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Modelado y Simulacin de Sistemas
Curso de Simulacin de Sistemas
MSc. Julio Rito Vargas A.2013
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Mapa Conceptual de la Clase
Utilidad
Modelo de
Simula
cin
S
I
S
T
E
M
A
M
O
D
E
L
O
Modelo
Analgi
coTipos de
Model
os
Tipos de
Simula
cinModelo
Matem
tico
continuo
discreto
Modelo
Fsico
continuo
eventos
3 /62
Objetivo de la conferencia
Definir los conceptos de sistema y modelo.
Identificar los tipos de modelos.
Definir el concepto de simulacin.
Identificar los tipos de modelos de simulacin.
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Tabla de Contenido
Objetivo
Sistemas
Modelos
Tipos de Modelos
Simulacin
Pertinencia de la simulacin
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Qu es un sistema?
Es un conjunto de partes inter-relaciondas.
Existe en un medio ambiente separado por sus lmites.
Persigue un objetivo.
Dependen del observador.
Lmite del sistema
Parte del sistema
Relacin
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Ejercicio 1
Todos los sistemas son iguales?
De qu depende?
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Definicin de los sistemas
Estructural
Se define el sistema identificando y describiendo cada una de sus partes.
Se considera que luego de hacer esto se puede conocer al sistema.
Funcional
Se define el sistema considerando cada una de sus partes como una caja negra y conociendo las interrelaciones que
existen entre ellas.
Se conoce al sistema, si es que se conoce su dinmica.
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Ejercicio 2
Diga a qu tipo de definicin corresponde cada uno de los
siguientes sistemas.
1. Diagrama de un circuito electrnico.
2. Plano de una casa.
3. Diagrama de procesos de una organizacin.
4. Organigrama.
5. Modelo de control de una planta.
6. Modelo epidemiolgico de una enfermedad.
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Propiedades de los sistemas
Sinergia.
La interrelacin de las partes es mayor o menor que lasimple suma de las partes.
Entropa
Indica el grado de desorden del sistema. Se puede reducirla entropa ingresando informacin al sistema.
Equilibrio homeosttico.
Equilibrio dinmico
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Ejercicio 3
Cul es un sistema?
11 /62
Dnde estn los sistemas?
Sistema?
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Dnde estn los sistemas?
Los sistemas son
constructos mentales.
Corresponden a la
representacin mental
de los objetos del mundo
real.
Cada sistema depende del
punto de vista del
observador (modelador).
Corresponden a modelos de
la realidad (modelo
mental)Diferentes Personas Diferentes Visiones Diferentes Sistemas
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Ejercicio 4
Qu observa?
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Ejercicio 5
Cul es el sistema?
el plano de la casa, la casa, ambos o ninguno
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MODELOS
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Modelos
Es una abstraccin de la realidad.
Es una representacin de la realidad que ayuda a entendercmo funciona.
Es una construccin intelectual y descriptiva de una entidaden la cual un observador tiene inters.
Se construyen para ser transmitidos.
Supuestos simples son usados para capturar elcomportamiento importante.
Un modelo es un sistema desarrollado para entender la realidad y en
consecuencia para modificarla.
No es posible modificar la realidad, en cierta direccin, si es que no se
dispone de un modelo que la interprete.
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Ejercicio 6
1. Indica mtodos/procedimientos alternativos para modificar
la realidad, sin necesidad de usar modelos abstractos.
Qu tan confiables son?
Se puede desarrollar una teora que las respalde?
2. Indique dominios del conocimiento humano donde todava
no se dispone de modelos que la interpreten.
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Ejercicio 7
Modelar la siguiente realidad
Qu aspecto es importante?
De quin depende la importancia?
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Modelos
Modelo
Sistema
RealObservador
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Para qu sirve un modelo?
Ayuda para el pensamiento
Ayuda para la comunicacin
Para entrenamiento
e instruccin
Ayuda para la experimentacin
Herramienta de prediccin
el modelo o la realidad?
Modelos Mentales y Formales
Modelos Mentales. Dependede nuestro punto de vista,
suele ser incompletos y no
tener un enunciado preciso,
no son fcilmente
transmisibles.
Ideas, conceptualizaciones
Modelo Formales. Estnbasados en reglas, son
transmisibles.
Planos, diagramas,
maquetas
Piedra de Sayhuite, Abancay
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Ejercicio 8
Diga a qu categora (mental o formal) pertenecen los
siguientes sistemas:
1. Opinin sobre el nuevo gabinete.
2. Opinin sobre el nuevo gabinete escrito en El Comercio.
3. Dibujo hecho a mano acerca de la nueva casa.
4. Plano de la nueva casa.
5. Modelo de clases o objetos del rea de ventas.
6. Orden en que llegan los insumos a una mquina.
7. Distribucin de probabilidad del orden en que llegan los
insumos a una mquina.
8. Orden que sigue un documento para ser aprobado.
9. Flujograma de aprobacin de documentos.
Mo
de
los fs
ico
s
Mo
de
los a
esca
la
Mo
de
los a
na
lg
ico
s
Sim
ula
ci
n p
or
com
puta
dora
Modelo
s
ma
tem
tico
s.
Modelos Icnicos y Abstractos
Exactitud Abstraccin
1. Planta piloto
2. Modelo de un tomo, globo terrqueo, maqueta
3. Reloj, medidores de voltaje, grfica de volumen/costo
4. Modelos de colas, modelos de robots
5. Velocidad, ecuaciones diferenciales.
icnico abstracto
Modelo analgico. Son aquellos en los que una propiedad del objeto real est representa-
da por una propiedad sustituida, por lo que en general se comporta de la misma
manera.
