Curso 2011-2012 Calculo Infinitesimal. Grupo 2S1T

DESARROLLOS DE TAYLOR

Ejercicio 1. Expresar el polinomio P (x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 en potencias de x− 1.

Ejercicio 2. Expresar el polinomio P (x) = 1+2(x−1)+3(x−1)2 +4(x−1)3 +5(x−1)4,sin desarrollarlo, en potencias de x.

Ejercicio 3. Obtener los desarrollos de Talor en x = 0 (de MacLaurin), de grado menoro igual que 4, de las siguientes funciones.

f(x) = ex, f(x) = cos x, f(x) = senx,

f(x) = ln(x + 1), f(x) =1

1− x, f(x) =

1√1− x

,

f(x) = senhx, f(x) = cosh x, f(x) = arctanx.

Ejercicio 4.

i) Comparar graficamente la funcion f(x) = senx, con g(x) = x− x3

6en [−π, π].

ii) Comparar graficamente la funcion f(x) = tanx, con g(x) = x +x3

3, primero en

[−1, 1], y luego en [−3, 3], explicando el resultado.

Ejercicio 5. Acotar el error cometido al utilizar P4,1(x) en vez de lnx, para calcularln(1.5), donde P4,1(x) es el polinomio de Taylor de grado 4 en x = 1, correspondiente a lafuncion lnx.

Ejercicio 6. Calcular√

e utilizando para ello el P3,0(x) correspondiente a la funcion ex,y acotar el error cometido.

Ejercicio 7. Acotar el error cometido al utilizar P2,27(x) en vez de 3√

x al calcular 3√

30.

Ejercicio 8. Aplicar el desarrollo de Taylor al calculo de los siguientes lımites funcionales.

limx→0

x− sen x

x3, lim

x→0

tanx− arctanx

x3.