Ing. Elmo David Leonardo Fabián

CICLO 2011-II Módulo:Unidad: I Semana: 1.1

CÁLCULO VECTORIAL

OBJETIVOS

• Objetivo General del curso: Interpretar, formular y resolver problemas aplicando conceptos, leyes y propiedades de las funciones , límites y derivadas, para su aplicación en el desarrollo de casos prácticos y reales.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Unidad I

Se llama DISCRIMINANTE de una ecuación de segundo grado al valor:

El nº de soluciones de una ecuación de segundo grado dependerá del SIGNO del Determinante.

Si: > 0 Tiene 2 soluciones reales distintas.

= 0 Tiene 1 solución DOBLE

< 0 No tiene solución en los números Reales.

Demostración de la fórmula de la ecuación de segundo grado

02 cbxax Se multiplican los dos miembros por 4a

0444 22 acabxxa Se suma y resta b2

0444 2222 acbbabxxa Se completan cuadrados

04)2( 22 acbbax

acbbax 42 22

acbbax 42 2

a

acbbx

2

42

Se despeja x

Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado

1) Suma de raíces a

bxx

21

A partir de la fórmula se obtienen las siguientes propiedades:

2) Producto de raíces a

cxx 21

Ecuaciones con RadicalesEcuaciones con Radicales

Una ecuación radical es una ecuación en la cual la variable aparece dentro del signo radical.

Por ejemplo:

Para resolver estas ecuaciones, utilizaremos la siguiente propiedad:

Si: a = b → a2 = b2

65 .

92 .

x

x

La solución final debe verificarse en la ecuación Inicial.

Ecuaciones con Radicales: EjerciciosEcuaciones con Radicales: Ejercicios

Resuelva las siguientes ecuaciones:

423 .1 x

3235 .2 xx

343 .3 xx

123 .4 xxx

414 .5 xxx

112435 .6 xxx

INECUACIONES

Unidad I

Desigualdad Notación Gráfica

a x b

a x b

a x b

a x b

[a ; bx

[a ; b[x

]a ; b x

]a ; b x

a

b

a

b

a

b

a

b

Intervalos

Desigualdad Notación Gráfica

a ; [x

]- ; ax

a

a

a

a

a ; [x ]

]- ; a[x

ax

ax

ax

ax

Unión e Intersección

-3 0 7

-3 0 7

AB

AB

Sean: A= ]-3; 7] y B = [0; [

AB

AB

Concepto:Es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas de una o varias incógnitas, que solo se verifica para ciertos valores de esa incógnita.

Procedimiento para resolución de una inecuación:

-Suprimimos signos de colección.-Hacemos transposición de términos escribiendo los que son independientes en uno de los miembros y los que no lo son en el otro miembro de la inecuación.-Efectuamos reducción de términos semejantes en cada miembro.-Despejamos la incógnita.

Inecuaciones de primer grado con una incógnita

Definición:

Una inecuación de primer grado es aquella inecuación que admite

como forma general a: 0;0

0;0

baxbax

baxbax

Donde, en todos los casos, a y b son constantes reales y a 0.

Ejemplos:

x + 1 > 2 + (x - 3) 123

12

4

2 xxx

1) Si a < b y c es cualquier número real, entonces

a + c < b + c

Sean a, b y c: números reales

Propiedades:

2) Si a < b y c es positivo, entonces

a . c < b . c

3) Si a < b y c es negativo, entonces a . c > b . c

Es el conjunto de valores de la variable que hacen verdadera la desigualdad.

Solución de la inecuación

Estrategia de resolución2x + 1 > 2 + (x - 3) Ejemplo: Resuelva:

Despeje la incógnita aplicando propiedades.

2x + 1 > 2 + x – 3 x > - 2

Represente gráficamente la solución.

-2

Exprese el C.S en forma de intervalo

;2.SC

Ejemplo:Resuelva:

Despeje la incógnita aplicando propiedades.

Represente gráficamente la solución.

Exprese el C.S en forma de intervalo

6

7;.SC

6

71412

8246123

13

8

24

xx

xxxx

67

3

1

4

1

2 x

x

Inecuaciones

de primer grado

• Una desigualdad entre polinomios de primer grado es una inecuación de primer grado.

