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GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

Sesión 1.1

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

LOGRO:

Al finalizar la unidad el alumno, describe en forma ordenada regiones del plano y del espacio limitadas por superficies, empleando los diferentes sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas, valorando la gráfica como elemento auxiliar en la interpretación de las situaciones.

 

Describir: Significa representar, en forma analítica, el conjunto de todos los puntos de una región utilizando inecuaciones para indicar las variaciones de las variables.

Habilidades

H1. Esboza las superficies haciendo un análisis de sus propiedades.

H2. Define una superficie cuadrática.

H3. Identifica y describe las superficies cuádricas.

H4. Traza las curvas como intersección de dos superficies.

Temario

1. Superficies

2. Discusión de la ecuación de una superficie.

3. Superficies Cuádricas.

4. Superficies Cuádricas Incompletas. Cilindros.

5. Superficies Cuádricas completas.

6. Curvas en el espacio.

Ejemplo 1

Trace la gráfica de la ecuación

2xz

Cortes con los ejes coordenados

Cortes con los planos coordenados (Trazas)

Con el plano xy : z = 0.

Con el plano yz : x = 0.

Con el plano xz : y = 0.

2. Discusión de la ecuación de una superficie.

Con el eje x : Hagamos, y = 0 y z = 0 x = xo

Con el eje y : Hagamos, x = 0 y z = 0 y = yo

Con el eje z : Hagamos, x = 0 y y = 0 z = zo

Secciones planas paralelas a los planos coordenados

Paralelos a xy : z = k.

Paralelos a yz . x = k.

Paralelos a xz : y = k.

Ejemplo 2.

Discutir las ecuaciones:

02a 2 zx

22b xyz

Definición Se llama superficie cuádrica al conjunto de todos los puntos, y solamente de aquellos puntos, cuyas coordenadas satisfacen una sola ecuación de la forma:

3. Superficie Cuádrica

2 2 2 0 (1)Ax By Cz Dxy Eyz Fxz Gx Hy Iz J

Ejemplo 3(a)

(b)

(c)

94: 222 zyxS

22 43: yxzS

4: 222 zyxS

22 yxz Primer octante

2 2z y x 2z x

Otros ejemplos

Nota 1: No estudiaremos superficies rotadas, por tanto los coeficientes

D= E= F= 0

Nota 2: Toda ecuación de la forma (1) NO representa necesariamente es una

superficie, ejemplo:

0542 222 zyx

02 222 zyx

Un cilindro es una superficie generada por el desplazamiento de una recta llamada generatriz que se mueve de tal manera que se mantiene siempre paralela a una recta fija dada y corta siempre por una curva plana fija dada llamada directriz.

Cilindro

4. Superficies cuádricas incompletas.

Observar: La recta móvil se llama generatriz y la curva plana directriz de la superficie cilíndrica.

Cilindros con directriz cerrada

Ejemplo 4

Trace las superficies determinadas por las ecuaciones:

(c)

(b)

(a) 122 yx

422 zx

2yz

Nota 1: En este curso sólo consideraremos, que la directriz es una curva contenida en uno de los planos coordenados y las generatrices son paralelas a los ejes coordenados. A estos cilindros se les conoce como rectos.

Nota 2: La ecuación de una superficie cilíndrica recta, cuyas generatrices son perpendiculares al plano coordenado donde está su directriz, carece de la variable no medida en ese plano coordenado, en consecuencia se puede demostrar que una ecuación incompleta representa un cilindro.

4. Superficies cuádricas completas.

Ejemplo 5.

Identifique y trace las superficies determinadas por las ecuaciones:

149

222

zyx

224 yxz

(a)

(b)

(c) 144

22

2

z

yx

Mas ejemplos

5 Curvas en el espacio

Definición La totalidad de los puntos y solamente de aquellos puntos, cuyas coordenadas satisfacen simultáneamente las ecuaciones de dos superficies rectangulares independientes.

Nota 1: Las trazas de una superficie sobre los planos coordenados, y las secciones de una superficie por planos paralelos a los planos coordenados, son ejemplos especiales de curvas en el espacio.

Ejemplo 6.Ejemplo 6.

Represente gráficamente la curva C dada como la intersección de las superficies

S1: x2 + y2 = 4

S2: z = 2

2

4a

22

z

yx

2 2z x y

by x

2 2 1

2

x yc

y z

2 2

2

1

4

x zd

y x

Ejemplo 7Ejemplo 7Represente gráficamente la curva C dada como la intersección de las superficies