Solucion Ejercicios Segundo Corte Control II 2013

FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC

EJERCICIOS DE CONTROL II

INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA

Inquietudes y Aportes: [email protected]

SOLUCIÓN A EJERCICIOS DEL SEGUNDO CORTE

Recordemos que la transformada z de un retenedor de orden

cero y un retenedor de orden uno son:

( ) ,

( )

-

(

)

( ) ,

( ) ( )

-

Obtener la función de transferencia pulso si existe, para

cada uno de los siguientes sistemas:

A.

SOLUCIÓN:

( ) ( ) ( ) ( ) pero ( ) ( ) ( ), reemplazamos

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Muestreamos ( ):

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) , ( ) - ( )






( ) ( )

( )

Sabemos que ( ) ( ) ( ), ahora muestreamos esta

ecuación, y reemplazamos la Ecuación A aquí:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

B.

SOLUCIÓN:

( ) ( ) ( ) ( ) pero ( ) ( ) ( )

Muestreamos ( ):

( ) ( ) ( ) ( )

Sustituimos la en la :

( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) -

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )






( ) , ( ) ( ) - ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

C.

SOLUCIÓN:

( ) ( ) ( ) ( ) pero ( ) ( ) ( )

( ), reemplazo

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

Muestreamos ( ):

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) , ( )

( ) - ( )

( ) ( )

( ) ( )

Sabemos que ( ) ( ) ( )

( ), ahora muestreamos esta ecuación, y reemplazamos la Ecuación A aquí:

( ) ( ) ( )

( )






( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

D.

SOLUCIÓN:

( ) ( ) ( ) ( ) pero ( ) ( ) ( ), reemplazo

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Sabemos que ( ) ( ) ( ) ( ), luego reemplazamos la Ecuación A aquí:

( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) -

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), muestreamos:

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ,

( ) - ( )

( )

( )

( )

Sabemos que ( ) ( ) ( ), ahora muestreamos esta

ecuación, y reemplazamos la Ecuación B aquí:






( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

E.

SOLUCIÓN:

( ) ( ) ( ) ( ) pero ( ) ( ) ( ), muestreamos ( )

( ) ( ) Reemplazamos en la ecuación anterior:

( ) ( ) ( ) ( )

Sabemos que ( ) ( ) ( ) ( ), luego reemplazamos la Ecuación A aquí:

( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) -

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), muestreamos esta ecuación

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) , ( ) - ( )






( ) ( )

( )

Sabemos que ( ) ( ),reemplazamos la Ecuación B aquí:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

1. Considere el sistema de control que se muestra a

continuación, con un periodo de muestreo T=0.1 seg y un

retenedor unitario ( ) (Delta de Kronecker). El

controlador PID discreto tiene estos parámetros: ,

, obtener:

A) La función de transferencia pulso compacta en lazo

cerrado del sistema en potencias negativas, donde:

( )

Y el controlador tiene como función digital:

( ) ( )

( )

( )

B) La estabilidad del sistema






SOLUCIÓN:

A)

( ) ( ) ( ) pero ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Muestreamos ( )

( ) ( ) ( )

( )

Muestreamos ( ) y Reemplazamos la Ecuación A en dicha ecuación:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) [ ( ) ( ) ]

( )

( ) ( )

( ) ( )

Sabemos que ( ) ( ) ( )

( ) ,reemplazamos la

Ecuación B aquí:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )






Ahora procederemos a resolver cada término de la FT:

( )

Igualamos la ecuación anterior con la ecuación No 16 de la

tabla de transformada Z, sabiendo que T=1 seg:

( )

Comparamos denominadores:

.

/

√

( ) √

( )

( )

( √

)

( √

)

( )

√ *

+

Sustituimos el valor de ( ) en la función de transferencia:

( )

( )

[

√ [

] ] 0

( )1

*

√ [

] 0

( )1+

Resolvemos:

( )

( )






Ahora reemplazamos nuevamente:

( )

( )

[

√ [

] ] [

( )

]

*

√ [

] [

( )

]+

( )

( )

√ [

]

√ [

]

( )

( )

√ [

]

( )

( )

√ , -

B) Hallaremos la estabilidad mediante el criterio de Jury,

mediante el criterio de 3 condiciones:

| | ( ) ( ) {

Tomamos el polinomio característico, ósea el denominador y lo

pasamos a potencias positivas para evaluar las condiciones

antes mencionadas:

( )

| | Se cumple

( ) ( ) ( ) ( )

, la función es impar

( ) ( ) ( ) ( )

Ahora armaremos la tabla para el criterio de Jury:






( ) ( ) , ( ) - ( ) , ( ) - ( )

( ) ( )

Como y es impar debe cumplirse que:

| | | | | | | | Se cumple

2. Obtener la función de transferencia (si existe) en el siguiente diagrama de bloques, así como su respuesta

ante una entrada escalón unitario.






( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

SOLUCIÓN

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Pero ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Muestreamos la ecuación 1:

( ) ( ) ( )

Reemplazamos la Ecuación A en la ecuación 2:

( ) ( ) , ( ) ( ) -

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Muestreamos esta ecuación:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Reemplazamos la Ecuación B en la ecuación 3:

( ) , ( ) ( ) - [ ( )

( ) ( ) ( )]

Reemplazamos la Ecuación C en la ecuación 4:

( ) ( ) [ , ( ) ( ) - [ ( )

( ) ( ) ( )] ]






( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Muestreamos ( ):

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) , ( ) ( ) ( ) -

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Se necesita obtener la respuesta ( ) al escalón unitario del diagrama de bloques anterior, siendo:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

Ahora procederemos a realizar la transformada Z a cada

término de la función ( ):

( ) {

} {

} {

}

( )

( )

( )

( ) {

} ,

- ( ) {

}

( ) ( ) ,

} ( ) *

( ) +






( )

( ) [

] *

( ) ( ) +

( ) ( )

( ) {

( ) ( ) }

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) {

( ) ( ) }

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Reemplazamos todas los terminos hallados en la ecuación:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) [ [

] [

] [

( )

] ]

( )

[ [

] [

] ]






3. Obtener la función de transferencia pulso ( ) ( )⁄ en el

siguiente diagrama de bloques.

SOLUCIÓN

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Pero ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Despejamos ( ) de la ecuación 4:

( ) ( )

( )

Reemplazamos la Ecuación A en la ecuación 1:

( )

( ) ( ) ( )






Reemplazamos la ecuación 2 en la ecuación 3 y

muestreamos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Reemplazamos la Ecuación C y la Ecuación Alternativa en

la Ecuación B:

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) *

( ) ( )

( )

( )

+ ( )

( ) *

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )+ ( )

( ) *

( ) , ( ) ( ) -

( ) , ( )

( ) -+ ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )


término de la función de transferencia:

( )

( ) {

} ,

- ( ) {

( ) }






( ) ( ) {

( ) } ( ) *

( )

( ) ( )+

( ) ( )

( )

( ) ,

- ( ) {

( )( )}

Resolvemos por fracciones parciales la ecuación:

( )( )

( )( )

( )

( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) {

( )

( ) }

( ) ( ) [

( )

( ) ]

( ) ( ) *

( ) ( )

( ) +

( ) ( ) *

( ) ( )

( ) ( )( )+

( ) [

( )

( )( )]






( ) *

( )( )+

( ) * ( ) ( )

( )( )+

( ) *

( ) ( )

( )( )+

( ) *

( ) ( )

( )( )+

( ) ( ) ( )

( )( )

Reemplazamos todas los terminos hallados en Z, en la

ecuación:

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

[

]

[ [ ( ) ( ) ( )( )

] [ ( ) ( )

] ]

( )

( )

( )

( )( )

( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )

( )

( )( )

( )( )( ) ( ) ( )

4. Obtener la transformada Z del circuito (utilice mínimo 3

cifras decimales) cuya entrada es Vx y salida Vy y sus

respectivos valores de resistencias y condensadores son:






SOLUCIÓN

Plantearemos 3 ecuaciones de nodos de la siguiente manera:

( )

( )

( )

Aplicamos el concepto de tierra virtual en la entrada no

inversora ( ) y la entrada inversora ( ):






Despejamos de la Ecuación C y aplicamos tierra virtual:

[

]

[

]

( )

( )

Despejamos de la Ecuación B:

[

]

[

]

[

]

( )

Reemplazamos las ecuaciones 1 y 2 en la ecuación A:

( )

( )

( )

( )






( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) * ( ) ( ) ( )

( )

+

( ) [

]

[

] ( )

Normalizamos el denominador, dividiéndolo entre para

que el coeficiente de sea 1:

Ahora reemplazamos los valores de cada componente:

( )( ) ( )

( )( )

( )( )( )( )

( )( ) ( )






Descomponemos el numerador en 2 terminos para poder igualar

la ecuación anterior con la ecuación No 16 de la tabla de

transformada Z:

( )

( )

( )

Comparamos denominadores:

( ) √ Ahora, reemplazamos los elementos hallados y comparamos de

nuevo:

( )

( √ )

( ) ( ) ( √ )

( √ )

( √ )

