Cinemática delPunto

Versión 04/09/2015

FÍSICA GENERAL ITema 1: Magnitudes físicas. Unidades y medidasTema 2: Vectores y sistemas de vectoresTema 3: Estática de sistemasTema 4: Cinemática del puntoTema 5: Cinemática del sólido rígidoTema 6: Cinemática relativa del puntoTema 7: Dinámica del puntoTema 8: Trabajo y energía ITema 9: Trabajo y energía IITema 10: Movimiento del punto bajo fuerzas centralesTema 11: Dinámica del los sistemas ITema 12: Dinámica de los sistemas II Tema 13: Medios deformables ITema 14: Medios deformables II

Tema 4: Cinemática del punto • Velocidad y aceleración• Triedro intrínseco; fórmulas de

Frenet• Componentes intrínsecas de la

velocidad y la aceleración • Estudio de movimientos sencillos• Velocidad y aceleración en

coordenadas polares

tr ttr

r

trvm

VELOCIDAD MEDIA Y VELOCIDAD INSTANTÁNEA

r dtrd

trv

t

0

lim

tv

tvam

ACELERACIÓN MEDIA Y ACELERACIÓN INSTANTÁNEA

v

dtvd

tva

t

0

lim

ttv

i

j

ji

tytxtr

ji

tytxtv

ji

tytxta

r

r

ruu

ttrtr ru

tttrttrtv uu r

u2u r2 rrrrta

Un punto sigue una trayectoria que expresada en coordenadas polares es y . Calcular:

• la componente radial de la velocidad

• la componente acimutal de la velocidad

• la componente radial de la aceleración

• la componente acimutal de la aceleración

BtABtrtvr exp

BtABttrtv exp

0expexp 222 BtABBtABrrtar

)exp(20)exp(22 22 BtABBtABrrta

i

k

j

kji

tztytxtr

kji

tztytxtv

kji

tztytxta

r

zρ uu tzttr

r

ρu

u

zu zρ uuu

tzttttv

z

ρ2

uu2

u

z

ta

Recta tangente

Pt

Plano osculador

Plano normalRecta normal principal

n

Plano rectificanteRec

ta b

inor

ma l

b

TRIEDRO INTRÍNSECO, FÓRMULAS DE FRENET Y VECTOR DE DARBOUX (1)

Recta tangente

tPlano osculador

Plano normalRecta normal principal

n

Plano rectificanteRec

ta b

inor

ma l

b

TRIEDRO INTRÍNSECO, FÓRMULAS DE FRENET Y VECTOR DE DARBOUX (2)

tA

tB

l

tB

tB - tA

tb

ndlbd

tbdlnd

ndltd

lC

l

0

lim1

nbdlbd

tbndlnd

ntdltd

tA

nA

bB

TRIEDRO INTRÍNSECO, FÓRMULAS DE FRENET Y VECTOR DE DARBOUX (3)

tb

nbdlbd

tbndlnd

ntdltd

AB

tB

nBbA

bAbB

0

1 lims

Ts

COMPONENTES INTRÍNSECAS DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

Marcha

v vt

2

t ndv va a t a n t ndt

aan

at

a

an

atn

2

cossin

ptz

tRtytRtx

0ta

0

sin

cos2

2

tztRty

tRtx

-0.50

0.51-0.5 0 0.5 1

0

0.5

1

1.5

2 2

2222222

4 pRzyxv

El módulo de la velocidad es

constante

naRzyxa 2222

RpR

av

n2

22

4

Un punto sigue la trayectoría helicoidal dada por las ecuaciones

tptz

tRtytRtx

2

sincos

donde R, p y son constantes. Encontrar las aceleraciones tangencial y normal y el radio de curvatura de flexión de la trayectoria para cualquier instante de tiempo.

1. Un proyectil sigue una trayectoria parabólica dada por las ecuaciones (m), (m). Calcular:

las aceleraciones tangenciales y normales del proyectil para los valores del tiempo 1s, 2s y 3s. (1.5 p)

la ordenada máxima que alcanza el proyectil (0.5 p) el radio de curvatura de la trayectoria en el punto de ordenada máxima (1 p)

2520

10

ttty

ttx

ttytx

102010

10

0

tytx

21020100

j1020i10tt

t

200j10i10)1(t

s

200j10i10)3(t

s

i)2(t

s

t

aat

252001001

sat

25200

1003 sat

02 sat

j10

a

22tn aaa

251 san

253 san

102 san

10222

2

sasvs

n

La trayectoria de un punto del perímetro de una rueda (CICLOIDE) es descrita por las siguientes ecuaciones paramétricas en función del tiempo expresadas en metros:

Tras el instante inicial, cuando la ordenada del punto es un metro por primera vez, calcule las aceleraciones tangencial y normal y el radio de curvatura de la trayectoria.

tty

tttxcos1sin

tty

ttxsin

cos1

tty

ttxcossin

El punto alcanza por primera vez la ordenada 1 en t=(/2) s

ji2

v 2v ji

21

2

t

i2

a

21

2

taat

2

12

22

tn aaa

m828.2222

2

nav

La trayectoria de un punto de una rueda de radio R situado a una distancia R/2 de su centro es descrita por las siguientes ecuaciones paramétricas en función del tiempo, siendo la velocidad angular de rodadura:

En el instante inicial t=0, el punto tiene coordenadas cartesianas (0,R/2). Calcule para el instante en el que el punto alcanza por primera vez su máximo valor de ordenada:

• Las coordenadas del punto.