Ejercicio 9
1. Oficina Bancaria
2. Temperatura
3. Edificio
4. Pas
5. Empresa
6. Software
7. Epidemia
8. Reaccin Nuclear
9. Energa
1. Termmetro
2. Mapa
3. Plano
4. Organigrama
5. Flujograma
6. Diagrama Causal
7. Cola M/M/1
8. Modelo Matemtico
9. E = mc2
Relaciona las siguientes dos listas.
Identificar qu modelo(s) se usa(n) para representar los
siguientes aspectos de la realidad.
Indicar el tipo de modelo.
realidad modelo
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TIPOS DE MODELOS
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Tipos de modelos
Estocstico. Uno o ms parmetros aleatorios. Entradas fijas produce salidasdiferentes
Determinstico. Entradas fijas producen salidas fijas Esttico. Estado del sistema como un punto en el tiempo Dinmico. Estado del sistema como cambios en el tiempo Tiempo-continuo. El modelo permite que los estados del sistema cambien en
cualquier momento.
Tiempo-discreto. Los cambios de estado del sistema se dan en momentos discretosdel tiempo.
estocstico
determinstico
esttico dinmico
tiempo-discreto
tiempo-continuo
curso
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Determinstico
Si el estado de la variable en el
siguiente instante de tiempo se
puede determinar con los datos
del estado actual
Mtodo numrico: algn mtodo de
resolucin analtica
Estocstico - Determinstico
Estocstico (*)
Si el estado de la variable en el
siguiente instante de tiempo no se
puede determinar con los datos del
estado actual
Mtodo analtico: usa probabilidades
para determinar la curva de
distribucin de frecuencias
xi yi xi yi
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Discreto (*)
El estado del sistema cambia en
tiempos discretos del tiempo
e = f(nT)
Mtodo numrico: usa
procedimientos computacionales
para resolver el modelo
matemtico.
Continuo - Discreto
Continuo
El estado de las variables cambia
continuamente como una funcin del
tiempo
e = f (t)
Mtodo analtico: usa razonamiento de
matemticas deductivas para definir y
resolver el sistema
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Dinmico (*)
Si el estado de las variables puede
cambiar mientras se realiza algn
clculo
f [ nT ] f [ n(T+1) ]
Mtodo numrico: usa
procedimientos computacionales
para resolver el modelo
matemtico.
Esttico - Dinmico
Esttico
Si el estado de las variables no
cambian mientras se realiza algn
clculo
f [ nT ] = f [ n(T+1) ]
Mtodo analtico: algn mtodo de
resolucin analtica.
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Esttica versus Dinmica
Juega el tiempo un papel en el Modelo?
Cambios Continuos versus Cambios Discretos
Puede el estado cambiar continuamente o slo cambiar en algunos instantes del tiempo?
Determinstico versus Estocstico
Es todo cierto o existe incertidumbre?
La Mayora de los modelos Operacionales son:
Dinmicos, Cambios-Discretos y Estocsticos
Tipos de Simulacin
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Ejercicio 10
Para los siguientes sistemas, determine la variable de inters
y el tipo de sistema:
Sistema Variable de
Inters
Continu
a /
Discret
a
Estocst
ica/
Determi
nstica
Esttica
/
Dinmi
ca
Control de
inventarios
Demanda,
Pedido
Control de peaje Tiempo entre
Llegada
Diagnstico
mdico
Tiempo de
atencin
Despacho de
combustible
Tiempo entre
llegadas
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SIMULACION
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Simulacin
Es la construccin de modelos informticos quedescriben la parte esencial del comportamiento de un
sistema de inters, as como disear y realizar
experimentos con el modelo y extraer conclusiones de sus
resultados para apoyar la toma de decisiones.
Se usa como un paradigma para analizar sistemascomplejos. La idea es obtener una representacin
simplificada de algn aspecto de inters de la realidad.
Permite experimentar con sistemas (reales o propuestos)en casos en los que de otra manera esto sera imposible o
imprctico.
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Simulacin
El sistema simulado imita la operacin del sistema actual sobre eltiempo.
La historia artificial del sistema puede ser generado, observado yanalizado.
La escala de tiempo puede ser alterado segn la necesidad.
Las conclusiones acerca de las caractersticas del sistema actualpueden ser inferidos.
Sistema Actual
Sistema Simulado
parmetros
entrada(t)
salida(t)
=??
salida(t)
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Estructura de un modelo de simulacin
si = f(ci, ni)
ci: variable exgena controlable
ni: variable exgena no controlable
ei: variable endgena (estado del sistema)
si: variable endgena (salida del sistema)
ci
ni
ni
si
si
ei
ei
ei
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Ejercicio 11
Simular el comportamiento del siguiente sistema para 10 unidades de tiempo, k = 2 y y0 = -2
A qu tipo de modelo corresponde?
k
y0
yt = yt-1 + k yt
t Y
t
Yt-
1
0 -2 -4
1 0 -2
2 2 0
3 4 2
4 6 4
5 8 6
6 10 8
7 12 10
8 14 12
9 16 14
10 18 16
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PERTINENCIA
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Cuando es apropiado simular?
No existe una completa formulacin matemtica delproblema (lneas de espera, problemas nuevos).
Cuando el sistema an no existe (aviones, carreteras).
Es necesario desarrollar experimentos, pero su ejecucinen la realidad es difcil o imposible (armas, medicamentos,campaas de marketing)
Se requiere cambiar el periodo de observacin delexperimento (cambio climtico, migraciones, poblacin).
No se puede interrumpir la operacin del sistema actual(plantas elctricas, carreteras, hospitales).
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Tiempo
Costos de OperacinCON Simulacin
Costo Costos de OperacinSIN Simulacin
Justificacin Econmica
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Cundo no es apropiado simular?
