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Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración
Operaciones Aritméticas ConOperaciones Aritméticas ConOperaciones Aritméticas Con Operaciones Aritméticas Con SIGNOSIGNO
Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 1120072007--0808
•• SUMA:SUMA:•• SUMA:SUMA:–– Cuatro posibles casos: Cuatro posibles casos:
•• A y B son positivos > A+B > 0A y B son positivos > A+B > 0
Suma
•• A y B son positivos => A+B >= 0A y B son positivos => A+B >= 0•• A y B son negativos => A+B < 0A y B son negativos => A+B < 0•• A positivo y B negativo, con A > abs(B) => A+B>=0A positivo y B negativo, con A > abs(B) => A+B>=0
RestaMultiplica.
DivisiónAl B l
A positivo y B negativo, con A abs(B) A B 0A positivo y B negativo, con A abs(B) A B 0•• A positivo y B negativo, con abs(B) > A => A+B<0A positivo y B negativo, con abs(B) > A => A+B<0
–– En todos los casos el procedimiento es igual, En todos los casos el procedimiento es igual, Alg. Boole
Tbla VerdadCircuitos
Karnaugh
p gp gse suman los números y se descarta el bit de se suman los números y se descarta el bit de acarreo final (si lo hay)acarreo final (si lo hay)
Karnaugh–– OJO, los numeros negativos se representan en OJO, los numeros negativos se representan en
C2C2
20072007--0808 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 22
•• RESTA:RESTA:•• RESTA:RESTA:–– El mecanismo para restar dos numeros con El mecanismo para restar dos numeros con
signo es similar a la suma: asigno es similar a la suma: a--b = a+(b = a+(--b)b)
Suma
signo es similar a la suma: asigno es similar a la suma: a b = a+(b = a+( b)b)•• Procedimiento:Procedimiento:
–– Nos aseguramos de que ambos numeros tienen elNos aseguramos de que ambos numeros tienen elResta
Multiplica.División
Al B l
Nos aseguramos de que ambos numeros tienen el Nos aseguramos de que ambos numeros tienen el mismo número de digitos (si no, rellenamos con 0 por la mismo número de digitos (si no, rellenamos con 0 por la izda.)izda.)Cambiamos el signo al sustraendo (con el C1 o el C2)Cambiamos el signo al sustraendo (con el C1 o el C2)Alg. Boole
Tbla VerdadCircuitos
Karnaugh
–– Cambiamos el signo al sustraendo (con el C1 o el C2)Cambiamos el signo al sustraendo (con el C1 o el C2)–– Sumar el substraendo al minuendo de la forma habitual. Sumar el substraendo al minuendo de la forma habitual.
El ultimo bit nos indicará el signo. Si el signo es El ultimo bit nos indicará el signo. Si el signo es Karnaugh g gg gnegativo, el número estará representado en negativo, el número estará representado en Complemento.Complemento.
20072007--0808 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 33
••Multiplicación:Multiplicación:••Multiplicación:Multiplicación:–– Dos casos posibles: Dos casos posibles:
l dl d
Suma
•• A y B mismo signo => resultado positivoA y B mismo signo => resultado positivo•• A y B distinto signo => resultado negativoA y B distinto signo => resultado negativo
–– Procedimiento:Procedimiento:Resta
Multiplica.División
Al B l
Procedimiento:Procedimiento:•• DeterminarDeterminar el el signosigno de ambos de ambos numerosnumeros
•• MultiplicadorMultiplicador yy multiplicandomultiplicando expresadosexpresados enen binariobinarioAlg. BooleTbla Verdad
Circuitos Karnaugh
•• MultiplicadorMultiplicador y y multiplicandomultiplicando expresadosexpresados en en binariobinarionatural (natural (OjoOjo sisi algunoalguno eses negativonegativo, , estaráestará expresadoexpresadoen C2 en C2 seguramenteseguramente, y , y habráhabrá queque volvervolver a a ComplementarloComplementarlo))Karnaugh ComplementarloComplementarlo))
•• RealizarRealizar la la multiplicacionmultiplicacion. Si . Si signosigno del del pasopaso 1 1 esespositivopositivo, el , el resultadoresultado se se quedaqueda comocomo estáestá. Si era . Si era negativonegativo complementamoscomplementamos a 2 ya 2 y añadimosañadimos bit debit denegativonegativo, , complementamoscomplementamos a 2 y a 2 y añadimosañadimos bit de bit de signosigno..
