REPRESENTACIÓN MATRICIAL DEL

SIMPLEX

Se puede obtener una visión más profunda de la teoría y del potencial del método

simplex mediante el análisis de su forma matricial. Se comienza utilizando la notación

matricial para representar problemas de programación lineal.

Si se emplean matrices, nuestra forma estándar del modelo general de programación lineal se convierte en:

Maximizar Z = cx sujeta a: Ax ≤ b y x ≥ 0donde:A: matriz de coeficientes tecnológicosc: matriz vector fila de los coeficientes de la

Función Objetivox: matriz vector fila de las variables de decisiónb: matriz vector columna de los recursos

Supongamos que existe una base B tal que su determinante también existe, se obtendrá su matriz inversa B-1 , en donde B-1 x B = I, que es la matriz identidad que la asociamos a una solución de un problema de programación lineal.

B: matriz de elementos asociados a las variables que están en la base (coeficientes tecnológicos).

N: matriz de elementos asociados a las variables que no están en la base (coeficientes tecnológicos).

Cb: Vector fila de los coeficientes de la función objetivo asociados a la variable que están en la base.

CN: matriz vector fila de los coeficientes de la función objetivo asociado a variables que no están en la base.

CN-CB * B-1 * N: Coeficientes de las variables no básicas en la función objetivo.

CB . B-1 ‧ b: lado derecho de la fila z

La base será factible si: B-1 * b ≥0

Si la base es factible, ésta será optima si: CN-CB * B-1 * N es: ≤ 0 Cuando la función objetivo es Maximizar ≥ 0 Cuando la función objetivo es Minimizar

Dado el siguiente problema, clasifique las bases:

MIN Z=5X1 + 2X2 + 4X3

3X1 + X2 + 2X3 ≥ 4 6X1 + 3X2 + 5X3 ≥ 10

X1, X2, X3 ≥ 0

a) B (X1, X2)b) B (X1, h1) c) B (X2, h1)

3X1 + X2 + 2X3 – h1 + A1 = 46X1 + 3X2 + 5X3 – h2 + A2 = 10

a) B (X1, X2)

Prueba de factibilidad

+3X1 +1X2 +2X3 –h1 +A1 = 4 +6X1 +3X2 +5X3 –h2 +A2 = 10

B B-1

3X1 + X2 + 2X3 – h1 + A1 = +4 6X1 + 3X2 + 5X3 – h2 + A2 = +10 b

B-1‧b Por lo tanto la base es factible

Prueba de optimalidad

3X1 +1X2 +2X3 –1h1 +0h2 +1A1 +0A2 = 46X1 +3X2 +5X3 +0h1 –1h2 +0A1 +1A2 = 10

N

F.O.: +5X1 +2X2 +4X3 +0h1 +0h2 +0A1 +0A2

CB

F.O.: +5X1 +2X2 +4X3 +0h1 +0h2 +0A1 +0A2

CN

CN-CB ‧ B-1 ‧ N =

Por lo tanto la solución no es óptima