Se observa que los denominadores en rojo de ambas ecuaciones

son los mismos, pero los numeradores en verde no son los

mismos, así que el numerador de la derecha osea ( √ ) lo

multiplicamos por un número A:

( √ )

( √ )

( )

( √ )






( )

( ) ( √ )

( )

( )

( )

[ ( √ ) ]

( √ )

5. En el siguiente diagrama de bloques: A) Obtener la función de transferencia pulso (si existe) B) Obtener la transformada Z de C(t) compacta del

sistema, en potencias negativas, con una entrada

delta de Kronecker y un periodo de muestreo igual a

5seg, si:

( )

( )

( )

SOLUCIÓN

A)






( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) Muestreamos esta ecuación:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Muestreamos esta ecuación:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Reemplazamos la Ecuación 1 en la Ecuación 2:

( ) ( ) , ( ) ( )

( ) - ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ), ( )

( ) ( ) -

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Sabemos que ( ) ( ) ( ) muestreamos ( ) y reemplazamos la Ecuación 3 aquí

( ) ( ) ( )

( ) ( ) *

( ) ( )

( ) ( ) ( )

+

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )






B) Ahora procederemos a hallar la transformada Z en potencias

negativas, resolviendo cada término de la ecuación anterior:

( )

( )

( ) ,

( )

- ( ) ,

( ) -

( ) ( ) {

( ) }

( ) ( ) {

( )

}

Utilizamos la ecuación 8 de la tabla de transformadas Z para

compararla con la ecuación anterior y transformamos a Z,

sabiendo que T=5 seg:

( )

( )

( ) ( ) [

( )

( ) ( )]

( ) (

)

( )

( )

( ) {

}

( ) {

} {

( ) }

( ) , ( ) ( ) -

( ) ( )

( ) ( )






Luego, reemplazamos los terminos hallados en la función de

transferencia:

( )

( )

[

( ) ] [

( )

]

[

( ) ] [

( )

] [

( ) ( ) ]

( )

( )

[

( ) ( ) ]

[

( ) ( ) ] [

( ) ( ) ]

Hacemos ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

[

]

[

] [

]

( )

( )

[

]

( )

( )

[

]

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

6. Para el sistema representado, determinar: A) La evolución temporal de la señal W (t) durante las 3

primeras decimas de segundos si la secuencia * + es un escalón y la señal P (t)=0. (En este apartado se supone

que k=1).






B) Suponiendo que la secuencia * + es nula y la señal P (t) es un escalón unitario, determinar los valores de k que

hace estable el sistema.

C) Si la secuencia * + es nula, y tomando k=1: a) Determinar (si es posible) la función de

transferencia entre la señal P (t) y la secuencia

* +. b) Calcular (si es posible) la transformada Z de la

secuencia * + si la señal P (t) es un escalón

unitario.

SOLUCIÓN

A) Como la entrada P (t)=0 y K=1, el diagrama de bloques

anterior quedaría de la siguiente manera:






( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Reemplazamos la Ecuación 1 en la Ecuación 2:

( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) -

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), muestreamos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ), ( ) ( ) - ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )


término de la función de transferencia:

( ) ,

- ( ) {

}

( ) ( ) *

( )

( )( ) +

( ) ( )

( )

( )

Reemplazamos en la función de transferencia:






( )

( )

0

1 [

( )

( ) ]

0

1 [

( )

( ) ]

( )

( )

0

1 [

( )

( ) ]

( ) ( ) , ( ) -( ) ( )

( )

( ) 0

1 [ ( )

( ) ] ,( ) ( )-

( ) ( ) , ( ) -

Como T=0.1 seg:

( )

( ) 0

1 [ ( )

( ) ] ,( ) ( )-

( ) ( ) , ( ) -

( )

( ) 0

1 [ ( )

( ) ] ,( ) ( )-

( ) ( ) , ( ) -

( )

( )

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

Las pasamos a potencias positivas multiplicando arriba y

abajo por :

( )

( )

Ahora, como se necesita es w (t), del diagrama de bloques

inicial y ( ) es la entrada paso, se sabe que:

( ) ( ) ( ) ( )






( ) ( ) ( )

( )

Reemplazamos la Ecuación B en la Ecuación A:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) * ( )

( ) +

Como ya se sabemos, ( )

( ) fue la función en potencias positivas

hallada anteriormente:

( )

[

]

( )

*

+

( )

*

+

Como se sabe, ( ) es un retenedor de orden cero cuya

ecuación en transformada Z es:

( ) ,

- ( ) {

} ( )

( )

( )

Reemplazando ( ), Ecua.1 y Ecua.2 en la ecuación

alternativa, nos queda:

( )

*

+ 0

1

( )

( ) *

+






( )