20072007--0808 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 44
División:División:División:División:•• Dos posibilidades:Dos posibilidades:
Suma
–– A y B mismo signo => Resultado positivoA y B mismo signo => Resultado positivo–– A y B distinto signo => Resultado negativoA y B distinto signo => Resultado negativo
RestaMultiplica.
DivisiónAl B l
•• Procedimiento:Procedimiento:–– Determinar el bit de signo en Determinar el bit de signo en funcionfuncion de los de los operandosoperandos–– Dividendo y divisor en binario real, si alguno negativo Dividendo y divisor en binario real, si alguno negativo
d h l C2d h l C2Alg. BooleTbla Verdad
Circuitos Karnaugh
deshacer el C2deshacer el C2–– Inicializar el cociente a 0Inicializar el cociente a 0–– Restar divisor a dividendo. (restaremos sumando el C2 del Restar divisor a dividendo. (restaremos sumando el C2 del
divisor) El acarreo se pierde Si resto negativo o cero FIN sidivisor) El acarreo se pierde Si resto negativo o cero FIN siKarnaugh divisor). El acarreo se pierde. Si resto negativo o cero FIN, si divisor). El acarreo se pierde. Si resto negativo o cero FIN, si resto positivo, incrementamos el cociente y seguimosresto positivo, incrementamos el cociente y seguimos
–– Si bit de signo positivo, el resultado se queda tal cual, sino, Si bit de signo positivo, el resultado se queda tal cual, sino, g p , q , ,g p , q , ,complementamoscomplementamos a 2 y a 2 y añadimosañadimos bit de bit de signosigno..
20072007--0808 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 55
Funciones LógicasFunciones Lógicasgg
Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 6620072007--0808
•• Algebra de Boole:Algebra de Boole:•• Algebra de Boole:Algebra de Boole:–– Desarrollada en 1947 por George Boole y se Desarrollada en 1947 por George Boole y se
usa para resolver problemas lógicousa para resolver problemas lógico resolutivosresolutivos
Suma
usa para resolver problemas lógicousa para resolver problemas lógico--resolutivos. resolutivos. Son las matemáticas de los sistemas digitales.Son las matemáticas de los sistemas digitales.
–– Definiciones:Definiciones:Resta
Multiplica.División
Al B l
Definiciones:Definiciones:•• Variable lógica: Variable lógica: Aquella variable que toma sólo Aquella variable que toma sólo
valores del conjunto B={0,1}valores del conjunto B={0,1}Alg. Boole
Tbla VerdadCircuitos
Karnaugh
•• Complemento:Complemento: El inverso de una variableEl inverso de una variable•• Función lógica:Función lógica: Dadas n variables lógicas, se dice Dadas n variables lógicas, se dice
que F es una función logica si el resultado deque F es una función logica si el resultado deKarnaugh que F es una función logica si el resultado de que F es una función logica si el resultado de evaluar la función está en el conjunto B={0,1}evaluar la función está en el conjunto B={0,1}
20072007--0808 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 77
•• Teoremas y Propiedades:Teoremas y Propiedades:•• Teoremas y Propiedades:Teoremas y Propiedades:
SumaResta
Multiplica.División
Al B lAlg. BooleTbla Verdad
Circuitos KarnaughKarnaugh
20072007--0808 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 88
•• Teoremas y Propiedades:Teoremas y Propiedades:•• Teoremas y Propiedades:Teoremas y Propiedades:
SumaResta
Multiplica.División
Al B lAlg. BooleTbla Verdad
Circuitos KarnaughKarnaugh
20072007--0808 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 99
•• Teorema de DeMorgan:Teorema de DeMorgan:•• Teorema de DeMorgan:Teorema de DeMorgan:
SumaResta
Multiplica.División
Al B lAlg. BooleTbla Verdad
Circuitos KarnaughKarnaugh
20072007--0808 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 1010
•• Funciones LógicasFunciones Lógicas•• Funciones LógicasFunciones Lógicas
SumaResta
Multiplica.División
Al B lAlg. BooleTbla Verdad
Circuitos KarnaughKarnaugh
–– Una función lógica puede expresarse de dos Una función lógica puede expresarse de dos formas:formas:•• E p esión Algeb aicaE p esión Algeb aica•• Expresión AlgebraicaExpresión Algebraica•• Tabla de VerdadTabla de Verdad
20072007--0808 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 1111
•• Expresión AlgebraicaExpresión Algebraica•• Expresión AlgebraicaExpresión Algebraica–– Tres operaciones lógicas básicas:Tres operaciones lógicas básicas:
Suma
•• Suma lógica (+), llamada ORSuma lógica (+), llamada OR•• Producto lógico (.), llamada ANDProducto lógico (.), llamada AND
RestaMultiplica.
