Prog Dinamica

7/25/2019 Prog Dinamica

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Elementos de Diseo ptimo

Tcnicas de Optimizacin: Programacin Dinmica

1.Conceptos bsicos de Programacin Dinmica

Como ya quedase dicho, las llamadas programaciones constituyen uno de los grandes

captulos de las Tcnicas de Optimizacin. Su aplicacin se restringe a problemas que se pueden

formular bajo una estructura especfica, para la cual se desarrolla una estrategia de optimizacin

sumamente eficiente.

La ms antigua de estas tcnicas es la Programacin Lineal, cuyos conceptos y algoritmosoperativos bsicos datan de las dcadas del 40 y 50; fundados, principalmente, en los trabajos de

Dantzig y el grupo de la Rand Corp.

En este caso las exigencias se refieren al tipo de ecuaciones que definen el problema: tanto la

funcin objetivo como las relaciones de diseo y restricciones deben ser lineales y las variables

no negativas, esto es

Con este tipo de exigencias se encuentran distintos tipos de programaciones: cuadrtica,

geomtrica,etc.

La que ha de ocupar la atencin de este captulo no pertenece a las tcnicas que requieren

funcionalidades determinadas en la

formulacin del problema.

Programacin Dinmicaes una

tcnica de optimizacin que se

aplica exclusivamente a sistemas

cuyos diagramas de flujo de

informacin son seriados

jx

mibxacon

xc

j

i

nj

j

jij

j

nj

j

j

0

..1

mn

1

1

rN -1

dN -1

dN

d2

d1

S2

S1

S3

SN -1S N

SN +1

rN

r2

r1

Fig. 5.1.1


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- 2

multietapas, entendiendo por seriados aquellos diagramas donde en todaetapa las variables que

ingresan a ella son de decisin o provienen solo de la etapa que la precede de acuerdo al flujo de

informacin, tal como el que se muestra en la figura 5.1.1.

All se ha buscado representar con flecha entera gruesa conjuntos de variables, por ejemplo dNdebe entenderse como un vector de componentes dn1, dn2,...

Las variables individuales, como todas las ri, por ejemplo, se indican con una media flecha

fina. Estas variables ri representan el aporte que realiza en forma individual cada etapa a la

funcin objetivo del sistema. En definitiva, el problema puede ser formulado como sigue

donde fiy gideben tomarse como vectores de funciones de componentes fi1, fi2,...,gi1, gi2,...

Resulta importante aclarar que en todo el captulo, al hacerse referencia a las variables de

estado de una etapa, esto es, que abandonan esa etapa, solo se han de considerar, salvo expresa

mencin en contrario, las que se conectan con otra etapa, lo que de modo alguno quiere decir quesean las nicas que existan. Son las que interesan desde el punto de vista de Programacin

Dinmica, que es algo muy distinto, pero al momento de calcular los aportes a la funcin objetivo

deben tenerse en cuenta, como es obvio, todas las variables, sean o no de interconexin.

Volviendo al diagrama de flujo de la figura 5.1.1, la particular estructura que presenta permite

inferir rpidamente que las consecuencias de cualquier decisin que se tome en cualquier etapa se

pueden proyectar solo hacia adelante en el flujo de informacin, en rigor, en forma directa, a la

etapa siguiente y, a travs de sta, a las restantes.

Esto es tpico, por ejemplo, en todo proceso que se desarrolla a lo largo del tiempo1, donde las

acciones que se toman en el presente solo han de tener consecuencias en el futuro. La situacin

presente, en tanto, es la resultante de las decisiones del pasado, inmodificable, por cierto, ante la

cual, en consecuencia, solo cabe aceptar la realidad y determinar el curso a seguir, en aras de

alcanzar el mejor futuro posible.

1Al menos, mientras no se encuentre el modo de viajar a travs de l.

NidSSrr

dSSg

dSSfcon

rroptFO

iiiii

iii

iii

N

i

i

N

i

iN

..1),,(

0),,(

0),,(

1

1

1

1

*

1


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- 3

Esta dinmicase repite en sistemas seriados multietapas, donde un "presente" en particular es

el valor que toman las variables de interconexin que ingresan a una etapa k cualquiera ("estado"

del sistema a la entrada de la misma2), en tanto que el "futuro" lo constituye el subdiagrama que

comienza en la etapa k y concluye con la final.

Para un determinado estado Sk+1, v.g. Sk+1j, existe un conjunto de decisiones (podra decirse

"en el futuro") dkj,...,dljque logran un valor ptimo para el conjunto de aportes parciales r1,...,rk.

Dado que al fijarse dkjqueda perfectamente determinado Skjy que, con esto, se tiene una

situacin, para las ltimas k-1 etapas, equivalente por completo a lo anterior, se puede poner que

donde ahora Sk+1tiene un valor genrico y las dk,...,d1que logran el ptimo de FOk(y ste mismo)

resultan serfuncionesde ese valor.

Cuando lo anterior es cierto para cualquier valor de k entre 1 y N se tiene el ptimo para el

sistema, segn lo expresa el llamado principio de optimalidad de Bellman3 por el que se

establece que la poltica ptima dN*,...,d1*para un sistema de N etapas debe ser tal que el

subconjunto de decisiones para las k ltimas etapas dk*,...,d1

*resulta ptimo para el estado Sk+1,

para todo k entre 1 y N.

La expresin 5.1.1, asimismo, establece la estructura fundamental de la estrategia deoptimizacin por Programacin Dinmica, como podr verse en seguida.

2.Estrategia bsica. Ejemplos demostrativos

En la exposicin de la estrategia o algoritmo bsico de Programacin Dinmica, para una

mayor claridad en la exposicin, se admitir que en el diagrama de flujo general de la figura 5.1.1

hay solo una variable de interconexin y una de decisin por etapa.

Esto permite que, en la determinacin del estado a la entrada de cada etapa, se logre la mayor

simplicidad de tratamiento pues basta con fijar el valor de una sola variable. Otro tanto ocurre con

la bsqueda de los ptimos parciales (esbozada en 5-1-1), la que se ha de efectuar, tambin, sobre

una variable.

2Ntese que se habla de valores de las variablesy estado del sistema, ya que este ltimo es un valor

singular, quequeda definido por los primeros.

3Richard Bellman fue quien, en la dcada del 50, plantea los fundamentos de Programacin Dinmica.

1.1.5)()( 1..

1

1

kkkd

Ni

ki

idd

kk SFOroptroptSFO

kk


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- 4

De modo alguno esto resta generalidad al tratamiento. Si se incrementase en uno o ms puntos

del diagrama el nmero de variables de interconexin habra de crecer la complejidad en la

determinacin del estado a la entrada de la etapa, o etapas, correspondientes, pero el concepto de

estado ha de seguir siendo singular, con independencia de cuantas variables lo determinan. En

forma anloga, si las modificaciones ocurriesen sobre las variables de decisin, sera cuestin deelegir, en cada caso, la metodologa de optimizacin que mejor se ajuste al nmero de variables y

tipo de problema particular.

Hecha esta aclaracin es posible, ahora, entrar de lleno en el proceso de anlisis que se

desprende del principio de Bellman.

De acuerdo a 5.1.1 se deber comenzar por la ltima etapa, la nmero 1 en el diagrama (la

numeracin elegida obedece a que el proceso de anlisis "transcurre" en sentido inverso al flujo

de informacin), donde deber encontrarse

Si se admite que el paso de

optimizacin indicado solo puede ser

llevado a cabo en forma numrica (de

hecho, la nica va de ataque siempre

posible) habr que determinar el ptimo

de r1para varios valores de S2, de modo

de disponer, en forma tabulada, las

funciones F1(S2) y d1*(S2).