RtRy23cos

211max

1t

1t

t0 =0 t1=/

Rty

Rtx

23

1

1

t0 =0 t1=/

• Las aceleraciones tangencial y normal del punto.

tRty

tRtx

sin21

cos211

tRty

tRtx

cos21

sin21

2

2

023

1

1

ty

Rtx

21

1

21

0

Rty

tx

i

t 0 taat

2

21 Ran

• El radio de curvatura de la trayectoria.

R

av

n 29

//2

Un punto recorre una circunferencia de radio 2 m partiendo del reposo y con una aceleración tangencial constante igual a 10 m/s2. Para el instante en que pase por vez primera por la posición inicial. Calcule:• El tiempo transcurrido Rtats t 2

21 2 s58,14

taRt

• La velocidad 1sm8,15 tatv t

• El módulo de la aceleración

]sm06,126][sm21,125[ 2222

2

Rvata t

ECUACIONES INTRÍNSECAS DE LA DINÁMICA (1)

bnt

bnt FFFF

nt2 v

dtdva amF

ntbnt2

vm

dtdvmFFF bnt

0

2

b

n

t

F

vmF

dtdvmF

CÁLCULO DE LA REACCIÓN NORMAL EN EL PUNTO MÁS ALTO DE UN CARRIL CIRCULAR POR EL QUE SE DESLIZA SIN ROZAMIENTO UN GRAVE DE DIMENSIONES DESPRECIABLES

R

pn

H

0

2

b

n

t

F

vmF

dtdvmF

2vmFn RvmmgN B

B

2

RmgmvmgH BA 221 2

52

RHmgN A

B

R

p

n

2R

CÁLCULO DE LA REACCIÓN NORMAL DE UN CARRIL CIRCULAR POR EL QUE SE DESLIZA SIN ROZAMIENTO UN GRAVE DE DIMENSIONES DESPRECIABLES

0

2

b

n

t

F

vmF

dtdvmF

2vmFn RvmmgN B

B

2

sin sin212 2 RRmgmvRmg B

sin32 mgNB

R

p

n

2R

CÁLCULO DE LA REACCIÓN NORMAL DE UN CARRIL CIRCULAR POR EL QUE SE DESLIZA SIN ROZAMIENTO UN GRAVE DE DIMENSIONES DESPRECIABLES (2)

sin32 mgNB

CINEMÁTICA DEL PUNTO

MOVIMIENTO ARMÓNICO (1)

tAtx sen

A

CINEMÁTICA DEL PUNTO

MOVIMIENTO ARMÓNICO (2)

T = 0.5 s

f = 2 Hz

T = 1 s

f = 1 Hz

T = 2 s

f = 0.5 Hz

fT 1

tAtx sen

MOVIMIENTO ARMÓNICO (3)

CINEMÁTICA DEL PUNTO

Tf 22

= 2 rad/s

f = 1 ciclo/s

tT

Asen

ftAsentAsentx

22

MOVIMIENTO ARMÓNICO (4)

CINEMÁTICA DEL PUNTO

tAtx sen

= 0

= /4

= /2

= 3/4

1/8 s

1/4 s

3/8 s

21

t

COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS DE LA MISMA FRECUENCIA EN FASE, OPOSICIÓN Y CUADRATURA

CINEMÁTICA DEL PUNTO

1=0

2=0

1=0

2=

1=0

2=/2

=1=2

=1 o 2

=1+atan(A2/A1)

EN FASE

EN OPOSICIÓN

EN CUADRATURA

COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS DE FRECUENCIAS PARECIDAS: PULSACIONES (1)

CINEMÁTICA DEL PUNTO

T1=1 s

T2=1.5 s

T1=1 s

T2=1.1 s

T1=1 s

T2=1.01 s

A1= A2

1=2

ttA

tAtAtx

2cos

2sen2

sensen

2121

21

COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS DE FRECUENCIAS PARECIDAS: PULSACIONES (2)

CINEMÁTICA DEL PUNTO

T1=1 s

T2=1.5 s

T1=1 s

T2=1.1 s

T1=1 s

T2=1.01 s

A1=0.75 m A2=0.25 m

1=2=0

COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SOBRE BASES PERPENDICULARES: CURVAS DE LISSAJOUS (1)

tBtytAtx

sensen

CINEMÁTICA DEL PUNTO

A=2 B=1

=0 =133

22

2

2

2

sencos2ABxy

By

Ax

COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SOBRE BASES PERPENDICULARES: CURVAS DE LISSAJOUS (2)

tBtytAtx

sensen

-

-

22

2

2

2

sencos2ABxy

By

Ax

COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SOBRE BASES PERPENDICULARES: CURVAS DE LISSAJOUS (3)

tBtytAtx

2

1

sensen

CINEMÁTICA DEL PUNTO

2 = 31

-

-

COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SOBRE BASES PERPENDICULARES: CURVAS DE LISSAJOUS (4)

tBtytAtx

2

1

sensen

CINEMÁTICA DEL PUNTO

-

-

2 = 1

COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SOBRE BASES PERPENDICULARES: CURVAS DE LISSAJOUS (5)

Pantalla