ECUACIONES DIFERENCIALES

TRABAJO COLABORATIVO FASE 3

TUTORRODOLFO LÓPEZ GARIBELLO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNADESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

100412_ECUACIONES DIFERENCIALESMAYO DE 2015

INTRODUCCIÓN

Este trabajo se fundamenta en el reconocimiento de la unidad 3 del curso Ecuaciones Diferenciales que tiene que ver con el Estudio de Series y de Funciones Especiales, para lo cual fue necesario realizar una lectura sobre conceptos de gran importancia como son Generalidades del estudio de series, Solución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias y Funciones especiales y series matemáticas.

Para reforzar los conocimientos se desarrollan 5 ejercicios sobre ecuaciones diferenciales y solución por series de potencias, que muestran paso a paso el desarrollo de los mismos.

También se reconocen las características del problema planteado y se busca la solución más apropiada, según las ecuaciones diferenciales, por el método de series de potencias; de la misma manera, se plantea otra situación problema, que es desarrollado a través de los métodos vistos, realizando la caracterización de la ecuación diferencial, método de solución y solución de la situación.

1. Resolver el problema de valor inicial a través del método de series de Taylor:

dydx

=e−x2

, y (0 )=1

Solución: la solución tiene la forma de una serie así:

y ( x )=∑n=0

∞ y (n )(0)n!

xn Ecuación (1)

Donde y (n)(0) es la derivada de orden “n” evaluada en x0=0

Por los datos, y ( 0) (0 )= y (0 )=1=a0

y (1 ) (0 )=dydx

(0 )=e−02

=e0=1=a1, sustituyendo a X por cero en la definición de la serie

en (1)

y (x)= {d} over {dx} left ({dy} over {dx} right ) = {e} ^ {- {x} ^ {2}} (-2x)=-2x {e} ^ {- {x} ^ {2}, derivando una vez.

y (0)=2(0) {e} ^ {- {0} ^ {2}} =0= {a} rsub {2, sustituyendo a X por cero en la derivada.

y ' ' ' ( x )=−2 xe− x2

(−2 x )−2e−x2

=e− x2

(4 x2−2), derivando la tercera vez.

y ' ' ' (0 )=e0 (4 (0 )−2 )=−2=a3

y ( 4) ( x )=( 4 x2−2 )e−x2

(−2x )+(8 x ) e−x2

=e− x2

(−8 x3+12 x)

y ( 4) (0 )=0=a4

y (5 ) ( x )=(−8 x3+12 x )e−x4

(−2x )+(−24 x2+12 )e− x4

=e− x2

(16 x4−48 x2+12)

y (5 ) (0 )=e0 (12 )=12=a5

Derivandola sexta vez y sustituyendo ax por0 enla derivada :

y (6 ) (x )=(64 x3−96 x2 )e−x2

+(16 x4−48 x2+12 )e−x2

(−2 x )

¿e− x2

(−32x5+160 x3−120x )y (6 ) (0 )=0¿a6

Derivando una vez más:

y (7 ) (x )= (−160 x4+480 x2−120 )e− x2

+(−32x5+160 x3−120 )e−x2

(−2 x)

¿e− x2

(64 x6−480 x4+720 x2−120)

y (7 ) (0 )=−120

La serie es entonces:

y ( x )=a0+a1 x+a2 x2+a3 x

3+a4 x4+a5 x

5+…

y ( x )=1+x+ 02 !x2+−2

3 !x3+ 0

4 !x4+12

5!x5+ 0

6 !x6+−120

7 !x7…

R//ta: y ( x )=1+x− 23!x3+12

5!x5−120

7 !x7+… Ecuación (2)

Prueba: Derivando la expresión obtenida:

y´=1−2 (3 )3!

x2+5 ( 4 ) (3 )

5 !x4−

7 (6 ) (5 ) (4 )7 !

x6+…

y´=1−x2+ 12!x4− 1

3 !x6+… simplificando numeradores y denominadores.

y´=1−(x2)+ 12 !

¿¿tomando potencias de x2 .

∑n=0

∞

¿¿¿, que es la derivada que expresa la ecuación (1), lo que verifica que la

expresión (2) es la solución de la ecuación diferencial.