El desarrollo del modelo de simulacin requiere muchotiempo.
El desarrollo del modelo es costoso comparado con susbeneficios.
La simulacin es imprecisa y no se puede medir suimprecisin. (El anlisis de sensibilidad puede ayudar).
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Maneras de estudiar un sistema
Segn Law y Kelton
Sistema
Experimentarcon el
sistema
Experimentarcon un modelo
del sistema
Modelo
fsicoModelo
matemtico
Solucin
analticaSIMULACIN
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Ejercicio 12
Diga qu problemas pueden ser estudiados mediante el uso
de modelos de simulacin:
1. Decidir si construir o no la carretera interocenica entre
Per y Brasil.
2. Decidir la aplicacin de una nueva vacuna.
3. Probar la efectividad de un sistema de armamento.
4. Decidir si es conveniente o no construir un puente.
5. Decidir cuantas ventanillas de atencin colocar en una
nueva oficina bancaria.
6. Decidir cuantos puntos de atencin a clientes colocar.
7. Decidir si construir o no una central nuclear en el Per.
8. Decidir si vender o no el puerto del Callao.
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Ejercicio 13
Sistema real:
Seccin de caja de un supermercado.
Identificar:
Elementos o entidades.
Actividades por cada entidad.
Variables exgenas:
Controlables.
No controlables.
Variables endgenas:
De estado
De salida
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Ejercicio 14
Sistema de colas con un solo canal, por ejemplo una cajaregistradora.
El tiempo de llegada entre clientes esta distribuido uniformementeentre 1 y 10 minutos.
El tiempo de atencin de cada cliente esta distribuido uniformementeentre 1 y 6 minutos.
Calcular: Tiempo promedio en que un cliente permanece dentro del sistema.
Porcentaje de tiempo desocupado del cajero.
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Solucin10 0 6
No
tiempo
llegada
Hora
llegada
Hora
inicio
servicio
tiempo
servicio
Hora fin
servicio
Tiempo
espera
Tiempo
cajero
inactivo
0
1 9 9 9 3 12 3 9
2 2 11 12 2 14 3 0
3 6 17 17 4 21 4 3
4 8 25 25 6 31 6 4
5 6 31 31 4 35 4 0
6 9 40 40 4 44 4 5
7 4 44 44 3 47 3 0
8 3 47 47 3 50 3 0
9 5 52 52 4 56 4 2
10 5 57 57 4 61 4 1
11 5 62 62 6 68 6 1
12 10 72 72 3 75 3 4
13 2 74 75 1 76 2 0
14 2 76 76 4 80 4 0
15 4 80 80 3 83 3 0
16 8 88 88 2 90 2 5
17 8 96 96 2 98 2 6
18 3 99 99 3 102 3 1
19 6 105 105 5 110 5 3
20 3 108 110 2 112 4 0
68 72 44
5.4 3.4 3.6 2.2
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Conclusiones
Los modelos se construyen para entender la realidad.
Los modelos de simulacin hacen uso intensivo del computador
El tipo comportamiento de las variables determinan el comportamiento del sistema.
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 1
Anlisis Dinmico de Sistemas2 Ing. Telecomunicacin
Tema 1. Concepto de Sistema
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 2
Concepto de seal
Seal: funcin de una o ms variables quetransportan informacin acerca de la naturaleza deun fenmeno [Haykin].
t
x(t)
tiempo
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 3
Concepto de sistema
Sistema [Haykin]: entidad que manipula una o msseales para llevar a cabo una funcin, produciendode ese modo nuevas seales.
Sistema [Puente]: conjunto de elementos, fsicos oabstractos, relacionados entre s de forma quemodificaciones o alteraciones en determinadasmagnitudes (variables, seales) de uno de ellospuedan influir o ser influidos por las de los dems.
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 4
Concepto de sistema
Elemento1
Elemento3
Elemento2
Elemento4
Sistema
Ejemplos desistemas:
Telfono mvil
Red decomputadores
Reactor qumico
Fuente dealimentacin
Filtro de seal
Sistema deposicionamientode satlite
Seal 1
Seal 2
Seal 3
Seal 4
Seal 5
Seal 6
Seal 7
Seal 0
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 5
Representaciones interna yexterna
Representacin externa: anlisis a partir de lasmanifestaciones externas del sistema. Filosofa de caja negra.Relacin entrada/salida funcin de transferencia.
Representacin interna: descripcin del sistema a travs devariables internas denominadas variables de estado: conjuntode variables tales que siendo conocidas para t=t0, y conocida laentrada para t>=t0, permite obtener la salida tambin para todot>=t0.
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 6
Representaciones interna yexterna
SistemaEntradas Salidas
Perturbaciones
Vbles. de estado: x1,x2,...,xn
u1u2u3...up
y1y2y3...yq
z1 z2 z3 ... zr
No usadas conrepresentacin externa
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 7
Tipos de sistemas
En bucle abierto / Realimentados Lineales / No lineales De parmetros concentrados / distribuidos Estacionarios / Variantes Deterministas / Estocsticos Monovariables / Multivariables Continuos / Discretos
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 8
Sistemas en Bucle Abierto
Bucle abierto: la seal de entrada actua directamentesobre el controlador del sistema.
Elementos decontrol Planta o proceso
Entrada Salida
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 9
Sistemas Realimentados
Bucle cerrado (realimentados): la seal de entrada, antesde ser introducida en el controlador del sistema, esmodificada en funcin de la salida.