( ) ( )

( )

( )

Ahora pasaremos a observar la evolución temporal de ( ), pero para esto, debemos realizar el método de la división

directa para poder hallar la secuencia de la señal:

Para graficar ( ) se toman los coeficientes del cociente y se multiplican por 3 siguiendo la trayectoria directa en el

diagrama de bloques:

( ) ,

- Graficamos:






B) Suponiendo que la secuencia * + es nula y la señal P (t) es un escalón unitario, determinaremos los valores de k que

hace estable el sistema. Analizando el polinomio

característico, hallaremos los valores de k para cual el

sistema es estable sin importar la entrada al sistema:

( ) ( ) ( )

( )

* ( )

( ) +

Pasamos a potencias positivas:

( )

[

( ) ]

( )

( )

Ahora pasaremos a calcular la Estabilidad de Jury mediante el

criterio de 3 condiciones:






| | ( ) ( ) {

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

NOTA: si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o

dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la

desigualdad cambia:

Armamos el intervalo para el cual el sistema es Estable:

C) Si la secuencia * + es nula, y tomando k=1:

a) No existe función de transferencia entre ( ) y * + debido a que ( ) es una señal continua que no proviene de una reconstrucción, y al momento de sumarse con la

señal ( ) y ser multiplicada por ( ) y luego ser

muestreada, se perderá información.

b) Si la señal P (t) es un escalón unitario, hallaremos

la secuencia * + en terminos de Z en potencias

positivas:

( ) * ( ) ( ) +

( )






Hallamos la transformada z del numerador:

{

} {

( ) } *

( )

( )( ) +

*

+

*

+

Pasando a potencias positivas:

[

]

[

]

Armamos nuevamente la función:

( ) 0

1

( )

Reemplazamos el valor de ( ) en la anterior ecuación:

( ) 0

1

* 0

1 0 1+

( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )( )






( )

( )

7. En un proceso de fabricación, el departamento de control genera sin retraso una ley de control, proporcional

K(K >0), según la diferencia entre lo perdido y lo

reproducido.

El departamento de fabricación tarda una semana en

reparar los productos defectuosos.

Los fabricados y los reparados van al departamento de

calidad, que, sin retraso, detecta los defectuosos (20% según la experiencia).

El 20% de los productos válidos es almacenado durante una semana a fin de evitar posibles pérdidas de clientes

ante fallos en el proceso de fabricación.

El 80% de los productos válidos es sumado a los

almacenados la semana anterior e introducidos en el

departamento de embalaje, que tarda una semana en llevar

a cabo su cometido.

El balance de todas las variables se realiza al final de

cada semana. Se pide:

a) Función de transferencia Z entre lo producido y lo perdido.

b) Determinar el rango de K para que el sistema sea

estable.






SOLUCIÓN

Armaremos el diagrama de bloques:

Emplearemos la siguiente nomenclatura:

Las ecuaciones en diferencia que describen el comportamiento

antes mencionado son:

( )

Como las ecuaciones antes planteadas son lineales, hallaremos

la transformada Z de cada una de ellas:

( ) ( ( ) ( ) )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), - ( )

( ) ( )( )

( ) ( )






Ahora procederemos a armar el nuevo diagrama de bloques

basándonos en las ecuaciones antes descritas:

Hallamos la función de transferencia:

( )

( )

[ (

) ( ) ( ) ]

[ (

) ( ) ( ) ]

( )

( )

[ ( ) ( )

]

[ ( ) ( )

]

( )

( )

[

( ) ]

[

( ) ]

Cancelamos terminos semejantes, sacamos K como factor común y

pasamos a potencias positivas:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )






Ahora pasaremos a calcular la Estabilidad de Jury mediante el

criterio de 3 condiciones:

| | ( ) ( ) {

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

NOTA: si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o

dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la

desigualdad cambia:

| |

| |

Aplicamos la propiedad del valor absoluto:

Propiedad 8: Sea X una variable real y R un número real

positivo entonces:

| |






Existen 2 posibles soluciones:

( )

Por consiguiente:

Como ( ) , entonces el anterior intervalo se

reescribiría de la siguiente manera:

Armamos la tabla de Jury:

( ) ( ) , ( ) - , - ( )

( ) ( )

Como y es impar debe cumplirse que:

| | | | | | | |






Y como ya habíamos definido qué , y ambos terminos son negativos ( ), puede expresarse la ecuación así:

Multiplicamos por (-1) la desigualdad:

Dividimos toda la expresión entre ( ) para poder calcular las raíces:

Por consiguiente las raíces son: y Como ya habíamos definido qué , entonces el

intervalo para el cual el sistema es Estable es:

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