RELATIVIDAD II

11/12/09 FISICA MODERNA 1

RELATIVIDAD II

OBJETIVO:

• Estudiar las consecuencias de las transformaciones de Lorentz

• Estudiar el trabajo y momentum relativista

• Comprender la masa y momentum relativista

• Entender las transformaciones de energía y momentum

Dilatación del Tiempo (o Time Stretching)• Tiempo Propio ∆t’ = τ es el intervalo de tiempo entre dos

eventos medidos por un observador quien ve que los eventos occurren en el mismo punto en el espacio.

• Dilatación del Tiempo causa que los intervalos de tiempo ∆t medidos en otro sistema de referencia sean mas largos que el tiempo “propio” intervalo de tiempo ∆t’.

• “Un reloj en movimiento corre mas lento que un reloj en reposo.”– Todos los procesos físicos, incluyendo reacciones químicas y

procesos biológicos, se retrasan relativo a un reloj estacionario cuando ello ocurre en un sistema en movimiento.

( )2 21 /

v cγ∆

′=∆ ′∆=

Dilatación del Tiempo: Derivación Corta

• En el Sistema S, la luz viaja arriba/abajo.En el Sistema S’, la luz viaja un camino mas largo a través de la hipotenusa.

• Resolver para ∆t, cuando ∆t’ = 2D/c (tiempo propio).

• Analizar el laser “haz de rebote” en dos sistemas de referencia.

2 2 2 2

∆ = + ∆ = =

′− −

= =−

∆∆ ′∆

Dt en el sistemaDt’ en el sistema S’

Teorema de

Pitagoras

c t∆

v t∆

TAREA: Dilatación temporal

• En el clásico “El planeta de los Simios” (1968), una nave después de un viaje de 6 meses (en tiempo de la nave) registra fecha 14-07-1972, mientras que en la Tierra es el 23-03-2673. ¿Cuál era la velocidad media aproximada de la nave?

• v/c = 1 - 2,5 x 10-7

La paradoja del matricidio/parricidio

• Terminator, procede de un futuro en el que las máquinas gobiernan el mundo y aspiran a exterminar totalmente al ser humano. El androide viaja a nuestro presente para asesinar a Sarah antes de que pueda concebir a su hijo, John Connors, que será el líder de la resistencia humana contra el poder absoluto de las máquinas en el futuro. John Connors envía a su padre al pasado para que lo engendre.

Contracción de la Longitud

• La Contracción de la Longitud causa que la longitud L medida en otro sistema de referencia sea mas corto que la longitud “propia” L’.

Sistema S

Sistema S’

La Contracción de la Longitud distociona las formas en 3D

11' 'v

L L Lcγ

= = −

( )( )

1 or ' '

′ ′−

Contracción de la Longitud: Derivación Corta

• Escribimos las transformada de Lorentz

para puntos extremos del objeto en el Sistema “propio” S’.• Resolvemos para longitud propia ∆x’ de un objeto en el sistema S’.(medidos a la vez, p.e. t1 = t2).

Contracción de la Longitud

• Necesaria consecuencia de los postulados y para consistencia de los efectos

• Puede tambien derivarse en cuatro dimensiones (ct, x, y, z) con rotación en un plano espacio-tiempo preservando la longitud 4-D, queremos rotar el plano espacio-espacio preservando la longitud

∆l2=∆x2+∆y2+∆z23-D

Teorema de Pitagoras

∆s2=c∆t()2−∆x2−∆y2−∆z2=c∆t()2−∆l2

Dilatación del Tiempo/Contracción de la Longitud: Decaimiento del Muon• Por qué hemos observado muones creados en lo mas alto de la atmósfera

sobre la Tierra? –Tienen estos un tiempo de vida ~2 µs , deben viajar solamente ~ 600 m

en 0.998 c.• Se necesita la relatividad para explicarlo!

–En el Sistema S’ del muon, el ve una longitud corta. (Contracción de la longitud)

–En nuestro Sistema S, vemos un tiempo de vida mas largo de γτ ~ 30 µs. (Dilatación de Tiempo)

Tiempo de vida propiaLongitud Contraida

Sistema S’ del MuonSistema S de la Tierra

Tiempo de vida mas largoLongitud Propia

~30 µs~2 µs

Dilatación del Tiempo/Contracción de la Longitud: Problema Domiciliario

Una nave espacial parte desde la Tierra (v = 0.995c) hacia una estrella la cual esta a 100 años-luz .Encontrar cuanto le toma llegar respecto a alguien en la Tierra (t1) y a alguien en la nave espacial (t2).