Lo anterior se muestra en la figura

5.2.1, donde, en la parte a de la misma,

se representa la bsqueda de los ptimos

de r1 (mximo, en este caso) para

distintos valores de S2, mientras que en

b y c las relaciones F1(S2) y d1*(S2) (En

ambas figuras se han extrapolado los

resultados para obtener lo indicado con

las curvas gruesas).

En la segunda fase de optimizacin deben considerarse las dos ltimas etapas y encontrar

),,,(),,()( 1121211121211

ddSSSroptdSSroptSFO

kdd

))d,S(S(FO)d),d,S(S,S(ropt

)S(FO)d,S,S(ropt)*rr()S(FO

2321223232d

212232d

1232

2

2

Figura 5.2.1

d*1

r*1

d1

S2

S2

a

b c

r1

S '2

S 22

S 32


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- 5

La cuestin es, en esencia, la misma que antes: debe buscarse el ptimo de r1+ r2para distintos

valores de S3, obteniendo, asimismo, los respectivos d2*.

La nica diferencia radica en que, dado

un valor de S3, para obtener elcorrespondiente a cada d2en la funcin a

optimizar, al resultado del clculo de r2

debe agregarse el valor de FO1 que

corresponda al S3elegido. (Esto se muestra

en la figura 5.2.2.a donde la ordenada est

constituida por dos partes, r2y r1*).

El valor de FO1surge interpolando en la

tabla obtenida en la etapa anterior, para lo

que debe tenerse en cuenta el estado a la

salida (S2) que resulta de la combinacin de

la entrada (S3) y la decisin (d2).Todo esto

se ha de repetir en el anlisis de las etapas 3,4,..,N-1.

Para la ltima etapa, en cambio, lo usual es que el

estado a la entrada de la misma se encuentre

perfectamente determinado (Si no lo estuviera, el

tratamiento que sigue deber efectuarse para cada uno

de los posibles valores). Con esto, la bsqueda de

se reduce a

una nica bsqueda sobre dN para determinar el

ptimo de la funcin objetivo total, tal como seindica en la figura 5.2.3.

A partir del valor encontrado de dN*es posible el clculo de SN*y con sta, a travs de la tabla

respectiva, determinar dN-1*y as, siguiendo ahora el sentido del flujo de informacin, hasta lograr

d1*.

Resumiendo: la estrategia que plantea Programacin Dinmica consta de dos fases, una,

primera, por la cual se han de obtener los ptimos parciales de las k ltimas etapas y las

S31

r2+ r

1*

d2

S32

S33

r2

r1*

a

(r2+ r

1)*

S3

c

d2*

S3

b

Figura 5.2.2

rN+ (r

N-1++r

1)*

Figura 5.2.3

)()( 11 NNNd

NN SFOroptSFO

N

)(()),(( 1 NNNNNNNd

dSFOddSropt

N


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decisiones ptimas de las mismas en funcin del estado a la entrada al subsistema; la otra fase,

siguiendo el flujo de la informacin, permite obtener los valores de los estados y decisiones

ptimas para todas y cada una de las etapas que componen el sistema.

Tal vez resulte conveniente fijar estos conceptos a travs del anlisis de algunos ejemplossencillos.

En el primero de ellos -la extraccin en tres etapas de un soluto con agregados parciales de

solvente de extraccin presentado en captulos anteriores- es posible encontrar expresiones

funcionales tanto para FOi*(Si+1) como para di*(Si+1); en cambio, en el segundo - una red de

intercambio trmico con divisin de corrientes, similar a la vista en el captulo de ordenamiemto

de clculo - debe acudirse a la solucin numrica planteada como estrategia general.

Problema 5.1 En el problema de

extraccin en tres etapas en equilibrio

que se representa en la figura 5.2.4 se

admitir: a) la inmiscibilidad del

solvente de extraccin y b) una

relacin de equilibrio lineal yi=k xi,

con lo que, adems de sta, la otra

ecuacin para cada etapa es

Se busca maximizar la diferencia venta de soluto extrado y gasto de solvente de extraccin,

siendo C la relacin de costo de este ltimo al precio de venta del primero. Con esto, la funcin

objetivo tendr la forma

mx B = q(x4- x1) - C Wi.

Los datos del problema sern el caudal q y la

fraccin x4.

La figura 5.2.5 muestra el diagrama de flujo

de informacin correspondiente, el que, como

puede apreciarse, rene los requerimientos

exigidos para la aplicacin de Programacin

Dinmica.

En las etapas 2 y 3 se ha aadido una ecuacin (xi = xi ) a fin de clarificar el uso de la tcnica,

al evitar que una misma variable, xi, aparezca, en puntos sucesivos del diagrama, como de

decisin y de estado interconectando etapas (Esto slo por razones didcticas, ya que el

tratamiento podra haberse realizado sin recurrir a este artificio).

3

q

X4

X3

X3

y3

W3

2

q

X2

X2

y2

W2

1

q

X1

y1

W1

Fig. 5.2.5

iii1i yWqxqx

x4

x3

x2

x1

y3 y2 y1

W3

W2

W1q

123

Fig. 5.2.4


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- 7

Para el primer paso de optimizacin se puede considerar

con lo cual

Como se puede apreciar, las relaciones 5-2-1 concluyen por determinar sendas expresiones

analticas para el ptimo parcial y la decisin de la etapa, FO1y x1*, en funcin del estado a la

entrada de la misma x2. Estas expresiones corresponden a las curvas estimadas en la figura 5.2.1

b y c.

Debe hacerse notar que debe verificarse la naturaleza del punto estacionario determinado, lo

que, en este caso, resulta inmediato ya que 0xpx2x/r 31

'21

21

2

Para el segundo paso deben considerarse las dos ltimas etapas buscando

Esto lleva a

(Se deja a cargo del lector el verificar que la derivada segunda es igual a -3/2x3< 0).

Antes de pasar al tercer, y ltimo, paso de optimizacin conviene hacer notar que, hasta ahora,

las funciones objetivos parciales dependan tanto de la decisin en la etapa inicial del respectivo

subdiagrama como del estado a la entrada de la misma.

1

1'2

1

1141x

kx

xx

qW

CW)xx(qrmx1

'24

*1

'21

'2

*1

21

'2

1

1

1

'2

141

2)(

12501

,1

pxpxqrxFO

pxxxpxx

r

k

Cp

x

xpxxqr

2

2

'3

4

2

2'3

12112

22

mx

pxx

xpxq

kx

xxCqFOCWFOFOr

3 '3

2421

'32

3 2'3

*22

22

'3

2

12

xp3p2xq)*rr()x(FO

pxx0x/pxpxx

)FOr(


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- 8

Al tratar el conjunto de las tres etapas la entrada al sistema est fija (x4es un dato), por lo que

x3*no ser ya funcin de la misma sino simplemente un valor nico (Advirtase el abandono de

la utilizacin de la derivada parcial en la determinacin del punto estacionario). Conviene

recordar esto dado que, en la formulacin del problema, se ha omitido el darle valores numricos

a los datos y podra aparecer como que se reiteran las situaciones anteriores. Se trata, entonces, deencontrar

y ahora conocido x3* surgen de inmediato x2* y x1*, en la segunda fase de la estrategia de

Programacin Dinmica, siguiendo el flujo de la informacin:

Problema 5.2 El otro ejemplo al que se hizo referencia es un esquema con una nica divisin de

corrientes para resolver el problema de sntesis de redes de intercambio trmico similar al visto al

considerar el acpite 4 del tema mtodos de optimizacin, esquema que se muestra en la figura

5.2.6.

