Tercera Fase Trabajo Colaborativo Ecuaciones Diferenciales
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ECUACIONES DIFERENCIALES
TRABAJO COLABORATIVO FASE 3
TUTORRODOLFO LÓPEZ GARIBELLO
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNADESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100412_ECUACIONES DIFERENCIALESMAYO DE 2015
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INTRODUCCIÓN
Este trabajo se fundamenta en el reconocimiento de la unidad 3 del curso Ecuaciones Diferenciales que tiene que ver con el Estudio de Series y de Funciones Especiales, para lo cual fue necesario realizar una lectura sobre conceptos de gran importancia como son Generalidades del estudio de series, Solución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias y Funciones especiales y series matemáticas.
Para reforzar los conocimientos se desarrollan 5 ejercicios sobre ecuaciones diferenciales y solución por series de potencias, que muestran paso a paso el desarrollo de los mismos.
También se reconocen las características del problema planteado y se busca la solución más apropiada, según las ecuaciones diferenciales, por el método de series de potencias; de la misma manera, se plantea otra situación problema, que es desarrollado a través de los métodos vistos, realizando la caracterización de la ecuación diferencial, método de solución y solución de la situación.
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1. Resolver el problema de valor inicial a través del método de series de Taylor:
dydx
=e−x2
, y (0 )=1
Solución: la solución tiene la forma de una serie así:
y ( x )=∑n=0
∞ y (n )(0)n!
xn Ecuación (1)
Donde y (n)(0) es la derivada de orden “n” evaluada en x0=0
Por los datos, y ( 0) (0 )= y (0 )=1=a0
y (1 ) (0 )=dydx
(0 )=e−02
=e0=1=a1, sustituyendo a X por cero en la definición de la serie
en (1)
y (x)= {d} over {dx} left ({dy} over {dx} right ) = {e} ^ {- {x} ^ {2}} (-2x)=-2x {e} ^ {- {x} ^ {2}, derivando una vez.
y (0)=2(0) {e} ^ {- {0} ^ {2}} =0= {a} rsub {2, sustituyendo a X por cero en la derivada.
y ' ' ' ( x )=−2 xe− x2
(−2 x )−2e−x2
=e− x2
(4 x2−2), derivando la tercera vez.
y ' ' ' (0 )=e0 (4 (0 )−2 )=−2=a3
y ( 4) ( x )=( 4 x2−2 )e−x2
(−2x )+(8 x ) e−x2
=e− x2
(−8 x3+12 x)
y ( 4) (0 )=0=a4
y (5 ) ( x )=(−8 x3+12 x )e−x4
(−2x )+(−24 x2+12 )e− x4
=e− x2
(16 x4−48 x2+12)
y (5 ) (0 )=e0 (12 )=12=a5
Derivandola sexta vez y sustituyendo ax por0 enla derivada :
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y (6 ) (x )=(64 x3−96 x2 )e−x2
+(16 x4−48 x2+12 )e−x2
(−2 x )
¿e− x2
(−32x5+160 x3−120x )y (6 ) (0 )=0¿a6
Derivando una vez más:
y (7 ) (x )= (−160 x4+480 x2−120 )e− x2
+(−32x5+160 x3−120 )e−x2
(−2 x)
¿e− x2
(64 x6−480 x4+720 x2−120)
y (7 ) (0 )=−120
La serie es entonces:
y ( x )=a0+a1 x+a2 x2+a3 x
3+a4 x4+a5 x
5+…
y ( x )=1+x+ 02 !x2+−2
3 !x3+ 0
4 !x4+12
5!x5+ 0
6 !x6+−120
7 !x7…
R//ta: y ( x )=1+x− 23!x3+12
5!x5−120
7 !x7+… Ecuación (2)
Prueba: Derivando la expresión obtenida:
y´=1−2 (3 )3!
x2+5 ( 4 ) (3 )
5 !x4−
7 (6 ) (5 ) (4 )7 !
x6+…
y´=1−x2+ 12!x4− 1
3 !x6+… simplificando numeradores y denominadores.
y´=1−(x2)+ 12 !
¿¿tomando potencias de x2 .
∑n=0
∞
¿¿¿, que es la derivada que expresa la ecuación (1), lo que verifica que la
expresión (2) es la solución de la ecuación diferencial.
