RECTA Y PARÁBOLA

Sesión Nro 03

Facultad de Ciencias Empresariales UCV Ing. Marco L. Pérez Silva

INTRODUCCIÓN• Entre mayor

contaminación mayor pago o gravamen.

• La idea es dar a los fabricantes un incentivo para no contaminar mas de lo necesario.

FUNCION LINEAL

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Análisis de Sistema de Funciones• Línea 1: Compañía q contamina de

manera indiscriminada puede casi siempre reducir en alguna manera su contaminación a un costo mínimo. Pero conforme la contaminación disminuye aumenta el costo por tonelada de limpieza aumenta.

• Línea 2: Es un costo de gravamen menos critico pero de manera proporcional positiva.

• Línea 3: Esquema en el que los fabricantes que contaminan poco pagan un gravamen alto por tonelada

Toneladas totalesDe contaminación

Costo por tonelada de limpieza o gravamen

1

23

B A

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RECTAS EN EL PLANO• La función lineal: y = a · x• Para el problema de la contaminación industrial, algunas

personas recomiendan una solución basada en el mercado: dejar que los fabricantes contaminen, pero hacer que ellos paguen por ese privilegio.

Su gráfica es una recta que pasa por el Origen de Coordenadas (0,0).

• Al coeficiente a le llamamos pendiente• La inclinación de la recta depende del valor de la pendiente• pendiente positiva inclinación hacia la derecha.• pendiente negativa inclinación hacia la izquierda.

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INTERSECCIÓN

• Para saber las coordenadas del punto de corte de dos rectas, sólo tenemos que resolver el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas

(Ver Ejemplo)

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Pendiente de una Función Lineal:• La característica de una recta es su “inclinación” .• Para medir la inclinación de una recta usamos la noción de

pendiente que es la razón de cambio en “y” con respecto a “x”.

• Sea (x1,y1) y (x2,y2), dos puntos sobre una recta, la pendiente de la recta esta dado por:

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Ecuación de una Recta:• Si conocemos un punto y la pendiente de una

recta, podemos encontrar una ecuación cuya grafica sea esa recta. Suponga que la recta L pendiente “m” y pasa a través del punto (x1,y1). Si (x, y) es cualquier otro punto sobre “L”, utilizando la formula de la pendiente, tenemos que:

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INTERSECCIÓN ENTRE RECTAS

Sean las rectas:y = 2x e y = x - 5.

Para calcular el punto donde se cortan esas rectas, resolvemos el sistema.Sustituyendo en la segunda ecuación el valor de y de la primera tenemos:

2x = x - 5.Luego x = - 5 e y = -10

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PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD DE RECTAS

• RECTAS PARALELAS: Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales:

m1 = m2

• RECTAS PERPENDICULARES: Esto significa que la recta es la misma. Ocurre que a veces, nos dan la ecuación de la recta en distinta forma, pero en realidad se refieren a la misma recta:

m1* m2 = -1

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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:• DISTANCIA ENTRE

DOS PUNTOS P(X1,Y1), Q(X2,Y2) ES EL MÓDULO DEL VECTOR PQ

DIST(P,Q) =|PQ| =

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PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:Las coordenadas del punto medio M de un segmento son la semisuma de las coordenadas del los extremos del segmento, A y B:A = (x1,y1); B = (x2,y2)M = (x,y),donde:x = (x1 + x2) / 2; y = (y1 + y2) / 2;

(ver ejemplo)

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APLICACIÓN DE LAS FUNC. LINEALESNiveles de Producción:Suponga que un fabricante utiliza 100 libras de material para hacer los productos A y B que requiere de 2 y 4 libras de material por unidad, respectivamente. Si x e y denotan un numero de unidades producidas de A y B, respectivamente entonces todos los niveles de producción están dados por las combinaciones de x e y que satisfacen la ecuación:

Por tanto, los niveles de producción de A y B están relacionados Linealmente. Al resolver para “y”, se obtiene:

FUNCIÓN CUADRÁTICA

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PARÁBOLA• Una función cuadrática es la

que corresponde a un polinomio en x de segundo grado, según la forma:

donde a, b y c son constantes y a distinto de 0.• El vértice es (-b/2a, f(-b/2a))

esto es:Es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.• La intersección “y” es en c.

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INTERSECCIÓN DE RECTAS CON PARÁBOLAS • Tenemos la recta: 2x – y - 12 = 0

y la parábola y2 = 12x• Para saber su intersección se

debe despejar las X e igualarlas: x = (12 + y) / 2, x = y2 / 12

x = xEntonces: (12 + y) / 2 = y2 / 12

(12 + Y)12 = 2y2,Entonces: 144 + 12y = 2y2• Simplificando dividiendo por 2.

72 + 6y = y2• Igualando a cero (0).

Y2 - 6y – 72 = 0

• Utilizando la ecuación cuadrática:

y=12 y=-6• Teniendo lo dos valores de Y

reemplazamos en cualquier ecuación:

x=12 x=3• Por lo tanto los puntos de

intersección son: (12,12) y (3,-6) como lo muestra el siguiente grafico

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GRAFICO DE LA INTERSECCION DE LA PARABOLA CON LA RECTA

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APLICACIÓN DE LAS FUNC. CUADRATICASIngreso Máximo:La función de demanda para un producto es:

p=1000-2q, Donde p es el precio por unidad cuando “q” unidades son demandadas (por semana) por los consumidores. Encontrar el nivel de producción que maximice el ingreso total del productor, y determinar ese ingreso:

Para maximizar el ingreso, debemos determinar la función de ingreso,r = p * q,

utilizando la relación: Ingreso total = Precio * CantidadPor medio de la ecuación de demanda, podemos expresar p en terminos de q de modo que r será estrictamente una función de q.

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APLICACIÓN DE LAS FUNC. CUADRATICASIngreso Máximo:La función de demanda para un producto es:

p=1000-2q, Donde p es el precio por unidad cuando “q” unidades son demandadas (por semana) por los consumidores. Encontrar el nivel de producción que maximice el ingreso total del productor, y determinar ese ingreso:

Entonces el valor máximo, esta dado por: