TEOREMA DEL VALOR MEDIO Y

TEOREMA DEL VALOR PROMEDIO

CALCULO INTEGRAL

“EXISTE UN NUMERO X EN [a,b], TAL QUE ELAREA DEL RECTANGULO AEFB DE ALTURA f(x)UNIDADES Y ANCHO (b-a) UNIDADES ESIGUAL AL AREA DE LA REGION ADCB”

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 (𝑏 − 𝑎)

REPRESENTACION GEOMETRICA

El valor de X no es necesariamente único. El teorema del valor medio no tiene

un método para determinar X, pero establece que existe un valor de X, lo

cual se usa para demostrar otros teoremas. Sólo en algunos casos particulares

se puede hallar de X tal y como se explica en el siguiente ejemplo:

HALLAR EL VALOR DE x TAL QUE 02𝑓 𝑥 𝑑𝑥 si

𝑓 𝑥 = 𝑥3

SOLUCION:

SE DETERMINA EL VALOR EXACTO DE LA INTEGRAL SIGUIENTE:

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0

2

𝑥3𝑑𝑥 =𝑥4

420=24

4−04

4=16

4= 4

AHORA, EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES ES EL SIGUIENTE:

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 (𝑏 − 𝑎)

0

2

𝑥3𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 (2 − 0)

4 = 𝑓 𝑥 24

2= 𝑓 𝑥

2 = 𝑓 𝑥

PARA DETERMINAR EL VALOR DE X SE HACE LO SIGUIENTE:

𝑓 𝑥 = 𝑥3

2 = 𝑥3

𝑥 =32

Y COMO 32 ESTÁ DENTRO DEL INTERVALO [0,2] ESTARÁ ENTONCES DENTRO DEL VALOR DE LA FUNCION Y PARA TERMINAR SOLO NOS FALTA ENCONTRAR EL VALOR DE LA DIFERENCIAL DE X:

𝑑𝑥 = ∆𝑥 = 𝑏 − 𝑎 = 2 − 0 = 2

ASI QUE COMO NUESTRO RESULTADO FINAL ES:

∴ 0

2

𝑥3𝑑𝑥 = 𝑓32 2

HALLAR EL VALOR DE x TAL QUE −93𝑓 𝑥 𝑑𝑥 si

𝑓 𝑥 = 2𝑥2 + 10𝑥 − 9

SOLUCION:

SE DETERMINA EL VALOR EXACTO DE LA INTEGRAL SIGUIENTE:

𝑏

𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −9

3

2𝑥2 + 10𝑥 − 9 𝑑𝑥 =2𝑥3

3+ 5𝑥2 − 9𝑥 3

−9=2(3)3

3+ 5(3)2−9 3 −

2(−9)3

3+ 5(−9)2−9(−9)

=2(27)

3+ 5(9) − 9 3 − −

2 729

3+ 5 81 + 9 9 = 18 + 45 − 27 − −486 + 405 + 81 = 36 − 0 = 36

AHORA, EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES ES EL SIGUIENTE:

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 (𝑏 − 𝑎)

−9

3

2𝑥2 + 10𝑥 − 9 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 3 − −9

36 = 𝑓 𝑥 1236

12= 𝑓 𝑥

3 = 𝑓 𝑥

PARA DETERMINAR EL VALOR DE X SE HACE LO SIGUIENTE:

𝑓 𝑥 = 2𝑥2 + 10𝑥 − 9

3 = 2𝑥2 + 10𝑥 − 912 = 2𝑥2 + 10𝑥12 = 𝑥 2𝑥 + 10

𝑥1 = 12 𝑥2 = −5

Y COMO 12 ESTÁ FUERA DEL INTERVALO [-9,3] y -5 ESTÁ DENTRO DE EL

ENTONCES ESE -5 PERTENECERÁ DENTRO DEL VALOR DE LA FUNCION, Y PARA

TERMINAR SOLO NOS FALTA ENCONTRAR EL VALOR DE LA DIFERENCIAL DE X:

𝑑𝑥 = ∆𝑥 = 3 − −9 = 3 + 9 = 12

ASI QUE COMO NUESTRO RESULTADO FINAL ES:

∴ 0

2

𝑥3𝑑𝑥 = 𝑓 −5 12

BIBLIOGRAFIA

Garza Olvera, Benjamín, Cálculo Integral, Matemáticas V DGETI, 1ra Edición,

50-59 pág.