Trompos simétricos y

asimétricos

Integrantes:

Castro Posadas Ángel Alberto

González Becerra Nayeli Itzel

Lavias Hernández Pedro

Rodríguez Guzmán Alejandro

Rotor rígido

El rotor rígido es un sistema formado por dos cuerpos m1

y m2 unidos por una barra sin masa, de la largo R, ygirando en cualquier dirección pero con el centro demasa fijo.

La ecuación de Schrödinger es:

Si usamos coordenadas esféricas

Separación de variables

• Soluciones

b) Es de la misma forma que para una partícula libre

a) Mas complicada, sustituyendo

La energía se cuantiza

Soluciones de Θ(θ) funciones asociadas de Legendre. Las funciones

de onda completas para el rotor rígido se llaman armónicos esféricos

Cuantización del momento angular

Para el rotor rígido

Los autovalores del operador L² son 1(1+1)ћ²

Igualmente podemos aplicar el operador componente z del momento angular.

Para el rotor rígido los autovalores del operador Lz son mћ

La orientación de L con respecto

a los ejes x, y está

indeterminada, puede ser

cualquiera de las orientaciones

definidas por los conos de

rotación alrededor del eje z.

Esto es debido a que las

funciones de onda del rotor

rígido no son funciones propias

de los operadores .

¿Qué es un trompo?

Es un objeto que esta girando en torno a sí mismo con

respecto a su eje de simetría

Los sólidos rígidos se pueden clasificar de acuerdo a los

valores principales de inercia como:

• Lineales: uno de los principales momentos de inercia 0.

Ia = 0, Ib = Ic ≠ 0. Ejemplo: HCN

• Trompos esféricos: Ia = Ib = Ic. Ejemplo: CH4, SF6

• Trompos simétricos alargados: Ia < Ib = Ic. Ejemplo: CH3Br

• Trompos simétricos achatados: Ia = Ib < Ic. Ejemplo: C6H6

• Trompos asimétricos: Ia < Ib < Ic. Ejemplo: H2O

En el sistema de ejes principales de inercia de tiene que:

Para cualquier trompo se deben cumplir las siguientes

ecuaciones de autovalores.

Donde las dos ultimas ecuaciones resultan de la teoría

general de momento angular.

De izquierda a derecha y de arriba a abajo: CH4 (trompoesférico). HCN (trompo simétrico alargado). C6H6 (trompo

simétrico achatado) y H2O (trompo asimétrico).

El trompo esférico

Los operadores conmutan entre si, y forman un conjunto

completo de operadores compatibles.

La energía de rotación será:

donde B es la única constante rotacional. Vemos que K y M no

afectan a la energía, de modo que un nivel J tendrá una

degeneración gJ = (2J + 1)2.

El resultado se parece a la rotación de las diatómicas, excepto en

la degeneración. Generalmente, las moléculas son trompo

esféricas porque presentan dos o mas ejes de simetría.

El trompo simétrico achatado

En este caso Ia = Ib < Ic o, equivalentemente, A = B > C. El hamiltoniano

es:

Los operadores conmutan entre si, y forman un conjunto completo de

operadores compatibles.

La energía de rotación será:

El trompo simétrico alargado

Ia < Ib = Ic o A > B = C. El operador de Hamilton es:

Las moléculas lineales son un caso limite del trompo simétrico

alargado cuando Ia → 0 (A →∞ ) y, por tanto, K = 0

permanentemente.

El espectro rotacional de absorción de los trompos simétricos esta

formado por transiciones que cumplen:

El trompo asimétrico

Para Ia ≠ Ib ≠ Ic (trompo asimétrico) el calculo de los niveles de energía

es imposible en forma general.

Para calcularlos hay que resolver la ecuación de Schrödinger en

forma matricial.

Un trompo asimétrico (A > B > C) puede considerarse como

intermedio entre un trompo simétrico alargado (A > B = C) y achatado

(A = B > C), pudiendo construirse un diagrama de correlación para

sus niveles de energía.

Gracias por su atención

Bibliografía

• P. Atkins. Physical Chemistry, 6th edition, W. H. Freeman and Co., 1999.

• Lowe P. Quantum chemistry, 3th editión.

• Landau y Lifshiztz, Teoria cuantica (no-relativista), 2ª edición.