UNIVERSIDAD FERMIN TORO

ESCUELA DE INGENIERIA

CABUDARE ESTADO LARA

MATEMATICA II

INTEGRAL DEFINIDA

ALBA ALVARADO

NOVIEMBRE 2012

INTEGRAL DEFINIDA

RESUMEN DEL TEMA (PARTE PRÁCTICA)

1.-INTEGRAL DEFINIDA

El concepto de integral definida surge al intentar calcular el área encerrada bajo

una función continua , es decir, nuestro objetivo es calcular el área encerrada

entre el eje X, dos rectas paralelas al eje Y x = a y x = b , y la función continua:

Definición: Sea f una función continua en [a,b tal que f(x) 0 en el intervalo.

El área encerrada entre la gráfica de f, el eje X y las abcisas x = a y x=b, la

llamaremos integral definida de f(x) entre a y b y se designa por f x dx

a

b

( ) .

Hay que hacer notar que el resultado de f x dx

a

b

( ) no depende de la variable x ya

que se trata de un valor numérico puesto que es el resultado de calcular un área.

Así f x dx

a

b

( ) = f t dt

a

b

( ) .

2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

1. f x dx

a

a

( ) = 0 cualquiera que sea f . Esta claro que su valor es 0 ya que no existe

un recinto del que podamos calcular un área.

2. Si f(x) > 0 y continua en [a,b , entonces

f x dx

a

b

( ) > 0 y si f(x) < 0 y continua en [a,b ,

entonces f x dx

a

b

( ) < 0.

3. Si a < b < c y f es continua en [a,c , entonces : f x dx

a

b

( ) + f x dx

b

c

( ) = f x dx

a

c

( )

Las propiedades 2 y 3 nos dan la clave para calcular el área bajo una función

que cambia de signo en el intervalo dónde lo estamos calculando, así en el

siguiente ejemplo si calculamos directamente f x dx( )

2

9

obtendremos 5-3+1 = 3

u2 lo cuál es falso ya que el área correspondiente a la

parte negativa también se debe sumar y no restar. Para

evitar esto debemos calcular la integral en cada uno de

los intervalos de forma que la función sea siempre

positiva o siempre negativa y cambiar de signo a la que

le corresponde la parte negativa: Área = f x dx( )

2

5

-

f x dx( )

5

8

f x dx( )

8

9

= 5+3+1=9 u2.

4. f x dx

a

b

( ) + g x dx

a

b

( ) = ( ( ) ( ))f x g x dx

a

b

5. K· f x dx

a

b

( ) = K f x dx

a

b

• ( ) Para K un número real cualquiera.

6. Si para cada x [a,b se cumple que f(x) g(x), entonces f x dx

a

b

( ) g x dx

a

b

( ) .

7. Si f es una función continua en [a,b , entonces existe c [a,b tal que:

f x dx

a

b

( ) = f(c) (b-a) (Teorema del valor medio del cálculo integral)

3. LA INTEGRAL Y SU RELACIÓN CON LA DERIVADA

Función área: Dada una función f continua en [a,b podemos calcular f t dt

a

x

( )

para cualquier x [a,b (corresponderá al área comprendida entre a y x). Por

tanto podemos considerar la función F(x) = f t dt

a

x

( ) , que asigna a cada x [a,b

el valor del área bajo f(x) entre a y el punto x.

Teorema fundamental del cálculo integral: Si f es una función continua en

[a,b , entonces F(x) = f t dt

a

x

( ) con x [a,b , es derivable y además F´(x) = f(x).

Regla de Barrow: Si f(x) es una función continua en [a,b y G(x) es una

primitiva suya, entonces : f x dx

a

b

( ) = G(b) -G(a)

EJEMPLO

Queremos calcular ( )x x dx2

1

3

:

1. Calculamos una primitiva de f(x) : ( )x x dx2 = x x3 2

3 2= G(x)

2. Calculo G(1) = 5/6 y G(3) = 27/2

3. Calculo: ( )x x dx2

1

3

=x x3 2

3 2 x

x

1

3= 27/2 -5/6 = 76/6 =38/3 u2

4. CÁLCULO DE ÁREAS MEDIANTE INTEGRALES

A) CÁLCULO DEL ÁREA ENCERRADA BAJO UNA FUNCIÓN ENTRE

DOS PUNTOS:

EJEMPLO : Nos piden calcular el área comprendida entre f(x)= x3-9x , los

puntos de abcisa x=-2, x=3 y el eje X.

Para ello calcularemos: ( )x x dx3

2

3

9 Si aplicamos directamente la regla de

Barrow obtendremos un resultado erróneo ya que no hemos comprobado si

existen tramos negativos de la función en el intervalo (-2, 3) .

Para calcular el área pedida seguiremos los siguientes pasos:

1. Resolvemos la ecuación x3-9x = 0 para calcular dónde corta al eje X. El

resultado son los puntos -3, 0 y 3.

2. Seleccionamos las raíces afectadas en nuestro problema, que son las que

pertenezcan al intervalo [-2,3 : en nuestro caso 0 y 3.

3. Descomponemos Área = | ( )x x dx3

2

0

9 | +| ( )x x dx3

0

3

9 |

4. Calculamos una primitiva de x3- 9x : G(x) = x4/4-9x2/2.

5. Calculamos cada una de las integrales definidas ( )x x dx3

2

0

9 = 0 -(4- 18) =14

u2 y ( )x x dx3

0

3

9 = 81/4 - 81/2 -0 = -81/4 y ya podemos concluir que el área

buscada es 14 + 81/4 = 137/4 u2

B) ÁREA COMPRENDIDA ENTRE DOS CURVAS

El área comprendida entre dos curvas f y g es igual al área de f menos el área de

g entre los puntos de corte de f y g.

En el dibujo tenemos f(x) = -x2 +6x -4 y g(x) = x . Calculamos los puntos de

corte y resultan x =1 y x = 4 y calculamos f(x)-g(x) = -x2 +5x -4 y calculamos el

área comprendida entre 1, 4 bajo f-g:

Resolvemos -x2 +5x -4=0 y resulta 1 y 4 que coinciden con los extremos de la

integral definida .

Calculamos

x x dxx x

x u23 2

1

4 2

1

4

5 53

5

25

64

340 20

1

3

5

25

3

2) ( )

B) VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN

Un trozo de curva y = f (x) en el intervalo [a, b , se hace girar alrededor del eje

X y se engendra un cuerpo de revolución:

El volumen del cuerpo será igual a f x dx

a

b2 ( )