( )1100 yr

where x is measured from the earth's ref

erence frame

arth 10

(S frame

⋅∆= = =

Para t2, recordar que la nave espacial ve una distancia “contraria” ∆x’.

1001 1

10.011' 9.99 yr

ship 10

10.1 0.995

0.995.04 yr

01c yrx

∆ ⋅⋅∆= = = = = =

− −

⋅∆= = =

Notar que alguien sobre la nave piensa que le toma solamente el 10% del tiempo en llegar a la estrellar como alquien en la Tierra cree tomarlo. Esto es porque vemos que el reloj en la nave “ corre mas lento” comparado al reloj en la Tierra.

Efecto Doppler

Desplazamiento Doppler• El Desplazamiento Doppler causa cambio en la medida de la frecuencia.

– Cuando una fuente de luz se mueve junto al observador, la frecuencia de la luz es desplazada muy alto (p.e. deplazamiento azul).

– Cuando una fuente de luz se mueve desde lejos de un observador, la frecuencia de la luz es desplazado muy bajo (p.e. desplazamiento rojo).

– Solamente la diferencia con el desplazamiento Doopler “clasico” para el sonido es la incorporación de la dilatación del tiempo (causa factor raiz cuadrada).

Acercandose – desplazamiento azul

( )( )

1 /obs source

v cf f

Nota: Para una fuente retrocediendo, se cambia los signos.

Desplazamiento Doppler: Problema Domiciliario

La luz desde una estrella cercana es observada para ser desplazada junto al rojo por 5% (f = 0.95 f o). Esta la estrella acercandose o alejandose desde la Tierra? Cual es la rapidez de este movimiento?

La estrella esta alejandose de la Tierra porque la frecuencia es desplazada a un valor muy bajo.

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

10.95 and solve for

1 1 1 1

1 1 0.95 0.0975

1.90251 1 0.95

(1.54 10 / )0.0512

f vwhere f f

f f f f f f

f f f f

β ββ

−= = =+

+ = − ⇒ − = − + − −

= = =+ +

Warp 0.92 (0.75c)

Relativity

Relatividad Especial II• Momentum y energia Relativistica

– p = γmu and E = γmc2

– E = mc2 + K (simple) y E2 = (mc2)2 + (pc)2 (cuadrado)• Cantidades Conservativas

– La Energia total E y el momentum total p son conservativas en cualquier sistema de referencia.

– La energía de la masa en reposo total mc 2 no es conservativa (No puede ser obtenida de sumar individualmente las masas en reposo). Nota: Excepción cuando todas las particulas estan en reposo c/respecto a cada uno.

• Cantidades Invariantes– Energía total de la Masa en reposo mc 2 e intervalos espacio-

tiempo Ds son invariantes entre diferentes sistemas de referencia• Transformación de Lorentz para E, p

Relativistic Momentum

• Momentum Relativistico debera:– Ser consistente con la

conservación del momentum.

– Se Reduce a la expression clasica para u << c.

1Definition: with

1 /u cm γγ =

−=p u

Relativistic Energy: Definición & Ecuación“Simple”

Energia TotalE = Energia cinetica K + Energia en reposo mc2

1/ 22 2

22 2 2 2

1Classical Limit: 1 1 ...

1 11 ... 1

uK mc mc mc mu

= − ≈ + +

= − = + + − ≈

2 2Definition:

Simple Eqn.

Ecuaciones “Cuadrado” Invariantes

• Invariante cantidades que son iguales en todos los sistemas de referencia inerciales– Todos los observadores mediran el mismo valor para la

masa en reposo mc 2 y para los intervalos espacio-tiempo ∆s.• Las cantidades Invariantes son llamadas “4-vectores”

– Masa en reposo mc2 es dado por cuatro cantidades: E, px, py, pz

– Intervalos Espacio-tiempo ∆s es dado por cuatro cantidades: t, x, y, z

Mass en reposo Eo:

Intervalo Espacio-Tiempo:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 22 2

(Square Eqn.)

mc E c

∆ = ∆ − ∆

Ecuación Invariante : Clasica vs. Relativistica

Limite Clasico

Limite muy Relativistico

E = γ mc2

E >> pc da E ≈ mc2 (γ ≈ 1)

→ K ≈ ½ mu2 or p2/2m E >> mc2 da E ≈ pc

E = γ mc2

Preciso hasta 1% o mejor si E > 8mc2

Si K/mc2 ≈ 1%, entonces K aproximación con precisión hasta

≈1.5%.