2. Revisar la convergencia de las siguientes series

∑n=1

∞enn!nn

Constancia de los dos planteamientos que se realizaron sin concluir

Planteamiento 1

Planteamiento 2

b .∑n=1

∞

[ n(n+1 ) (n+2 ) (n+3 ) ]

Con la mayor converge, la menor también según el criterio de comparación directa.

c .∑n=1

∞

[ 12n+1 ]

Solución: Se ve que

1

2n+1< 1

2n

Solución: Para decidir sobre la convergencia, se compara la serie con una serie convergente como:

∞

∑ 1

n2

n=1

Que se sabe que converge, según el criterio de las series “p”

∞

∑ 1

nP

n=1

donde p=2.

Que convergen si p > 1. Puede verse que n

(n+1 ) (n+2 ) (n+3 )< nn3

= 1

n2 porque (n+1)(n+2)

(n+3) > n3, y de dos fracciones con igual numerador, es menor la de mayor denominador, así:

∑n=1

∞

[ n(n+1 ) (n+2 ) (n+3 ) ]<

∞

∑ 1

n2

n=1

Según se razonó atrás en el ejercicio b). la segunda serie es una serie geométrica con

razón r= ½

∑n=1

∞1

2n=¿∑

n=1

∞

[ 12 ]

n

=12+ 1

4+ 1

8……[ 1

2 ]n

¿

De la que se sabe que converge cuando r<1. Así:

∑n=1

∞1

2n+1<∑n=1

∞12n

Con la mayor converge, la menor también.

d .∑n=1

∞

[ 1n! ]

Empleando el criterio del cociente:

lim ¿n→∞|an+1

an |=lim ¿n→∞| 1(n+1)!

÷1n !|=lim ¿n→∞| n !

(n+1 )n !|=lim ¿n→∞| 1(n+1 )|=¿

1(∞+1 )

=0

Entonces:

∑n=1

∞

[ 1n! ]→Converge.

3. Hallar la solución general de la siguiente ecuación como una serie de potencial alrededor del punto x=0

y '+2 yx=0 Solución: La solución alrededor de X0 = 0 es

Se considera como función solución:

y=∑n=0

∞

an xn (2 )→ y '=∑

n=1

∞

nan xn−1(3)

Llevando (2) y (3) a (1):

∑n=1

∞

nan xn−1+2 x∑

n=0

∞

an xn=0

Sustituyendo n por n +1 ,

∑n+1=1

∞

(n+1)an+1 xn+1−1+2∑

n=0

∞

an xn+1=0

Sustituyendo en la segunda suma a ”n” por “n-1”

∑n=0

∞

(n+1 )an+1 xn+¿2 ∑

n−1=0

∞

an−1 xn−1+1=0¿

∑n=0

∞

(n+1 )an+1 xn+¿2∑

n=1

∞

an−1 xn=0¿

Tomando el 1er término de la primera suma:

a1+∑n=1

∞

(n+1 )an+1 xn+¿2∑

n=1

∞

an−1 xn=0¿

a1+∑n=1

∞

[ (n+1 )an+1+2an−1 ] xn≡0

La identidad se cumple Si y Solo Si:

a1=0

(n+1 )an+1+2an−1=0→an+1=−2an−1

(n+1 )

Entonces tenemos que:

n=1 ,→a2=−2a0

2=−a0

n=2 ,→a3=−2a1

3=0 , porquea1=0

n=3 ,→a4=−2a2

4=−1

2(−a¿¿0)=1

2a0 ¿

n=4 ,→a5=−2a3

5=0

n=5 ,→a6=−2a4

6=−1

3(12a¿¿0)=−1

6a0 ¿

→=−13 !

a0

Puede verse que a2k+1 ,es decir, los coeficientes de subíndice impar son nulos, ya que a2k , con k= 0,1,2 …, siguen la secuencia del reciproco del factorial multiplicado por ao y alternan el signo:

y ( x )=a0+a , x+a2 x2+a3 x

3+…

y ( x )=a0+0+(−a0 )x2+0+ 12, a0 x

4+0−13, a0 x

6+0…

Que puede expresarse como:

y ( x )=a0−ao x2+ao2 ,

¿

y ( x )=¿

y ( x )=a0∑n=0

∞ (−1)n

n !¿

Prueba: Si y=a0 e−x2

, y ´=−2a0 e−x2

llevándolo a:

y ´=2 yx=0→−2a0e− x2

+2 (a0 e−x2

) x=0

4- ) Resolver por series la ecuación diferencial

y” – (x+1) +x2y=x, con y(0)=1 (1)

y’(0)=1

Solución. La solución tiene la forma y =∑n=0

∞

anxn(2)

Derivando y’=∑n=1

∞

nanxn−1 (3)

Y”=∑n=2

∞

n (n¬1 )an xn−2

(4)

Llevando (2), (3) y (4) a (1), esta queda:

∑n=2

∞

n (n−1 )anxn−2 - ∑

n=1

∞

nanxn−1-∑n=1

∞

nanxn−1+x2∑n=0

∞

anxn=x

En la primera suma se reemplaza a “n” por “n+2”, en la tercera a “n” por “n+1”, y se efectúan los productos en la segunda y cuarta:

∑n=o

∞

(n+2 ) (n+1 )an+2 xn-∑n=1

∞

nanxn-∑n=0

∞

(n+1 )an+1xn+∑

n=0

∞

anxn+2=x

En la última suma se reemplaza a “n” por “n-2” y se aíslan los primeros términos de todas a fin que empiecen en n=2:

2a2+6a3x – x -a1x -a1- 2a2x+∑n=2

∞

¿¿-∑n=2

∞

nanxn-

∑n=2

∞

anxn-∑n=2

∞

(n+1 )an+1xn + ∑

n=2

∞

an−2 xn=0

(2a2-a1) + (6a3 – 2a2 - a1 – 1) x +

∑n=2

∞

[ (n+2 ) (n+1 )an+2−nan−(n+1 )an+1+an−2 ] xn=0

Se cumple que

2a2-a1 = 0 (5)

6a3- 2a2-a1 – 1 = 0 (6)

(n+2) (n+1 )an+2−nan−(n+1 )an+1+an−2 = 0 (7)

De ahía2 = 12a1

6a3 = 2a2+a1 + 1 = a1+a1 +1

a3 = 16¿¿+1)

De (7), (n+2) (n+1 )an+2 = nan+(n+1 )an+1−an−2

an+2= nan+(n+1)an+1¿−a(n−2) ¿(n+1)(n+2)

Ahora, si n=2, a4 = 2a2+3a3−a0

3(4)= a1+

a1+1−¿

2−a0

3(4)¿

a4 = 4 a1−2a0+1

2(3)(4)

n=3, a5= 3a3+4 a4−a1

4 (5) = a

1+12+

4a1−2a0

2(3)−a1

4 (5)

= 4 a1−2a0+1+3

4 (5)(6)=

4 a1−2a0+4

2(3)(4)(5)

n=4, a6 = 4 a4+5a5−a2

(5)(6) =

=

13 (4 ) ( 4a1−2a0+1 )+5

14 (5 ) (6 ) (4 a1−2a0+4 )−1

2a1

5 (6)=

= 13¿¿ =

−14a0+

14

(5)(6)

a6 = a0+

14

4 (5)(6) =

1−a0

2(3)(4)(5)

N = 5, a7 = 5a5+6a6−a3

6 (7) =

54 a1−2a0+4 )

2(3)(4) (5 )+6

1−a0

2(3)(4 )(5 )−a1

3−2a0+

16

6 (7)

=

a1

2(3)−

a0

3 (4 )+ 1

4 (5 )−a0

4 (5 )−a1

3+ 1

66 (7)

=

−a1

6−

3a0

10+13

606 (7)

= 10a1+18a0+13

3(4)(5)(7)

y(x) = a0+a1x+12a1 x

2+

12(3)(2a1+1¿ x3+

4 a1−2a0+1

2(3)(4)x4+

4 a1−2a0+4

2(3)(4)(5)x5 +

1−a0

2(3)(4)(5)x6 +

13−10a1−18+4

2(3)(4)(5)(6)(7)x7+…

5. Solución en forma de serie de potencias en torno a un punto ordinario

(x2+1) y ' '+x y '− y=0; Sabemos que:

y=∞

∑ ∁n xn

n=o

y '=∞

∑∁ n. nn=1

xn−1

y ' '=∞

∑n(n−1)n=2

∁ n xn−2

Entonces se tiene que:

(x2+1) y ' '+x y '− y ¿ (x2+1 )∞

∑ n (n−1 )n=2

∁ n xn−2+ x

∞∑∁ n. nn=1

xn−1−∞

∑ ∁n xn

n=o

¿∞

∑ n (n−1 )n=2

∁ n xn+

∞

∑ n (n−1 )n=2

∁n xn−2+x

∞∑∁n . nn=1

xn−∞

∑ ∁n xn

n=o

∞

¿2c2 x0−c0 x

0+6c3 x+c1 x−c1 x+∑n=2

∞

n (n−1 )∁ n xn+∑

n=4

∞

n (n−1 )∁n xn−2+∑

n=2

∞

n∁n xn−∑

n=2

∞

∁n xn

¿

Al cambiar las potencias de x en métodos de k se tiene que:

¿2c2−c0+6c3 x+∑n=2

∞

[k (k−1 )ck+(k+2 ) ( k+1 ) ck+2+k ck−ck ] xk

¿2c2−c0+6c3 x+∑n=2

∞

[ (k+1 ) (k−1 )ck+(k+2 ) ( k+1 ) ck+2 ] xk=0

De la anterior ecuación se tiene que:

2c2−c0=0, 6c3=0, y (k+1 ) (k−1 ) ck+ (k+2 ) (k+1 ) ck+2=0,

Entonces,

c2=12c0, c3=0, ck +2=

1−kk+2

ck, Con k=2,3,4 ,….

Al sustituir k=2,3,4 ,…. En la última formula se tiene que:

c4=−14c2=

−12.4

c0=−1

22 2 !c0

c5=−25c3=0

c6=−36c4=

−32.4 .6

c0=−1.3

23 3!c0

c7=−47c5=0

c8=−58c6=

−3.52.4 .6 .8

c0=−1.3 .5

24 4 !c0

c9=−69c0=0

c8=−710

c8=−3.5 .7

2.4 .6 .8 .10c0=

−1.3 .5 .7

25 5 !c0

Al realizar el proceso de forma sucesiva se tiene que:

y=c0+c1 x+c2 x2+c3 x

3+c4 x4+c5 x

5+c6 x6+c7 x

7+c8 x8+c9 x

9+c10 x10+…

y=c0[1+ 12x2− 1

222 !x4+ 1.3

23 3 !c6 x

6−1.3 .5

24 4 !c8 x

8+ 1.3 .5 .7

25 5!x10+…]+c1 x

y=1+ 12x2+∑

n=2

∞

(−1)n−1 1.3 .5…(2n−3)2nn !

x2n

PROBLEMA PROPUESTO

La fuerza de la gravedad que actúa sobre una masa m que si está a una distancia se s del centro de la tierra es directamente proporcional a m e inversamente proporcional a s2. a) Hallar la velocidad alcanzada por la masa si estando en reposo a una distancia 5R del centro de la tierra se la deja caer sobre la superficie terrestre. b.

La fuerza de la gravedad a una distancia s del centro de la tierra es km / s2. Para

determinar k observamos que la fuerza es mg para s=R; osea ,mg=km

R2, de

donde k=gR2 .La ecuación de movimiento es la siguiente:

1) mdvdt

=m dsdtdwds

=mv dvds

=−mgR2

S2 dedonde v dv=−g R2 dsS2

Siendo negativo el signo ya que v aumenta cuando s disminuye

a) Integrando (1 )desde v=0 , s=5 Rhasta v=v , s=R

∫0

v

v dv=−g R2∫5 R

RdsS2

12v2=g R2( 1

R− 1

5R)=4

5gR

v2 85(32)(4000)(5280)

y v=2560√165piesseg

=780√165mseg

0

Aproximadamente ,6millasseg

=9,656kmseg

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Convergencia de Series N° 19: Varios Criterios de Convergencia, Publicado el 27/02/2013 por canalmatematico retomado el 12 de mayo de 2015 de https://www.youtube.com/watch?v=8MpH7ZkDF68

Criterios de Convergencia, Semana 1 - Clase 3 Tema 1: Series fecha de publicación 20/10/10, publicado por Héctor Hernández / Luis Núñez Universidad de Los Andes, Mérida, retomado el 12 de mayo de 2015 de http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/hector/prontuario/metodos2/S01_C03.pdf

Como saber fácilmente si una serie converge: Prueba de la Comparación, Publicado el 09/02/2014 por cristigo92 retomado el 12 de mayo de 2015 de https://www.youtube.com/watch?v=MckTIWj-zL8

MODULO ECUACIONES DIFERENCIALES, CARLOS IVAN BUCHELI Bogotá año 2007, retomado el 12 de Mayo de 2015 de https://drive.google.com/file/d/0B-SJNJpswVAQVkNJbjNGZF9TQ3M/view