Elementos decontrol Planta o proceso
Entrada Salida
Elementos derealimentacin
+
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 10
Sistemas Realimentados
Cerebro Ducha
Preferencia detemperatura Temperatura
piel
+
mano
actuadorregulador
sensor
consigna
proceso
Apertura grifo
agua fra
Seal nerviosa
mov. msculo
Seal nerviosa
sensacin
Error
Esquema tpico de control. Ejemplo de la ducha: el grifo del agua caliente est
abierto al mximo. Ajustamos temperatura del agua con el grifo de agua fra.
Ejemplo de perturbacin: alguien abre el grifo de agua caliente en otra parte de la casa, llega menos
agua caliente a la ducha y la mezcla se enfra. Gracias a la realimentacin el cerebro detecta la nueva
situacin y da la orden de cerrar un poco el grifo de agua fra.
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 11
Sistemas Lineales/No LinealesLos sistemas lineales cumplen el
Principio de Superposicin:
si
entonces
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 12
Sistemas de ParmetrosConcentrados/Distribuidos
Sistemas de parmetros concentrados: aquellos enlos que no es necesario considerar la distribucinespacial de sus parmetros (p.ej. la masa en unsistema mecnico) sino que se puede considerarconcentrados en un punto.
Sistemas de parmetros distribuidos: aquellos en losque es necesario considerar la distribucin espacialde sus parmetros.
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 13
Sistemas Estacionarios/Variantes
Sistemas estacionarios: sus parmetros sonconstantes. Ante la misma entrada en distintosinstantes responden igual.
Sistemas variantes: su comportamiento (parmetros)vara con el tiempo.
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 14
SistemasDeterministas/Estocsticos
Sistemas deterministas: su salida es predecible. Sedispone de modelos explcitos.
Sistemas estocsticos: su salida es impredecible.Estudio estadstico.
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 15
SistemasMonovariables/Multivariables
Sistemas monovariables: tienen una sola entrada yuna sola salida (SISO=Single Input Single Output).
Sistemas estocsticos: tienen ms de una entrada(MISO=Multiple Input Single Output) o ms de unasalida (SIMO=Multiple Input Single Output) o ambas(MIMO=Multiple Input Multiple Output).
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 16
Sistemas Continuos/Discretos
Sistemas continuos: sus seales son variablescontinuas en el tiempo.
Sistemas discretos: sus seales son consideradas oexisten slo a intervalos discretos de tiempo. Suelenser resultado de un muestreo de seales continuas.
x(t)
t
xk
k
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 17
Bibliografa
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 1 de 30
Tema 2
Anlisis Dinmico de Sistemas2 Ing. Telecomunicacin
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 2 de 30
Ecuaciones Diferenciales y Dinmicadefinicin de la RAE
4. m. Esquema terico, generalmente en formamatemtica, de un sistema o de una realidadcompleja, como la evolucin econmica de un pas,que se elabora para facilitar su comprensin y elestudio de su comportamiento.
Modelo: (definicin de la RAE)
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 3 de 30
Ecuaciones Diferenciales y Dinmicamodelo dinmico
Uno de los modelos dinmicos ms tpicos en Ingenieraes la Ecuacin Diferencial
En muchos procesos y sistemas son necesarias variasecuaciones diferenciales para describir adecuadamentela dinmica
Modelo DinmicoUn modelo dinmico constituye una descripcin,generalmente matemtica,del comportamiento dinmico un sistema.
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 4 de 30
Ecuaciones Diferenciales y Dinmicaprincipio de simplicidad Casi siempre, los modelos son aproximaciones ms o menos precisas del
proceso. Depende de qu se tenga en cuenta y qu se desprecia en el modelo (ej. a
veces se desprecia el rozamiento del aire, etc.)
simplicidad precisin
Navaja de Occam:Buscar el modelo ms simple posible
que describa suficientementelos factores que necesitamos analizar
en funcin de nuestro problema
qu debemos despreciar?
Estudiar el contexto del problema qu factores importan? qu factores pueden despreciarse? qu simplificaciones son asumibles?
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 5 de 30
Ecuaciones Diferenciales y Dinmicaecuacin diferencial
De una forma muy general, un sistema SISOpuede modelarse segn una ecuacin diferencial del tipo
Grficamente,
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 6 de 30
Ecuaciones Diferenciales y Dinmicaejemplo de sistema dinmico: masa en movimiento
segunda ley de Newton:
mF(t)
x(t)
Sistema(masa)
Sistema(masa)
F(t) x(t)
causa(entrada)
respuesta(salida)
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 7 de 30
Ecuaciones Diferenciales y Dinmicaejemplo de sistema dinmico: depsito
caudalde
entrada
caudalde
salida qs(t) depsitodepsitoqe(t) h(t)
causa(entrada)
qs(t)
respuestas(salidas)
[Ogata, p. 125]
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 8 de 30
Ecuaciones Diferenciales y Dinmicaejemplo de sistema dinmico: sistema de amortiguacin
m
K bx0
xi
[Ogata, p. 114]
vehculovehculoxi(t) xo(t)
causa(entrada)
respuesta(salida)
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 9 de 30
Linealidad y Superposicin
Un sistema es lineal si y solo si verifica el principio de superposicin:
si
entonces
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 10 de 30
Linealidad y Superposicin
La siguiente ecuacin diferencial
se denominaEcuacin Diferencial Lineal de coeficientes constantes (EDL-CC)
Este modelo matemtico: verifica la propiedad de superposicin describe con precisin la dinmica de muchos sistemas fsicos
Ejercicio:Demostrar la linealidad de la EDL-CCcomprobando que verifica el principio de superposicin
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 11 de 30
Linealidad y Superposicin
Tambin muchos sistemas son nolineales (ej: el depsito: demostrar queel depsito es un sistema lineal y quelos ejemplos de la masa y del sistemade amortiguacin son lineales)
Para sistemas no lineales no sonaplicables muchos de los mtodos deanlisis y modelado
Muchos sistemas son lineales pornaturaleza
Existen mtodos eficientes paratrabajar con sistemas lineales
Sistemas Lineales Sistemas No Lineales
LinealizacinObtener un modelo lineal aproximado
a partir de un modelo no lineal
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 12 de 30
Sistema Fsico
Modelo lineal
Mtodos aplicables asistemas lineales
Modelo no lineal simulacin
leyes de la Fsica
Linealizacin
Clculo operacionalmodelos grficostcnicas frecuenciales
Validacin
Computador(simulink, Matlab)
Metodologa de trabajo
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 13 de 30
Procedimiento de Linealizacin
Una funcin f(x) puede aproximarse por Taylor:
Tomando trminos de primer orden trminosde orden superior
(punto de equilibrio)
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 14 de 30
Para una funcin de varias variables,
siendo
el punto de equilibrio, en torno al cual es vlida la aproximacin
Procedimiento de Linealizacin
la aproximacin lineal (trminos de orden 1) sera:
Residuo(trminos de orden 2)
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 15 de 30
para el caso
Procedimiento de Linealizacin
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 16 de 30
Punto de equilibrioEl punto en torno al cual se linealizadebe ser un punto de equilibro del sistema
Procedimiento de Linealizacinpunto de equilibrio
Dado que en el equilibrio el sistema no varalas derivadas temporales son cero en dicho punto
... entonces se cumple que
0
0
En general,se cumple, por tanto,
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 17 de 30
Procedimiento de Linealizacin
definiendo:
queda finalmente:
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 18 de 30
Procedimiento de Linealizacin
puesto de otra forma (redefiniendo las constantes) queda:
o bien,
que es de la forma
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 19 de 30
Procedimiento de Linealizacininterpretacin grfica
x0
y0 punto de equilibrio
y = f(x)y-y0 = K(x-x0)
modelo linealizado
modelono lineal
puntode equilibrio
error muypequeo
proximidades del pto de equilibrio
(x0,y0)
error grandesi nosdesviamosdel ptode equilibrio
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 20 de 30
Procedimiento de Linealizacinaspectos prcticos El punto de trabajo es el estado de funcionamiento del sistema en
torno al cual vamos a trabajar, y debe ser un estado de equilibrio lasderivadas temporales son cero
d/dt = 0
Validez El modelo lineal describe bien al real cuando el sistemaevoluciona cerca del punto de equilibrio. Lejos del punto de equilibrio elmodelo linealizado pierde precisin.
Eleccin del punto de equilibrio El punto de equilibrio debe elegirselo + prximo posible a los puntos de funcionamiento previsibles delsistema en las condiciones de funcionamiento habituales
cunto me puedo alejar? experiencia, sentido comn, simulacin...
Octubre de 2003 Anlisis Dinmico de Sistemas (2 Teleco, EPSIG) 21 de 30
caudalde
entrada
caudalde
salida qs(t)
Procedimiento de Linealizacinejemplo del depsito / enunciado
Linealizar en torno a un punto de equilibrio definido por h0 = 1
datos:
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Procedimiento de Linealizacinejemplo del depsito / aproximacin por Taylor
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Procedimiento de Linealizacinejemplo del depsito / punto de equilibrio
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Procedimiento de Linealizacinejemplo del depsito / modelo lineal
sustituyendo, queda al final
o utilizando la notacin de las deltas,
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Procedimiento de Linealizacinejemplo del depsito / simulacin
variacin respectoal punto de equilibrio
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Procedimiento de Linealizacinejemplo / enunciado
Linealizar la siguiente ecuacin
en torno al punto de equilibrio dado por x0 = 4
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La aproximacin por Taylor de la funcin es:
Solucin:
Procedimiento de Linealizacinejemplo / aproximacin por Taylor
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Procedimiento de Linealizacinejemplo / aproximacin por TaylorCalculando las parciales de f respecto a las variables...
Queda el siguiente modelo
Utilizando la otra notacin: donde denotamos
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Procedimiento de Linealizacinejemplo / determinacin del punto de equilibrio
Tenemos dos soluciones hay dos puntos de equilibrio
Nota:Si el modelo tuviese un sentido fsico,deberamos elegir el punto ms verosmily descartar los que no tengan sentido.
En este caso es matemtica pura y los dos pueden valer.
Eligiendo un pto de equilibrioen el que se anulen las derivadasqueda,
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Procedimiento de Linealizacinejemplo / modelo lineal
Si elegimos y0=2,
Si elegimos y0=-2,
Modelado de Sistemas usando Modelado de Sistemas usando Diagramas de BloquesDiagramas de Bloques
Autor: Dr. Juan Carlos Gmez
Teora de Sistemas y SealesTeora de Sistemas y Seales
TeSyS J. C. Gmez 2
Sistemas a Parmetros ConcentradosSistemas a Parmetros Concentradosy a Parmetros Distribuidosy a Parmetros Distribuidos
Parmetros Concentrados:Parmetros Concentrados:Las variables que parametrizan las relaciones constitutivas de los componentes del sistema se asumen independientes de coordenadas espaciales (los parmetros estn concentrados espacialmente)
Ejemplo:Modelo de un circuito elctrico a bajas frecuencias:
Los fenmenos resistivo, inductivo ycapacitivo se concentran en un nico elemento.
