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Cinemática delPunto
Versión 04/09/2015
FÍSICA GENERAL ITema 1: Magnitudes físicas. Unidades y medidasTema 2: Vectores y sistemas de vectoresTema 3: Estática de sistemasTema 4: Cinemática del puntoTema 5: Cinemática del sólido rígidoTema 6: Cinemática relativa del puntoTema 7: Dinámica del puntoTema 8: Trabajo y energía ITema 9: Trabajo y energía IITema 10: Movimiento del punto bajo fuerzas centralesTema 11: Dinámica del los sistemas ITema 12: Dinámica de los sistemas II Tema 13: Medios deformables ITema 14: Medios deformables II
Tema 4: Cinemática del punto • Velocidad y aceleración• Triedro intrínseco; fórmulas de
Frenet• Componentes intrínsecas de la
velocidad y la aceleración • Estudio de movimientos sencillos• Velocidad y aceleración en
coordenadas polares
tr ttr
r
trvm
VELOCIDAD MEDIA Y VELOCIDAD INSTANTÁNEA
r dtrd
trv
t
0
lim
tv
tvam
ACELERACIÓN MEDIA Y ACELERACIÓN INSTANTÁNEA
v
dtvd
tva
t
0
lim
ttv
i
j
ji
tytxtr
ji
tytxtv
ji
tytxta
r
r
ruu
ttrtr ru
tttrttrtv uu r
u2u r2 rrrrta
Un punto sigue una trayectoria que expresada en coordenadas polares es y . Calcular:
• la componente radial de la velocidad
• la componente acimutal de la velocidad
• la componente radial de la aceleración
• la componente acimutal de la aceleración
BtABtrtvr exp
BtABttrtv exp
0expexp 222 BtABBtABrrtar
)exp(20)exp(22 22 BtABBtABrrta
i
k
j
kji
tztytxtr
kji
tztytxtv
kji
tztytxta
r
zρ uu tzttr
r
ρu
u
zu zρ uuu
tzttttv
z
ρ2
uu2
u
z
ta
Recta tangente
Pt
Plano osculador
Plano normalRecta normal principal
n
Plano rectificanteRec
ta b
inor
ma l
b
TRIEDRO INTRÍNSECO, FÓRMULAS DE FRENET Y VECTOR DE DARBOUX (1)
Recta tangente
tPlano osculador
Plano normalRecta normal principal
n
Plano rectificanteRec
ta b
inor
ma l
b
TRIEDRO INTRÍNSECO, FÓRMULAS DE FRENET Y VECTOR DE DARBOUX (2)
tA
tB
l
tB
tB - tA
tb
ndlbd
tbdlnd
ndltd
lC
l
0
lim1
nbdlbd
tbndlnd
ntdltd
tA
nA
bB
TRIEDRO INTRÍNSECO, FÓRMULAS DE FRENET Y VECTOR DE DARBOUX (3)
tb
nbdlbd
tbndlnd
ntdltd
AB
tB
nBbA
bAbB
0
1 lims
Ts
COMPONENTES INTRÍNSECAS DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
Marcha
v vt
2
t ndv va a t a n t ndt
aan
at
a
an
atn
2
cossin
ptz
tRtytRtx
0ta
0
sin
cos2
2
tztRty
tRtx
-0.50
0.51-0.5 0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2 2
2222222
4 pRzyxv
El módulo de la velocidad es
constante
naRzyxa 2222
RpR
av
n2
22
4
Un punto sigue la trayectoría helicoidal dada por las ecuaciones
tptz
tRtytRtx
2
sincos
donde R, p y son constantes. Encontrar las aceleraciones tangencial y normal y el radio de curvatura de flexión de la trayectoria para cualquier instante de tiempo.
1. Un proyectil sigue una trayectoria parabólica dada por las ecuaciones (m), (m). Calcular:
las aceleraciones tangenciales y normales del proyectil para los valores del tiempo 1s, 2s y 3s. (1.5 p)
la ordenada máxima que alcanza el proyectil (0.5 p) el radio de curvatura de la trayectoria en el punto de ordenada máxima (1 p)
2520
10
ttty
ttx
ttytx
102010
10
0
tytx
21020100
j1020i10tt
t
200j10i10)1(t
s
200j10i10)3(t
s
i)2(t
s
t
aat
252001001
sat
25200
1003 sat
02 sat
j10
a
22tn aaa
251 san
253 san
102 san
10222
2
sasvs
n
La trayectoria de un punto del perímetro de una rueda (CICLOIDE) es descrita por las siguientes ecuaciones paramétricas en función del tiempo expresadas en metros:
Tras el instante inicial, cuando la ordenada del punto es un metro por primera vez, calcule las aceleraciones tangencial y normal y el radio de curvatura de la trayectoria.
tty
tttxcos1sin
tty
ttxsin
cos1
tty
ttxcossin
El punto alcanza por primera vez la ordenada 1 en t=(/2) s
ji2
v 2v ji
21
2
t
i2
a
21
2
taat
2
12
22
tn aaa
m828.2222
2
nav
La trayectoria de un punto de una rueda de radio R situado a una distancia R/2 de su centro es descrita por las siguientes ecuaciones paramétricas en función del tiempo, siendo la velocidad angular de rodadura:
En el instante inicial t=0, el punto tiene coordenadas cartesianas (0,R/2). Calcule para el instante en el que el punto alcanza por primera vez su máximo valor de ordenada:
• Las coordenadas del punto.
RtRy23cos
211max
1t
1t
t0 =0 t1=/
Rty
Rtx
23
1
1
t0 =0 t1=/
• Las aceleraciones tangencial y normal del punto.
tRty
tRtx
sin21
cos211
tRty
tRtx
cos21
sin21
2
2
023
1
1
ty
Rtx
21
1
21
0
Rty
tx
i
t 0 taat
2
21 Ran
• El radio de curvatura de la trayectoria.
R
av
n 29
//2
Un punto recorre una circunferencia de radio 2 m partiendo del reposo y con una aceleración tangencial constante igual a 10 m/s2. Para el instante en que pase por vez primera por la posición inicial. Calcule:• El tiempo transcurrido Rtats t 2
21 2 s58,14
taRt
• La velocidad 1sm8,15 tatv t
• El módulo de la aceleración
]sm06,126][sm21,125[ 2222
2
Rvata t
ECUACIONES INTRÍNSECAS DE LA DINÁMICA (1)
bnt
bnt FFFF
nt2 v
dtdva amF
ntbnt2
vm
dtdvmFFF bnt
0
2
b
n
t
F
vmF
dtdvmF
CÁLCULO DE LA REACCIÓN NORMAL EN EL PUNTO MÁS ALTO DE UN CARRIL CIRCULAR POR EL QUE SE DESLIZA SIN ROZAMIENTO UN GRAVE DE DIMENSIONES DESPRECIABLES
R
pn
H
0
2
b
n
t
F
vmF
dtdvmF
2vmFn RvmmgN B
B
2
RmgmvmgH BA 221 2
52
RHmgN A
B
R
p
n
2R
CÁLCULO DE LA REACCIÓN NORMAL DE UN CARRIL CIRCULAR POR EL QUE SE DESLIZA SIN ROZAMIENTO UN GRAVE DE DIMENSIONES DESPRECIABLES
0
2
b
n
t
F
vmF
dtdvmF
2vmFn RvmmgN B
B
2
sin sin212 2 RRmgmvRmg B
sin32 mgNB
R
p
n
2R
CÁLCULO DE LA REACCIÓN NORMAL DE UN CARRIL CIRCULAR POR EL QUE SE DESLIZA SIN ROZAMIENTO UN GRAVE DE DIMENSIONES DESPRECIABLES (2)
sin32 mgNB
CINEMÁTICA DEL PUNTO
MOVIMIENTO ARMÓNICO (1)
tAtx sen
A
CINEMÁTICA DEL PUNTO
MOVIMIENTO ARMÓNICO (2)
T = 0.5 s
f = 2 Hz
T = 1 s
f = 1 Hz
T = 2 s
f = 0.5 Hz
fT 1
tAtx sen
MOVIMIENTO ARMÓNICO (3)
CINEMÁTICA DEL PUNTO
Tf 22
= 2 rad/s
f = 1 ciclo/s
tT
Asen
ftAsentAsentx
22
MOVIMIENTO ARMÓNICO (4)
CINEMÁTICA DEL PUNTO
tAtx sen
= 0
= /4
= /2
= 3/4
1/8 s
1/4 s
3/8 s
21
t
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS DE LA MISMA FRECUENCIA EN FASE, OPOSICIÓN Y CUADRATURA
CINEMÁTICA DEL PUNTO
1=0
2=0
1=0
2=
1=0
2=/2
=1=2
=1 o 2
=1+atan(A2/A1)
EN FASE
EN OPOSICIÓN
EN CUADRATURA
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS DE FRECUENCIAS PARECIDAS: PULSACIONES (1)
CINEMÁTICA DEL PUNTO
T1=1 s
T2=1.5 s
T1=1 s
T2=1.1 s
T1=1 s
T2=1.01 s
A1= A2
1=2
ttA
tAtAtx
2cos
2sen2
sensen
2121
21
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS DE FRECUENCIAS PARECIDAS: PULSACIONES (2)
CINEMÁTICA DEL PUNTO
T1=1 s
T2=1.5 s
T1=1 s
T2=1.1 s
T1=1 s
T2=1.01 s
A1=0.75 m A2=0.25 m
1=2=0
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SOBRE BASES PERPENDICULARES: CURVAS DE LISSAJOUS (1)
tBtytAtx
sensen
CINEMÁTICA DEL PUNTO
A=2 B=1
=0 =133
22
2
2
2
sencos2ABxy
By
Ax
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SOBRE BASES PERPENDICULARES: CURVAS DE LISSAJOUS (2)
tBtytAtx
sensen
-
-
22
2
2
2
sencos2ABxy
By
Ax
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SOBRE BASES PERPENDICULARES: CURVAS DE LISSAJOUS (3)
tBtytAtx
2
1
sensen
CINEMÁTICA DEL PUNTO
2 = 31
-
-
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SOBRE BASES PERPENDICULARES: CURVAS DE LISSAJOUS (4)
tBtytAtx
2
1
sensen
CINEMÁTICA DEL PUNTO
-
-
2 = 1
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SOBRE BASES PERPENDICULARES: CURVAS DE LISSAJOUS (5)
Pantalla