Figura 5.2.6

W3

W4

W1

W2

V

A500

T3

240

540

T4 280

320

r

1-r T22

T21

200

100180

140T1320

A1

Ac

Ae

A3

A2

4

4

3

41233

4 34

*3

3 23

234

3

23

3

433

243223

x

xp4p3xq)*rrr(FO

pxx0)x/p(xpxx

)FOr(

x

xpxp3p3xqCWFOFOrmx

3

44

3*1

'*24

*2

4 3

4

*3

'*3 xpxxpxxpxxx


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- 9

Las ecuaciones que definan el modelo matemtico del problema eran:

Calentador

)T-500(1013

15=q657,5 3

4v

A200=40

T-54010

13

15c

34

ln

Intercambiador 1

240T)240-T(1013

15=)T-480(102 33

44

4

480T;480T1015

13-

2

1A150=

240-T

T-480ln 34

4-1

4

3

Intercambiador 2

)T-320(109

13=)280-T(102 1

44

4

280T;320T1013

9-

2

1A150=

T-280

320-T14

4-2

1

4

ln

Intercambiador 3

140T)140-T(109

13=)T-320(10

9

15f 11

421

4

140T1013

9

-f15

9

A150=140-T

T-320

214-

321

1

ln

Enfriador

320T)T-320(109

15)f-1(=q80 2222

4a

q

1-

)f-1(15

109A150=

100-T

140

a

4-

e22

ln

Mezclador

1f0200=T

f)-1(+T

f2221

y la funcin objetivo

q0,24+q3,6+A39=FO av0,65

La estrategia de clculo para

este problema determina como

variables de decisin a T1 y al

factor de fraccionamiento f.

El diagrama de flujo

T1

T '1

T21

f

T4

T3

qV

T22

qa

A3

Ae

A1

A2

Ac

Fig. 5.2.7


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resultante se indica en la figura 5.2.7 (Otra vez se ha recurrido al artificio de introducir una

variable de conexin, T1= T1)

Por las caractersticas del diagrama queda claro que es aplicable Programacin Dinmica,

aunque la naturaleza matemtica de las ecuaciones hace imposible una solucin analtica como enel problema anterior.

Habr que buscar aef

qAAr 24,0)(39mn 65.03

65.01 para distintos valores de T1

, lo que

dar lugar a una tabla donde han de figurar los respectivos FO1, necesarios para el siguiente paso

de optimizacin, y de f*, requeridos para la segunda fase de la tcnica.

Una vez realizado esto habr que proceder a resolver un nico problema:

1v65.0

2

65.0

1

65.0c12

T

FOq6,3)AAA(39FOrmn1

Puede advertirse que ahora se est ,en principio, frente a dos problemas de una variable en

lugar de uno de dos, que fuera la forma como se resolvi anteriormente.

Esta reduccin de la dimensionalidad de los problemas parciales, un aspecto fundamental de

Programacin Dinmica, se logra a costa de resolver reiteradamente cada uno de estos

subproblemas (Recurdense las figuras 5.1.1a y 5.1.2a). De aqu la nota de prevencin en

principioexpresada ms arriba, ya que estas reiteraciones pueden llegar a anular los efectos

derivados del menor nmero de variables de decisin por problema y, an, a resultarperjudiciales, cuestin sobre la cual se ha de volver ms adelante.

Retomando el problema planteado; la generacin de la tabla requiere la adopcin de una serie

de valores de T1. Para ello debe considerarse que existe un lmite superior implcito sobre T1, que

surge del umbral de necesidad de refrigeracin en el enfriador, equipo complementario del

intercambiador 3 .

Estos umbrales se pueden calcular mediante la Tabla del Problema, utilizando una

aproximacin mnima nula. Los consumos de servicios auxiliares que as se determinen

constituirn un mnimo de ndole termodinmica, ya que los intercambios que se propongan sobre

el Pinch deberan realizarse en equipos con rea infinita.

Para el problema, el umbral de refrigeracin es del orden de 63 104, lo que arroja un valor

mximo de 2351, aproximadamente, para T1.

En la construccin de la tabla, se ha tomado como lmite superior 234,5 y 174,5 como el

mnimo, con un total de 7 valores igualmente espaciados. Se estima, a priori, que el valor ptimo

de T1 se ha de ubicar ms cerca del lmite superior que a la inversa, como un modo de ahorrar en


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- 11

el consumo de servicios auxiliares, ms significativos en costo que la amortizacin de los

equipos.

La tabla siguiente muestra los valores encontrados en el primer paso de optimizacin

T1 f* FO1174,5 0,300 5578,46

184,5 0,373 5183,54

194,5 0,445 4786,64

204,5 0,514 4389,10

214,5 0,582 3992,01

224,5 0,649 3596,33

234,5 0,715 3202,98

Como resultado del segundo paso se encuentra el valor ptimo de T1 , 230,501y de la funcin

objetivo global 9015 $/ao, valores totalmente coincidentes con los encontrados en anterioroportunidad. El valor de f*surge por interpolacin en la tabla anterior, resultando ser 0,688, igual

que antes.

3.Programacin Dinmica con variables discretas

Hasta aqu se han considerado problemas cuya formulacin se estructuraba sobre variables

esencialmente continuas (caudales, concentraciones, temperaturas).

Hay otro grupo de problemas, de gran importancia prctica, donde a las variables solo se les

permite adoptar ciertos y determinados valores, esto es, poseen, o tienen definido, un

comportamiento discreto.

En este punto se suele utilizar lo que en la literatura se denomina diagramas de rutas,

aludiendo a la situacin que pude observarse sobre cualquier mapa vial, donde aparecen las

ciudades vinculadas entre s por una red caminera.

En la parte superior de la figura 5.3.1 se esquematiza, en una forma extremadamente simple, lo

que podra ser un mapa de ese tipo4.

All aparecen una serie de nodos (las

ciudades) vinculadas por arcos o lneas de

unin (los tramos carreteros).

4Por razones didcticas se ha adoptado un esquema absolutamente regular, pero esto no es un requisito

necesario para la aplicacin de la tcnica que se ha de exponer, pudiendo el diagrama ser totalmenteirregular.

7 10 9

14 7 2 0

0

03

32

3

7

5

99

813

10

10

9

4

24

2

11

2

2

7

9

510

Fig. 5.3.1


12/31

- 12

Sobre cada uno de estos tramo aparece una cifra que representara la distancia a cubrir.

Se podra plantear como trasladarse de una cualquiera de las localidades del "extremo este" a

otra cualquiera del otro extremo, avanzando siempre en direccin oeste y de modo tal que el viaje

resulte lo ms corto posible.

En adelante se adoptar un sistema de ejes coordenados para ubicar los nodos,

correspondiendo la fila 1, columna 1 al extremo superior izquierdo y la fila 3, columna 4 al

inferior derecho, nodos n1,1y n3,4respectivamente5.

Puede verse que en cada columna hay un nmero finito de nodos, tres en este caso, as como

que, ubicado en un nodo, para avanzar a la columna siguiente, es posible elegir alguno de los,

como mximo tres, arcos que salen del mismo.

En la parte inferior de la figura 5.3.1 se muestra un diagrama de flujo de informacin quepodra asociarse al "mapa" simplificado de arriba. Para ello, bastara admitir que todos los estados

(inicial, intermedios y final) pueden tomar solo tres valores, los que corresponden a las filas 1,2 y

3 respectivamente, y que las decisiones en las etapas han de incrementar en uno la columna,

manteniendo, incrementando o disminuyendo en uno el valor de la fila, siempre que el estado al

que se arribe sea uno permitido.

Esta equivalencia entre un diagrama de rutas y otro de flujo de informacin posee, como se ha

de ver ms adelante, un real inters prctico, que supera a la actual circunstancia de servir como

justificacin terica para el uso de una determinada tcnica.

La aplicacin de la estrategia de Programacin Dinmica -el diagrama lo permite- debe

comenzar analizando el aporte en la ltima etapa, esto en las transiciones que vinculan las

"ciudades" de la columna 3 con las de la 4. El ptimo de este aporte, menor trayecto, depender,

como ya se ha visto, del estado a la entrada de la etapa.

Puesto en los trminos del mapa carretero simplificado, si uno se encontrase en el nodo 1,3

podra trasladarse al 1,4, recorriendo una distancia 9, o al nodo 2,4, ubicado a una distancia 2. La

decisin ptima, en consecuencia, ser esta ltima lo que genera un aporte de 2 a la distancia totala recorrer.

Si la posicin fuese, en cambio, el nodo 2,3 lo mejor sera trasladarse al 1,4 con un aporte de 2.

Para el 3,3 debe el viaje debe concluirse en el nodo 3,4, con un recorrido parcial de 3.

En la figura se han indicado las decisiones ptimas, as como los aportes a la distancia total

5Si el diagrama fuese irregular debera numerarse cada nodo en forma individual.


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- 13

que corresponda, esto dentro de los crculos que marcan los nodos.

Al pasar a considerar las dos ltimas etapas el recorrido hasta el final resulta de la suma del

aporte de la transicin de que se trate y la distancia ptima a recorrer desde la "ciudad" a que se

llega hasta el final.

As, por ejemplo, si se estuviese en el nodo 1,2 y se tomara la decisin de mantenerse en la

fila, habra que cubrir una distancia de 10 para llegar a 1,3 y de all, se sabe, 2 hasta el final, lo

que hace un total de 12. En cambio si uno se trasladara al nodo 2,3 el recorrido sera de 5 + 2 = 7,

obviamente, mejor que lo anterior.

De esta forma se alcanzan los estados iniciales, columna 1, encontrndose que el menor

recorrido total corresponde al nodo 2,1 con un valor de 11 y que las decisiones ptimas -segunda

fase de la tcnica- marcan el camino n2,1- n2,2- n1,3- n2,4.

Hay un caso de optimizacin de diagramas de rutas de gran importancia prctica, pues en l se

basan todas las tcnicas de planificacin de tareas, cronogramas de ejecucin de obras, etc. que se

explicitan en mtodos como PERT o CPM6.

En este tipo de problemas se encuentran fijos tanto el estado inicial, la entrada al sistema,

como el final, a la salida de la ltima etapa.

Un caso como ste se muestra en la figura 5.3.2, donde se ha colocado, junto al diagrama de

rutas, el de flujo de informacin del que podra provenir.

El que exista un nico nodo inicial y slo otro final (la entrada y la salida estn fijas) es

perfectamente entendible si ese diagrama de rutas est representando un conjunto de tareas en las

que se ha subdividido un determinado trabajo

(limpiar el terreno, poner los cimientos,... para

construir una casa), donde, necesariamente, ha de

existir un momento en el que pone en marcha el

programa de trabajo y otro donde todo ha

concluido.

Cada arco en el diagrama debe entenderse

como una tarea, siendo su duracin el valor que se

encuentra sobre el mismo. Cada nodo indica el

momento en que concluye una tarea o est en

condiciones de comenzar otra. De aqu que en el

6PERT: Program Evaluation and Review Technique - CPM: Critical Path Method

10

10

016 9

9

9

9

9

9

7

7

2

2

2

2

3

18

28

14

5

Fig. 5.3.2


14/31

- 14

diagrama se est indicando, tambin, la relacin que existe entre las distintas tareas del programa:

cuales son las que deben estar concluidas antes de poder comenzar con cada una.

Para este caso la funcin objetivo que se plantea es el menor tiempo en el que el programa

puede estar concluido, respetando, claro est, las relaciones entre las tareas que lo componen.

Esto ltimo significa que deber buscarse el camino ms largo, el de mayor duracin, ya que

permitir que las restantes tareas, las que no se encuentran sobre el camino crti co, pueden

concluirse sin inconvenientes.

De la misma forma que antes es posible ir determinando los mximos parciales que

corresponden a cada estado, esto es, cuanto tiempo ha de transcurrir, an, desde ese punto hasta

que el programa se encuentre concluido.

Por ejemplo, resulta inmediato que las tareas que concluyen en el nodo 1,3 debern estarterminadas 2 unidades de tiempo antes que el programa global, as como que las que lo hacen en

el 2,3 lo debern estar 9 unidades antes. Para determinar el valor correspondiente al nodo 1,2 (es

decir, para las tareas que all terminan) ha de tenerse en cuenta que por una va, la que pasa por

n1,3, el lapso sera 12 (10 + 2), mientras que por otro circuito, el que se conecta con n2,3,el valor es

14 (5 + 9) y ser esto ltimo lo que deba considerarse como fecha de terminacin del nodo para

permitir que ambasramas terminen en tiempo.

Al llegar al estado inicial, se tendr el tiempo total y, pasando a la segunda fase de la tcnica,

la posibilidad de determinar el conjunto de tareas que determinan este tiempo, integrando elcamino crtico.

Este concepto de criticidad aparece en virtud de que una demora en la ejecucin de cualquiera

de estas tareas determinar la correspondiente prolongacin del tiempo total de completamiento

del programa.

En la figura 5.3.2 se han indicado, como siempre, en el interior de los nodos, el valor del

mximo parcial, encontrndose que el tiempo mnimo de ejecucin es 28 y el camino crtico est

determinado por la secuencia n2,1- n3,2- n2,3- n2,4.

Adicionalmente a lo anterior pueden determinarse un conjunto de parmetros de suma

importancia en la planificacin de un trabajo.

En la figura 5.3.3 se muestra la resolucin del

mismo problema pero ejecutando las

operaciones en sentido inverso al anterior (Se

estara siguiendo el sentido del flujo de la

10 14

2819

1019

10

9

9

9

77

99

7

0

2

2

3

5

2

Fig. 5.3.3


15/31

- 15

informacin).

Con esto es posible determinar la fecha ms temprana fpen la que puede comenzar una tarea

cualquiera, siendo sta el valor que se encuentra en el nodo donde la tarea comienza.

As, cualquiera de las que lo hacen en el 1,3 no podrn empezar antes de la fecha 19 (max[ 9 +

10;7 + 2] = 19 O tiempo en que se encuentra concluida la tarea que determinan los nodos 2,2 y

1,3).

A partir de haber "fechado" los nodos, calculando el lapso hasta la terminacin, l f(fig. 5.3.2),

as como la fecha temprana o prxima, fp(fig. 5.3.3) se pueden determinar, para cada tarea, lo

que se conoce con el nombre de fecha tarda f t, plazo ltimo para concluirla sin que se retrase el

conjunto y, en relacin con sta, el margen de flotacin m, que representa el mayor lapso de

demora admisible.

Para una tarea t que comienza en ni,jy termina en nk,lser

correspondiendo el subndice t a la tarea y los dobles a los nodos. Con dtse indica la duracin de

la tarea y con DT la del programa total.

En la tabla se muestran los valores de fp, ft y m para cada una de las tareas del ejemplo.

Puede notarse que para las que componen el camino crtico el margen de flotacin es nulo,

indicando que no puede registrarse el menor retraso en las mismas, sin que ello determine una

demora en el tiempo total de ejecucin del programa.

Tarea Duracin Fechaprxima

Fechatarda

Margende a

2,1

1,2 9 0 14 5

2,2 7 0 12 5

2,3 10 0 10 0

1,2 1,3 10 9 26 72,3 5 9 19 5

2,21,3 2 7 26 17

2,3 3 7 19 9

3,3 7 7 19 5

3,22,3 9 10 19 0

3,3 2 10 19 7

1,3

2,4

2 19 28 7

2,3 9 19 28 0

3,3 9 14 28 5

)(;; ,, ttttlktjit dfpftmlfDTftfpfp


16/31

- 16

No se puede terminar este acpite sin advertir que, primero, los casos reales que son abordados

mediante PERT o CPM presentan diagramas (grafos en la terminologa tcnica) totalmente

irregulares lo que, sin embargo, no invalida la aplicacin de todo lo visto7y, segundo, que, si bien

la tcnica bsica es la expuesta, se abordan otras cuestiones tales como costos, asignacin de

recursos, duraciones indeterminadas, etc., cuyo tratamiento escapa a la intencin de esta obra.

4.Tratamiento aproximado: diagrama de rutas equivalente

Del mismo modo en que antes se vinculaba un diagrama de flujo de informacin a uno de rutas

es posible realizar la operacin inversa, generando un diagrama de rutas equivalente, sobre el que

ser factible la aplicacin de las tcnicas ya vistas, resolviendo el problema original en forma

aproximada.

En la figura 5.4.1 se esquematiza una etapa genrica de un diagrama de flujo de informacin.

Uno de rutas con el que estuviese vinculado tendra determinados valores para los estados Si+1y

Si.

Si por un momento se omite la consideracin del estado a la entrada de la etapa -para quien

acta, en todos los casos, como un dato del problema- un diagrama de rutas con el que estuviese

vinculado el de informacin, debera tener fijados un cierto nmero de posibles estados Silos que,

conectados con los correspondientes a Si+1, han de generar las rutas o transiciones posibles.

Para fijar un estado en Sies preciso darle valores a

todas las variables que lo definen, reiterando que en taldefinicin solo se incluyen las que interconectan etapas.

Tales valores pueden ser fijados dentro de ciertos

mrgenes razonables o habrn de surgir por clculos en la

etapa.

En la primera de las alternativas, fijar valores para las

variables de salida, admitiendo siempre que el estado a la

entrada es un dato conocido, ha de ser necesaria una

inversin del flujo de informacin, transformando envariables de estado tantas decisiones como salidas se

pretenda fijar.

Hay, pues, tres casos por analizar:

7De hecho, se podran transformar esos grafos en otros regulares, aunque el hacerlo carece de sentido

prctico.

Fig. 5.4.1


17/31

- 17

a) Si< di b) Si= di c) Si> di

que se muestran en la fig. 5.4.2

Debe aclararse que en los esquemas se ha tomado dicomo el nmero de variables que definen

la decisin diy Sila cantidad de las que determinan el estado S i.

Puede verse que slo en los casos a y b es posible fijar completamente la salida, mientras que

en el caso c algunas de las variables que la determinan surgen por clculo.A su vez, en el caso a,

quedan an variables de decisin por determinar, ya que la modificacin del sentido del flujo de

informacin no alcanza a invertirlas a todas.

En este ltimo caso, para lograr establecer el aporte sobre una transicin cualquiera -desde un

determinado Si+1a un dado Si-, se requiere conocer los valores de las variables de decisin que

han quedado libres, lo que significa un problema de optimizacin para definir tal aporte.Este

problema, obviamente, tiene una dimensionalidad menor que la que le corresponde a la etapa (Se

ha reducido en Sivariables).

El otro caso interesante es el c, donde se puede fijar slo parte del estado a la salida y el resto

debe ser calculado. En este clculo participa el estado a la entrada de la etapa y, en consecuencia,

aunque permanezcan invariables los valores fijados para la salida, al cambiar el estado S i+1,

habrn de generarse diferentes estados Si, por la modificacin de las componentes que surgen por

clculo8.

En la circunstancia descripta el diagrama de rutas aparecer con ramificaciones divergentes,

originadas en cada uno de los valores elegidos para el estado S i+1.

8Podra decirse que se est en condiciones de fijar, por ejemplo, la latitud del punto de destino, pero la

longitud depende de aquella y del cual sea el punto de origen.

i i i

a b c

Si+1

Si+1

Si

Si+1

Si

Si

di- S

id

id

i

di

Si- d

i

ri ri ri

Fig. 5.4.2


18/31

- 18

En la figura 5.4.3 puede apreciarse la

transformacin de un diagrama de flujo de

informacin en otro de rutas equivalente.

Se ha supuesto que se dan dos valores acada una de las variables que participan en la

definicin de los estados interetapas,

variables que aparecen "tachadas" en el

diagrama de flujo de informacin. Los

valores se indican mediante dos dgitos en el

interior de los nodos que representan los

estados. Adems se han marcado con un punto las transiciones sobre las cuales el clculo del

aporte a la funcin objetivo requiere de un proceso de optimizacin.

Puede advertirse que en los tramos que corresponden a la etapa 2 aparecen repetidos los

valores fijados de la variable de salida, un par para cada valor del estado S 3.

Como quedase dicho, esta ramificacin aparece toda vez que resulta imposible fijar la

totalidad de las variables que determinan el estado S2.

Merece un comentario final lo que sucede al aplicar esta metodologa en la ltima etapa. All

las variables de salida no se interconectan con nada y, por consiguiente, no existe un estado, tal

como se ha expuesto para los restantes casos. No se requiere, necesariamente, invertir el flujo de

informacin ni tiene importancia cuntas variables definen el estado y cuntas la decisin.

No obstante, por conveniencia en el clculo, se ha de mantener en la ltima etapa el concepto

de estado a la salida, fijando valores (discretizando) para las variables que se hayan elegido, en el

nmero corresponda, estn stas integradas al estado de salida o a la decisin. Por todo lo dicho

resulta claro que las transiciones en este punto nunca podrn presentarse en un esquema

ramificado.

La precisin que se puede alcanzar por esta va depende, como es obvio, de la cantidad de

estados intermedios que se generan. Si bien cuando el problema est formulado en trminos devariables continuas el nmero posible para los mismos es infinito, no resulta conveniente, en aras

de una mayor exactitud, aplicar la estrategia expuesta sobre un nmero grande de estados

intermedios.

En su lugar, es ms efectivo proceder a una primera bsqueda que permita acotar un mbito

donde reiterar el procedimiento y, as, todas las veces que resulte necesario.

40

31

32

21

22

21

22

12

11

Fig.5.4.3


19/31

- 19

El ejemplo 5.1, ya resuelto mediante el

procedimiento riguroso, puede servir para

fijar las ideas antes expuestas.

En la figura 5.4.4 se esquematiza laestructura bsica del diagrama de rutas

equivalente.

Al igual que antes, para la variable T1

se ha adoptado el rango 169,5-234,5.

En la ltima etapa se ha preferido

utilizar la variable T21en lugar del factor de fraccionamiento f, por ser ms sencillo acotar, en

forma efectiva, los lmites de variacin, elegidos, para el caso, 160 y 260.

La tabla siguiente muestra los resultados obtenidos para 6 valores en cada uno de los estados.

datos

T1

inic

T'1 T21

169.5

234.5

160

260

200

8.96

6.55

5.88

5.79

5.86

3.49

3.21

f

Fig. 5.4.4


20/31

- 20

T1 169.5 182.5 195.5 208.5 221.5 234.5

T21 r2> 8960 8058 7193 6398 5761 6553

160 5879

(0,160)

5397

(0,230)

4912

(0,301)

4429

(0,371)

3954

(0,441)

3489

(0,512)

180 5816

(0,183)

5313

(0,263)

4805

(0,344)

4298

(0,424)

3793

(0,505)

3294

(0,585)

200 5786

(0,213)

5274

(0,307)

4757

(0,401)

4239*

(0,424)

3722*

(0,589)

3209*

(0,682)

220 5775*

(0,256)

5263*

(0,368)

4750*

(0,481)

4242

(0,594)

3755

(0,706)

3445

(0,819)

240 5785

(0,320)

5297

(0,460)

4857

(0,601)

NF NF NF

260 5856(0,426) 5877(0,614) NF NF NF NF

r2+r1* 14735 13321 11943 10637 9483* 9762

En la primera fila y columna de la tabla figuran los valores de los distintos estados. En la

segunda fila los aportes sobre las transiciones entre el nodo inicial y los correspondientes a T1.

De las filas tercera a octava se encuentran los aportes de la ltima etapa y, entre parntesis, el

valor de f*. Con la sigla NF se marca el hecho que la transicin correspondiente no resulta posible

(T22o f exceden los lmites establecidos).

La lectura de una columna, considerando desde la tercera a la octava fila, permite decidir, para

el respectivo valor de T1, cual es la mejor eleccin en la ltima etapa; por ejemplo: para

T1=182,5 resulta lo ms adecuado T21= 220 o, lo que es equivalente, f = 0,368. Puede notarse

que las transiciones ptimas para cada estado se indican con un asterisco.

En la ltima fila se muestra el resultado, r2+ r1*, para las distintas decisiones posibles en la

primera etapa. El menor de todos ellos representa el ptimo global, 9483 $/ao, aproximadamente

un 5% superior al valor encontrado anteriormente.

Las decisiones ptimas seran T1= 221,5 y f = 0,589.

Pero an sera posible ajustar este resultado. De la inspeccin de la tabla surge una zona, a la

que se ha recuadrado, donde, evidentemente, se encuentra el ptimo del problema. Si se ampla la

bsqueda en dicha zona, agregando dos nuevos valores de T '1, 215 y 228, y otros dos de T21, 190

y 2109, se encuentra el ptimo para T1= 228, f=0,693 y un costo de 9076 $/ao, apenas un 0,66%

9Con esto se tendra calculada ms de la tercera parte de la nueva tabla.


21/31

- 21

superior al valor exacto.

5.Programacin Dinmica en sistemas ramificados

Hasta el momento slo se han considerado, para la aplicacin de las tcnicas de Programacin

Dinmica, solo aquellos problemas cuyos diagramas de flujo de informacin cumpliesen

estrictamente las caractersticas de seriados multietapas, tal como fuera definido al iniciar el

tratamiento del tema.

Cabra preguntarse si son ellos los nicos sobre los que puede ser aplicada la tcnica o si

resulta posible adecuar los diagramas, de modo tal que pueda hacrselo.

La respuesta que Programacin Dinmica extiende su aplicacin, en forma directa, a

problemas cuyos diagramas de flujo de informacin son algo ms complejos que lo vistos, as

como resulta posible usarla en otros, adaptando el respectivo diagrama.

Algunos de ellos sern vistos en este captulo; como ser los sistemas ramificados, donde

existen, en algn sector del flujo de informacin, al menos dos ramas o vas independientes, que

surgen de un punto comn (sistemas divergentes) o concurren a uno determinado (sistemas

convergentes). Los diagramas con reciclo de informacin ser otro caso a considerar.

En la figura 5.5.1 se muestra la

estructura bsica de un sistema

ramificado divergente, donde puedeapreciarse la existencia de dos

ramas, A y B, que se separan a

partir de la etapa k. Cada una de

ellas est constituida por un sistema

seriado multietapas como el que se

indicara al principio de este

captulo (Por simplicidad, esto no se ha indicado en el dibujo).

Si se omite por un momento la particular estructura del diagrama, considerando cada una delas ramas por separado, puede plantearse

Luego, evidentemente, es posible plantear

BsubsistoptSFO

AsubsistoptSFO

kBB

kAA

)(

)(

SSk+1

SkA

SkB

kk+1

A

B

N

dk+1

dk

dN

Fig. 5.5.1


22/31

- 22

con lo que, en consecuencia, la metodologa a aplicar es esencialmente la misma que la ya vista,

con la nica particularidad de que deben resolverse la totalidad de las ramas antes del

tratamiento de la etapa donde se produce la divergencia.La figura 5.5.2 presenta otro

caso de sistema ramificado: aqu

hay dos ramas que convergenen

un punto del diagrama y, a partir

de all, este presenta un flujo

unificado.

Comparado con el caso

anterior, el tratamiento reviste unamayor complejidad.

Hasta la etapa k, incluida, no

existe problema alguno porque, de hecho, esa porcin del diagrama no tiene ninguna alteracin.

En ese punto se dispondra de )(),( 111 kkkd

Nkk SFOroptSSFO

k

, donde puede apreciarse

que el ptimo parcial depende de estados sobre los que no se puede actuar en forma simultnea,

ya que la decisin dk+1puede modificar a Sk+1pero no a SN+1y, a la inversa, dN+1.

La solucin a esto es instrumentar un tratamiento secuencial, resolviendo, por ejemplo, las

etapas N, N-1,...k...1 como si fuesen la ltima etapa de la rama M...N+1.

Ello significa que habr que resolver, para distintos valores del estado SN+1

es decir que para lograr transformar el subdiagrama constituido por las etapas N...k...1 en la

ltima de la secuencia M...N+1 habr que optimizar al primero, considerando al estado SN+1como

un dato, tantas veces como valores se establezcan para el mismo.

Una vez que lo anterior ha sido completado -sin duda, el paso computacionalmente ms

engorroso- el procedimiento contina con la obtencin de

)()( 11211

NNNd

NN SFOroptSFO

N

, de acuerdo a lo visto.

)()()( 1 kBBkAAkd

kk SFOSFOroptSFO

k

),()(

),(),(

111

111211

NNNNd

NN

kNkkd

kNk

SSFOroptSFO

SSFOroptSSFO

N

k

dk+1

dk

d1

dN

dN+1

dM

Sk+1

S1

k+1 k 1

N+1

N

M

SN+1

SNe

SMe

Fig. 5.5.2


23/31

- 23

Si se cumple que Si+1+ di> Siy Si+1< Si; i = M...N+1 es posible aplicar otra va de solucin:

invertir por completoel sentido del flujo de informacin en la rama superior, con lo que el

sistema, ahora, ser divergentea partir de la etapa k.

En el caso de querer aplicar esta estrategia para un diagrama donde existen ms de dos ramasque convergen en un punto, la condicin anterior deber verificarse, al menos, para todas ellas

menos una.

Otro de los casos donde es posible aplicar Programacin Dinmica es sobre sistemas que

presentan una derivacin paralela (bypass), como el que se muestra en la figura 5.5.3.

La respuesta general a esta situacin es modificar el diagrama, mediante la creacin de

variables interetapas, de forma que se elimine la rama lateral, como se muestra a la derecha de la

figura. Esto significa el crecimiento de la dimensionalidad en los estados, cuestin que, como se

ver, aumenta la dificultad en la aplicacin de la tcnica.

Sjk

Sjl

Skp

Slp

Slp

SkpSjk

Sjl

k1 km

l1

lnj p

e1 exj p

Fig. 5.5.3

Por esta razn se suele acudir al artificio

de modificar el diagrama, mediante un corte

de la derivacin lateral, de modo de obtener

un sistema divergente. Esto se logra

adoptando el estado Skpcomo una decisin

e invirtiendo el flujo de informacin, con la

salvedad de mantener el carcter divergente

requerido para el nuevo diagrama (Se debe

privilegiar la inversin de las decisiones por sobre los estados, lo que en la figura serepresenta en el cambio de sentido en dkm).

Debe advertirse que la va de solucin expuesta requiere el sostenimiento de Skpa lo largo del

proceso de optimizacin de ambas ramas divergentes generadas; esto es, en la etapa p se tiene

FOp(Slp, Skp) y en ese momento se asigna el subesquema ya tratado a la rama l1...ln, manejando Skp

como un dato (Numricamente, habr que resolver para varios valores de Skp).Al final se tendr

FOl1(Sjl, Skp), punto en el cual se comienza el tratamiento de la rama k, comenzando por la etapa

km, dejando a Skpcomo datohasta obtener FOk1(Sjk,Skp).Es recin en este punto, al tratar la

Sjk

Skp

Sjl

k1

km

Slp

l1

ln

j p

Fig. 5.5.4


24/31

- 24

etapa donde se produce la divergencia,cuando se ha de producir la optimizacin con respecto a

Skp.

El ltimo tipo de diagrama de flujo de informacin anmalo donde se ha de considerar la

aplicacin de Programacin Dinmica sern aquellos donde existen reciclos de informacin,como el que se muestra en la figura 5.5.5

La nica posibilidad que existe de aplicar la tcnica es a travs de la eliminacin del reciclo, lo

que implica una modificacin sustancial del diagrama de flujo.

En la parte derecha de la figura 5.5.5 se esquematiza el procedimiento. El estado S kj se

transforma en decisinsimultneamenteen las etapas j1y kr, lo que obliga a invertir el flujo en la

rama superior.

Sj+1

Skj

k1

k1

kr

kr

j1

j1

jp

jp

Sjk

Sjk

Sj+1

Skj

Fig. 5.5.5

La eleccin de Skjno es arbitraria, ya que se busca que el sistema ramificado resultante sea

divergente (Lo es en la etapa jp), por su mayor simplicidad en el tratamiento posterior. De aqu

que la inversin a la que se hiciese referencia deber privilegiar, otra vez y por la misma razn

que antes, las decisiones por sobre los estados.

El procedimiento a seguir en la optimizacin del esquema modificado presenta la

particularidad de que, por actuar Skjen dos puntos diferentes del mismo, el tratamiento de la rama

k1...krdeber hacerse manteniendo a Skjcomo un dato; ms an, esta caracterizacin se ha de

prolongar hasta el momento de considerar la etapa j1, punto en el cual, recin, se podr tratar a Skjcomo una decisin.

El estudio de las tcnicas de optimizacin es importante no slo por la posibilidad de resolver

problemas que presentan determinadas caractersticas sino -lo que tal vez sea ms importante-

porquesu conocimiento permite estructurar los problemas de forma tal que puedan ser utilizadas

determinadas tcnicas.

En la figura 5.5.6 se muestra la estructura de la red de intercambio analizada en el captulo de

ordenamiento de clculo.


25/31

- 25

Como se vio, en

aquella oportunidad, el

nmero de grados de

libertad para esta red es

3 y una de lasalternativas era

considerar, como

variables de decisin, a

la temperatura T1 y a

los factores de

fraccionamiento f1y f2.

Este problema de tres variables puede ser resuelto mediante Programacin Dinmica, con una

importante reduccin en la complejidad de los clculos (Debe advertirse que se ha omitido, enrazn de tratarse del mismo problema ya visto, el detalle de las ecuaciones que definen el modelo

matemtico del sistema).

En la parte superior de la figura

5.5.7 se muestra el diagrama de

flujo de informacin del

problema. Los bloques E, C, 1, 2 y

3 se corresponden con los equipos

de intercambio trmico, mientrasque m1 y m2 representan los

puntos de mezcla de las corrientes

4 y 2 (La parte superior de la

figura 5.5.7 es equivalente a la

3.2.10).

Puede verse, en este diagrama,

que existen dos grandes segmentos, cada cual con uno de los factores f como variable de decisin

exclusiva y compartiendo ambos a T1.

La circunstancia apuntada conduce a pensar en la posibilidad de reestructurar el flujo de

informacin bajo la forma de un sistema ramificado divergente, como se muestra en la parte

inferior de la figura (Ntese que se ha recurrido al artificio de crear una etapa de interconexin y

dos variables adicionales, T1 y T1, ambas, lgicamente, iguales a T1).

El planteo, ahora, es sencillo: hay que obtener el mnimo de cada una de las ramas, FOc..m1(T1)

y FO3..m2(T1), operando sobre el correspondiente factor de fraccionamiento, para luego

considerar la suma mnima de ambos factores, ya que la etapa de interconexin no efecta aporte

T1

A1

Ac

A2

1 2 3 EC

A3 AE

qV

f1

f2

qE

T22

T21

T42T41

m2m1

T'1

T''1

f1

f2

C-1-2-m1

3-E-m2

Fig. 5.5.7

Fig. 5.5.6


26/31

- 26

alguno a la funcin objetivo, tal como se indica en la tabla siguiente:

T1= T1 f1* FOc..m1 f2* FO3..m2

174,5 0,545 8689,6 0,300 5578,5

184,5 0,575 8009,5 0,373 5183,5

194,5 0,605 7356,7 0,445 4786,6

204,5 0,635 6748,6 0,514 4389,1

214,5 0,665 6224,3 0,582 3992,0

224,5 0,696 5907,3 0,649 3596,3

234,5 0,734 7611,6 0,715 3203,0

El ptimo para el sistema se encuentra para T1=228,7, f1=0,710, f2=0,676, con un costo de

9384 $/ao.

6. Problemas de clculo en Programacin Dinmica

Hasta ahora se han podido apreciar las ventajas de Programacin Dinmica, al reducir la

dimensionalidad de los problemas y, consecuentemente, la complejidad numrica de su

tratamiento.

Pero esto no es gratuito: tal reduccin exige resolver, repetidamente, cada uno de los

subproblemas que genera la estrategia de optimizacin.

Si el nmero de veces que hay que repetir la solucin de los problemas es muy grande, an

cuando el nmero de grados de libertad de cada uno, esto es, su dimensionalidad, sea pequeo,

bien podra suceder que resultase ms sencillo "olvidar" la estructura del diagrama de flujo de

informacin, no aplicar Programacin Dinmica y resolver el caso por bsqueda simultnea,

entendiendo por esto el uso de cualquier tcnica que aborde el tratamiento conjunto de las

variables de decisin.

Para lograr enfocar la cuestin desde un punto de vista analtico se requiere contar con algn

tipo de funcionalidad que vincule la dimensionalidad de un problema con la dificultad de

optimizarlo. Tales expresiones son, en rigor, de dudosa generalidad para los mtodos ms

difundidos.

Resulta posible, en cambio, establecer una cota superior a esta dificultad: basta con tomar un

mtodo ineficiente de optimizacin, para el que sea posible encontrar una funcionalidad del tipo

buscado.

Un mtodo que rene estas caractersticas es el nmero de oro extendido a multivariables,

donde el nmero de clculos a realizar para obtener el ptimo de una funcin de t variables puede

expresarse bajo la forma bt, siendo b una constante que depende de la exactitud deseada.


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- 27

Volviendo al esquema general de

la figura 5.1.1, supngase que todas

las etapas tienen decisiones y

estados de interconexin definidos

por D y S variables,respectivamente, estando fijo el

estado a la entrada al sistema.