R LC
TeSyS J. C. Gmez 3
Los sistemas LE a parmetros concentrados pueden ser modelados con Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) de la forma:
)(.)(.)(.)(.)(.)( 0)1(
1)(
0)1(
1)( tubtubtubtyatyaty mm
mm
nn
n +++=+++ LL
Ej.: Circuito RLC
R LC
i(t)UL(t)
U
C
(
t
)
U
(
t
)
)(1)()(.)(
)()(y )()()( :donde
)()()(.)(
2
2
2
2
tqCdt
tqdLdttdqRtu
Ctqtu
dttqdL
dttdiLtu
tututiRtu
CL
CL
++=
===++=
)(1)(1)()( tuL
tqLC
tqLRtq =++ &&&
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Parmetros Distribuidos:Parmetros Distribuidos:Las variables que parametrizan las relaciones constitutivas estn distribuidas espacialmente, es decir dependen tambin de coordenadas espaciales.
Ejemplo:Lnea de Transmisin: Fenmenos resistivo, capacitivo e inductivo
distribuidos a lo largo de la lnea.
Los sistemas a parmetros distribuidos pueden ser modelados por Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP)
Ejemplo 1: Ecuaciones de Maxwell de Teora Electromagntica
tDJH
+=
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Ejemplo 2:
x
V
D
h(t,x) h(t,D)
)0,(),(VDthDth =
Retardo de Transmisin
La evolucin de h(t,x) es descripta por una EDP
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Modelos de Sistemas DinmicosModelos de Sistemas Dinmicos
SistemaFsico
SistemaFsico
Idealizado
Modelo MatemticoHiptesis
Simplificatorias
Principios Fsicos y/o
Identificacin
Modelos Matemticos:
Grficos:
Anliticos:
Computacionales:
Diagramas de BloquesGrafosDiagramas de Flujo de Potencia (Bond Graphs)
EDOEDPEcuaciones de EstadoFuncin TransferenciaEcuaciones en Diferencias
algoritmos
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Modelado con Diagramas de BloquesModelado con Diagramas de Bloques
Elementos Constitutivos de un DBElementos Constitutivos de un DB
Bloques operacionalesBloques operacionales caracterizados por la relacin causal entrada/salida
Lneas de conexinLneas de conexin donde viven las variables. Tienen flechas que indican el flujo de informacin (seal) entre las distintas componentes del sistema.
Puntos de DerivacinPuntos de Derivacin
F()u(t) y(t)
y(t)y(t)
x(t)
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Ejemplo 1: Sistema Mecnico
M
b
k
x
F(t)
( ))(.)(.)(1)()(.)(.)(.)(
txbtxktFM
tx
txMtxbtxktF
&&&
&&&
==
Se causaliza la EDO
M1 b
k
+
- -
F(t) )(tx&& )(tx& )(tx
DB1
TeSyS J. C. Gmez 9
k1
dtd
dtd
b
M
+
- -
F(t) )(tx )(tx& )(tx&&
DB2
Otra posible forma de causalizacin de la EDO podra ser:
( ))(.)(.)(1)()(.)(.)()(.
txMtxbtFk
tx
txMtxbtFtxk
&&&
&&&
==
Los DB1 y DB2 son equivalentes, pero se prefiere un DB sin derivadores por: Problemas de Implementacin Relacin Seal-Ruido del derivador mala
TeSyS J. C. Gmez 10
En general, para obtener un diagrama de bloques sin derivadores, se causaliza la EDO de manera de despejar la derivada de mayor orden en la variable de salida de inters, y luego se lee esta ecuacin en forma causal para construir el diagrama de bloques.
El nmero de integradores est asociado con el nmero de elementos almacenadores de energa del sistema. En el caso del ejemplo, los elementos almacenadores de energa son la masa (inercia) (energa cintica de movimiento) y el resorte (energa potencial elstica).
El nmero de integradores en el DB est tambien asociado con lo que se denomina orden del modelo. En el caso del ejemplo, el sistema resulta de segundo orden .
TeSyS J. C. Gmez 11
Ejemplo 2: Sistema Hidrulico
Q1(t) Patm
h(t)Q2(t)
Orificio
A: Area Transversal del tanque
Orificio:
P
Q2
Q2 = f(P)
( )atmT
atmTatmT
PthgPPPPthAPPftQ
thAVoldtdVoltQtQ
+===
==
)(.. :Donde )(.)(
Lquido deVolumen )(.
dContinuida deEcuacin )()(
1
21
&
( ) )(.)(..)(1 thAthgftQ &= De donde resulta:
( )[ ])(..)(1)( 1 thgftQAth =&
PT
TeSyS J. C. Gmez 12
Diagrama de Bloques:
A1 +
-
Q1(t)
f() .g
h(t)
La pltica del da de hoy forma parte de unesfuerzo conjunto que busca, principalmente,el motivar y promover el estudio de lasmatemticas.
El tema a tratar est relacionado con lostemas de ecuaciones diferenciales y el de latranformada de Laplace.
Tu presencia el da de hoy nos motiva aseguir participando en este esfuerzoconjunto.
Comit organizador
Modelacin y Estudio de lasecuaciones diferenciales l.c.c.c. enel dominio de Laplace (frecuencia)
utilizando MATLAB-SIMULINK
Maestro: Francisco Palomera Palacios
Departamento de Mecatrnica y Automatizacin,
ITESM, Campus Monterrey
fpalomera@itesm.mx
Motivacin Anlisis y estudio intuitivo (no formal) de las
ecuaciones diferenciales lineales c.c.c. a travsde la transformada de Laplace.
Ilustrar el comportamiento de la respuesta desistemas fsicos con la ayuda del programacomputacional MATLAB-SIMULINK.
El que haya personas interesadas en promover,motivar y escuchar sobre el tema de ecuacionesdiferenciales y la Transformada de Laplace.