• Puede ocurrir que: Se satisfagan para cualquier valor de la variable. No tengan solución. Las que no están en ninguno de los casos anteriores son

equivalentes a inecuaciones de la forma: x < a, x > a, x a, ó x a

Ejemplos:

2x + 3 < 5x + 2 x > 1/3

1/3Soluciones: (1/3,+)

3 – 2x < 5 – 2x 0 < 2 Como esto es siempre cierto, la solución de la inecuación son todos los números reales. Soluciones: (– ,+)

5 – 3x 2 – 3x 3 0 Como esto es siempre falso, la inecuación no tiene solución.

11

Reforzando lo aprendido

1. Resolver:

;1.

1

782

872

8163

SC

x

xx

xx

xxx

xxx 8123

Reforzando lo aprendido

2. Resolver: 23

1

4

3

xx

;29.

29

1291

29

92043

20493

54333

5

4

33

61

4

3

SC

x

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

Demuéstrame tu capacidad

1. Resolver la siguiente inecuación:

2. Resolver: 257

2

xx

111332 xx

Inecuaciones

racionales• Para resolverlas primero se transforma en una inecuación en la que un

miembro es 0• Después se factorizan los polinomios resultantes y se estudia el signo del

miembro no nulo que dependerá del signo de los factores.• Los ceros de los polinomios denominador no son soluciones porque no es

posible la división por 0.

Ejemplo: x – 4x + 3 0

4–3

x – 4

x + 3

(x – 4)/(x +3)

–

–

+

–

+

–

+

+

+

Los puntos que son solución aparecen de color azul.

Soluciones: (–, –3) [4, + )13

Inecuaciones polinómicas• Para resolverlas primero se transforma en una inecuación en la que un

miembro es 0• Después se factorizan los polinomios resultantes y se estudia el signo del

miembro no nulo que dependerá del signo de los factores.

Ejemplo: 2x2 – 2x + 1 x2 + 2x – 2 x2 – 4x + 3 0 (x – 1) . (x – 3) 0

x – 1

x – 3

(x – 1)(x – 3)

–

–

+

+

–

–

+

+

+

Soluciones: (–, –1] [1, + )

31Los puntos que son solución aparecen de color azul.

12

Concepto:Es aquella que admite ser reducida a cualquiera de las siguientes formas:

er1

0

0

0

0

2

2

2

2

cbxax

cbxax

cbxax

cbxax

1. Resolver: para luego indicar la cantidad de números enteros “x” que verifica la ecuación.

01133

019

1

9

0910

22

2

2

24

xxxx

xx

x

x

xx

910 24 xx

Hallando los puntos críticos:

3

03

3

03

x

x

x

x

1

01

1

01

x

x

x

x

Reforzando lo aprendido

-1 31-3

+-+ +-3;11;3. SC

2. Resolver:

4

04

7

07

x

x

x

x

028112 xx

047

4

7

028112

xx

x

x

xx Hallando los puntos críticos:

++ -

74

;74;.SC

Reforzando lo aprendido

1. Un intervalo solución de: es

2. Resolver:

Demuéstrame tu capacidad

0342 xxx

015228 2 xx

Ejemplo 1• Resuelve la inecuación:• x2 - 5x + 6 ≤ 0• Se hallan las dos raíces: x1 = 2 , x2 = 3• Se factoriza el polinomio:• (x - 2).( x - 3 ) ≤ 0 • Se halla el signo de cada factor:

- oo 2 3 +oo

( x – 2 )

( x – 3 )

- + +

- - +

Productos + - +

En [ 2, 3 ] el producto es NEGATIVO ( < 0 ), luego Solución = x ε [ 2, 3 ]

Ejemplo 2• Resuelve la inecuación:• x2 + 3x - 10 > 0• Se hallan las dos raíces: x1 = 2 , x2 = - 5• Se factoriza el polinomio:• (x - 2).( x + 5 ) > 0 • Se halla el signo de cada factor:

- oo - 5 2 +oo

( x – 2 )

( x + 5 )

