=0

2X1+1 = 6

2X1 = 5

X1 = 5/2

2X1 + 3(1) = 9

2X1 = 9-3

Z = 12,75

X1 = 2,25

X2 = 1,50

X1 ≤ 2 X1 ≥ 3

X1= 2

X2=1,67

Z= 12,67

Z= 9

X1= 3

X2 = 0

Z = 10

X1 = 2

X2≥ 1

Z = 12,5

X1 = 1,50

X2 = 2

2 X1+3 X2≤9

2 (3 )+3 X2≤93 X2=3

X 2=33

X 2=1

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2X1 = 6

X1 = 6/2

X1 = 3

2 X1+3 X2=6

2 X1+3 (6 )=62 X1=6−18

2 X1=−12

X1=−122

X1=−6

EJERCICIO 1:

MAIMIZAR Z=3 X1+4 X2

2 X1+X2≤62 X1+3 X2≤9X i≥0 ;enteros

DESARROLLO

2 X1+X2≤6

X y0 63 0

2 X1+3 X2≤9

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x y0 39/2 0

C= (3, 3/2)

Resolver las ecuaciones por eliminación:

(-1) 2 X1+X2=6 2 X1+3 X2=9

- 2 X1−X2=−6 2 X1+3 X2=9

2 X2=3

X2=32X2=1,5 Z=3 X1+4 X2 Z=12,75

Solución óptima o problema relajado

SOLUCIÓN ENTERA Z=12; X1=0 X2=3

Z=12,75X1=2,25X2=3,2

Z=9X1=3X2=0

Z=12,8X1=2X2=1,7

Z=12,5X1=1,5X2=2

Z=10X1=2X2=1

InfactibleZ=12,2X1=1X2=2,3

Z=10X1=1X2=2

Z=12X1=0X2=3

X1≤2 X1≥3

X2≤1 X2≥2

X1≤1 X1≥2

X2≤2 X2≥3

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Cotas:

EJERCICIO 2

MINIMIZAR Z=−5 X1−8 X2

X1+X2≤6

5 X1+9 X2≤45

X i≥0 ;enteros

2 X1+X2≤6 X1≤2,52 X1+3 X2≤9 X1≤3

X1≤2

X2≤1

X2=1

X1=2

2 X1+X2≤6 X1≤22 X1+3 X2≤9 X1≤1,5

X1≤2

X2≥2

X2=2

X1=1,5

2 X1+X2≤6 X2≤42 X1+3 X2≤9 X2≤2,3

X1≤2

X2≥2

X1≤1

X1=1

X2=2,3

2 X1+X2≤6 X2≤22 X1+3 X2≤9 X2≤1,7

X1≤2X1=2X2=1,7

2 X1+X2≤6 X2≤0X2=02 X1+3 X2≤9 X2≤1

X1≥3

X1=3

INFACTIBLE

2 X1+X2≤6 X2≤22 X1+3 X2≤9 X2≤1,7

X1≤2

X2≥2

X1≥2

X1=2

X2=1

2 X1+X2≤6 X1≤22 X1+3 X2≤9 X1≤1,5

X1≤2

X2≥2

X1≤1

X2≤2

X2=2

2 X1+X2≤6 X1≤1,52 X1+3 X2≤9 X1≤0

X1≤2

X2≥2

X1≤1

X2≤3

X2=3

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X1+X2≤6

X1=6

X2=6

5 X1+9 X2≤45

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X Y0 59 0

−5 X1−5 X2≤−30

5 X1+9 X2≤45

4 X2≤15

X2≤3,75

X1+3,75≤6

X1≤2,25

Z=−41,25

SOLUCIÓN Z=−40 X1=0 X2=5

Z=−39X1=3X2=3

Z=−41X1=1,8X2=4

Z=41,25X1=2,25X2=3,75

Z=−40,2X1=1X2=4,4

No factible

Z=−37X1=1X2=4

Z=−40X1=0X2=5

X1+X2≤6 X1≤35 X1+9 X2≤45X1≤3,6

X2≤3X1≤3

X1+X2≤6 X1≤25 X1+9 X2≤45X1≤1,8

X2≥4X1≥1,8

X1≥2

X2≤3 X2≥4

X1≤1

X2≤4 X2≥5

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X1+X2≤6 X2≤55 X1+9 X2≤45X2≤4,4

X2≥4X1≤1X1=1X2≤4,4

X1+X2≤6 X2≤45 X1+9 X2≤45X2≤3,89

X2≥4X1≥2X1=1X2=4

No Factible

X1+X2≤6 X2≤25 X1+9 X2≤45X2≤1,8

X1≤1X2≤4X2=4X1≤1

X1+X2≤6 X2≤15 X1+9 X2≤45X2≤0

X1≤1X2≥5X2=5X1=0