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2. Revisar la convergencia de las siguientes series
∑n=1
∞enn!nn
Constancia de los dos planteamientos que se realizaron sin concluir
Planteamiento 1
Planteamiento 2
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b .∑n=1
∞
[ n(n+1 ) (n+2 ) (n+3 ) ]
Con la mayor converge, la menor también según el criterio de comparación directa.
c .∑n=1
∞
[ 12n+1 ]
Solución: Se ve que
1
2n+1< 1
2n
Solución: Para decidir sobre la convergencia, se compara la serie con una serie convergente como:
∞
∑ 1
n2
n=1
Que se sabe que converge, según el criterio de las series “p”
∞
∑ 1
nP
n=1
donde p=2.
Que convergen si p > 1. Puede verse que n
(n+1 ) (n+2 ) (n+3 )< nn3
= 1
n2 porque (n+1)(n+2)
(n+3) > n3, y de dos fracciones con igual numerador, es menor la de mayor denominador, así:
∑n=1
∞
[ n(n+1 ) (n+2 ) (n+3 ) ]<
∞
∑ 1
n2
n=1
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Según se razonó atrás en el ejercicio b). la segunda serie es una serie geométrica con
razón r= ½
∑n=1
∞1
2n=¿∑
n=1
∞
[ 12 ]
n
=12+ 1
4+ 1
8……[ 1
2 ]n
¿
De la que se sabe que converge cuando r<1. Así:
∑n=1
∞1
2n+1<∑n=1
∞12n
Con la mayor converge, la menor también.
d .∑n=1
∞
[ 1n! ]
Empleando el criterio del cociente:
lim ¿n→∞|an+1
an |=lim ¿n→∞| 1(n+1)!
÷1n !|=lim ¿n→∞| n !
(n+1 )n !|=lim ¿n→∞| 1(n+1 )|=¿
1(∞+1 )
=0
Entonces:
∑n=1
∞
[ 1n! ]→Converge.
3. Hallar la solución general de la siguiente ecuación como una serie de potencial alrededor del punto x=0
y '+2 yx=0 Solución: La solución alrededor de X0 = 0 es
Se considera como función solución:
y=∑n=0
∞
an xn (2 )→ y '=∑
n=1
∞
nan xn−1(3)
Llevando (2) y (3) a (1):
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∑n=1
∞
nan xn−1+2 x∑
n=0
∞
an xn=0
Sustituyendo n por n +1 ,
∑n+1=1
∞
(n+1)an+1 xn+1−1+2∑
n=0
∞
an xn+1=0
Sustituyendo en la segunda suma a ”n” por “n-1”
∑n=0
∞
(n+1 )an+1 xn+¿2 ∑
n−1=0
∞
an−1 xn−1+1=0¿
∑n=0
∞
(n+1 )an+1 xn+¿2∑
n=1
∞
an−1 xn=0¿
Tomando el 1er término de la primera suma:
a1+∑n=1
∞
(n+1 )an+1 xn+¿2∑
n=1
∞
an−1 xn=0¿
a1+∑n=1
∞
[ (n+1 )an+1+2an−1 ] xn≡0
La identidad se cumple Si y Solo Si:
a1=0
(n+1 )an+1+2an−1=0→an+1=−2an−1
(n+1 )
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Entonces tenemos que:
n=1 ,→a2=−2a0
2=−a0
n=2 ,→a3=−2a1
3=0 , porquea1=0
n=3 ,→a4=−2a2
4=−1
2(−a¿¿0)=1
2a0 ¿
n=4 ,→a5=−2a3
5=0
n=5 ,→a6=−2a4
6=−1
3(12a¿¿0)=−1
6a0 ¿
→=−13 !