Modelacin de Sistemas Dinmicos utilizandoEcuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)
Sistema
Fsico
Sistema (Fsico)
a modelarFuncin forzante
y(t)u(t)
Respuesta del sistema
-Sistema Mecnico (sistema de suspensin en los autos)
- Sistema Hidrulico (llenado de un tanque)
- Sistema trmico (temperatura en un horno)
-Sistema Elctrico (velocidad de motores)
- Sistema Fisiolgico (efecto de una dosis en el cuerpo h. )
- Sistema Econmico ( inflacin)
- Sistema de produccin (produccin entre mquinas)
Relacin causal
Para obtener una ecuacin diferencial,podemos utilizar:
Leyes fsicas: que de acuerdo a la naturaleza del sistema,rigen la relacin causal entre las variables de inters.
Pruebas experimentales (anlisis de la respuesta transitoriadel sistema ante una funcin forzante conocida).
Por analogas de comportamientos entre sistemas que guardanun comportamiento similar, a pesar de ser de naturaleza diferente.
Aplicacin de algoritmos y recursos computacionales paraprocesar los datos obtenidos de pruebas experimentales.
Sistemas fsico: Temperatura en un horno
Horno
Flujo de
Combustible:
qi(t)
Temperatura:
T(t)horno
Temperatura
Flujo de gas
Relacin causal
Sistema Fsico:Llenado de un tanque
qo(t): Caudal de salida
qi(t): Caudal de entrada
A:rea del tanque
p(t): seal que regula el caudal hacia el tanque.
h(t): altura del tanque
Rh: resistencia Hidrulica
TanqueCaudal deentrada
qi(t)
Nivel: h(t);
Caudal de
Salida, qo(t)
Relacin causal
Anlisis de una ecuacin diferenciallineal c. c. c.
2-3t
2d y(t) dy(t)
+ 0.4 + 0.03 y(t) = 1.5 + Sen10tdtdt e
Sistema (Fsico)
a modelar
u(t): Comportamiento deseado
La respuesta y(t) de un sistemamecnico ante una funcin forzanteu(t) est definida por la ecuacindiferencial; y(0)= 2; y(0) = 0
Funcin forzante
y(t)u(t)Respuesta del sistema
)()(13.0)(4.0)(22
tutydt
tdyd
tyt
d
Funcin forzante: u(t)
deFun macin e gnitudscaln 1.5;
multiplicada porFuncin una expoSenoid nenal cial
-3t= 1.5 + Senu(t) 10te
Analoga de Sistemas de Primer OrdenR
Cvi(t): fuente de voltaje
i(t):vo(t)
vi(t): fuente de voltajevo(t): voltaje de salidaC: CapacitorR: Resistencia
qo(t): Caudal de salida
qi(t): Caudal de entrada
A:rea del tanque
p(t): seal que regula el caudal hacia el tanque.
h(t): altura del tanque
Rh: resistencia Hidrulica
i
i
oo
oo
v (t)v (t) v (t)v (
ddt
ddt
v (t) t) )t v (
R.C
dc(t) + c(t) = .
dt K u(t) K: Ganancia en estado estable
: Constante de tiempo
qi(t)
0(t)
dq0(t)
qdt
ddt
qi(t)+ q0(t) =
R.A + q0(t) =
La transformada de Laplace en la
modelacin, estudio y solucin de
las ecuaciones diferenciales.
Relacin entre f(t) y su equivalente F(s).
{ }f(t)L 0-st
df(t) te
{ } 1s 6
-6te L
f(t)
tiempoj: Eje Imaginario
: Eje real
F(s)
Plano Complejo: s = + j
16 16
4 82 22 Se{ }
s
t =4s
n 2 L
2 6s 9 6s4 132-3t 2 10 10
2 2 2(s+3) sSen2t5 =
s
{ } 5e L
Ejemplos
Principales funciones a obtener de unaecuacin diferencial: G(s) y Y(s)
Y(s)U(s)
c.i.= 02) G(s )
Al aplicar la Transformada de Laplace a una ecuacin diferencial, dosexpresiones son de gran inters:
1) Y(S): La funcin respuesta de un sistema. (incluye las c.i. y a lafuncin forzante)
; Funcin de transferencia del sistema (considera c.i.=0 yno se sustituye la funcin forzante.
n(s)
n(s) 0;ceros
K( K
K : ganancia
:
ds a)...
;(s b)(s (s)
d(s) 0;p
c)...
olos (o)
: (X)
jw
x
o o x
x
Tanto G(s) como Y(s) estan formadas por los trminos:
G(s) y Y(s)
0.,.2)(;..8.0)0(
);(2.1)()(10
tparaideutuideuy
tutydt
tdy
No se puede mostrar la imagen en este momento.
ciaTransferendeFuncinss
sGsUsY
sUyssYsUsYyssY
tutydt
tdy
ic :1.012.0
1102.1)()(
)();()0(10]110)[(
);()()0(10)(10)}({)}()(10{
| 0..