- - +

- + +

Productos + - +

En (-oo.-5) y en ( 2, +oo) el producto es POSITIVO ( > 0 ), luego

Solución = { V x ε R / x ε ( -oo, -5 ) U ( 2, +oo ) }

Ejemplo 3• Resuelve la inecuación:• x2 + 2x + 1 < 0• Se hallan las dos raíces: x1 = -1 , x2 = - 1• Se factoriza el polinomio:• (x + 1 ).( x + 1 ) < 0 • Se halla el signo de cada factor:

- oo - 1 +oo

( x +1 )

( x + 1 )

- +

- +

Productos + +

No hay ningún intervalo cuyo producto sea NEGATIVO, luego Solución = Ø

INECUACIONES POLINOMIALES

MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS

Unidad I

MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOSMÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS

PRIMER CASO: Cuando las raíces de la ecuación polinómica P(x) = 0 , son reales y diferentes, es decir:

i. Si: P(x) > 0 o sea P(x) = ( x - r1 ) ( x - r2 ) . . . ( x - rn )> 0

Donde : r1 , r2 , r3, . . . rn son los valores críticos, que ordenados en la recta numérica quedan distribuidos así:

La solución en este caso es la reunión de los intervalos con signo positivo.

Ejemplo: Sea P(x) = x3 - 5x2 - 2x + 24 > 0 , Hallar el conjunto solución.

- r1 r2 . . . rn -1 rn +

+ - + + - +

{-2,3,4}PC ; 04)-3)(x-2)(x(x

: dofactorizan 0242x5xx 23

+ +--

, 4 3 , -2x

-2 3 4

MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOSMÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS

ii. Si: P(x) < 0

o sea P(x) = ( x - r1 ) ( x - r2 ) . . . ( x - rn )< 0

Donde : r1 , r2 , r3, . . . rn son los valores críticos, que ordenados en la recta numérica quedan distribuidos así:

La solución en este caso es la reunión de los intervalos con signo negativo.

Ejemplo: Sea P(x) = x4 + 2x3 - 9x2 - 2x + 8 < 0 , Hallar el conjunto solución.

- r1 r2 . . . rn -1 rn +

+ - + + - +

}{-4,-1,1,2PC ; 02)-1)(x-1)(x4)(x(x

: dofactorizan 082x9x2xx 234

- +-+

2 , 1 1- , -4x

-4 1 2-1

+

MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOSMÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS

SEGUNDO CASO :

Si alguna de las raíces del polinomio P(x) = 0 son reales de multiplicidad

mayor que (1) , se tiene:

suponiendo que el factor ( x - ri ) es el factor que se repite m veces, entonces:

i. Si m es par , los signos de los intervalos de variación donde figura ri son

iguales , es decir no son alterados.

Ejemplo: Sea P(x) = x4 - 4x3 - 3x2 + 14x - 8 0 , Hallar el conjunto Solución.

{-2,1,4}PC ; 04)-(x1)-)(x2(x

: dofactorizan 0814x3x4x2

234

x

- +-+

1 ,4 2- , -x

-2 1 4

MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOSMÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS

ii. Si m es impar, los intervalos de variación contiguos al valor crítico ri

tienen signos diferentes.

Ejemplo: Sea P(x) = x5 - 4x4 + 14x2 - 17x + 6 < 0 , Hallar el conjunto

Solución.

{-2,1,3}PC ; 01)-3)(x-2)(x(x

: dofactorizan 0617x14x4xx3

245

+ +--

1,3 2- , -x

-2 1 3

MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOSMÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS

TERCER CASO:

Cuando algunas de las raíces del polinomio P(x) = 0 no son reales , en este caso a estas raíces no se consideran en la determinación de los intervalos y para dar la solución , se sigue el mismo procedimiento de los casos anteriores.

Ejemplo: Sea P(x) = x5 - 2x4 - x3 - 2x2 - 20x + 24 > 0 , Hallar el conjunto Solución.

{-2,1,3}PC ; 0)43)(x-1)(x-2)(x(x

: dofactorizan 02420x-2xx2x2

2345

x

+ +--

, 3 1 , -2x-2 1 3

El factor x2 + 4 = 0 no tiene raíces reales , por lo que x2 + 4 > 0 x R ; podemos prescindir de este factor.