a0
Puede verse que a2k+1 ,es decir, los coeficientes de subíndice impar son nulos, ya que a2k , con k= 0,1,2 …, siguen la secuencia del reciproco del factorial multiplicado por ao y alternan el signo:
y ( x )=a0+a , x+a2 x2+a3 x
3+…
y ( x )=a0+0+(−a0 )x2+0+ 12, a0 x
4+0−13, a0 x
6+0…
Que puede expresarse como:
y ( x )=a0−ao x2+ao2 ,
¿
y ( x )=¿
y ( x )=a0∑n=0
∞ (−1)n
n !¿
Prueba: Si y=a0 e−x2
, y ´=−2a0 e−x2
llevándolo a:
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y ´=2 yx=0→−2a0e− x2
+2 (a0 e−x2
) x=0
4- ) Resolver por series la ecuación diferencial
y” – (x+1) +x2y=x, con y(0)=1 (1)
y’(0)=1
Solución. La solución tiene la forma y =∑n=0
∞
anxn(2)
Derivando y’=∑n=1
∞
nanxn−1 (3)
Y”=∑n=2
∞
n (n¬1 )an xn−2
(4)
Llevando (2), (3) y (4) a (1), esta queda:
∑n=2
∞
n (n−1 )anxn−2 - ∑
n=1
∞
nanxn−1-∑n=1
∞
nanxn−1+x2∑n=0
∞
anxn=x
En la primera suma se reemplaza a “n” por “n+2”, en la tercera a “n” por “n+1”, y se efectúan los productos en la segunda y cuarta:
∑n=o
∞
(n+2 ) (n+1 )an+2 xn-∑n=1
∞
nanxn-∑n=0
∞
(n+1 )an+1xn+∑
n=0
∞
anxn+2=x
En la última suma se reemplaza a “n” por “n-2” y se aíslan los primeros términos de todas a fin que empiecen en n=2:
2a2+6a3x – x -a1x -a1- 2a2x+∑n=2
∞
¿¿-∑n=2
∞
nanxn-
∑n=2
∞
anxn-∑n=2
∞
(n+1 )an+1xn + ∑
n=2
∞
an−2 xn=0
(2a2-a1) + (6a3 – 2a2 - a1 – 1) x +
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∑n=2
∞
[ (n+2 ) (n+1 )an+2−nan−(n+1 )an+1+an−2 ] xn=0
Se cumple que
2a2-a1 = 0 (5)
6a3- 2a2-a1 – 1 = 0 (6)
(n+2) (n+1 )an+2−nan−(n+1 )an+1+an−2 = 0 (7)
De ahía2 = 12a1
6a3 = 2a2+a1 + 1 = a1+a1 +1
a3 = 16¿¿+1)
De (7), (n+2) (n+1 )an+2 = nan+(n+1 )an+1−an−2
an+2= nan+(n+1)an+1¿−a(n−2) ¿(n+1)(n+2)
Ahora, si n=2, a4 = 2a2+3a3−a0
3(4)= a1+
a1+1−¿
2−a0
3(4)¿
a4 = 4 a1−2a0+1
2(3)(4)
n=3, a5= 3a3+4 a4−a1
4 (5) = a
1+12+
4a1−2a0
2(3)−a1
4 (5)
= 4 a1−2a0+1+3
4 (5)(6)=
4 a1−2a0+4
2(3)(4)(5)
n=4, a6 = 4 a4+5a5−a2
(5)(6) =
=
13 (4 ) ( 4a1−2a0+1 )+5
14 (5 ) (6 ) (4 a1−2a0+4 )−1
2a1
5 (6)=
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= 13¿¿ =
−14a0+
14
(5)(6)
a6 = a0+
14
4 (5)(6) =
1−a0
2(3)(4)(5)
N = 5, a7 = 5a5+6a6−a3
6 (7) =
54 a1−2a0+4 )
2(3)(4) (5 )+6
1−a0
2(3)(4 )(5 )−a1
3−2a0+
16
6 (7)
=
a1
2(3)−
a0
3 (4 )+ 1
4 (5 )−a0
4 (5 )−a1
3+ 1
66 (7)
=
−a1
6−
3a0
10+13
606 (7)
= 10a1+18a0+13
3(4)(5)(7)
y(x) = a0+a1x+12a1 x
2+
12(3)(2a1+1¿ x3+
4 a1−2a0+1
2(3)(4)x4+
4 a1−2a0+4
2(3)(4)(5)x5 +
1−a0
2(3)(4)(5)x6 +
13−10a1−18+4
2(3)(4)(5)(6)(7)x7+…
5. Solución en forma de serie de potencias en torno a un punto ordinario
(x2+1) y ' '+x y '− y=0; Sabemos que:
y=∞
∑ ∁n xn
n=o
y '=∞
∑∁ n. nn=1
xn−1
y ' '=∞
∑n(n−1)n=2
∁ n xn−2
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Entonces se tiene que:
(x2+1) y ' '+x y '− y ¿ (x2+1 )∞
∑ n (n−1 )n=2
∁ n xn−2+ x
∞∑∁ n. nn=1
xn−1−∞
∑ ∁n xn
n=o
¿∞
∑ n (n−1 )n=2
∁ n xn+
∞
∑ n (n−1 )n=2
∁n xn−2+x
∞∑∁n . nn=1
xn−∞
∑ ∁n xn
n=o
∞
¿2c2 x0−c0 x
0+6c3 x+c1 x−c1 x+∑n=2
∞
n (n−1 )∁ n xn+∑
n=4
∞
n (n−1 )∁n xn−2+∑
n=2
∞
n∁n xn−∑
n=2
∞
∁n xn
¿
Al cambiar las potencias de x en métodos de k se tiene que:
¿2c2−c0+6c3 x+∑n=2
∞
[k (k−1 )ck+(k+2 ) ( k+1 ) ck+2+k ck−ck ] xk
¿2c2−c0+6c3 x+∑n=2
∞
[ (k+1 ) (k−1 )ck+(k+2 ) ( k+1 ) ck+2 ] xk=0
De la anterior ecuación se tiene que:
2c2−c0=0, 6c3=0, y (k+1 ) (k−1 ) ck+ (k+2 ) (k+1 ) ck+2=0,
Entonces,
c2=12c0, c3=0, ck +2=
1−kk+2
ck, Con k=2,3,4 ,….
