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UNIVERSIDAD FERMIN TORO
ESCUELA DE INGENIERIA
CABUDARE ESTADO LARA
MATEMATICA II
INTEGRAL DEFINIDA
ALBA ALVARADO
NOVIEMBRE 2012
INTEGRAL DEFINIDA
RESUMEN DEL TEMA (PARTE PRÁCTICA)
1.-INTEGRAL DEFINIDA
El concepto de integral definida surge al intentar calcular el área encerrada bajo
una función continua , es decir, nuestro objetivo es calcular el área encerrada
entre el eje X, dos rectas paralelas al eje Y x = a y x = b , y la función continua:
Definición: Sea f una función continua en [a,b tal que f(x) 0 en el intervalo.
El área encerrada entre la gráfica de f, el eje X y las abcisas x = a y x=b, la
llamaremos integral definida de f(x) entre a y b y se designa por f x dx
a
b
( ) .
Hay que hacer notar que el resultado de f x dx
a
b
( ) no depende de la variable x ya
que se trata de un valor numérico puesto que es el resultado de calcular un área.
Así f x dx
a
b
( ) = f t dt
a
b
( ) .
2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1. f x dx
a
a
( ) = 0 cualquiera que sea f . Esta claro que su valor es 0 ya que no existe
un recinto del que podamos calcular un área.
2. Si f(x) > 0 y continua en [a,b , entonces
f x dx
a
b
( ) > 0 y si f(x) < 0 y continua en [a,b ,
entonces f x dx
a
b
( ) < 0.
3. Si a < b < c y f es continua en [a,c , entonces : f x dx
a
b
( ) + f x dx
b
c
( ) = f x dx
a
c
( )
Las propiedades 2 y 3 nos dan la clave para calcular el área bajo una función
que cambia de signo en el intervalo dónde lo estamos calculando, así en el
siguiente ejemplo si calculamos directamente f x dx( )
2
9
obtendremos 5-3+1 = 3
u2 lo cuál es falso ya que el área correspondiente a la
parte negativa también se debe sumar y no restar. Para
evitar esto debemos calcular la integral en cada uno de
los intervalos de forma que la función sea siempre
positiva o siempre negativa y cambiar de signo a la que
le corresponde la parte negativa: Área = f x dx( )
2
5
-
f x dx( )
5
8
f x dx( )
8
9
= 5+3+1=9 u2.
4. f x dx
a
b
( ) + g x dx
a
b
( ) = ( ( ) ( ))f x g x dx
a
b
5. K· f x dx
a
b
( ) = K f x dx
a
b
• ( ) Para K un número real cualquiera.
6. Si para cada x [a,b se cumple que f(x) g(x), entonces f x dx
a
b
( ) g x dx
a
b
( ) .
7. Si f es una función continua en [a,b , entonces existe c [a,b tal que:
f x dx
a
b
( ) = f(c) (b-a) (Teorema del valor medio del cálculo integral)
3. LA INTEGRAL Y SU RELACIÓN CON LA DERIVADA
Función área: Dada una función f continua en [a,b podemos calcular f t dt
a
x
( )
para cualquier x [a,b (corresponderá al área comprendida entre a y x). Por
tanto podemos considerar la función F(x) = f t dt
a
x
( ) , que asigna a cada x [a,b
el valor del área bajo f(x) entre a y el punto x.
Teorema fundamental del cálculo integral: Si f es una función continua en
[a,b , entonces F(x) = f t dt
a
x
( ) con x [a,b , es derivable y además F´(x) = f(x).
Regla de Barrow: Si f(x) es una función continua en [a,b y G(x) es una
primitiva suya, entonces : f x dx
a
b
( ) = G(b) -G(a)
EJEMPLO
Queremos calcular ( )x x dx2
1
3
:
1. Calculamos una primitiva de f(x) : ( )x x dx2 = x x3 2
3 2= G(x)
2. Calculo G(1) = 5/6 y G(3) = 27/2
3. Calculo: ( )x x dx2
1
3
=x x3 2
3 2 x
x
1
3= 27/2 -5/6 = 76/6 =38/3 u2
4. CÁLCULO DE ÁREAS MEDIANTE INTEGRALES
A) CÁLCULO DEL ÁREA ENCERRADA BAJO UNA FUNCIÓN ENTRE
DOS PUNTOS:
EJEMPLO : Nos piden calcular el área comprendida entre f(x)= x3-9x , los
puntos de abcisa x=-2, x=3 y el eje X.
Para ello calcularemos: ( )x x dx3
2
3
9 Si aplicamos directamente la regla de
Barrow obtendremos un resultado erróneo ya que no hemos comprobado si
existen tramos negativos de la función en el intervalo (-2, 3) .
Para calcular el área pedida seguiremos los siguientes pasos:
1. Resolvemos la ecuación x3-9x = 0 para calcular dónde corta al eje X. El
resultado son los puntos -3, 0 y 3.
2. Seleccionamos las raíces afectadas en nuestro problema, que son las que
pertenezcan al intervalo [-2,3 : en nuestro caso 0 y 3.
3. Descomponemos Área = | ( )x x dx3
2
0
9 | +| ( )x x dx3
0
3
9 |
4. Calculamos una primitiva de x3- 9x : G(x) = x4/4-9x2/2.
5. Calculamos cada una de las integrales definidas ( )x x dx3
2
0
9 = 0 -(4- 18) =14
u2 y ( )x x dx3
0
3
9 = 81/4 - 81/2 -0 = -81/4 y ya podemos concluir que el área
buscada es 14 + 81/4 = 137/4 u2
B) ÁREA COMPRENDIDA ENTRE DOS CURVAS
El área comprendida entre dos curvas f y g es igual al área de f menos el área de
g entre los puntos de corte de f y g.
En el dibujo tenemos f(x) = -x2 +6x -4 y g(x) = x . Calculamos los puntos de
corte y resultan x =1 y x = 4 y calculamos f(x)-g(x) = -x2 +5x -4 y calculamos el
área comprendida entre 1, 4 bajo f-g:
Resolvemos -x2 +5x -4=0 y resulta 1 y 4 que coinciden con los extremos de la
integral definida .
Calculamos
x x dxx x
x u23 2
1
4 2
1
4
5 53
5
25
64
340 20
1
3
5
25
3
2) ( )
B) VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN
Un trozo de curva y = f (x) en el intervalo [a, b , se hace girar alrededor del eje
X y se engendra un cuerpo de revolución:
El volumen del cuerpo será igual a f x dx
a
b2 ( )