2.6 Representación Matricial de Transformaciones Tridimensionales

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INSTITUTO TECNOLGICO SUPERIOR DE COATZACOALCOS Alumnos: Blas Aguilar Cirilo Fernndez Surez Eduardo Alejandro Herrera Colmenares David Plata Pimentel Christopher Gerardo Velzquez Mauricio Efran Salvador Semestre: 7C Materia: Graficacin Docente: Ing. Arturo Estudillo Quilantn Coatzacoalcos, Veracruz- Septiembre de 2011 GRAFICACIN 2.6 REPRESENTACIN MATRICIAL DE TRANSFORMACIONES TRIDIMENSIONALES Transformaciones Geomtricas 3D Permitenconstruirescenariosentres dimensionesapartirdeprimitivasgeomtricas simples (esfera, cubo, cono, cilindro, etc). Mediantelacomposicindedistintas transformaciones geomtricas aplicadas sobre las distintasprimitivasseconsiguetantocrear objetosdemayorcomplejidadcomo posicionarlosenunadeterminadaregindel espacio.Transformaciones Geomtricas 3D Unatransformacingeomtricapuede aplicarseafigurasplanas(2D)oaobjetosen el espacio (3D). Silospuntosquesealterantienen coordenadasdedoscomponentes(x,y),la transformacin es en 2D. Y si alteran puntos con coordenadas (x,y,z), la transformacin es en 3D. Transformaciones Geomtricas 3D Transformaciones geomtricas bsicas en 3D Escalacin Traslacin Rotacin en torno al eje X Rotacin en torno al eje Y Rotacin en torno al eje Z Escalacin 3D Permite cambiar las dimensiones de un objeto. Requiere 3 parmetros: Sx= Factor de escalacin en X Sy= Factor de escalacin en Y Sz= Factor de escalacin en Z Sx,Sy,Sz > 1Aumenta la dimensin Sx,Sy,Sz < 1Disminuye la dimensin Sx,Sy,Sz = 1Se mantiene la dimensin Escalacin 3D Traslacin 3D Permitecambiarlaposicindeunobjeto, movindoloenlnearectadesdeunaposicin inicial a la posicin final. Requiere 3 parmetros: Tx= Desplazamiento en X Ty= Desplazamiento en Y Tz= Desplazamiento en Z Tx, Ty,Tz > 0 Desplazamiento positivo Tx, Ty,Tz < 0 Desplazamiento negativoTx,Ty,Tz= 0 No hay desplazamiento Traslacin 3D Rotacin 3D en torno al eje X Permite rotar o girar un objeto en torno al eje X un ngulo dado. Requiere 1 parmetro: u= ngulo de rotacin u>0Rotacincontrariaasentidodelasmanecillasdel reloj u < 0Rotacin en el sentido de las manecillas del reloj u = 0 Sin rotacin Rotacin 3D en torno al eje X Rotacin 3D en torno al eje X Rotacin 3D en torno al eje Y Permite rotar o girar un objeto en torno al eje Y un ngulo dado. Requiere 1 parmetro: u= ngulo de rotacin u > 0Rotacin contraria a sentido de lasmanecillas del reloj u < 0Rotacin en el sentido de las manecillas delreloj u = 0 Sin rotacin Rotacin 3D en torno al eje Y Rotacin 3D en torno al eje Z PermiterotarogirarunobjetoentornoalejeZun ngulo dado. Requiere 1 parmetro: u= ngulo de rotacin u>0Rotacincontrariaasentidodelasmanecillasdel reloj u < 0Rotacin en el sentido de las manecillas del reloj u = 0 Sin rotacin Rotacin 3D en torno al eje Z REPRESENTACIN MATRICIAL Ascomolastransformaciones bidimensionalessepuedenrepresentarcon matricesde3X3usandocoordenadas homogneas,lastransformaciones tridimensionalessepueden representarconmatricesde4X4,siempreycuandousemos representacionesdecoordenadashomogneasdelospuntosenelespaciotridimensional. REPRESENTACIN MATRICIAL REPRESENTACIN MATRICIAL Enlugarde representarunpuntocomo(x,y, z),lohacemoscomo(x,y,z, W),dondedosdeestoscudruplosrepresentanel mismopuntosiunoesunmultiplicador distinto de cero del otro: Nosepermiteelcudruplo(0,0,0,0). REPRESENTACIN MATRICIAL Comosucedeenelespaciobidimensional,larepresentacinestndardeunpunto(x,y, z, W) con W 0 se indica (x/W, y/W, z/W, 1). Latransformacindeunpuntoaestaforma sedenomina homogeneizacin. LospuntoscuyacoordenadaWescerosellamanpuntosenelinfinito. REPRESENTACIN MATRICIAL Cadapuntoenelespaciotridimensionalse representa conuna lneaquepasa por elorigenenelespaciodecuatrodimensiones,ylas representacioneshomogeneizadasdeestos puntosformanunsubespaciotridimensionalde un espacio de cuatro dimensiones definido por la ecuacin W = 1. Lamaneramsfcildeconseguirlas transformacionesbsicas(traslacin,rotacin, escalacin,etc.)esutilizandomatricesde transformacin.MATRICES DE TRANSFORMACIN EN 3D MS COMUNES TRASLACIN Enlarepresentacinhomognea tridimensional de las coordenadas, se traslada unpuntodelaposicinP=(x,y,z)ala posicinP=(x,y,z)conlaoperacinde matrizP = T x P dondePyPsonvectorescolumnacomo matrices, TRASLACIN dondetx,tyytz especificanlasdistancias de traslacin en x, y y z. x = x + tx y = y + ty z = z + tz (((((