INECUACIONES POR EL MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS

4. INECUACIONES FRACCIONARIAS.

Son inecuaciones de la forma:

( ó con > ó < )

Donde Q(x) 0

Al factorizar P(x) y Q(x) , se aplica el mismo criterio anterior, teniendo en cuenta que los valores críticos correspondientes al denominador nunca es cerrado.

NOTA.- Si al factorizar el polinomio, uno de los factores esta afectado a un exponente par, el entorno del valor crítico que le corresponde no cambia de signo.

0Q(x)

P(x) ó

)x(Q

)x(P 0

MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS

Ejemplo: Resolver:

Solución:

07xx

4022xxx2

23

+ +--

[2,4][-5,0 7- , -x -7 0 2

07xx

4022xxx2

23

Multiplicando por (-1) Aplicando Ruffini en el numerador:

0 1

5- 5-

0 5 1

0

40-

40

1022

10-3 1

12 4 4

2211

4} 2, 0, 5,- {-7,PC

07)x(x

5)2)(x-4)(x-(x

-5 4

+-

ECUACIONES e INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Unidad I

IntroducciónIntroducciónEn algunos casos, nos puede interesar conocer la diferencia entre los datos recogidos y un número en particular, sin importar que esta diferencia sea positiva o negativa.

Por ejemplo, podemos obtener la distancia de los siguientes puntos al valor de 2:

2 3 5 90-2 x

Distancia: |x – 2|Distancia: |x – 2|

ObjetivosObjetivos

Definición de Valor Absoluto. Identificar las propiedades generales

del valor absoluto.Resolver ecuaciones con valor

absoluto.Resolver inecuaciones con valor

absoluto.

Valor AbsolutoValor Absoluto

0 si ,

0 si ,

xx

xxx

•|15| = 15

•|-4| = -(-4) = 4

•|0| = 0Obs:

22(-2) , 22 xx

Propiedades del Valor AbsolutoPropiedades del Valor Absoluto

yxyxyyx

yxyxyx

yxyx

yy

x

y

x

yxxy

xxx

x

0 .7

.6

.5

0 , .4

.3

.2

0 .1222

SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES

CON VALOR ABSOLUTO

Ejemplo: 1. Resolver: l x - 2 l = 3x - 9 : Aplicamos el teorema:

l x l = y y > 0 ( x = y x = - y )

)4

11x

27

(x3 x

11)4x72x(3x

32 11/4 7/2

2

7CS

9)(3x2x9-3x2(x09-3x9-3x2x

SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES

CON VALOR ABSOLUTO

Ejemplo: 2. Resolver: l11 x +3 l = 5 Aplicamos el teorema:

l x l = y y > 0 ( x = y x = - y )

11

8x

11

2 x

811x 211x

5311x 53x115311x

11

8,

11

2CS

SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES

CON VALOR ABSOLUTO

Ejemplo: 3. Resolver: l5 x -3 l = l7 + 4 x l

Aplicamos el teorema: l x l = l y l x = y x = - y

94

x 10x

-49x 10x

4x-73-5x 10x

4x)-(73-5x 4x 735x4x73-5x

10,

9

4CS

Ecuaciones con Valor AbsolutoEcuaciones con Valor Absoluto

xx

xx

x

x

243 .4

331 .3

14

2 .2

31

2 .1

Utilizando las propiedades, es posible resolver ecuaciones con valor absoluto. No obstante, es necesario comprobar si el conjunto solución satisface la ecuación resuelta.

Desigualdades con Valor Absoluto

babbba

babbba

0

0

bababa

bababa

22

22

baba

baba

Ejemplos de Inecuaciones con Valor Absoluto

• | 2x + 1| > -2• | 3x - 2 | ≤ 12• 4 | x + 5 | ≥ 8• | x - 8 | < 20 2• Observa que la variable está dentro del

valor absoluto en un lado de la inecuación y al otro lado hay una constante, o sea, un número.

• Observa que la expresión utiliza los símbolos de desigualdad: >, <, ≥, ≤

Explorar cómo sería la solución

| x | < 2 ¿Qué valores de x harían cierta la ecuación? x = 1, 0, -1, ¼, ½, ¾, -¼, -½, -¾, ... ¿Qué valores de x harían falsa la ecuación? x = 3, 4, -3, -4, 2, -2, mayores que 2, menores que

-2 ¿Cuál sería la solución gráfica?

