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8/6/2019 Prog Completo de Mate IV
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APUNTES DE MATEMATICAS
IV
Autor:Jorge Garca Nieva
Tecnologico de Estudios Superiores
del Oriente del Estado de Mexico
29 de julio de 2010
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INTRODUCCION
El Algebra Lineal es el estudio de los espacios vectoriales yde los conceptos derivados de ellos, como son las combinacioneslineales, los conjuntos bases y la representacion de los elementosde un espacio vectorial mediante ellas, las bases ortogonales , lastransformaciones lineales y sus representacion matricial, los espa-cios asociados a los autovalores y vectores propios de una trans-formacion lineal(descomposicion espectral), etc.
El conocimiento de los conceptos anteriores y su interrelacion,proporciona a los estudiantes de las areas de ingeniera una solidabase para trabajar en la modelacion matematica de los fenomenosfsicos dentro de sus respectivas areas.En efecto,la teora de losespacios vectoriales tiene amplias aplicaciones , interviniendo porejemplo en la resolucion matematica de problemas de optimizacion,como sucede con el metodo simplex en la Ingeniera Industrial, obien en el tratamiento simplificado y elegante de la teora de laregresion lineal y multilineal, la estadstica avanzada , la teoradel control de calidad, la teora de la simulacion, la teora de las
ecuaciones diferenciales,etc.Por lo anterior, es muy importante proporcionar a los estudi-
antes material didactico de calidad, que no se reduzca a la repro-duccion sin sentido de calculos, sino que tenga un nivel adecuadode la exposicion de la parte teorica. Es con este fin como el autorde estas notas ha recolectado una serie de resultados importantesdentro del Algebra Lineal que han sido considerados tradicional-mente como fundamentales por los especialistas de esta area y queson consideradas basicas dentro de un curso basico de eta asig-natura.
Estas notas comienzan con una exposicion acerca de los numeros
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complejos, lo cual es importante para abordar el tema de las ma-trices ortogonales y sus aplicaciones en la descripcion geometri-ca de fenomenos fsicos,amen de que interviene en el tratamientoalgebraico de la diagonalizacion de la representacion de transfor-maciones lineales mediante matrices y su ulterior aplicacion en eltratamiento de sistemas dinamicos.
El captulo 2,trata de las matrices , sus propiedades y con-ceptos fundamentales asociados.Los conceptos estudiados en estecaptulo tienen relacion directa con el captulo 3, el cual trata sobrelos sistemas lineales y su resolucion mediante matrices, expresa-do esto en el procedimiento de Gauss-Jordan , en el metodo deCramer y en el metodo de la inversa de la matriz de coeficientesde un sistema lineal. Cabe notar que los conceptos estudiados enlas unidades 2 y 3 son de amplia apliacacion en varios campos den-tro de la ingeniera,como por ejemplo,las ecuaciones diferenciales,la Investigacion de operaciones y la estadstica multivariable. Enla unidad 4 se estudian los espacios vectoriales, los cuales repre-sentan una generalizacion de la geometra plana y del espacio aespacios multidimensionales, as como a espacios con objetos nonecesariamente geometricos, como lo son los espacios de matri-ces o de soluciones de un sistema de ecuaciones ya sea algebraicolineal o de ecuaciones diferenciales lineales , y que en ingenierason de suma importancia para estudiar fenomenos o sistemas detipo lineal. En la unidad 5 se estudian las transformaciones lin-eales, las cuales aparecen en la practica en el analisis de objetosque se pueden ampliar, reducir,transladar o rotar; desde luego,suaplicacion a la robotica es ineludible,as como en la programacion
de graficos.
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Indice general
Introduccion 2
1 Numeros Complejos complejos. 61.1. Definicion y origen de los numeros complejos. . . 6
1.2. Operaciones fundamentales con numeros complejos 6
1.3. Potencias de i, modulo o valor absoluto de un
nu m ero com p lejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Forma polar y exponencial de un numero complejo 121.5. Teorema de De Moivre, potencias y extraccion de
ra ces de un numero complejo. . . . . . . . 13
2 Matrices y determinantes. 20
2.1. Definicion de matriz, notacion y orden. . . . . . . . 20
2.2. Clasificacion de las matrices. . . . . . . . . . . . 22
2.3. Operaciones con matrices. . . . . . . . . . . . . . 23
2.4. Transformaciones elementales por renglon. Escalonamiento
de una matriz. Rango de una matriz. . 382.5. Calculo de la inversa de una matriz. . . . . . . . . . 45
2.6. Definicion de determinante de una matriz. . . . . . 46
2.7. Inversa de una matriz cuadrada a traves de la adjunta. 49
2.8. Aplicacion de matrices y determinantes . . . . . . . 66
3 Sistemas de ecuaciones Lineales. 71
3.1. Definicion de sistemas de ecuaciones lineales. . . . . 71
3.2. Clasificacion de los sistemas de ecuaciones lineales y
tipos de solucion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3. Interpretacion geometrica de las soluciones. . . . . . 81
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Indice general
3.4. Metodos de solucion de un sistema de ecuaciones
lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una ma-
triz y regla de Cramer. . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.5. Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 24
4 Espacios vectoriales. 128
4.1. Definicion de espacio vectorial. . . . . . . . . . . . 128
4.2. Definicion de subespacio vectorial y sus propiedades. 135
4.3. Combinacion lineal. Independencia lineal. . . . . . . 140
4.4. Base y dimension de un espacio vectorial, cambio de
base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.5. Espacio vectorial con producto interno y sus
propiedades. 179
4.6. Base ortonormal, proceso de ortonormalizacion de
Gram-Schmidt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5 15Transformaciones lineales. 193
5.1. Introduccion a las transformaciones lineales. . . . . 1935.2. Nucleo e imagen de una transformacion lineal. . . . 212
5.3. La matriz de una transformacion lineal 205
5.4. Aplicacion de las transformaciones lineales: reflexion,
dilatacion, contraccion y rotacion . . . . . . . 219
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UNIDAD I. Los nmeros complejos
Origen y definicin. Operaciones con complejos. Forma polar. Teorema
de DeMoivre. Potencias y races de complejos
1.1. Definicin y origen de los nmeros complejos.
Los nmeros complejos aparecieron histricamente cuando Cardano,en
1539,trat ecuaciones como x2 + 1 = 0 ,la cual no tiene solucin en R.
Posteriormente Gauss desarroll la teora con mayor formalidad. La impos-
ibilidad de resolver estaclase de ecuaciones en el campo real crea la necesidad
de ampliar R construyendo un supercuerpo conmutativo K en el que todo
elemento admita una raz cuadrada y, en consecu.encia, que la ecuacin
anterior tenga solucin.
Supongamos que K existe y sea i un elemento de K que satisface i2 + 1 = 0.
Vamos a ver que el subconjunto K0 de K engendrado por R{i} y descrito por
los elementos de la forma
a + bi
en donde a, b R es un cuerpo. Es evidente que
a + bi = 0 =a = b = 0
ya que de lo contrario, para b 6= 0 se deducira que i es un elemento de R y esto
no es posible.
1.2. Operaciones fundamentales con nmeroscomplejos.
Por otro lado, de las reglas de clculo en el cuerpo conmutativo K y teniendo
en cuenta que i2 = 1, se deduce
(a + bi) + (c + di) = (a + b) + (b + d)iLas igualdades demuestran que:
a + bi = c + di a = b y c = d
y , que:
(a + bi) (a bi) = a2 + b2
Puesto que en R se cumple
a2 + b2 = 0 a = b = 0
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entonces, si a + bi 6= 0
1a + bi
=a bi
(a + bi) (a bi)=
a bia2 + b2
=a
a2 + b2+
ba2 + b2
i
Luego, si K existe y i2 + 1 = 0, entonces
K0 = {a + bi : a, b R}
es un cuerpo.
No obstante, si existe otro elemento i1 K tal que i2
1 + 1 = 0, entoncespodemos determinarK
0
1 = {a + bi1 : a, b R}y es claro queK0 yK01 son isomorfos. Por tanto,K
0 es nico salvo un isomorfismo.Por otra parte, si K0 existe, (22.4) muestra que hay una biyeccin entre K0
y R Rf : RR K0
(a, b) 7 a + biAdems, es claro que f es un isomorfismo de grupos aditivos, en donde R Rest dotado con la siguiente adicin
(a, b) + (c, d) = (a + b, c + d)
pues, se cumplef((a, b) + (c, d)) = f(a, b) + f(c, d)
Podemos dotar a RR con la siguiente multiplicacin (a, b)(c, d) = (ac bd, ad
+ bc)
y entonces demuestra que
f((a, b) (c, d)) = f(a, b) f(c, d)
De este modo, si demostramos que R R dotado con las operaciones suma ymultiplicacin es un cuerpo, habremos probado la existencia de K0.
En el conjunto R R definimos las dos operaciones siguientes
(a, b) + (c, d) = (a + b, c + d)
y(a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc)
Es fcil comprobar las siguientes propiedades:
UNIDAD I. LOS NMEROS COMPLEJOS
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1. (R R, +) es un grupo conmutativo de elemento neutro (0, 0), en el que
(a,b) es el simtrico de (a, b).2. La multiplicacin es distributiva respecto a la suma .
3. (R R {(0, 0)}, ) es un grupo conmutativo de elemento neutro (1, 0),en el que el simtrico de (a, b) es
a
a2 + b2,b
a2 + b2
Como consecuencia, (R R, +, ) es un cuerpo conmutativo al que denom-inaremos cuerpo de los nmeros complejos y designamos porC. Un nmerocomplejo es un elemento de C, o lo que es lo mismo, un par ordenado denmeros reales.
Identificamos el nmero real a con el nmero complejo (a, 0), pues la apli-cacin
f : R Ca 7 (a, 0)
es un homomorfismo inyectivo entre (R, +, ) y (C, +, ). En efecto,
f(a + b) = (a + b, 0)
= (a, 0) + (b, 0)
= f(a) + f(b)
f(a b) = (ab, 0)
= (a, 0) (b, 0)
= f(a) f(b)
yf(a) = f(b) (a, 0) = (b, 0) a = b
Como consecuencia, podemos considerar R como un subcuerpo de C, y entonceses natural afirmar que C es una extensin de R.
Puesto que(0, 1) (0, 1) = (1, 0)
es natural escribir (0, 1) = i, cumplindose entonces que i2 = 1, y, por tanto,
1 posee raz cuadrada en C. Adems, si b es un nmero real, entonces se cumple
(0, 1) (b, 0) = (0, b)
y podemos escribir ib en lugar de (0, b). De este modo, si z es el nmero complejo(a, b), entonces podemos escribirlo de manera nica bajo la forma
(a, b) = (a, 0) + (0, b)
y, en consecuencia, es natural escribir z como a + ib. Esta manera de representarun nmero complejo se llama forma binmica. Entonces, a a se le llama partereal de z y se escribe Re z = a, y a b se le llama parte imaginaria de z yse escribe Im z = b. Si b = 0, se dice que z es un nmero imaginario puro
UNIDAD I. LOS NMEROS COMPLEJOS
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ysi a =0,sediceque z es un nmero real.Alnmerocomplejo i se le llama unid-ad imaginaria. Las operaciones (22.7) y (22.8), pueden escribirse en forma binmica,
operando como en el caso de nmeros reales, sin ms que tener en cuenta que i2= 1.
(a + ib) + (c + id) = (a + b) + i(b + d)
(a + ib) (c + id) = (ac bd) + i(ad + bc)
Observacin. El conjuntoC de los nmeros complejos puede ordenarse de variasmaneras. Sin embargo, no existe relacin de orden total sobreC de manera queC seauncuerpo ordenado(como lo esR), pues, 1=12 y1= i2son cuadrados enC y entonces los dos deberan ser mayores que cero, no siendonulos. Ahora bien, 1 y 1 son opuestos y, por tanto, no es posible que los dossean estrictamente mayores que cero.
El cuerpo de los nmeros complejos dotado con las dos operaciones siguientes
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
y
(a + ib) = a + ib ( R)es un espacio vectorial sobre R. Es inmediato comprobarlo. Adems, (1, i) for-man una base de este espacio, pues son generadores
a + ib = a 1 + b i
Adems , son linealmente independientes
1 + i = 0 + 0 i = = 0
La geometra ordinaria del plano proporciona una imagen adecuada del cuer-po de los nmeros complejos. Consideremos en el plano eucldeo un origen O yunos ejes rectngulares Ox y Oy. Sean e1, e2 los vectores de la base ortonormalcorrespondiente. Entonces, entre el espacio vectorial de los vectores libres delplano y el cuerpo de los nmeros complejos, considerado como espacio vectorialreal de base (1, i), existe un isomorfismo definido por la aplicacin
x + yi 7 xe1 + ye2
Al vector v = xe1 + ye2 corresponde un representante de origen O y extremo elpunto P de coordenadas (x, y) que se llama afijo del nmero complejo x + iy.En forma breve, el vector imagen de z = x + iy es el vector
UNIDAD I. LOS NMEROS COMPLEJOS
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UNIDAD I.LOS NMEROS COMPLEJOS
v = OP, siendo P el afijo de z. De este modo, entre el plano eucldeo y el cuerpode los nmeros complejos queda establecida una biyeccin que lo convierte enel plano complejo. Los complejos que son nmeros reales tienen por afijoslos puntos del eje Ox, y los que son nmeros imaginarios puros, los puntosdel eje Oy. Esta es la razn por la cual estos ejes se denominan entonces ejereal y eje imaginario del plano complejo, respectivamente. Sin embargo, estasdenominaciones son un abuso del lenguaje, pues, tanto el eje Oy como el planoOxy estn descritos por puntos de coordenadas reales.
Esta representacin geomtrica de los nmeros complejos permite interpretarfcilmente la adicin de los nmeros complejos: si P y Q son los afi jos de z1 yz2 y se tiene,
OP +OQ = OR
entonces R es el afi jo de z1 + z2, ya que para sumar vectores de origen O bastacon sumar sus componentes respecto de los ejes de coordenadas; obsrvese quez1 + z2 es por tanto la diagonal del paralelogramo que determinan z1 y z2.
En particular, los afijos de los nmeros complejos z y z son dos puntos simtri-cos respecto a O.
Con la representacin geomtrica, aparecen de manera natural los conceptosde mdulo y argumento de un nmero complejo.
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UNIDAD I. LOS NMEROS COMPLEJOS
1.3. Valor absoluto de un nmero complejo.
Se llama mdulo de un nmero complejo z = x + iy y se denota por |z| ala norma del vector imagen correspondiente xe1 + ye2, es decir,
|z| = kxe1 + ye2k =p
x2 + y2
De las propiedades de la norma eucldea se deducen enseguida las propiedadesdel mdulo de un nmero complejo:
1. |z| = 0 si y slo si z = 0
2. |zz 0| = |z| |z0|
3. |z + z0| |z| + |z0|
y de este modo la aplicacin
C R+z 7 |z|
es un valor absoluto en C. Podemos entonces llamar a |z| valor absoluto de z,pero la costumbre hace que se prefiera el trmino mdulo.
Se llama argumento de un nmero complejo z = x + iy no nulo y se denotapor arg z, la medida del ngulo que determinan los vectores e1 y xe1 +ye2.
Recordemos que esta medida es un nmero real mdulo 2, es decir, si 0 esuna medida de dicho ngulo, tambin lo son 0 + 2k para k Z. Para evitarambigedades, a menudo es conveniente utilizar el valor principal para elargumento de z, el cual se define mediante 0 < 2.
Si un nmero complejo z 6= 0 tiene mdulo r y argumento , se denominaforma polar o mdulo-argumental de z al par (r, ), representado a menudopor r. De este modo, tenemos
(r, ) = (r0, 0) r = r0 y 0 = + k 2
Dado un nmero complejo z = x + iy no nulo, entonces las siguientes relaciones
r = px2+ y
2
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y
= arctany
x
(x 6= 0)
permiten determinar la forma polar de z. Si x = 0, podemos tomar = /2 siy > 0, y = 3/2 cuando y < 0.
1.4.Formas trigonomtrica y exponencial de un nmero
complejo
Dado un nmero complejo z = (r, ) en forma polar, la siguiente figura
muestra que se cumplen las siguientes relaciones
x = r cos y y = r sin
de manera que cualquier nmero complejo no nulo de mdulo r y argumento se puede escribir como
z = r cos + ir sin
= r(cos + i sin )
que se llama forma trigonomtrica de z. Obsrvese que si z 6= 0 est dado enforma binmica, entonces las siguientes relaciones
r =p
x2 + y2
y
sin =y
px2 + y2 y cos =x
px2 + y2permiten determinar la forma trigonomtrica.
La forma trigonomtrica nos permite dar una interpretacin geomtrica delproducto de dos nmeros complejos. En efecto, si
z1 = r1(cos 1 + i sin 1) y z2 = r2(cos 2 + i sin 2)
entonces
z1z2 = r1r2(cos 1 + i sin 1)(cos 2 + i sin 2)
= r1r2 [(cos 1 cos 2 sin 1 sin 2) + i(cos 1 sin 2 + sin 1 cos 2)]= r1r2 [cos(1 + 2) + i sin(1 + 2)]
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UNIDAD I. LOS NMEROS COMPLEJOS
Por tanto,
|z1z2| = |z1| |z2| y arg(z1z2) = arg z1 + arg z2
Este resultado se interpreta de la siguiente manera: el afi jo del producto z1z2se construye como tercer vrtice del tringulo que tenga uno en O, otro enel afi jo de z2 y sea semejante al tringulo que tiene como vrtices homlogosrespectivamente el afi jo de z1, O y el afi jo de e1. Dicho de otro modo, se aplicauna homotecia de centro el origen y razn r2 al tringulo de vrtices O, el afijode z1 y el de e1, y despus un giro de centro el origen y ngulo 2, formndoseel tringulo semejante de vrtices O, el afi jo de z1z2 y el de z2.
De la misma forma se interpretan las relaciones siguientesz1 = |z|1 y arg z1 = arg z
que se obtienen al hacer en (22.9) z1 = z y z2 = z1, y tambin
z1z2 = |z1|
|z2|y arg
z1z2
= arg z1 arg z2
1.5.Teorema de DeMoivre.Clculo de potencias .Es claro que (22.9) se extiende por induccin a un producto de un nmero
finito de nmeros complejos, cumplindose
n
Yi=1
zi =n
Yi=1
|zi| y argn
Yi=1
zi! =n
Xi=1
arg zi
En particular, para n Z tenemos
zn = rn [cos(n) + i sin(n)]
y si, adems r = 1, entonces tenemos la frmula de De Moivre
(cos + i sin )n = cos n + i sin n
Puesto que
ex =Xn0
xn
n!
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UNIDAD I. LOS NMEROS COMPLEJOS
para todo x R, podemos escribir formalmente
ei = 1 + i 22! i 3
3!+
4
4!+ i
5
5!
obteniendo
Re ei = 1 2
2!+
4
4! =
Xn0
(1)n(2n)!
2n = cos
y
Im ei = 3
3!+
5
5! =
Xn0
(1)n(2n + 1)!
2n+1 = sin
De este modo, deducimos que
ei = cos + i sin
De aqu, como un nmero complejo z se expresa en forma trigonomtrica como
z = r(cos + i sin )
tenemosz = rei
que se llama forma exponencial del nmero complejo z.
Nmeros complejos conjugados
Con la ayuda de la representacin geomtrica vamos a considerar una trans-formacin de C que deja invariante R, elemento a elemento. Esto resulta de la
simetra respecto del eje real entre afijos
es decir,C C
z = x + iy 7 z = x iyEl complejo z se llama conjugado de z. Es claro que se trata de una biyecciny, adems, transforma la suma y el producto en la suma y producto de losconjugados. Se tiene entonces que
z = z z + z0 = z + z0
zz 0 = zz 0
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UNIDAD I. LOS NMEROS COMPLEJOS
Es evidente que
Re z = Re z Im z = Im z
Re z = 12(z + z) Im z =12i(z z)
Tambin es claro que un nmero complejo z es real si y slo si z = z, y esimaginario puro si y slo si z + z = 0. Si z = x + iy, entonces
zz = (x + iy) (x iy)= x2 + y2
es decir, zz es un nmero real positivo. Adems, se cumple
|z| =
zz
y, para todo nmero complejo z 6= 0,
z1 =z
zz=
z
|z|2
En particular, de aqu se deduce que un nmero complejo z es unitario (tienemdulo 1) si y slo si z1 = z.
Ejemplo. Efectuar las siguientes operaciones con nmeros complejos, ex-presando el resultado en forma binmica:
a) (i1)3
i+1 b)5+3i(1+i)2
c) (2 + i)(8 + 5i)i d) 1+i2+i 1+i2+i
Solucin: (a) Expresando z1 = 1 + i en forma polar tenemos
r1 =
2 y 1 = arctan(1) =3
4
Del mismo modo, para z2 = 1 + i tenemos
r2 =
2 y 2 = arctan1 =
4
Por tanto,
z31 = ((
2)3, 3 3
4)
= (22, 94
)
y, en consecuencia,
z31z2
= (2
22
,9
4
4)
= (2, 2)
o bien, en forma binmicaz31z2
= 2
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UNIDAD I. LOS NMEROS COMPLEJOS
(b) Tenemos
5 + 3i(1 + i)2
= 5 + 3i(1 i)2
=5 + 3i2i
=5i 3
2
= 32 5
2i
(c) Tenemos
(2 + i)(8 + 5i)i = (11 + 18i)i
=
18 + 11i
(d) Tenemos
1 + i
2 + i1 + i2 + i =
(1 + i)(2 + i)(2 + i)(1 + i)
=3 i3 + i
3 i3 i
=8 + 6i
10
=4
5+
3
5i
Ejemplo Utilizando la frmula de De Moivre, expresar cos5x en trminos desin x y cos x.
Solucin: Segn esta frmula, tenemos
(cos x + i sin x)5 = cos 5x + i sin5x
Por tanto,cos5x = Re(cos x + i sin x)5
Mediante la frmula del binomio de Newton, obtenemos
cos5x = cos5 x 10cos3 x sin2 x + 5 cos x sin4 x
1.6 . Ecuaciones polinmicas .
Un nmero complejo z0 = r0(cos 0 + i sin 0) se llama raz n-sima de unnmero complejo z = r(cos + i sin ) si
(z0)n = z
Por consiguiente, tenemosr0(cos 0 + i sin 0)
n= r(cos + i sin )
(r0)n(cos n0 + i sin n0) = r(cos + i sin )
16
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y, por tanto,
(r
0
)
n
= r y n
0
(mod2)o de forma equivalente,
r0 = n
r y 0 =
n+
2k
n(k = 0, 1, 2,...,n 1)
Como consecuencia, todo nmero complejo z = r(cos + i sin ) no nulo tiene nraces n-simas
zk =n
r
cos
+ 2k
n+ i sin
+ 2k
n
(k = 0, 1, 2,...,n 1)
Es evidente que se cumple
|zk+1| = |zk| y arg zk+1 arg zk + 2n
(mod2)
y, por tanto, para n > 2, las n races n-simas de un nmero complejo no nuloson los afi jos de los vrtices de un polgono regular de n lados. Estos afi jos seencuentran sobre la circunferencia de centro O y radio n
r.
Observacin. 1. En el caso particular de n = 2, tenemos
z0 =
r(cos
2+ i sin
2)
y
z1 = r cos2
+
+ i sin
2
+
=
r( cos 2 i sin
2)
= z0
es decir, encontramos que las dos races son opuestas y, como consecuen-cia, son los afi jos de dos puntos simtricos respecto al origen.
2. En particular, las races n-simas de la unidad son las soluciones de laecuacin zn = 1. Vienen dadas por la frmula
zk = cos2k
n
+ i sin2k
n
(k = 0, 1, 2,...,n
1)
En este caso el polgono que forman sus afi jos est inscrito en la circun-ferencia de radio 1, siendo uno de sus vrtices el punto z0 = 1.
3. Las races n-simas de un nmero complejo cualquiera son los productosde una de ellas por las races n-simas de la unidad, pues, si u0 es unaraz particular de ordenn dez, yu es una cualquiera de las otras, se tiene
un = un0 = z =
u
u0
n= 1
y el cociente u/u0 es una cualquiera de las races n-simas de la unidad.
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UNIDAD I. LOS NMEROS COMPLEJOS
Ejemplo. Calcular5
p1
3i.Solucin:
Expresando z = 1 3i en forma polar, obtenemos|z| = 2 y arg z = arctan(
3) =
5
3
En consecuencia, las races quintas de z vienen dadas por
zk =5
2
cos
5/3 + 2k
5+ i sin
5/3 + 2k
5
(k = 0, 1, 2, 3, 4)
es decir,z1 =
5
2
cos 3 + i sin
3
z2 =
5
2 cos 1115 + i sin1115
z3 =
5
2 cos1715 + i sin
1715
z4 =5
2 cos23
15 + i sin23
15
z5 =52
cos 2915 + i sin2915
Ejemplo. Hallar las races de la ecuacin
(1 + i)z3 2i = 0
Solucin: Es claro que
z3 =2i
1 + i
=2i
1 + i
1 i1
i
=2 + 2i
2= 1 + i
Por tanto, z = 3
1 + i. Para determinar las races cbicas de este complejo,determinamos primero el mdulo y el argumento de z0 = 1 + i. Obtenemos
|z0| =
2 y arg z0 = arctan1 =
4
Por lo tanto, tenemos
zk =3
2cos/4 + 2k
33 + i sin
/4 + 2k
3 (k = 0, 1, 2)es decir,
z1 =3
2 cos 12 + i sin
12
z2 =3
2
cos 912 + i sin912
z3 =
3
2
cos 1712 + i sin1712
Ejemplo. Expresar en forma binmica ei.
Solucin: Puesto que
i = cos
/2 + 2k
2+ i sin
/2 + 2k
2(k = 0, 1)
8/6/2019 Prog Completo de Mate IV
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UNIDAD I. LOS NMEROS COMPLEJOS
obtenemos
i = ( cos 4 + i sin 4 =2
2 + i
2
2cos 54 + i sin
54 =
22 i
22
Por tanto,
ei =
e2
2+i
2
2 = e2
2 ei2
2 = e2
2
cos
22 + i sin
22
e
2
2i
2
2 = e2
2 ei2
2 = e2
2
cos
22 i sin
22
Ejemplo. Dados los nmeros complejos z1 = 1 + i y z = 2 + 3i, cal-cular dos nmeros complejos z2, z3 tales que los afi jos dez1, z2 y z3 formen untringulo equilatero de centro el afi jo dez.
Solucin: Sabemos que los afi jos de las races cbicas de un nmero com-plejo w son los vrtices de un tringulo equilatero inscrito en una circunferenciade centro el origen y radio 3
p|w|. Puesto que nuestro tringulo ha de estar cen-
trado en el afijo dez, deberemos efectuar una traslacin de vector el asociado az. De este modo, se tiene
zi = z +3
w (i = 1, 2, 3)
Como una de las races cbicas de w esz1z, podemos obtener las races cbicasde w multiplicando z1 z por las races cbicas de la unidad. Las races cbicasde la unidad son
u1 = 1
u2 = cos2
3+ i sin 2
3=
1
2+ i
3
2u3 = cos
43 + i sin
43 = 12 i
32
Por tanto, las races cbicas de w son
w1 = 1 2iw2 = (1 2i)
12 + i
32
= 12 +
3 + i
32 + 1
w3 = (1 2i) 12 i
32 = 12
3 + i
32 + 1
y, en consecuencia, los nmeros complejos que buscamos son
z1 = z + w1 = 1 + iz2 = z + w2 =
5
2
+
3 + i3
2
+ 4z3 = z + w3 = 52
3 + i 32 + 4
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Unidad II. Matrices y Determinantes
2.1. Definicin de matriz.Notacin y orden.
Definicion 1.1. Sean m, n Z+. Una matriz real A de orden m por n (m n) es unarreglo bidimensional de numeros reales dispuestos en m filas y n columnas como sigue
A = (aij)mn =
a11 a12 a1na21 a22 a2n
...
.....
...
.
am1 am2 amn
= a11 a12 a1na21 a22 a2n
...
.....
...
.
am1 am2 amn
donde aij R para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}, el cual es llamado componenteij-esima de A.
Para cada i {1, . . . , m} la i-esima fila de A la denotaremos por A(i) y esta dada por
A(i) = ai1 ai2 ainPara cada j {1, . . . , n} la j-esima columna de A la denotaremos por A(j) y esta dada por
A(j) =
a1j
a2j
...
amj
Cuando m = n, diremos que A es una matriz cuadrada de orden n, en este caso, las
componentes a11, a22, . . . , ann forman lo que llamaremos diagonal principal de A.
Cuando m = 1, diremos que A es una matriz fila y cuando n = 1, diremos que A es una
matriz columna.
La notacion A = (aij)mn, significa que A es la matriz de orden m n cuya ij-esima compo-nente es aij para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}.
El conjunto formado por todas las matrices reales de orden mn lo denotaremos porMmn(R).
Operaciones con matrices. Matrices especiales . Operaciones por
filas. Matrices escalonadas. Determinantes
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
Observacion 1.1. Podemos considerar matrices sobre un campo K ,l, por ejem plo K =C, en lugar de matrices reales, en cuyo caso las componentes de las matrices son
elementos de K.
Observacion 1.2. Se debe tener cuidado cuando se usa la notacion (aij)mn, el cambio dendices no significa que se trata de otra matriz, los ndices son mudos, esto es
(aij)mn = (akr)mn = (apq)mn = (aji)mn
Ejemplo 2.1.
1. A =
2 0 5
23
4 1
es una matriz real de orden 23, la componente 2, 1 de A es a2,1 = 23 ,
la fila 2 de A es A(2) =
23
4 1
, la columna 3 de A es A(3) = 5
1
2. B =
1 4 0
5 12 30 2 8
es una matriz cuadrada real de orden 3, las componentes de ladiagonal principal son a1,1 = 1, a2,2 = 12, a3,3 = 8.
3. La matrizIn = (ij)nn, donde ij = 1 si i = j0 si i = j , para cadai, j {1, . . . , n}, es llamada
matriz identidad de orden n, esto es,
In =
1 0 00 1
. . . .......
. . .. . . 0
0 0 1
nn
4. La matriz 0/mn = (ij)mn, donde ij = 0 para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n},es llamada matriz nula de orden m n, es decir
0/mn =
0 0.... ...
0 0
mn
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
Cuando m = n, solo escribiremos 0/n en lugar de 0/nn, es decir,
0/n =
0 0....
. . .....
0 0
nn
Definicion 2.2 SeaA Mnn(R). Diremos que A = (aij)nn es
1. Triangular superior si aij = 0 para i, j {1, . . . , n} coni > j.
2. Triangular inferior si aij = 0 para i, j {1, . . . , n} coni < j.
3. Diagonal si aij = 0 para i, j {1, . . . , n} con i = j, es decir, A es triangular superior einferior simult aneamente.
4. Escalar si es diagonal y existe R tal que aii = para i {1, . . . , n}.
Observacion 2.3. Una matriz cuadrada es triangular superior (respectivamente inferior) si y
solo si todas sus componentes bajo (respectivamente sobre) la diagonal principal son iguales a
cero.
Observacion 2.4. Cuando A Mnn(R) es diagonal y las componentes en la diagonal principalson 1, 2, . . . , n R, entonces escribiremos A = diag( 1, 2, . . . , n)
Ejemplo 2.2
1. Para cada n Z+, In y 0/n son matrices escalares, y por lo tanto diagonales y consecuente-mente triangulares superior e inferior.
2. A = 5 4 0 7
0 3 12 50 0 2 1
0 0 0 0
es triangular superior.
3. A =
5 0 0 00 4 0 0
0 1 0 09 13 3 8
es triangular inferior.
2.2.Clasificacin de las matrices.
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Unidad II.Matrices y Determinantes
4. A =
6 0 0 0
0 3 0 00 0 5 0
0 0 0 0
es diagonal, en cuyo caso podemos escribir A = diag(6, 3, 5, 0).
5. A =
8 0 0 0
0 8 0 0
0 0 8 0
0 0 0 8
es escalar, en cuyo caso podemos escribir A = diag(8, 8, 8, 8).
Definicion2 .3 Sean A, BMmn(R). Diremos que A y B son matrices iguales, lo cual
denotaremos por A = B, si la componente ij-esima de A es igual a la componente ij-esima de
B para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}, es decir, si A = (aij)mn y B = (bij)mn,diremos que A y B son iguales si
aij = bij para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}
Observacion 2.5. Notese que para que dos matrices sean iguales, en primer lugar deben ser
del mismo orden.
Ejemplo 2.3 Si A =
5 1 0
6 8 3
; B =
5 7
0 y
2 4
y C =
x 7
0 32 4
, entonces A = Bpues ni siquiera son del mismo orden; B = C si y solo si x = 5 e y = 3.
El siguiente teorema es una consecuencia directa de la definicion de igualdad de matrices, su
demostracion la dejamos como ejercicio.
Teorema.2.1 Sean A, B
Mmn(R). Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes
1. A = B.
2. A(i) = B(i) para cada i {1, . . . , m}.
3. A(j) = B(j) para cada j {1, . . . , n}.
Demostracion. Hacerlo como ejercicio.
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
2.3. Operaciones con matrices.
En esta seccion definiremos dos operaciones con matrices que dotaran al conjunto Mmn(R)
de una estructura algebraica conocida como espacio vectorial, dicha estructura sera tratada
en el captulo 2 del presente trabajo.
Definicin 2.4. SeanA, B Mmn(R) conA = (aij)mn yB = (bij)mn. Definiremos lamatrizsuma de A conB, como la matrizA + B Mmn(R) cuyaij-esima componente viene dada poraij + bij para cadai {1, . . . , m} y cadaj {1, . . . , n}, esto es, siA + B = (cij)mn, entoncescij = aij + bij para cadai {1, . . . , m} y cadaj {1, . . . , n}.
Observacion2.6. Para poder sumar dos matrices estas deben ser del mismo orden.
Ejemplo 2.4. Si A = 4 9 0 87 3 5 12
1 0 6 2
y B = 3 9 5 41 13 3 910 4 7 11
, entonces
A + B =
4 9 0 8
7 3 5 121 0 6 2
+
3 9 5 41 13 3 9
10 4 7 11
= 4 + (
3)
9 + 9 0 + 5 8 + (
4)
7 + 1 3 + (13) 5 + 3 12 + 91 + 10 0 + 4 6 + 7 2 + 11
= 1 0 5 4
6 10 8 311 4 1 13
Definicion2.5. Sean A Mmn(R) y R ( es llamado escalar), con A = (aij)mn.Definiremos la multiplicacion de por A (multiplicacion por escalar) como la matriz
A o simplemente A cuyaij-esima componente es aij para cadai {1, . . . , m} y cadaj
{1, . . . , n}, esto es, siA = (bij)mn, entonces bij = aij para cadai {1, . . . , m} y cadaj {1,. . . , n}.
Observacion2.7. La notacion de multiplicacion por escalar es A o A y no A ni A, se debe colocar primero el escalar luego la matriz.
Observacion 2.8. Toda matriz escalar de orden n es un multiplo escalar de In, ms an, A
Mnn(R) es una matriz escalar si y solo si existe R tal que A = In.
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
Ejemplo 2.5. SeaA la matriz del ejemplo 2.4, entonces
2 A = 2
4 9 0 87 3 5 12
1 0
6 2
=
2 4 2(9) 2 0 2 82(7) 2 3 2 5 2(12)
2
1 2
0 2(
6) 2
2
=
8 18 0 16
14 6 10 242 0 12 4
Teorema 2.2 Sean A,B,CMmn(R) y , Rcualesquiera. Entonces
1. A + B = B + A (conmutatividad de la suma).
2. (A + B) + C = A + (B + C) (asociatividad de la suma).
3. A + 0/mn = A = 0/mn +A (neutro aditivo).
4. Existe una matriz D Mmn(R) tal que A + D = 0/mn = D + A (opuesto aditivo).
5. (A + B) = A + B (distributividad de la multiplicacion por escalar respecto ala suma
matricial).
6. ( + )A = A + A (distributividad de la multiplicacion por escalar respectoa la suma
escalar).
7. (A) = ()A = (A) (asociatividad de la multiplicacion por escalar).
8. 1 A = A (neutro de la multiplicacion por escalar).
Demostracion. Sean A = (aij)mn, B = (bij)mn y C = (cij)mn.
1. Hagamos A + B = E = (eij)mn y B + A = F = (fij)mn. Por definicion de suma de
matrices, tenemos que para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}
eij = aij + bij = bij + aij = fij
Luego A + B = E = F = B + A (definicion de igualdad de matrices).
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
2. Hagamos A + B = E = (eij)mn, (A + B) + C = E+ C = F = (fij)mn, B + C = G =
(gij)mn y A + (B + C) = A + G = H = (hij)mn. As que por definicion de suma de
matrices
fij = eij + cij = (aij + bij) + cij = aij + (bij + cij) = aij + gij = hij
De donde (A + B) + C = F = H = A + (B + C) (definicion de igualdad de matrices).
3. Recordemos que 0/mn = (ij)mn donde ij = 0 para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}. As que si A + 0/mn = E = (eij)mn, entonces, por definicion de suma dematrices, para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}
eij = aij + ij = aij + 0 = aij
Por lo tanto A + 0/mn = E = A y por conmutatividad
A + 0/mn = A = 0/mn +A
4. Definamos D = (dij)mn con dij = aij para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}.Hagamos A + D = E = (eij)mn. Entonces, por definicion de suma de matrices, para cada
i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}
eij = aij + dij = aij + (aij) = 0
Por lo tanto A + D = E = 0/mn y por conmutatividad
A + D = 0/mn = D + A
5. Hagamos A + B = E = (eij)mn, (A + B) = E = F = (fij)mn, A =G = (gij)mn,
B = H = (hij)mn y A + B = G + H =P = (pij)mn. Entonces, para cada
i
{1, . . . , m
}y cada j
{1, . . . , n
}tenemos que
fij = eij (definicion de multiplicacion por escalar)
= (aij + bij) (definicion de suma de matrices)
= gij + hij (definicion de multiplicacion por escalar)
= pij (definicion de suma de matrices)
Luego
(A+B) = F = P = A+
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
6. Hagamos ( + )A = E = (eij)mn, A = F = (fij)mn, A = G = (gij)mn
F + G = H = (hij)mn. En consecuencia, para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}se tiene que
eij = (+ )aij (definicion de multiplicacion por escalar)
= aij + aij
= fij + gij (definicion de multiplicacion por escalar)
= hij (definicion de suma de matrices)
De donde
E = H = A + A
7. Hagamos A = E = (eij)mn, E = F = (fij)mn y ()A = G =(gij)mn.
As que, por definicion de multiplicacion de por escalar, para cada i {1, . . . , m} y cadaj {1, . . . , n} obtenemos
fij = eij = ()A= (aij) = ()aij = gij
Luego (A) = F = G = ()A y en consecuencia
(A) = ()A = ()A
Por lo tanto
(A) = ()A = (A)
8. Hagamos 1 A = E = (eij)mn. As que al usar la definicion de multiplicacion por escalar,se tiene que para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}
eij = 1 aij = aij
En consecuencia
1 A = E = A
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
2. Para cada matriz A Mmn(R), existe una unica matriz D Mmn(R) tal que A + D =0/mn = D + A, tal matriz D es llamada matriz opuesta de A y se denota porA.
Demostracion. La parte 3 del teorema 1.2 garantiza que la matriz nula 0/mn satisface que para
cada A Mmn(R) se cumple que A + 0/mn = A = 0/mn +A. Ademas, la existencia de la matrizD es garantizada en la parte 4 del mismo teorema. Solo faltara probar la unicidad de ambas
matrices.
1. Supongamos que P Mmn(R) es tal que A + P = A = P + A para cada A Mmn(R),luego
P = P + 0/mn (por la parte 3 del teorema 1.2)
= 0/mn (hipotesis)
2. Sea A Mmn(R) cualquiera. Supongamos que existen D, EMmn(R) tales que
A + D = 0/mn = D + A (2.1)
A + E = 0/mn = E+ A (2.2)
En consecuencia
D = D + 0/mn (teorema 1.2 parte 3)
= D + (A + E) (por la ecuacion 1.2)
= (D + A) + E (teorema 1.2 parte 2)
= 0/mn +E (por la ecuacion 1.1)
= E (teorema 1.2 parte 3)
Teorema 2.4. Sean A,B,C Mmn(R) tales que A + B = A + C. Entonces B =C.
Demostracion. Hacer como ejercicio.
28
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
2. 0/mn = 0/mn.
3. (1)A = A.
4. Si A = 0/
m
n, entonces = 0 o A = 0/
m
n.
Demostracion.
1. Sabemos que
0 A + 0/mn = 0 A (por que?)
ademas
0 A = (0 + 0)A = 0 A + 0 A
as que
0 A + 0 A = 0 A + 0/mny por el teorema 1.4, se tiene que 0 A = 0/mn
2. Por un lado
0/mn = 0/mn + 0mn
por otro lado
0/
mn = (0/
mn + 0/
mn) = 0/
mn + 0/
mn
luego
0/mn + 0/mn = 0/mn + 0/mny nuevamente, usando el teorema 1.4, tenemos que 0/mn = 0/mn
3. Basta probar que A + (1)A = 0/mn, y por unicidad, obtendramos el resultado. Veamos
A + (1)A = 1 A + (1)A (teorema 2.2 parte 8)= (1 + (1))A (teorema 2.2 parte 6)= 0 A= 0/mn (por la parte 1)
Luego, por unicidad de la matriz opuesta, (1)A = A
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
4. Supongamos que A = 0/mn. Si = 0, no hay nada que probar, supongamos entonces que
= 0, as queA = 1 A (teorema 2.2 parte 8)
= (1)A
A = 1( A) (teorema 2.2 parte 7) 1 0
(por hipotesis)
= 0 (por la parte 2)
Con lo cual, se concluye la prueba.
Definicion 2.6. Sean A, B Mmn(R). Definiremos A B = A + (B).
Ejemplo 2.6. Si A =
4 12 06 5 3
6 1 27 0 1
y B =
5 10 66 1 114 0 5
2 6 1
, entonces
A B = A + (B) =
4
12 0
6 5 36 1 27 0 1
+
5
10
6
6 1 114 0 5
2 6 1
=
4 12 06 5 3
6 1 27 0 1
+
5 10 66 1 114 0 5
2 6 1
=
1 2 612 6 14
2 1 39 6 2
Producto de Matrices
A diferencia de las dos operaciones definidas en la seccion anterior, la multiplicacion de matrices
no se define de manera natural, como veremos luego, no por ello deja de ser importante dicha
operacion.
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
Definicin.2.7. SeanA = (aij)mn Mmn(R) yB = (bjk)np Mnp(R). Definiremos elpro-ducto de A por B como la matriz C = (cik)mp Mmp(R), denotada por AB o A B, tal quepara cadai {1, . . . , m} y cadak {1, . . . , p} se tiene que
cik =n
j=1
aijbjk = ai1b1k + ai2b2k + + ainbnk
Observacion 2.9Notese que para poder definir el producto AB, la cantidad de columnas d
A debe coincidir con la cantidad de filas de B, ademas, la matriz resultante, es una matriz cuya
cantidad de filas coincide con la cantidad de filas de A y su cantidad de columnas es igual a la
cantidad de columnas de B.
Ejemplo 2.7. Sean A = 2 1 00 3 1 y B = 3 1 0
2 1 24 2 3
. EntoncesAB = A B
=
2 3 + (1)2 + 0(4) 2 1 + (1)(1) + 0(2) 2 0 + (1)(2) + 0 3
0 3 + 3 2 + 1(4) 0 1 + 3(1) + 1(2) 0 0 + 3(2) + 1 3
=
6 2 + 0 2 + 1 + 0 0 + 2 + 00 + 6
4 0
3
2 0
6 + 3
=
4 3 2
2
5
3
Observacion 2.10. Notese que en el ejemplo anterior, el producto BA no esta definido, esto
nos dice que el producto de matrices no es conmutativo, mas aun, a pesar de que ambosproductos
estan definidos, AB yBA, no necesariamente son ambos del mismo orden, ademas, siendo ambos
productos del mismo orden, en cuyo caso necesariamente A yB deben ser cuadradas y del mismo
orden, las matrices AB y BA no tienen por que ser iguales, cuando esto ocurre, es decir, cuando
AB = BA, se dice que A y B son matrices que conmutan.
A continuacion enunciaremos un teorema que expone las principales propiedades del producto
de matrices
Teorema 2.6. Sean A Mmn(R); B, C Mnp(R); C Mpq(R) y R. Entonces
1. (AB)D = A(BD) (asociatividad del producto de matrices).
2. A(B + C) = AB +AC (distributividad a izquierda del producto de matrices).
8/6/2019 Prog Completo de Mate IV
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
3. (B + C)D = BD + CD (distributividad a derecha del producto de matrices).
4. (AB) = (A)B = A(B) (asociatividad del producto de matrices y la multiplicacion por
escalar).
5. ImA = A = AIn (neutros del producto de matrices).
6. B 0/pq = 0/nq y 0/mn B = 0/mp.
Demostracion. Sean A = (aij)mn; B = (bjk)np; C = (cjk)np y D = (dkl)pq.
1. Hagamos AB = E = (eik)mp; (AB)D = ED = F = (fil)mq; BD = G = (gjl)nq y
A(BD) = AG = H = (hil)mq. Entonces, usando la definicion de producto matricial, para
cada i {1, . . . , m} y cada k {1, . . . , p}
eik =n
j=1
aijbjk
para cada j {1, . . . , n} y cada l {1, . . . , q}
gjl =
pk=1
bjkdkl
y para cada i {1, . . . , m} y cada l {1, . . . , q}
fil =
pk=1
eikdkl; hil =n
j=1
aijgjl
Luego
fil =
pk=1
eikdkl =
pk=1
nj=1
aijbjk
dkl =
pk=1
nj=1
aijbjkdkl =n
j=1
pk=1
aijbjkdkl
=n
j=1
aij
pk=1
bjkdkl = nj=1
aijgjl = hil
Por lo tanto, usando la definicion de igualdad de matrices
(AB)D = F = H = A(BD)
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
2. Hagamos B + C = E = (ejk)np; A(B + C) = AE = F = (fik)mp; AB = G =(gik)mp;
AC = H = (hik)mp y AB + AC = G + H = R = (rik)mp. Entonces, para cada i
{1, . . . , m
}y cada k
{1, . . . , p
}fik =
nj=1
aijejk (definicion de producto de matrices)
=n
j=1
aij(bjk + cjk) (definicion de suma de matrices)
=n
j=1
(aijbjk + aijcjk) =n
j=1
aijbjk +n
j=1
aijcjk
= gik + hik (definicion de producto de matrices)
= rik (definicion de suma de matrices)
En consecuencia
A(B + C) = F = R = AB + AC
3. Analogo a la demostracion de la parte 2.
4. Sean AB = E = (eik)mp; (AB) = E = F = (fik)mp; A = G =(gij)mn y ( A)B =
GB = H = (hik)mp. Entonces, para cada i {1, . . . , m} y cada k {1, . . . , p}
fik = eik(definici on eee multiplicaci ooon por escalar)
=
nj=1
aijbjk (ddd finicion de pr ducto de matrices)
=n
j=1
(aijbjk) =n
j=1
(aij)bjk
=n
j=1
gijbjk (definicion de multiplicacion por escalar)
= hik (definicion de producto de matrices)
De donde (AB) = F = H = (A)B. De manera analoga se prueba que (AB) = A(B),
as que
(AB) = (A)B = A(B)
(2.3)
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
Hagamos AIn = E = (eik)mn. Entonces, para cada i {1, . . . , m} y cada k {1, . . . , n}
eik
=n
j=1 aijjk (definicion de producto de matrices)= ai11k + + ai(k1)(k1)k + aikkk + ai(k+1)(k+1)k + + ainnk= ai1 0 + + ai(k1) 0 + aik 1 + ai(k+1) 0 + + ain 0 (por 1.3)= aik
Por lo tanto AIn = E = A, analogamente puede probarse que ImA = A, en consecuencia
AIn = A = ImA
Ejercicio 2.1. Pruebe que si A Mmn(R) y B Mnp(R), entonces
1. AB =
AB(1) AB(2) AB(p)
(desarrollo por columnas del producto AB), es decir,
la k-esima columna de AB, que es (AB)(k), es igual a A por la k-esima columna de B,
AB(k)
, para cada k {1, . . . , p}.
2. AB =
A(1)B
A(2)B....
A(m)B
(desarrollo por filas del producto AB), es decir, la i-esima fila de AB,
que es (AB)(i), es igual a la i-esima fila de A por B, A(i)B, para cada i {1, . . . , m}.
Definicion 2.8. Una matriz N Mnn(R) es llamada nilpotente si existe p N tal queNp = 0/n, ademas, si p es tal que N
p1 = 0/n, diremos que N es nilpotente de orden p.
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
Observacion 2.11. La matriz nula de orden n es nilpotente y conveninos en que es nilpotente
de orden 0.
Ejemplo 2.8. Las siguientes matrices son nilpotentes
N1 =
1 1 0 01 0 1 01 0 1 01 0 1 0
; N2 =
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
N1 es de orden 3 y N2 es de orden 4 (Probarlo como ejercicio)
Transposicion de MatricesDefinicion 2.9. SeaA = (aij)mn Mmn(R). Definiremos la transpuesta o traspuesta deA como la matriz AT = (bji)nm Mnm(R) tal que
bji = aij para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}
Ejemplo 2.9. Sea
A =
2 5 0 73 0 1
6
5 12 2 9
Entonces
AT =
2 3 55 0 12
0 1 27 6 9
Observacion 2.12. Notese que las filas de A pasan a ser las columnas de AT y las columnas
de A pasan a ser las filas de AT, mas propiamente
A(i)T
= AT(i)
para cada i {1, . . . , m}
A(j)T
= AT(j)
para cada j {1, . . . , n}
Teorema2.7. Sean A, B Mmn(R), C Mnp(R) y R. Entonces
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
1. ATT
= A (propiedad de involucion de la transposicion de matrices)
2. (A + B)T = AT + BT (transpuesta de la suma)
3. (A)T = AT (transpuesta de la multiplicacion por escalar)
4. (AC)T = CTAT (transpuesta del producto matricial)
5. (In)T = In y (0/mn)
T = 0/nm
Demostracion. Sean A = (aij)mn; B = (bij)mn y C = (cjk)np.
1. Hagamos AT = D = (dji)nm y ATT
= DT = E = (eij)mn. Entonces, para cada
i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}, por definicion de transpuesta
eij = dji = aij
Luego
ATT
= E = A
2. Sean A + B = D = (dij)mn; (A + B)T = DT = E = (eji)nm; A
T = F = (fji)nm;
BT = G = (gji)nm y AT+BT = F+G = H = (hji)nm. Entonces, para cada i {1, . . . , m}
y cada j {1, . . . , n}
eji = dij (definicion de transpuesta)
= aij + bij (definicion de suma de matrices)
= fji + gji (definicion de transpuesta)
= hji (definicion de suma de matrices)
Por lo tanto
(A + B)T = E = H = AT + BT
3. Hagamos A = D = (dij)mn; (A)T = DT = E = (eji)nm; A
T = F = (fji)nm;
y AT = F = G = (gji)nm. Entonces, para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}
eji = dij (definicion de transpuesta)
= aij (definicion de multiplicacion por escalar)
= fji (definicion de transpuesta)
= gji (definicion de multiplicacion por escalar)
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
As que
(A)T = E = G = AT
4. Sean AC = D = (dik)mp; (AC)T = DT = E = (eki)pm; C
T = F = (fkj)pn; AT =
G = (gji)nm y CTAT = F G = H = (hki)pm. Entonces, para cada i {1, . . . , m} y cadak {1, . . . , p}
eki = dik (definicion de transpuesta)
=n
j=1
aijcjk (definicion de producto)
=n
j=1
gjifkj (definicion de transpuesta)
=n
j=1
fkjgji = hki (definicion de producto)
De donde
(AC)T = E = H = CTAT
Definicion 2.10. SeaA Mnn(R). Diremos que
1. A es simetrica si AT = A.
2. A es antisimetrica si AT = A.
Ejemplo 2.10.
1. In es simetrica para todo n N.
2. 0/n es simetrica y antisimetrica para todo n N existe alguna otra matriz que sea simetricay antisimetrica simultaneamente?
3. La matriz
A =
0 5 7 65 0 4 87 4 0 12
6 8 12 0
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
es antisimetrica pues
AT =
0 5 7 65 0 4 87
4 0
12
6 8 12 0
= A
4. La matriz
A =
5 9 3 09 2 1 13
3 1 0 70 13 7 3
es simetrica ya que
AT =
5 9 3 09 2 1 13
3 1 0 70 13 7 3
= A
Teorema 2.8. SeaA Mnn(R). Entonces
1. A es simetrica si y solo si aij = aji para cualesquiera i, j {
1, . . . , n}
.
2. A es antisimetrica si y solo si aij = aji para cualesquierai, j {1, . . . ,n}.
3. Si A es antisimetrica, entonces aii = 0 para cualquiera i {1, . . . , n}.
Demostracion. Ejercicio!
2.4 Operaciones Elementales por Filas.Escalonamientode una matriz.
Las operaciones elementales por filas son herramientas usadas con mucha frecuencia en
la resolucion de los sistemas de ecuaciones lineales al igual que en calculo de la inversa
de una matriz cuadrada. Estas operaciones las usaremos a lo largo de todo el curso, por ello
deben ser manejadas con la mayor perfeccion posible por parte del estudiante que desee aprender
la materia. Comencemos por definir dichas operaciones.Denotemos por Fm(R) el conjunto formado por todas las matrices reales con m filas.
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
Definicion 2.11. Una operacion elemental por filas (OEF) es una funcion f : Fm(R) Fm(R) la cual es de uno de los siguientes tipos
OEF Tipo 1. Si f(A) = B, entonces existen s
{1, . . . , m
}y
= 0 tales que B(i) = A(i)
para cada i {1, . . . , m}, con i = s, y ademas B(s) = A(s), esto es, una de lasfilas
de A es multiplicada por un escalar no nulo y el resto de las filas permanecen iguales.
f(A) = f
A(1)
...
A(s1)
A(s)
A(s+1)....
A(m)
=
A(1)....
A(s1)
A(s)
A(s+1)...
A(m)
= B
Por comodidad, en lugar de escribir B = f(A), escribiremos AFs Fs
B.
OEF Tipo 2. Si f(A) = B, entonces existen s, t {1, . . . , m}, con s = t, y R talesque B(i) = A(i) para cada i {1, . . . , m}, con i = s, y ademas B(s) = A(s) + A(t),es decir, a una fila de A le sumamos un multiplo escalar de alguna otra fila de A,
distinta de la primera, dejando el resto de las filas intactas.
f(A) = f
A(1)
...
A(s1)
A(s)
A(s+1)....
A(m)
=
A(1)
...
A(s1)
A(s) + A(t)
A(s+1)....
A(m)
= B
Al igual que antes, en lugar de escribir B = f(A), escribiremos AFs Fs +Ft
B.
OEF Tipo 3. Si f(A) = B, entonces existen s, t {1, . . . , m} tales que B(i) = A(i) paracada i {1, . . . , m}, con i = s e i = t y ademas B(s) = A(t) y B(t) = A(s), dicho deotra manera, intercambiamos dos filas de A y dejamos el resto sin alterar.
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
f(A) = f
A(1)....
A(s1)
A(s)
A(s+1)....
A(t1)
A(t)
A(t+1)....
A(m)
=
A(1)
...
A(s1)
A(t)
A(s+1)....
A(t1)
A(s)
A(t+1)
...
A(m)
= B
Nuevamente, en lugar de escribir B = f(A), escribiremos AFs Ft
B.
Observacion 1.1.3. Notese que si A Mmn(R) y f : Fm(R) Fm(R) es una OEF,entonces
f(A) Mmn(R).
Ejercicio 2.1.3. Pruebe que toda OEF f : Fm(R) Fm(R) es una funcion invertible y quesu
inversa f1 : Fm(R) Fm(R) es tambien una OEF del mismo tipo que f.
Ejemplo 2.1.1. Sea
A =
2 4 56 3 4
2 1 86 21 15
Entonces
A =
2 4
5
6 3 4
2 1 86 21 15
F1 F3
(OEF 3)
2
1 8
6 3 4
2 4 56 21 15
F4 13F4
(OEF 1)
2
1 8
6 3 4
2 4 52 7 5
F3 F3 + F1(OEF 2)
2 1 86 3 4
0 3 3
2 7 5
= B
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
Observacin 2.14. Se pueden aplicar ms de dos operaciones por filas en un solo paso, lo nico
que debemos cuidar es no transformar, en el mismo paso, una fila ms de una vez y no transform-
ar, en el mismo paso, una fila que va ser usada para transformar a otra(s).
Observacin 2.15. De manera anloga a como se definieron las operaciones elementales por
filas, pueden definirse operaciones elementales por columnas (OEC), sin embargo, estas ltimas
slo se usarn para el clculo de determinantes y no para la resolucin de sistemas de ecuaciones
lineales ni para hallar la inversa de una matriz cuadrada, en estos ltimos dos problemas slo
usaremos las operaciones elementales por filas.
Definicion 2.12. SeaA = (aij)mnMmn(R). Diremos que A es una matriz
Escalonada
1. Si todas las filas nulas de A, si las hay, estan ubicadas en las timas posiciones, esto es,
siA(i) es una fila no nula de A, entonces A(s) tambin es no nula para cada1 s < i.2. SiA(i) yA(i+1) son dos filas no nulas de A, entonces la primera componente no nula de
A(i) (contada de izquierda a derecha) est mas a la izquierda de la primera compon-
ente no nula de A(i+1), es decir, sij, k
{1, . . . , n
}son tales que aij
= 0; a(i+1)k
= 0 y
ais = 0 = a(i+1)t para cada 1 s < j y cada 1 t < k, entonces j < k.
Reducida por Filas (RF)
1. Si A(i) es una fila no nula de A, entonces la primera componente no nula de A(i) es
igual a 1 (uno), dicha componente es llamada pivote, es decir, si j {1, . . . , n} estal que aij = 0 y ais = 0 para cada 1 s < j, entonces aij = 1.
2. SiA(j) es una columna de A que tiene un pivote, entonces el resto de las componentes
de A(j) son iguales a 0 (cero), esto es, si i {1, . . . , m} es tal que aij = 1 y ais = 0para cada 1 s < j, entonces akj = 0 para cada k {1, . . . , m} conk = i.
Escalonada Reducida por Filas (ERF) si es escalonada y reducida por filas simultanea
mente.
Ejemplo 2.12.
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
1. Para cualesquiera m, n Z+, In y 0/mn son matrices escalonadas reducidas por filas.
2. E =
2 1 3 8 30 5 1 6 40 0 0 8 70 0 0 0 0
es escalonada pero no es reducida por filas.
3. R =
1 0 0 7
0 0 0 0
0 0 1 90 0 0 6
0 1 0 1
es reducida por filas pero no es escalonada.
4. F =
1 0 5 0 80 1 3 0 10 0 0 1 20 0 0 0 0
0 0 0 0 0
es escalonada reducida por filas.
Ejercicio 2.4. Sea A Mmn(R). Pruebe que:
1. Si A es una matriz escalonada, entonces la cantidad de filas no nulas de A es, a lo sumo,
el mnimo entre m y n.
2. SiA es una matriz RF, entonces la cantidad de pivotes de A es, a lo sumo, el mnimo entre
m y n.
Ejercicio 2.5. Pruebe que si A Mnn(R) es una matriz escalonada, entonces A es triangularsuperior.
Definicion 2.13. Sean A, B Mmn(R). Diremos que B es equivalente por filas a A siexisten OEF f1, f2, . . . , f r : Fm(R) Fm(R) tales que B = (f1 f2 fr)(A)
Ejemplo 2.13. Consideremos las matrices A y B del ejemplo 1.11. Entonces B es equivalente
por filas a A (por que?).
Teorema 2.9. Sean A,B,CMmn(R). Tenemos que
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
1. A es equivalente por filas a A.
2. Si B es equivalente por filas a A, entonces A es equivalente por filas a B.
3. SiC es equivalente por filas a B yB es equivalente por filas a A, entonces C es equivalente
por filas a A.
Demostracion. Ejercicio!
Observacion 2.16. La parte 2 del teorema 2.9, nos permite decir A y B son equivalentes por
filas en lugar de B es equivalente por filas a A o A es equivalente por filas a B.
Teorema 2.10. Toda matriz A
Mmn(R) es equivalente por filas a
1. Una matriz escalonada.
2. Una matriz reducida por filas.
3. Una unica matriz escalonada reducida por filas, la cual llamaremos la forma escalonada
reducida por filas (FERF) de A.
Demostracion.
Observacion 2.17. A Mnn(R) es equivalente por filas a In si y solo si In es la FERF de A.
El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento a seguir para hallar la FERF de una matriz.
Ejemplo 2.14. Hallar la FERF de
A =
6 1 15 2 13
1 0 2 1 30
3
9 0 9
7 1 11 3 10
Solucion.
A =
6 1 15 2 131 0 2 1 3
0 3 9 0 97 1 11 3 10
F1 F2
1 0 2 1 36 1 15 2 130 3 9 0 97 1 11 3 10
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
F1 F1
1 0 2 1 36 1 15 2 130 3 9 0 9
7 1 11 3 10
F2 F2 6F1
F4 F4 7F1
1 0 2 1 30 1 3 4 50 3 9 0 9
0 1 3 4 11
F2 F2
1 0 2 1 30 1 3 4 5
0 3 9 0 90 1 3 4 11
F3 F3 + 3F2F4 F4 F2
1 0 2 1 30 1 3 4 5
0 0 0 12 24
0 0 0 8 16
F3 112F3
1 0 2 1 30 1 3 4 5
0 0 0 1 2
0 0 0 8 16
F1 F1 F3
F2 F2 4F3F4 F4 + 8F3
1 0 2 0 10 1 3 0 30 0 0 1 2
0 0 0 0 0
As que la FERF de A es
C =
1 0 2 0 10 1 3 0 30 0 0 1 2
0 0 0 0 0
Definicion 2.14. Una matriz E Mnn(R) es llamada matriz elemental si existe una OEFf : Fn(R) Fn(R) tal que E = f(In), es decir, E se obtiene de In por medio de una unicaOEF.
Ejemplo 1.15.
1. E1 =
1 0 0 0
0 1 0 0
5 0 1 00 0 0 1
es elemental, pues
I4 =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
F3 F3 5F1
1 0 0 0
0 1 0 0
5 0 1 00 0 0 1
= E1
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.UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
2. E2 =
1 0 0
0 4 0
0 0 1
es elemental, ya que
I3 =
1 0 00 1 00 0 1
F2 4F2 1 0 00 4 00 0 1
= E2
3. E3 =
1 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 1 0 0 0
es elemental, dado que
I5 =
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
F2 F5
1 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 1 0 0 0
= E3
Teorema 2.11. Sean A Mmn(R), B Mnp(R) y f : Fm(R) Fm(R) una OEF. Entonces
1. f(AB) = f(A)B.
2. (f(A))(j) = f A(j)
para cada j {1, . . . , n} de donde
f(A) =
f
A(1)
f A(2) f A(n)
es decir, la fila j-esima de f(A) es igual a f aplicada a la j-esima fila de A.
Otra consecuencia del mismo teorema, en conjuncion con el corolario anterior,es la siguiente.
Corolario 2.13. Sean A, B Mmn(R) dos matrices equivalentes por filas.Entonces existen matrices elementales E1, E2, . . . , E r Mmm(R) tales que B =E1E2
ErA
45
2.5. Inversa de una matriz
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As que la unica solucion del sistema homogeneo Bx = 0/n1 es la trivial, y en virtud del teorema
1.22, B es invertible. Ademas
A = AIn (teorema 1.6 parte 5)
= A(BB1) (definicion de matriz inversa)
= (AB)B1 (teorema 1.6 parte 1)
= InB1 (por hipotesis)
= B1 (teorema 1.6 parte 5)
Por lo tanto BA = In (definicion de inversa) y como consecuencia de la parte 1 del teorema 3.20
A1 = (B1)1 = B.
Observacion 3.22. El teorema 1.23 nos permite garantizar que A1 = B solo con probar que
AB = In o BA = In.
Ejercicio 3.7. Sean A, B Mnn(R). Pruebe que si AB es invertible, entonces A y B tambien
son invertibles
2.6. Definicin de determinante de una matriz
En esta seccion trataremos los determinantes y algunas de sus propiedades, en primer lugar
definiremos los determinantes de orden 2, continuando luego con los determinantes de
orden 3, para finalmente definir los determinantes de orden n.
Definicion 2.17. SeaA =
a11 a12
a21 a22
M22(R). Definiremos el determinante de A, como
el numero real det(A) = |A|, dado por
det(A) = |A| = a11 a12
a21 a22
= a11a22 a12a21
este tipo de determinante se suele llamar determinante de orden 2.
Ejemplo 2.22. Hallar det(A) para A =
6 5
7 6
46
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
Solucion. det(A) = 6 57 6 = (6)6 5(7) = 36 + 35 = 1
Ejercicio 2.8. Pruebe que A =
a11 a12a21 a22
M22(R) es invertible si y solo si det(A) = 0.
Ademas, si A es invertible, entonces A1 =1
det(A)
a22 a12
a21 a11
Definicion 2.18. Dada la matriz
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
M33(R)
Definiremos el determinante de A, denotado por det(A) o |A|, como
det(A) = |A| =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11 a22 a23
a32 a33
a12
a21 a23a31 a33
+ a13
a21 a22a31 a32
este tipo de determinante es llamado determinante de orden 3.
Observacion 2.23. Notese que estamos definiendo el determinante de orden 3 en funcion de
determinantes de orden 2.
Ejemplo 2.23. Hallar det(A) para A =
2 3 1
6 1 5
7 0 6
Solucion.
det(A) = |A| =
2 3 16 1 5
7 0 6
= 2 1 5
0 6
(3) 6 5
7 6
+ (1) 6 1
7 0
= 2(6 0) + 3(36 + 35) (0 + 7) = 2
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
Observacion 2.24. Una forma muy sencilla recordar la formula de determinantes de orden 3
es la siguiente
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23
a13a22a31 a23a32a11 a33a12a21
a11 a12 a13
a21 a22 a23
no es parte del determinante, es solo para
ayudar a recordar la formula
Los productos generados por las flechas rojas () se colocan con signo positivo, los que son
generados por las flechas azules () se colocan con signo negativo.
Puede verificar que la igualdad anterior es cierta. Tambien se puede hacer el calculo si en lugar
de colocar las dos primeras filas al final, se colocan las dos ultimas filas en la parte superior, las
dos primeras columnas a la derecha o las dos ultimas columnas a la izquierda.
Este metodo se conoce como la metodo de Sarrus para el calculo de determinantes de orden
3 y solo es aplicable a determinantes de orden 3.
Ejemplo 2.24. Calculemos el determinante del ejemplo 2.23 usando este metodo.
Solucion.
2 3 1
6 1 5
7 0 6
= 2 1 6 + (6)0(1) + (7)(3)5 (1)1(7) 5 0 2 6(3)(6)
2 3 16 1 5
2 3 1
6 1 5
7 0 6
= 12 + 0 + 105 7 0 108 = 2
Compare este resultado con el obtenido en el ejemplo 2.23.
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
2.7. Propiedades de los determinantes.
Definicion 2.19. Sea A = Mnn(R). Para cada i, j {1, . . . , n} definamos la matriz MAij
M(n1)(n1)(R) que se obtiene de A al eliminar su i-esima fila y su j-esima columna, dicha
matriz es llamada ij -esimo menor de A.
Observacion 2.25. Si en lugar de eliminar una fila y una columna de A, eliminamos dos filas
y dos columnas de A, la matriz que se obtiene se denomina menor de segundo orden de A,
estas matrices se denotan por MAij,kl, lo que significa que se han eliminado las filas i e j
(con i = j) y las columnas k y l (con k = l) de A. De manera analoga se pueden definir
menores de
A Mnn(R) hasta de orden n 1.
Observacion 2.26. Es claro que MAij,kl = MAji,lk = M
Aji,kl = M
Aij,lk para cada i, j, k, l {1, . . . ,
n} coni = j y k = l.
Ejemplo 2.25. Consideremos la matriz
A =
9 2 1 4
0 8 5 7
1 6 3 6
4 1 0 3
Hallar MA23; M
A42 y M
A22.
Solucion.
MA23 =
9 2 4
1 6 6
4 1 3
; MA42 =
9 1 4
0 5 7
1 3 6
y MA22 =
9 1 4
1 3 6
4 0 3
Definicion 2.20. Sea A Mnn(R). Para cada i, j {1, . . . , n} definiremos el ij -esimo co-
factor de A como el numero real CAij dado por
CAij = (1)i+j det MAij
Ejemplo 2.26. Para la matriz del ejemplo 2.25 se tiene que
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
CA23 = (1)2+3 det MA23 =
9 2 4
1 6 6
4 1 3
= (162 + 4 + 48 + 96 54 6) = 74
CA42 = (1)4+2 det MA42 =
9 1 4
0 5 7
1 3 6
= 270 + 0 7 + 20 + 189 0 = 68
CA22 = (1)2+2 det MA22 =
9 1 4
1 3 6
4 0 3 = 81 + 0 24 + 48 0 + 3 = 54
Pasemos ahora a definir los determinantes de orden n. En primer lugar notemos que la formula
dada en la definicion 2.18 puede ser escrita como
det(A) = |A| = a11CA11 + a12C
A12 + a13C
A13
La idea es generalizar esta formula para una matriz A de orden n.
Definicion 2.21. Sea A Mnn(R). Definiremos el determinante de A, determinante deorden n, como el numero real det(A) = |A| dado por
det(A) = |A| = a11 a12 a1n
a21 a22 a2n....
...
.. . .
...
.
an1 an2 ann
=n
j=1
a1jCA1j =
nj=1
a1j(1)1+j det MA1j
Ejemplo 2.27. Hallar el determinante de la matriz del ejemplo 2.25
Solucion.
det(A) = |A| =
9 2 1 4
0 8 5 7
1 6 3 6
4 1 0 3
= (9)(1)1+1 det MA11
+ 2(1)1+2 det MA12
+ (1)(1)1+3 det MA13
+4(1)1+4 det MA14
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
det(A) = 9
8 5 7
6 3 6
1 0 3
2
0 5 7
1 3 6
4 0 3
0 8 7
1 6 6
4 1 3
4
0 8 5
1 6 3
4 1 0
= 9(72 + 0 + 30 21 0 + 90) 2(0 + 0 120 + 84 0 + 15)
(0 + 7 + 192 + 168 0 24) 4(0 5 96 120 0 0)
= 1539 + 42 343 + 884 = 956
Ejemplo 2.28. Calcular el determinante de la matriz
A =
2 0 0 0 0
12 1 0 0 0
3 0 3 0 0
5 8 7 1 0
9 6 7 0 6
Solucion. Notemos primero que A es triangular inferior.
det(A) = |A| =
2 0 0 0 0
12 1 0 0 0
3 0 3 0 0
5 8 7 1 0
9 6 7 0 6
= 2(1)1+1 det MA11
+ 0(1)1+2 det MA12
+ 0(1)1+3 det MA13
+0(1)1+4 det MA14
+ 0(1)1+5 det MA15
= 2(1)1+1 det MA11
+ 0(1)1+2 det MA12
+ 0(1)1+3 det MA13
+0(1)1+4 det MA
14+ 0(1)1+5 det MA
15
= 2
1 0 0 0
0 3 0 0
8 7 1 0
6 7 0 6
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
det(A) = 2
1(1)1+1
3 0 0
7 1 0
7 0 6
+ 0(1)1+2
0 0 0
8 1 0
6 0 6
+0(1)1+3
0 3 08 7 0
6 7 6
+ 0(1)1+4
0 3 08 7 1
6 7 0
= 2 1
3 0 0
7 1 0
7 0 6
= 2 1 (3)(1)1+1 1 0
0 6+ 0(1)1+2
7 0
7 6+ 0(1)1+3
7 1
7 0
= 2 1(3) 1 0
0 6
= 2 1(3)((1)(6) 0 0)
= 2 1(3)(1)(6) = 36
El determinante de A es el producto de las componentes de la diagonal principal. Este resultado
se cumple siempre que A es una matriz triangular, superior o inferior, como veremos luego.
La demostracion del teorema que enunciaremos a continuacion escapa del objetivo del curso,
sin embargo, de el se derivan el resto de las propiedades que seran enunciadas mas adelante, en
el apendice D se puede encontrar una demostracion de este.
Teorema 2.24. Si A = (aij)nn Mnn(R), entonces
1. det(A) =n
j=1
aijCAij =
nj=1
aij(1)i+j det MAij
para cada i {1, . . . , n} (Desarrollo del
determinante de A mediante la fila i-esima).
2. det(A) =n
i=1
aijCAij =
ni=1
aij(1)i+j det MAij
para cada j {1, . . . , n} (Desarrollo del
determinante de A mediante la columna j-esima).
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
Ejemplo 2.29. Calcular el determinante de la matriz A del ejemplo 1.23 al desarrollar el de
terminante mediante la tercera fila y mediante la segunda columna.
Solucion. En primer lugar hallemos el determinante de A desarrollandolo mediante la tercera
fila.
det(A) = |A| =
2 3 1
6 1 5
7 0 6
= 7(1)3+1 3 1
1 5
+ 0(1)3+2 2 16 5 + 6(1)3+3
2 36 1
= 7(15 + 1) + 0 + 6(2 18) = 2
Ahora desarrollemos el determinante de A mediante la segunda columna.
det(A) = |A| =
2 3 1
6 1 5
7 0 6
= 3(1)1+2 6 5
7 6
+ 1(1)2+2 2 1
7 6
+ 0(1)3+2 2 1
6 5
= 3(36 + 35) + (12 7) + 0 = 2
Teorema 2.25. Si A Mnn(R), entonces det AT
= det(A).
Demostracion. (Ejercicio)
Sugerencia: proceder por induccion sobre n y usar el teorema 1.24
Teorema 2.26. Si A = (aij)nn M
nn(R
) una matriz triangular (superior o inferior), en-tonces det(A) = a11a22 ann.
Demostracion. Procedamos por induccion sobre n. Supongamos, sin perder generalidad que
A es una matriz triangular superior.
Verifiquemos que la tesis se cumple para n = 2. Sea
A =
a11 a12
0 a22
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
Entonces
det(A) = a11a22 a12 0 = a11a22
Supongamos ahora que la tesis se cumple para n 1, esto es, supongamos que para cualquier
matriz triangular superior A = (aij)(n1)(n1) M(n1)(n1)(R) se cumple que det(A) =a11a22 a(n1)(n1) (Hipotesis Inductiva).
Probemos ahora que se cumple para n. Sea
A =
a11 a12 a1n
0 a22 a2n....
. . .. . .
...
.
0 0 ann
Entonces, al desarrollar el determinante de A mediante la fila n, obtenemos
det(A) = 0 CAn1 + + 0 CAn(n1) + annC
Ann = ann(1)
n+n det(MAnn) = ann det MAnn
Pero
MAnn
=
a11 a12 a1(n1)
0 a22 a2(n1)
.... . . . . . . ...
0 0 a(n1)(n1)
es decir, MAnn es una matriz triangular superior de orden (n 1), por lo tanto, usando la Hipotesis
Inductiva, se tiene que det MAnn
= a11a22 a(n1)(n1). Luego
det(A) = anna11a22 a(n1)(n1) = a11a22 a(n1)(n1)ann
Lo cual concluye la prueba.
Los teoremas que enunciaremos a continuacion, nos presentan las propiedades basicas del
determinante, estas propiedades nos permitiran hallar el determinante de una matriz sin hacer
demasiados calculos. Los enunciados de estas propiedades se daran solo para filas, sin embargo,
en virtud del teorema 1.25, se pueden enunciar propiedades analogas para columnas.
Teorema 2.27. Sea A Mnn(R). Si existe s {1, . . . , n} tal que A(s) = 0/1n, entonces
det(A) = 0, es decir, si A tiene una fila nula, su determinante es cero.
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
Demostracion. Sea A = (aij)nn. Como A(s) = 0/1n, entonces asj = 0 para cada j {1, . . . , n}.
As que, al desarrollar el determinante de A por medio de la fila s, se tiene que
det(A) =n
j=1
asjCAsj =
n
j=1
0 CAsj = 0
Teorema 2.28. Sean A, B Mnn(R) y R. Si existe s {1, . . . , n} tal que B(s) = A(s) y
B(i) = A(i) para i = s, entonces det(B) = det(A), esto es, si multiplicamos una fila de A por un
escalar, entonces el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de A
multiplicado por .
Demostracion. Sean A = (aij)nn y B = (bij)nn. Como B(s) = A(s) y B(i) = A(i) para i = s,
entonces bsj = asj para cada j {1, . . . , n} y ademas, la matriz que se obtiene al eliminar la
fila s de B coincide con la matriz que se obtiene al eliminar la fila s de A. Luego MAsj = MBsj para
cada j {1, . . . , n} (por que?).
Por lo tanto
CBsj = (1)s+j det(MBsj) = (1)
s+j det(MAsj) = CAsj
para cada j {1, . . . , n}.
As, al desarrollar el determinante de B por medio de la fila s, obtenemos
det(B) =n
j=1
bsjCBsj =
nj=1
asjCAsj =
nj=1
asjCAsj = det(A)
Ejemplo 2.30. Sea
A =
2 1 2
12 16 4
2 0 3
Entonces
det(A) = 2 1 2
12 16 4
2 0 3 =
2 1 2
4 3 4(4) 4 1
2 0 3 = 4
2 1 2
3 4 1
2 0 3
= 4[2(4)3 + 3 0 2 + (2)(1)1 2(4)(2) 1 0 2 3(1)3]
= 4[24 + 0 + 2 16 0 + 9] = 4(29) = 116
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
Teorema2.29. SeanA, B, C Mnn(R). Si existe s {1, . . . , n} tal que C(s) = A(s) + B(s) yC(i)
= B(i) = A(i) para i = s, entonces det(C) = det(A) + det(B), dicho de otra manera, si tenemos
tres matrices A, B, Ccuyas filas son identicas excepto la filas, y que la filas de Ces
igual a la suma de la fila s de A con la fila s de B, entonces el determinante de C es igual a lasuma del determinante de A con el determinante de B.
Demostracion. Sean A = (aij)nn, B = (bij)nn y C = (cij)nn. Sean A , B , C Mnn(R).
Como C(s) = A(s) + B(s) y C(i) = B(i) = A(i) para i = s, entonces csj = asj + bsj para cada
j {1, . . . , n} y ademas, las matrices que se obtienen al eliminar la fila s de A, B y C son
iguales, as que MAsj = MBsj = M
Csj para cada j {1, . . . , n}.
Por lo tanto
CCsj = CBsj = C
Asj
para cada j {1, . . . , n} (por que?).
En consecuencia
det(C) =n
j=1
csjCCsj =
nj=1
(asj + bsj)CCsj =
nj=1
asjCCsj +
nj=1
bsjCCsj
=n
j=1
asjCAsj +
nj=1
bsjCBsj = det(A) + det(B)
Ejemplo2.31. Sea A la matriz del ejemplo 1.30. Entonces
det(A) =
2 1 2
12 16 4
2 0 3
=
4 + (2) 1 2
6 + 6 16 4
1 + (3) 0 3
=
4 1 2
6 16 4
1 0 3
+
2 1 2
6 16 4
3 0 3
= [4(16)3 + 6 0 2 + 1(1)4 2(16)1 4 0 4 3(1)6] +
[2(16)3 + 6 0 2 + (3)(1)4 2(16)(3) 4 0(2) 3(1)6]
= [192 + 0 4 + 32 0 + 18] + [96 + 0 + 12 96 0 + 18]
= 146 + 30 = 116
Teorema 2.30. SeanA, B Mnn(R). Si existens, t {1, . . . , n} tales que s = t, B(s) = A(t),
B(t) = A(s) y B(i) = A(i) para i = s y i = t, entonces det(B) = det(A), en otras palabras, si
intercambiamos dos filas distintas de A, el determinante de la matriz resultante es igual al
determinante de A multiplicado por 1.
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
Demostracion. Ejercicio
Ejemplo 2.32. Sea A la matriz del ejemplo 2.30 y sea
B =
2 1 2
4 16 12
3 0 2
Las columnas 1 y 3 de B son, respectivamente, las columnas 3 y 1 de A y las fila 2 de B es igual
a la fila 2 de A. Ademas
det(B) =
2 1 2
4 16 12
3 0 2
= 2(16)(2) + 4 0 2 + 3(1)12 2(16)3 12 0 2 (2)(1)4
= 64 + 0 36 + 96 0 8 = 116 = det(A)
Teorema 2.31. Sea A Mnn(R). Si existen s, t {1, . . . , n} tales que s = t y A(s) = A(t),
entonces det(A) = 0, es decir, si A tiene dos filas iguales, su determinante es igual a cero.
Demostracion. Sea B Mn
n(R) la matriz que se obtiene al intercambiar las filas s y t de A.
Como A(s) = A(t), entonces B = A y as det(B) = det(A).
Por otro lado, dado que s = t y segun el teorema 1.30, det(B) =
det(A). As que det(A) = det(B) = det(A) y en consecuencia det(A) =
0.
Ejemplo 2.33. Sea
A =
2 1 2
4 16 12
2 1 2
Entonces
det(A) = 2 1 2
4 16 12
2 1 2
= 2(16)(2) + 4(1)(2) + 2(1)12 (2)(16)2 12(1)2 (2)(1)4
= 64 + 8 24 64 + 24 8 = 0
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Teorema 2.32. Sean A Mnn(R) y R. Si existen s, t {1, . . . , n} tales que s = t y
A(s)
= A(t), entonces det(A) = 0, esto es, si una fila de A es un multiplo escalar de alguna otra
fila de A, su determinante es igual a cero.
Demostracion. Sea B Mnn(R) tal que B(i) = A(i) para cada i {1, . . . , n} con i = s y
B(s) = A(t) = B(t). Por lo tanto, en virtud del teorema 2.31, se tiene que det(B) = 0.
Por otro lado, como A(s) = A(t) = B(t) = B(s), entonces, usando el teorema 2.28, setiene
que det(A) = det(B) = 0 = 0.
Ejemplo 2.34. Sea
A =
2 8 2
4 16 1
3 12 2
Entonces la columna A(2) = 4A(1), ademas
det(A) =
2 8 2
4 16 1
3 12 2
= 2(16)(2) + (4)12 2 + 3 8 1 2(16)3 1 12 2 (2)8(4)
= 64 96 + 24 + 96 24 6 4 = 0
Teorema2.33. SeanA, B Mnn(R) y R. Si existens, t {1, . . . , n} tales que s = t, B(s)
= A(s) + A(t) yB(i) = A(i) parai = s, entonces det(B) = det(A), dicho de otra forma, si a una
fila de A le sumamos un multiplo escalar de alguna otra fila de A, el determinante de la
matriz resultante es igual al determinante de A.
Demostracion. Sea C Mnn(R) tal que C(i) = B(i) = A(i) para i = s y C(s) = A(t). Por lo
tanto, dado que s = t y en virtud del teorema 1.32, det(C) = 0.
Ademas, como B(s) = A(s) + A(t) = A(s) + C(s) y en virtud del teorema 1.29
det(B) = det(A) + det(C) = det(A) + 0 = det(A)
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
Ejemplo 2.35. SeaA la matriz del ejemplo 2.30 y sea
B =
2 1 2
2 9 10
2 0 3
As que B(2) = A(2) 7A(1) (verifquelo!). Ademas
det(B) =
2 1 2
2 9 10
2 0 3
= 2(9)3 + (2)0 2 + (2)(1)(10) 2(9)(2) (10)0 2 3(1)(2)
= 54 + 0 20 36 0 6 = 116 = det(A)
El siguiente ejemplo nos da un metodo para calcular el determinante de una matriz A haciendo
uso de las propiedades dadas en los siete teoremas precedentes, como veremos, el c alculo resulta
mucho mas sencillo que al usar la definicion.
Como se dijo en la observacion 1.15, usaremos tanto OEF como operaciones elementales por
columnas (OEC) para el calculo de determinantes, estas operaciones las indicaremos de manera
analoga a las OEF, salvo que en lugar de usar F usaremos C.
Ejemplo 2.36. Hallar el determinante de la matriz
A =
6 1 2 13 2
1 0 1 3 1
0 3 0 9 0
7 1 3 12 3
0 2 4 1 3
Solucion.
det(A) =
6 1 2 13 2
1 0 1 3 1
0 3 0 9 0
7 1 3 12 3
0 2 4 1 3
=
6 1 2 10 2
1 0 1 3 1
0 3 0 0 0
7 1 3 15 3
0 2 4 5 3
C4 C4 + 3C2
por teorema 2.33
1.2.33
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
det(A) = 3(1)3+2
6 2 10 2
1 1 3 1
7 3 15 3
0 4 5 3
desarrollando el determinante
mediante la tercera fila
= 3
0 4 8 4
1 1 3 1
0 4 6 4
0 4 5 3
F1 F1 + 6F2
F3 F3 + 7F2
por teorema 1.33
= 3(1)(1)2+1
4 8 4
4 6 4
4 5 3
desarrollando el determinante
mediante la primera columna
= 3 0 13 7
0 11 7
4 5 3
F1 F1 + F3
F2 F2 + F3
por teorema 1.33
= 3 4(1)3+1 13 711 7 desarrollando el determinante
mediante la primera columna
= 12(13(7) (7)(11)) = 12 14 = 168
Resuelva este ejercicio sin hacer uso de OEF ni OEC y compare ambos metodos cual de los dosle parece mas sencillo?
Teorema 2.34. Sea A = (aij)nn Mnn(R). Entonces para cualesquiera s, t {1, . . . , n} con
s = t se tiene quen
k=1
askCAtk = 0 y
nk=1
aksCAkt = 0
Demostracion. Sea s, t {1, . . . , n} con s = t. Definamos B = (bij)nn tal que B(i) = A(i)
para cada i {1, . . . , n} con i = t y B(t) = A(s). As que, usando el teorema 1.31, det(B) = 0.
Por otro lado, las matrices que se obtienen al eliminar la fila t de B y la fila t de A, son iguales,
por lo tanto MBtk = MAtk para cada k {1, . . . , n}, de donde C
Btk = C
Atk. Luego, al desarrollar el
determinante de B mediante la fila t, se tiene que
det(B) =n
k=1
btkCBtk =
nk=1
askCAtk
En consecuencian
k=1
askCAtk = 0, analogamente se prueba que
nk=1
aksCAkt = 0.
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
Teorema 2.35. Si E Mnn(R) es una matriz elemental, entonces para cada A Mnn(R) se
tiene que det(EB ) = det(E)det(B).
Demostracion. Como E Mnn(R) es una matriz elemental, existe una OEF f : Fn(R)
Fn(R) tal que E = f(In). Luego, sando la parte 1 del corolario 1.12, se tiene que EA = f(In)A =
f(A).
Debemos proceder por casos sobre el tipo de OEF.
Caso 1. f es una OEF tipo 1. As que existen s {1, . . . , n} y = 0 tales que E(s) = (In)(s)
(donde (In)(s) es la fila s de In) y para i = s se tiene que E(i) = (In)(i). Luego
(f(A))(s) = A(s) y para i = s tenemos (f(A))(i) = A(i).
Por lo tanto, segun el teorema 1.28,
det(E) = det(In) = 1 =
y
det(EA) = det(f(A)) = det(A) = det(E)det(A).
Caso 2. f es una OEF tipo 2. Luego existen s, t {1, . . . , n}, con s = t, y R tales que
E(s) = (In)(s) + (In)(t) y E(i) = (In)(i) para i = s. As que (f(A))(s) = A(s) + A(t) y
(f(A))(i) = A(i) para i = s.
Usando el teorema 1.33, tenemos que
det(E) = det(In) = 1
y
det(EA) = det(f(A)) = det(A) = 1 det(A) = det(E)det(A)
Caso 3. f es una OEF tipo 3. Por lo tanto existen s, t {1, . . . , n} tales que E(s) = (In)(t),
E(t) = (In)(s) y E(i) = (In)(i) para i = s e i = t. De donde (f(A))(s) = A(s) + A(t) y
(f(A))(i) = A(i) para i = s e i = t.
Si s = t, entonces E = In y f(A) = A, as que
det(E) = det(In) = 1
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMIN-
ANTESy
det(EA) = det(f(A)) = det(A) = 1 det(A) = det(E)det(A)
Si s = t, podemos usar el teorema 1.30 y obtenemos
det(E) = det(In) = 1
y
det(EA) = det(f(A)) = det(A) = (1) det(A) = det(E)det(A)
Observacion 2.27. De la prueba del teorema 1.35, se tiene que si E Mnn(R) es una matriz
elemental, entonces det(E) = 0.
Corolario 2.36. Sean E1, E2, . . . , E r Mnn(R) matrices elementales. Entonces, para cada
A Mnn(R), se tiene que det(E1E2 ErA) = det(E1)det(E2) det(Er)det(A).
Demostracion. Hacerlo como ejercicio.
Teorema 2.37. Si A Mnn(R) es una matriz ERF, entonces det(A) = 0 si y solo si A = In.
Demostracion. Sea A = (aij)nn. Como A es ERF, entonces A es triangular superior (ver
ejercicio 1.5), as que aij = 0 para i > j y det(A) = a11a22 ann.
Supongamos que det(A) = 0. Luego aii = 0 para cada i {1, . . . , n}. Como aij = 0 para i > j,
entonces para cada i {1, . . . , n}, la primera componente no nula en la i-esima fila es aii, y por
ser A una matriz ERF, se tiene que aii = 1 para cada i {1, . . . , n}, es decir, aii es un pivote y
por lo tanto aij = 0 para i = j (por que?). En resumen
aij = 1 si i = j
0 si i = j
Es decir, A = In.
Recprocamente, si A = In, entonces det(A) = 1 = 0.
En el siguiente teorema se da una nueva equivalencia que involucra la inversa de una matriz
cuadrada.
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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES
Observacion 2.28. Si C = (CAij )nn, es decir, si C es la matriz real cuadrada cuya ij-
esima componente es el ij-esimo cofactor de A para cada i, j {1, . . . , n}, entonces adj(A) =
CT.
Ejemplo 2.37. Hallar la adjunta de2 1 3
1 0 2
4 1 7
Solucion. Necesitamos hallar cada uno de los cofactores de A. Veamos
CA11 = (1)1+1
0 2
1 7 = 2