6 Variables dados por 5 Ecuac. (3 def., simple, cuadrado)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

mc mc mc

= = + = +

= = −

= = = − = −

= = −

= =−

Requiere mc2

Problema: Encontrar E, p, and K (dados u, mc2 )

Encontrar la energia total E, momentum p (MeV/c), y energia cinetica K para un electron con masa en reposo 0.511 MeV y rapidez u = 0.5c.

( ) ( )

1 1 = 1.155

1 1 0.5

mc 1.155 0.511 MeV 0.59 MeV

mu=1.155 0.511 MeV / 0.5 0.295 MeV/c

c 0.59 MeV 0.511 MeV 0.079 MeV

= =− −

= − = − =

u da γ

Problema: Encontrar pc y u (dados E, mc2 )

Encontrar el momentum pc (MeV) y rapidez u de un electrón con masa en reposo 0.511 MeV y energía total E = 10 MeV.

( ) ( ) ( )

2 2 22 2

mc 10 MeV 0.511 MeV 9.987 MeV

10 MeV19.57 using

0.511 MeV

1 1 1 1 1 0.9987 using

19.57 1

γγ β

= − = − =

= = = =

= − = − = =−

Use Ec.de cuadrados

Problema: Encontrar mc2 y u (dados p, E)

Encontrar la masa en reposo y rapidez u de una particula con momentum pc = 300 MeV y energía total E = 3500 MeV.

( ) ( ) ( )

2 2 22 2

3500 MeV 300 MeV 3487 MeV

3500 MeV1.00373 using

3487 MeV

1 1 11 1 0.086 using

1.00373 1

mc E pc

γγ β

= − = − =

= = = =

= − = − = =−

Use Ec. de cuadrados

Problema: Encontrar E, pc y u (dados K, mc2 )

K = 2 GeV

p K = 2 GeV

( ) ( )

2 22 2

2 GeV + 938 MeV = 2.938 GeV

2.938 GeV 0.938 GeV 2.78 GeV

2.938 GeV3.13 using

0.938 GeV

1 1 11 1 0.948 using

3.13 1

E K mc

pc E mc

γγ β

= − = − =

= = = =

= − = − = =−

Un proton de 2-GeV choca con otro proton de 2-GeV en una colision frontal. Encontrar la energia total E, momentum pc, y velocidad u de cada proton.

Use Ecs. Simple y cuadrada

Problema: Encontrar mc2 y K

EG , Baski

( ) ( ) ( ) ( )

2 22 2

2 2 222

4702 MeV 940 MeV 4795 MeV

169 MeV 140 MeV 219 MeV

4795 MeV + 219 MeV = 5014 MeV

5014 MeV 4871 MeV 1189 MeV

where 4702 MeV +169 MeV = 4871 MeV

E pc mc

mc E pc

pc pc pc

K E mc

π π π

Σ ΣΣ

Σ Σ Σ

= + = + =

= − = − =

= − 5014 MeV 1189 MeV = 3825 MeV= −

Una particula S decae en un neutron (pc = 4702 MeV) y un pion (pc = 169 MeV). Encontrar la energia de la masa en reposo total y la energia cinetica de la particula S. pc =4702 MeV

Σ+ n π = + pc = 169 MeV

Masa en reposo: Basico

• Energia Interna de un sistema aparece como un incremento en la masa en reposo del sistema.– La masa de un sistema ligado es menos que de las

particulas separadas por Eb/c2, donde Eb es la energia de de enlace.

• Ejemplo de valores de Masa en Reposo– Foton = 0 MeV, Electron = 0.511 MeV, Proton = 938.28

• La energía de la Masa en Reposo Total Eo de un sistema NO es CONSERVATIVO, p.e. No es igual a la suma individual de las energias de las masas en reposo!