LLjw
X
-0.1
Para la ecuacin diferencial
Solucin:
RespuestaFuncin:)1.0()3.0(8.0
)110(4.28)(
4.28822.1]110)[(
;22.1)8.0(10]110)[(
);(2.1)()0(10)(10)}(2.1{)}()(10{
ss
s
ss
ssY
s
s
sssY
sssY
sUsYyssY
tutydt
tdy LL
jw
o X X
-0.3 -0.1 0
Obtener: a) G(s) y, b) Y(s)
Obtencin del valor inicial y final de y(t)
RespuestaFuncin:)1.0()3.0(8.0
)110(4.28)(
ss
s
ss
ssY
1.06.14.2
1.0)( sss
bs
asY
0. 8
1
8.0)1.0(
)3.0(8.0)1.0()3.0(8.0
.)(.)0(:
limlimlimlimssss s
s
ss
sssYsy
inicialvalordelTeorema
jw
o X X
-0.3 -0.1 0
4.1.0
)3.0)(8.0()1.0(
)3.0(8.0)1.0()3.0(8.0
.)(.)(:final valordelTeorema
limlimlim000
2
s
s
ss
sssYsy
sss
2.4
0.8
t
Polo dominante
Grfica aproximada de y(t) a partir de Y(s)
12001600)(
1600]1200)[(;0)()0(200)(200
80)0(;0)()(200
ssY
ssYsYyssY
Cytydt
tdy
80200
16001200
1600)()0( limlim ssssYy ss
01200
1600)()( limlim00
ssssYy ss
Un horno que se encuentra a 80C se apaga para su enfriamiento.Considere que la relacin Temperatura-flujo combustible, es representadapor la ecuacin Diferencial: 200y(t) + y(t) = K u(t). Obtenga, y(0) y y()
Teorema de valor inicial:
Teorema del valor final:
t
80 C
0 C
Programa MATLAB-SIMULINK (basado enla representacin a bloques)
Para modelar y analizar los elementos de unaecuacin diferencial a partir de las ecuaciones de unsistema fsico.
Obtener la respuesta en el tiempo para una funcinY(s).
Obtener las grficas de las diferentes variablesdentro de mismo sistema fsico, sin requerir obtenersu representacin en el tiempo.
Modelacin de una ecuacin diferencialmediante Diagrama a bloques.
1As
o 0iH(s)(s) H(s) (s , 0)s s)( ;) QQ QA (c. i. Rh
1Rh
Caudal desalida
Caudal
Acumulado=
Qi(s) +
Qo(s)
H(s) Qo(s)Qi(s) Qo(s)
qo(t): Caudal de salida
qi(t): Caudal de entrada
A:rea del tanque
p(t): seal que regula el caudal hacia el tanque.
h(t): altura del tanque
Rh: resistencia Hidrulica
Caudal deentrada
)1(......dt
dh(t)AAv(t)(t)(t)(t) qqqacum0i
(2).....Rhh(t)(t)q0
Simulacin del sistema hidrulico utilizandola herramienta computacional Matlab-Simulink
Dos Tanques
dttdhAtttt qqqq
acumi
)()()()()( 0201
Rq
Rq
h
h
tht
tht
202
101
)()(
;)()(
As1
)()()()()( 0201 sHsAssss QQQQ acumi
RQ
RQ
h
h
sHs
sHs
202
101
)()(
;)()(
Rh11
Rh21
H(s)Qi(s)Qi(s) Q01(s) Q02(s)
Q01(s)
Q02(s)
-
+
-
h(t)
qi(t)
Rh1Rh2q01(t)
A
p(t)
q02(t)V1 V2
Modelacin y simulacin del sistema dedos tanques mediante SIMULINK.
Grficas de Simulacin(tanque_1entrada_2salidas)
Flujo de salida q02(t)
Flujo de salida q02(t)
h(t): Altura (nivel de llenado) del tanque
Qi(t): Flujo de entrada
Sistema: Masa-Resorte-Amortiguadoren la suspensin de un auto
Masa: m
AmortiguadorResorte
z(t): desplazamiento
o respuesta del sistema
f(t)entrada: fuerza de entrada
td
d
tzmmafuerzas
i2
2
1
)(
Aplicacin del sistema bsico:masa-resorte-amortiguador
Simulacin mediante SIMULINK
t
dd
tzmmaFuerzas 2
2 )(
dtdz(t)B
)()(
)()(
)()(
tftf
tftff
oramortiguad
resorte
oramortiguadresortei
tzk
tfuerzas
Z(s)
k
B s
sm2
1Fi(s)
F(s)resorte
F(s)amortiguador
Fi(s) - F(s)resorte F(s)amortiguador = m s2 Z(s)
-
+
-
)()(
)()(
ssZB
sZk
sFsF
oramortiguad
resorte
fi(t)
z(t)
Masa-Resorte-Amortiguador con SIMULINK
Paso por un bache sencillo
Masa-Resorte-Amortiguador en terrenoscon superficie rugosa.
Agradecimiento Agradezco la invitacin a este evento y me
uno al esfuerzo y al inters mostrado noslo de los profesores del Departamento de
Matemticas, sino tambin el de losalumnos de los cursos de ecuaciones
diferenciales, y a los voluntarios proactivospara la organizacin de este evento.
En lo personal: gracias a los organizadores, y a laaudiencia que nos acompaa, por su tiempo parapermitirme compartir un poco sobre el tema de laTransformada de Laplace.
Quedo a sus rdenes
Maestro Francisco Palomera Palacios
fpalomera@itesm.mx
Departamento de Mecatrnica yAutomatizacin, Campus Monterrey
Parte 1: Actividad en equipo(modificar el archivo correspondiente)
Para el caso del tanque con dos vlvulas dedescarga:
1. Justifique el efecto sobre los dos flujos de salidaen ambas vlvulas, si las dos vlvulas estnigualmente abiertas: Rh1 = Rh2 = 2
2. Considere que Rh1 =1.5 y Rh2 = 3 Cmo se afectala altura del llenado del tanque, h(t), si se disminuyeel valor del rea del tanque de un valor A = 4 m2, porel de A = 2 m2?
Parte 2: actividad
Para la funcin )5)(2(40210)(
2
sss
ssY s
Obtenga:1) Su expansin en fracciones parciales sin
calcular el valor de los coeficientes.2) A qu funcin en el tiempo corresponde cada
uno de los trmino de la expansin realizadaen el inciso anterior?
3) Obtenga el valor de y(0) y de y() a partir de lafuncin Y(s).
1.pdf (p.1-46)2.pdf (p.47-63)3.pdf (p.64-93)4.pdf (p.94-105)5.pdf (p.106-137)