1. Reescribe los siguiente modelos utilizando el operador retarados. Clasificacada uno de ello como un proceso ARMA(p,q). Establece, para cada uno,si es estacionario y/o invertible. ut es ruido blanco.

(a) Zt = 0, 5Zt1 + ut(b) Zt 0, 5Zt1 = ut 1.3ut1 + 0.4ut2(c) (Zt 0.2) 1.2(Zt1 0.2) + 0.2(Zt2 0.2) = Zt 0.5Zt1

2. Los siguientes procesos son estacionario. Calcula 1, 2, 3

(a) Xt + 0, 5Xt1 0, 1Xt2 = ut(b) (1 1, 1B + 0, 18B2)Zt = ut

Solucin 1a.- Zt 0, 5Zt1 = ut, (1 0, 5B)Zt = ut. La ecuacin caracterstica 1

0, 5B = 0 tiene un nica raz y es 2, (superior a la unidad), luego la serie esestacionaria. Se trata de un proceso ARMA(1,0) o AR(1) que se puede expresarcomo un MA(infinito).

b.- (1 0, 5B)Zt = (1 1, 3B + 0, 4B2)ut = (1 0, 8B)(1 0, 5B)ut. Elmodelo es ARMA(1,2). La raz de la ecuacin caracterstica es de nuevo 2, ypor tanto al ser superior a la unidad, el proceso es estacionario. Las races dela ecuacin (1 0, 8B)(1 0, 5B) son 1,25 y 2. Puesto que son superiores a launidad el proceso es invertible.

c.- El trmino 0,2 solo afecta al nivel de la media del proceso y puede serignorado a estos efectos simplemente definiendo Yt = Zt0, 2, de manera que laserie se puede representar como Yt 1, 2Yt1 + 0, 2Yt2 = (1 0, 5B)Zt, que sepuede expresar como (1B)(1 0, 2B)Yt = (1 0, 5B)Zt. Como vemos una delas races es unitaria, y por tanto no es estacionario, sin embargo s es invertiblepuesto que la raz del polinomio a la derecha del igual es mayor a la unidad.

Solucin 2a. EXt + 0, 5EXt1 0, 1EXt2 = Eut = 0, luego EXt = 0.k = E[XtXtk]/varXt.Al ser ut ruido blanco e independiente de Xtk, k = 1, 2, 3, ... se tiene que

E[Xtkut] = EXtkEut = 0Multiplicando Xt + 0, 5Xt1 0, 1Xt2 = ut por Xtk, k = 1, 2, ....se tiene

XtXtk + 0, 5Xt1Xtk 0, 1Xt2Xtk = utXtkTomando esperanzas

EXtXtk + 0, 5EXt1Xtk 0, 1EXt2Xtk = 0y dividiendo entre var(Xt)

k + 0, 5k1 0, 1k2 = 0Cuando k = 1, 1 + 0, 50 0, 11 = 0, que se resuelve en 1 = 5/9, con-siderando que por definicin 0 = 1

1

Cuando k = 2, 2 + 0, 51 0, 10 = 0, que se resuelve en 2 = 0, 1 0, 5(5/9) = 17/45, considerando que por definicin 0 = 1

Cuando k = 3, 3+0, 52 0, 11 = 0, que se resuelve en 3 = 0, 1(5/9)0, 5(17/45) = 11/45

b.- Siguiendo los mismos pasos que en a.- se tiene la expresin

k + 1, 1k1 0, 18k2 = 0

y dando valores k = 1, 2, 3 se llega a1 = 55/59, 2 = 1247/1475, 3 = 5621/7375

2