-3 -2 -1 0 1 2 3

Explorar cómo sería la solución

| x | > 2 ¿Qué valores de x harían cierta la ecuación? x = 3, 4, -3, -4, … ¿Qué valores de x harían falsa la ecuación? x = 1, 2, -1, -2, menores que 2, mayores que -2 ¿Cuál sería la solución gráfica?

-3 -2 -1 0 1 2 3

Propiedades

• Propiedad de Menor que: Si | x | < a, y a es positivo, entonces: -a < x < a • Propiedad de Mayor que: Si | x | > a, y a es positivo, entonces: x < -a ó x > a Observa que para poder aplicar la propiedad tienen

que darse los dos supuestos:

1. El valor absoluto tiene que estar despejado.2. El número a al otro lado de la desigualdad

tiene que ser positivo.

Ejercicio 1

• Resuelve: | x + 5 | ≤ 10

-10 ≤ x + 5 ≤ 10

-10 + - 5 ≤ x ≤ 10 + – 5

- 15 ≤ x ≤ 5• La solución gráfica sería:

-15 -10 -5 0 5 10 15

Ejercicio 2

• Resuelve: | -3x + 6 | > 18

-3x + 6 < -18 ó -3x + 6 > 18

-3x < -24 -3x > 12

x > 8 x < -4• La solución gráfica sería:

-4 -2 0 2 4 6 8

Ejercicio 3

• Resuelve: | 2x | - 5 < 11

| 2x | < 16

- 16 < 2x < 16

- 8 < x < 8• La solución gráfica sería:

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Ejercicio 4

• Resuelve: | x - 3 | ≥ -2• Como el valor absoluto está despejado y al

otro lado hay un número negativo, nos preguntamos: ¿Cuándo es un valor absoluto mayor que un número negativo?

• Como la contestación es siempre, sabemos que la solución es: Todos los números Reales

• La solución gráfica sería sombrear toda la recta numérica.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES

CON VALOR ABSOLUTO

Ejemplo 5: Resolver: l x + 3 l 3x - 1

Aplicamos el teorema: l x l y - y x y

2 x 2

1x

-42x- 24x -

1-3x3 x 3x 13x-

1-3x3x 13x-

13313133x

xxxx

,2CS

-1/2 2

SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES

CON VALOR ABSOLUTO

Ejemplo 6: Hallar el conjunto solución l3 x - 11 l 9

Aplicamos el teorema: l x l y x y x - y

32

x 320

x

23x 203x

-911-3x 9113x911-3x

,3/20 3/2,CS

2/3 20/3

SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES

CON VALOR ABSOLUTO

Ejemplo 7: Hallar el conjunto solución de: l5 x + 7 l 8x - 3

Aplicamos el teorema: l x l y x y x - y

13

4- x

3

10 x

413x 103x-

3)--(8x75x 38x75x38x75x

3/10,CS

-4/13 10/3

SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES

CON VALOR ABSOLUTO

Ejemplo 8: Hallar el conjunto solución de: l x2 -2x -5 | l x2 + 4x +1|

Aplicamos el teorema: l x l l y l x2 y2

01)-2)(x1)(x(x02-xx1x

04-x22x6-6x-

014xx5-2x-x 14xx5-2x-x

014xx5-2x-x

14xx5-2x-x14xx5-2x-x

2

2

2222

2222

222222

1 , 12,CS -2 -1 1

- + + -

Ejercicios: Resuelve y Traza la gráfica de la solución

• | x - 2 | ≥ 3• < 4

• | -2x + 2 | - 1 > 5• | x - 7 | ≤ 5

2• | -3x + 6 | + 8 > 1 • | 2x | + 5 < 3

2

35 x

Ejercicios:Ejercicios:

12

23

23

12 5.

3-5x 32x .4

11-x

x .3

1335 .2

74 .1

x

x

x

x

xx

x

Resolver las siguientes inecuaciones con valor absoluto.

GRACIAS