Al sustituir k=2,3,4 ,…. En la última formula se tiene que:
c4=−14c2=
−12.4
c0=−1
22 2 !c0
c5=−25c3=0
c6=−36c4=
−32.4 .6
c0=−1.3
23 3!c0
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c7=−47c5=0
c8=−58c6=
−3.52.4 .6 .8
c0=−1.3 .5
24 4 !c0
c9=−69c0=0
c8=−710
c8=−3.5 .7
2.4 .6 .8 .10c0=
−1.3 .5 .7
25 5 !c0
Al realizar el proceso de forma sucesiva se tiene que:
y=c0+c1 x+c2 x2+c3 x
3+c4 x4+c5 x
5+c6 x6+c7 x
7+c8 x8+c9 x
9+c10 x10+…
y=c0[1+ 12x2− 1
222 !x4+ 1.3
23 3 !c6 x
6−1.3 .5
24 4 !c8 x
8+ 1.3 .5 .7
25 5!x10+…]+c1 x
y=1+ 12x2+∑
n=2
∞
(−1)n−1 1.3 .5…(2n−3)2nn !
x2n
PROBLEMA PROPUESTO
La fuerza de la gravedad que actúa sobre una masa m que si está a una distancia se s del centro de la tierra es directamente proporcional a m e inversamente proporcional a s2. a) Hallar la velocidad alcanzada por la masa si estando en reposo a una distancia 5R del centro de la tierra se la deja caer sobre la superficie terrestre. b.
La fuerza de la gravedad a una distancia s del centro de la tierra es km / s2. Para
determinar k observamos que la fuerza es mg para s=R; osea ,mg=km
R2, de
donde k=gR2 .La ecuación de movimiento es la siguiente:
1) mdvdt
=m dsdtdwds
=mv dvds
=−mgR2
S2 dedonde v dv=−g R2 dsS2
Siendo negativo el signo ya que v aumenta cuando s disminuye
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a) Integrando (1 )desde v=0 , s=5 Rhasta v=v , s=R
∫0
v
v dv=−g R2∫5 R
RdsS2
12v2=g R2( 1
R− 1
5R)=4
5gR
v2 85(32)(4000)(5280)
y v=2560√165piesseg
=780√165mseg
0
Aproximadamente ,6millasseg
=9,656kmseg
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Convergencia de Series N° 19: Varios Criterios de Convergencia, Publicado el 27/02/2013 por canalmatematico retomado el 12 de mayo de 2015 de https://www.youtube.com/watch?v=8MpH7ZkDF68
Criterios de Convergencia, Semana 1 - Clase 3 Tema 1: Series fecha de publicación 20/10/10, publicado por Héctor Hernández / Luis Núñez Universidad de Los Andes, Mérida, retomado el 12 de mayo de 2015 de http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/hector/prontuario/metodos2/S01_C03.pdf
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Como saber fácilmente si una serie converge: Prueba de la Comparación, Publicado el 09/02/2014 por cristigo92 retomado el 12 de mayo de 2015 de https://www.youtube.com/watch?v=MckTIWj-zL8
MODULO ECUACIONES DIFERENCIALES, CARLOS IVAN BUCHELI Bogotá año 2007, retomado el 12 de Mayo de 2015 de https://drive.google.com/file/d/0B-SJNJpswVAQVkNJbjNGZF9TQ3M/view