DivisiónAl B l
•• Negación, llamada NOTNegación, llamada NOT
Alg. BooleTbla Verdad
Circuitos KarnaughKarnaugh
20072007--0808 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 1212
•• Forma canónica de una funciónForma canónica de una función•• Forma canónica de una función.Forma canónica de una función.
Suma– Los términos canónicos se pueden expresar de una
forma más cómoda mediante un número binario Resta
Multiplica.División
Al B l
obtenido de sustituir los literales del término por 1 o 0, dependiendo del tipo de término canónico.
– El criterio es el siguiente:Alg. BooleTbla Verdad
Circuitos Karnaugh
El criterio es el siguiente:• Término producto canónico: si la variable está afirmada la
sustituimos por un 1 (a = 1) y si está negada por un 0 (a = 0)Karnaugh )
• Término suma canónica: es a la inversa, es decir, si la variable está afirmada la sustituimos por un 0 (a = 0) y si está negada por un 1 (a = 1).
– El numero binario obtenido expresado en decimal, nos da los mi (miniterminos .) y los Mi (maxiterminos +)
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•• Forma canónica de una funciónForma canónica de una función•• Forma canónica de una función.Forma canónica de una función.
SumaResta
Multiplica.División
Al B lAlg. BooleTbla Verdad
Circuitos KarnaughKarnaugh
20072007--0808 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 1414
•• ConversionesConversiones•• ConversionesConversiones– Aplicando las leyes distributivas, podemos convertir cualquier
función que no esté en forma canónica a suma de productos o
Suma
q pproductos de sumas (forma canónica).
– Aplicando los teoremas de DeMorgan, podemos convertir una función expresada en sumas de productos (minitérminos) a
RestaMultiplica.
DivisiónAl B l
función expresada en sumas de productos (minitérminos) a producto de sumas (maxitérminos) y viceversa.
Alg. BooleTbla Verdad
Circuitos KarnaughKarnaugh
20072007--0808 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 1515
•• ConversionesConversiones•• ConversionesConversiones–– Forma NO canónica a CANONICAForma NO canónica a CANONICA
Suma
•• Primero convertimos a suma de productosPrimero convertimos a suma de productos
RestaMultiplica.
DivisiónAl B l
•• Convertimos cada termino a su forma Convertimos cada termino a su forma canónica. Dos posibilidades:canónica. Dos posibilidades:
Alg. BooleTbla Verdad
Circuitos Karnaugh
–– Conversión suma de productos a forma canónicaConversión suma de productos a forma canónica
Karnaugh
–– Conversión producto de sumas a forma canónicaConversión producto de sumas a forma canónicapp
20072007--0808 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 1616
•• Suma de productos canónicaSuma de productos canónica•• Suma de productos canónicaSuma de productos canónica– Tenemos que multiplicar cada término producto que no esté en forma
canónica por un término formado por la suma de la variable que le
Suma
falta y su complemento, cuyo valor lógico es 1. Al multiplicar por 1 no se altera el valor de un término producto. El número de términos producto se duplica por cada variable que falta.
RestaMultiplica.
DivisiónAl B lAlg. Boole
Tbla VerdadCircuitos
KarnaughKarnaugh
20072007--0808 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 1717
•• Producto de sumas canónicaProducto de sumas canónica•• Producto de sumas canónicaProducto de sumas canónica– Tenemos que sumar a cada término suma que no esté en forma
canónica un término formado por el producto de la variable que le
Suma
falta y su complemento, cuyo valor lógico es 0. Al sumar 0 no se altera el valor de un término suma. El número de términos suma se duplica por cada variable que falta.
RestaMultiplica.
DivisiónAl B lAlg. Boole
Tbla VerdadCircuitos
KarnaughKarnaugh
20072007--0808 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 1818
Idénticos, eliminamos uno
•• Tablas de Verdad:Tablas de Verdad:•• Tablas de Verdad:Tablas de Verdad:–– Obtención de la tabla de verdad desde la expresión Obtención de la tabla de verdad desde la expresión
algebraica en forma canónica:algebraica en forma canónica:T t l l t i d i bl ló iT t l l t i d i bl ló i
Suma
•• Tantas columnas en la parte izda como variables lógicasTantas columnas en la parte izda como variables lógicas•• Escribimos en la parte izda todas las combinaciones Escribimos en la parte izda todas las combinaciones
posibles de las variables y en la columna dcha los valores posibles de las variables y en la columna dcha los valores de la función para esos valores de variablesde la función para esos valores de variables
RestaMultiplica.
DivisiónAl B l
de la función para esos valores de variables.de la función para esos valores de variables.–– Dos posibilidades:Dos posibilidades:
•• Suma de productosSuma de productosP d t i d t l l l l bi iP d t i d t l l l l bi iAlg. Boole
Tbla VerdadCircuitos
Karnaugh
–– Para cada termino producto, calculamos los valores binarios Para cada termino producto, calculamos los valores binarios que hacen cierto al termino, sustituimos variables por 1 y que hacen cierto al termino, sustituimos variables por 1 y variables negadas por 0variables negadas por 0
–– Ponemos un 1 en la función de salida de la tabla de verdad Ponemos un 1 en la función de salida de la tabla de verdad Karnaughpara las combinaciones anteriores y un 0 para el restopara las combinaciones anteriores y un 0 para el resto
•• Producto de sumasProducto de sumas–– Para cada termino suma, calculo valores binarios, pero esta Para cada termino suma, calculo valores binarios, pero esta
0 l i bl 1 l d0 l i bl 1 l dvez pongo 0 para las variables y 1 para las negadasvez pongo 0 para las variables y 1 para las negadas–– Ponemos un 1 en la función de salida de la tabla de verdad Ponemos un 1 en la función de salida de la tabla de verdad
para las combinaciones anteriores y un 0 para el resto.para las combinaciones anteriores y un 0 para el resto.
20072007--0808 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 1919
•• Tablas de Verdad:Tablas de Verdad:•• Tablas de Verdad:Tablas de Verdad:–– Obtención de la expresión algebraica a partir Obtención de la expresión algebraica a partir
de la tabla de verdad:de la tabla de verdad:
Suma
de la tabla de verdad:de la tabla de verdad:•• Implementación por “1” => Suma de productosImplementación por “1” => Suma de productos
– Escribimos el término producto asociado a cada Resta
Multiplica.División
Al B l
pcombinación cierta (1), con variables afirmadas si su valor en la combinación de entrada es 1 (1=a) y variables negadas si su valor es 0 (0=a)
Alg. BooleTbla Verdad
Circuitos Karnaugh
•• Implementación por “0” => Producto de sumasImplementación por “0” => Producto de sumas– Escribimos el término suma resultado de negar el
término producto asociado a cada combinación falsaKarnaugh término producto asociado a cada combinación falsa (0). Variables negadas si su valor de combinación de entrada es 1 (1=a), y variables afirmadas si su valor es 0 (0=a)es 0 (0 a)
20072007--0808 Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración 2020