• La masa en reposo Total es INVARIANTE, p.e. tiene el mismo valor en diferentes sistemas de referencia.

Incremento Relativistico en la Masa

• E = γm0c2 = Κ.Ε. + m0c2

• m = γm0

E = m c2

Masa en Reposo : Problema Ejemplo

per second

Por lo tanto, el Sol pierde 4.3x109 kg de masa cada segundo!

A esta razón, el Sol debería agotarse de combustible después de ~ 1011 años.

Calcule la razón en el cual el Sol pierde masa, dado que el radio promedio R de la orbita terrestre es = 1.50×108 km, y la intensidad de radiación solar en la Tierra (constante solar) is 1.36×103 W/m2

Asumimos que el Sol radia uniformemente sobre una esfera de radio R, la Potencia Total P radiada por el Sol es dado por:

Masa en Reposo : Problema Domiciliario

Dos particulas identicas con masa en reposo de 12 kg se aproximan cada uno al otro con igual pero velocidades opuestas u1 = –u2 = 0.6c. Encontrar la masa total en reposo de este sistema.

( ) ( )

2 2 21 2

22 2 2

1 11.25

1 1 0.6

2 2 1.25 12 30 ; 0

tot tot

tot tottot

E E E mc kg c kg c p

E p kg c

cc cm kg

= = =− −

= + = = = ⋅ =

⋅ = − = − =

y u1 = 0.6c u2 = −0.6c

m1 = 12 kg m2 = 12 kg

Masa en reposo: Problema DomiciliarioUn electron esta moviendose hacia la izquierda con velocidad 0.995c y un positron esta moviendose hacia la derecha con velocidad 0.9798c. Dibujar un diagrama y encontrar la Energía de la masa total en reposo de este sistema.

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 22 21 2

1 1 1 110 ; 5

1 11 0.995 1 0.9798

10 0.511 MeV 5 0.511 MeV 7.67 MeV

10 0.511 MeV/c 0.995 c 5 0.511 MeV/c 0.9798 c 2.58 MeV/c

e p e e p p

e p e e e p p p

tot tot tot

u c u c

E E E m c m c

p p p m u m u

m c E p c

= = = = = =− −− −

= + = + = + =

= + = +

= − + = −

= − = ( ) ( )2 267 MeV 2.58 MeV 7.2 MeV− − =

ue- = -0.995c

ue+ = 9798c

Transformación de Lorentz de E,p

Derivación de:

( ) ( )

x x y y x x y y

x z z x z z

vE vEp p p p p p p p

E E vp p p E E vp p p

′ ′ ′ ′ ′= − = = + = ′ ′ ′ ′ ′= − = = + =

= =− −

2 2 2 2

1 / 1 /

x x x x

E mc E mc

p mu p mu

u c u c

γ γγ γ

′ ′= =′ ′ ′= =

′= =′− −

Energia & Momentum

3-D Case 4-D Momentum

r p =m

r v =γm0r v

E=mc2=γm0c2

r p =m0

r u =(E/c,px,py,pz)

r p 2=m0

2r u 2=m0

Energia y Momentum estan separados en 3-D y Tienen separadas leyes de conservación.En 4-D son parte del mismo vector y las rotaciones preservan la longitud (norm).

r F •

Transformaciones de Lorentz : Problema DomiciliarioDos electrones cada uno con energia total E = 30 GeV se aproximan uno al otro con igual pero opuesta velocidad. Encontrar el momentum p de cada electron antes de la colisión en el sistema lab. Tambien, encontrar la energia E’ y momentum p’ del electron de la izquierda en el sistema de referencia del electron de la derecha.Note: Porque u~c, use la aproximacion E ~ pc.

30 GeVe–

( ) ( )

30 GeV30 GeV/c for left e , 30 GeV / c for right e

1 30 10 MeV5.87 10

0.511 MeV1

' ( ) 5.87 10 [30 GeV 30 GeV/c ]

' 1.76 10 [1 / ] GeV 3.5 10 GeV where / 1

' ( ) 5.87 10 30 GeV/c 3

E E vp v

E v c v c

p p vE c v

− −= = = −

×= = = = ×−

= − = × − − +

= × + = × ≈

= − = × − − ( )

' 1.76 10 1 / Gev/c 3.5 10 GeV/c where / 1

p v c v c

= × + = × ≈

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