Tema 6 Ejercicios Solucion
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1. Reescribe los siguien te modelos utilizan do el operador retarados. Clasifica cada uno de ello como un proceso ARMA(p,q). Establece, para cada uno, si es estacionario y/o invertible. u t es ruido blanco. (a) Z t = 0, 5Z t−1 + u t (b) Z t − 0, 5Z t−1 = u t − 1.3u t−1 + 0.4u t−2 (c) (Z t − 0.2) − 1.2(Z t−1 − 0.2) + 0.2(Z t−2 − 0.2) = Z t − 0.5Z t−1 2. Los siguien tes procesos son estacion ario . Calcula ρ 1 , ρ 2 , ρ 3 (a) X t + 0, 5X t−1 − 0, 1X t−2 = u t (b) (1 − 1, 1B + 0, 18B 2 )Z t = u t Solución 1 a.- Z t − 0, 5Z t−1 = u t , (1 − 0, 5B) Z t = u t . La ecuació n caracterí stica 1 − 0, 5B = 0 tiene un única raíz y es 2, (superior a la unidad), luego la serie es estacionaria. Se trata de un proceso ARMA(1,0) o AR(1) que se puede expresar como un MA(infinito). b.- (1 − 0, 5B)Z t = (1 − 1, 3B + 0, 4B 2 )u t = (1 − 0, 8B)(1 − 0, 5B)u t . El modelo es ARMA(1 ,2). La raíz de la ecuación caracter ísti ca es de nuev o 2, y por tanto al ser superior a la unida d, el proces o es estac ionar io. Las raíces de la ecuación (1 − 0, 8B)(1 − 0, 5B) son 1,25 y 2. Puest o que son superiores a la unidad el proceso es invertible. c.- El término “0,2” solo afecta al nivel de la media del proceso y puede ser ignorado a estos efectos simplemente definiendo Y t = Z t − 0, 2, de manera que la serie se puede representar como Y t − 1, 2Y t−1 +0, 2Y t−2 = (1 − 0, 5B)Z t , que se puede expresar como (1 − B)(1 − 0, 2B)Y t = (1 − 0, 5B)Z t . Como vemos una de las raíces es unitaria, y por tanto no es estacionario, sin embargo sí es invertible puesto que la raíz del polinomio a la derecha del igual es mayor a la unidad. Solución 2 a. EX t + 0 , 5EX t−1 − 0, 1EX t−2 = E u t = 0, luego E X t = 0. ρ k = E [X t X t−k ]/varX t . Al ser u t ruido blanco e independiente de X t−k , k = 1, 2, 3,... se tiene que E [X t−k u t ] = E X t−k Eu t = 0 Multiplicando X t + 0, 5X t−1 − 0, 1X t−2 = u t por X t−k ,k = 1, 2, .... se tiene X t X t−k + 0 , 5X t−1 X t−k − 0, 1X t−2 X t−k = u t X t−k Tomando esperanzas EX t X t−k + 0 , 5EX t−1 X t−k − 0, 1EX t−2 X t−k = 0 y dividiendo entre v ar(X t ) ρ k + 0 , 5ρ k−1 − 0, 1ρ k−2 = 0 Cuando k = 1, ρ 1 + 0, 5ρ 0 − 0, 1ρ 1 = 0, que se resuelve en ρ 1 = −5/9, con- siderando que por definición ρ 0 = 1 1
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1. Reescribe los siguiente modelos utilizando el operador retarados. Clasificacada uno de ello como un proceso ARMA(p,q). Establece, para cada uno,si es estacionario y/o invertible. ut es ruido blanco.
(a) Zt = 0, 5Zt1 + ut(b) Zt 0, 5Zt1 = ut 1.3ut1 + 0.4ut2(c) (Zt 0.2) 1.2(Zt1 0.2) + 0.2(Zt2 0.2) = Zt 0.5Zt1
2. Los siguientes procesos son estacionario. Calcula 1, 2, 3
(a) Xt + 0, 5Xt1 0, 1Xt2 = ut(b) (1 1, 1B + 0, 18B2)Zt = ut
Solucin 1a.- Zt 0, 5Zt1 = ut, (1 0, 5B)Zt = ut. La ecuacin caracterstica 1
0, 5B = 0 tiene un nica raz y es 2, (superior a la unidad), luego la serie esestacionaria. Se trata de un proceso ARMA(1,0) o AR(1) que se puede expresarcomo un MA(infinito).
b.- (1 0, 5B)Zt = (1 1, 3B + 0, 4B2)ut = (1 0, 8B)(1 0, 5B)ut. Elmodelo es ARMA(1,2). La raz de la ecuacin caracterstica es de nuevo 2, ypor tanto al ser superior a la unidad, el proceso es estacionario. Las races dela ecuacin (1 0, 8B)(1 0, 5B) son 1,25 y 2. Puesto que son superiores a launidad el proceso es invertible.
c.- El trmino 0,2 solo afecta al nivel de la media del proceso y puede serignorado a estos efectos simplemente definiendo Yt = Zt0, 2, de manera que laserie se puede representar como Yt 1, 2Yt1 + 0, 2Yt2 = (1 0, 5B)Zt, que sepuede expresar como (1B)(1 0, 2B)Yt = (1 0, 5B)Zt. Como vemos una delas races es unitaria, y por tanto no es estacionario, sin embargo s es invertiblepuesto que la raz del polinomio a la derecha del igual es mayor a la unidad.
Solucin 2a. EXt + 0, 5EXt1 0, 1EXt2 = Eut = 0, luego EXt = 0.k = E[XtXtk]/varXt.Al ser ut ruido blanco e independiente de Xtk, k = 1, 2, 3, ... se tiene que
E[Xtkut] = EXtkEut = 0Multiplicando Xt + 0, 5Xt1 0, 1Xt2 = ut por Xtk, k = 1, 2, ....se tiene
XtXtk + 0, 5Xt1Xtk 0, 1Xt2Xtk = utXtkTomando esperanzas
EXtXtk + 0, 5EXt1Xtk 0, 1EXt2Xtk = 0y dividiendo entre var(Xt)
k + 0, 5k1 0, 1k2 = 0Cuando k = 1, 1 + 0, 50 0, 11 = 0, que se resuelve en 1 = 5/9, con-siderando que por definicin 0 = 1
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Cuando k = 2, 2 + 0, 51 0, 10 = 0, que se resuelve en 2 = 0, 1 0, 5(5/9) = 17/45, considerando que por definicin 0 = 1
Cuando k = 3, 3+0, 52 0, 11 = 0, que se resuelve en 3 = 0, 1(5/9)0, 5(17/45) = 11/45
b.- Siguiendo los mismos pasos que en a.- se tiene la expresin
k + 1, 1k1 0, 18k2 = 0
y dando valores k = 1, 2, 3 se llega a1 = 55/59, 2 = 1247/1475, 3 = 5621/7375
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