=1 0 0 01 0 00 1 00 0 1tztytxTESCALACIN La matriz para la transformacin de escalacin deunaposicinP=(x,y,z)conrespectodel origen de las coordenadas: (((((

=1 0 0 00 0 00 0 00 0 0ezeyexSESCALACIN Dondeex,ey,yezpuedentenercualquier valorpositivo.Laescalacinconrespectoa unaposicinfijaseleccionadasepuede obtenerconlasiguientesecuenciade transformacin:

1.Se traslada el punto fijo al origen.2.Se escala el objeto con respecto al origen.3.Se traslada el punto fijo a su posicin original. ROTACIN Debemos designar un eje de rotacin respecto delcualgirarelobjeto,ylacantidadde rotacin angular, es decir, un ngulo (). Unarotacintridimensionalsepuede especificaralrededordecualquierlneaenel espacio. Losejesderotacinmsfcilesdemanejar sonaquellosparalelosalosejesde coordenadas. ROTACIN Losngulosderotacinpositivaproducen girosenelsentidoopuestoalasmanecillas delrelojconrespectoalejedeuna coordenada,sielobservadorseencuentra viendoalolargodelamitadpositivadeleje hacia el origen de coordenadas. ROTACIN EN TURNO A EJE X LamatrizderotacinrespectoalejeXse especifica como: (((((

O OO O=1 0 0 00 cos sin 00 sin cos 00 0 0 1xR ROTACIN EN TURNO A EJE Y LamatrizderotacinrespectoalejeYse especifica como: (((((

O O O O=1 0 0 00 cos 0 sin0 0 1 00 sin 0 cosyR ROTACIN EN TURNO A EJE Z LamatrizderotacinrespectoalejeZse especifica como: (((((

O OO O=1 0 0 00 1 0 00 0 cos sin0 0 sin coszRTRANSFORMACIONES COMPUESTAS Transformaciones compuestas Serealizaunatransformacintridimensional compuestaalmultiplicarlasrepresentaciones matricialesparalasoperacionesindividuales en la secuencia de transformacin. Esta concatenacin se lleva a cabo de derecha aizquierda,dondelamatrizdelextremo derechoeslaprimeratransformacinquese aplicaaunobjetoylamatrizdelextremo izquierdo es la ltima transformacin.