Supngase, tambin, que en la bsqueda de FOi(Si+1) se consideran a valores para cada una de

las variables que integran el estado Si+1.Esto dar aSproblemas con D variables de decisin para

cada una de las etapas, salvo para el ltimo paso de optimizacin, donde ha de existir uno solo, en

virtud de estar fijo el estado a la entrada del sistema.

Con esto, la cota superior para las dificultades de clculo inherentes a la estrategia de

optimizacin por Programacin Dinmica PDy bsqueda simultnea BS han de ser

siendo la relacin entre ambos

y la dificultad relativa aumenta (Programacin Dinmica resulta menos atractiva frente a

bsqueda simultnea) con el incremento del nmero de variables de interconexin mientras quedisminuye con el aumento del nmero de variables de decisin por etapas o la cantidad de stas.

Lo anterior puede tomarse como una consideracin de tipo general; la tendencia que se verifica

al aplicar la tcnica. Pero an resulta posible, frente a un caso concreto, moverse dentro de los

extremos que se han examinado; esto es, utilizar Programacin Dinmica sobre un diagrama se

han agrupado etapas, para ser optimizadas en forma conjunta.

Esto puede ser comprendido mejor mediante el anlisis de un ejemplo simple, para el cual se

tomar a=b=8 en la correspondiente expresin de (Esto ltimo implica una reduccin delintervalo de incertidumbre menor al 5% en cada variable en el mtodo del nmero de oro

extendido a n dimensiones).Dichos valores sern utilizados en todo el anlisis que sigue.

En la figura 5.6.1 (a) se muestra un

hipottico diagrama de flujo de

informacin, donde se han indicado slo las

variables que componen las decisiones y

los estados de interconexin, en virtud de

NDBS

SDPD baNb ;1)1(

1)1()1(

SND

BS

PD aNb

rN -1

dN -1

dN

d2

d1

S2

S1

S3

SN -1S N

SN +1

rN

r2

r1

Fig. 5.6.1


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constituir ellas los nicos elementos a tener en cuenta.

Ntese que aqu no hay constancia en el nmero de variables por etapa, lo que obliga a un

anlisis caso por caso.

Si el problema fuese resuelto por Programacin Dinmica, sin efectuar ninguna modificacin

en el diagrama, la cota superior de la dificultad de clculo sera

1-2-3= 8281+ 8382 + 80 82= 83+ 85+ 82

donde cada uno de los monomios se compone por el producto de 8 Si+1y 8Di

Si la solucin se encara a travs de una bsqueda simultnea, lo que , esquemticamente, se

indica en 5.6.1 (b) como una etapa nica -se ignora, en absoluto, la existencia de subsistemas-, el

grado de dificultad asociado sera [1-2-3]=85

Pero estas dos no son las nicas estructuras posibles. Existe la alternativa de apelar a

estrategias mixtas: agrupar, por ejemplo, solo las dos primeras etapas, o las dos ltimas, como se

indica en 5.6.1 (c) y (d). Para estos casos se tendr

1-[2-3]= 82 81+ 84= 83+ 84

[1-2]-3= 83 83+ 82= 86+ 82

lo que lleva a la conclusin de que la mejor estrategia resulta de considerar en forma conjunta las

etapas 2 y 3, agrupamiento que ha de formar parte de un diagrama seriado co la etapa 1.

Resulta obvia la imposibilidad de efectuar este anlisis en detalle para todos los casos, donde,

con seguridad, habr que vrselas con diagramas de flujo, y alternativas, por ende, de mayor

complejidad.

Sera deseable contar con un criterio simple, que no se viese afectado por las caractersticas

estructurales del flujo de la informacin. Es posible contar con tal criterio, al menos en lo que

concierne al agrupamiento de etapas.

En la figura 5.6.2 (a) se esquematiza un

segmento, etapas i y j, del diagrama de flujo

genrico. All Siy diindican elnmero devariables que componen el estado y la

decisin de la etapa, respectivamente.

Para estas dos etapas solamente, las

estrategias posibles son tratarlas en forma

separada o agruparlas.

Este anlisis focalizado puede efectuarse,

Fig. 5.6.2


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- 29

y sus conclusiones son vlidas para cuando se considera el segmento dentro del sistema total, por

la estructura matemtica (suma de monomios) que posee la expresin que permite el clculo del

grado de dificultad.

Volviendo al esquema, si las etapas se tratan en forma separada o conjunta, se tendr, comodificultad relativa de la primera con respecto a la segunda

y queda claro que esta dificultad relativa es mayor que 1 (conviene el agrupamiento) toda vez

que Si- Si+1 di.

Debe tenerse en cuenta que en la expresin anterior se consideran la totalidad de las variables

que componen el estado a la entrada a la etapa pero solo las variables que integran el estado

que la interconecta con quien se analiza el agrupamiento. Lo anterior es particularmente

importante cuando se consideran los puntos de divergencia en un sistema ramificado.

En la parte b de la figura 5.6.2 se presenta el caso de una etapa sin decisin. Aqu es posible

ensayar cuatro estrategias: el tratamiento del diagrama tal como est, la bsqueda simultnea en

todo el segmento o agrupar la etapa j con la k o la i. Los grados de dificultad para cada alternativasern10

con lo que, como puede verse, siempre resulta conveniente el agrupamiento de j con una etapacontigua, por lo menos para eliminar el estado de interconexin definido por el mayor nmero de

variables, Sio Sj, con independencia de que convenga el tratamiento unificado de las tres etapas,

lo que puede analizarse, luego, con el criterio expuesto anteriormente.

El ltimo caso de agrupamiento a considerar es el de pequeos reciclos.

10En el caso de tratamiento individual de cada etapa se considera una dificultad de clculo para lograr

expresar FOk(Sj) como FOj(Si)

jiii

jii

iiji

ddSSrel

ddSij

dSdSij

88

8

88

1

1

1

..

....

iiki

iikj

jii

iiij

dSdSijk

dSdSijk

ddSijk

dSdSijk

1

1

1

1

88

88

8

88

.

....


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Ya se ha visto que es posible aplicar Programacin Dinmica a este tipo de diagramas, aunque

resulte bastante engorroso hacerlo.

De aqu que se pudiera pensar en un tratamiento conjunto de las etapas que se encuentran

involucradas en un reciclo de informacin.No resulta posible un tratamiento generalizado como en el caso anterior, por lo que se recurrir

a un enfoque de tipo heurstico.

En la figura 5.6.3 se muestra un sector de un diagrama de flujo donde aparece un reciclo,

donde se supondr que cada estado y decisin, que interesan en el anlisis del reciclo, se

componen de una sola variable.

Como ya qued visto, la solucin por

programacin dinmica exige el manejo de la

variable de reciclo como una decisin en

suspenso, un dato, lo que lleva a invertir el

flujo en la etapa 1, que quedara sin decisin

y, consecuentemente, se agrupar con la 2.

La dificultad relativa del tratamiento por separado de las, ahora, N-1 etapas con respecto al

enfoque simultneo ser

Nrel

N

8

88)2(8 1111

donde se ha tenido en cuenta la bsqueda para un solo valor del estado a la entrada de la etapa

N, en razn de ser algo comn para ambas estrategias.

La expresin anterior resulta ser menor que la unidad para N mayor o igual que 4, por lo que,

extendiendo el criterio a otros diagramas de flujo de informacin, se puede plantear que reciclos

con menos de cuatro variables involucradas en las decisiones deben ser resueltos por

bsqueda simultnea.

Estos criterios de agrupamiento de etapas deben constituir un paso previo a la optimizacin

efectiva del sistema, el que, en definitiva, debera realizarse de acuerdo al siguiente esquema:

1.- Formulacin matemtica del problema

2.- Determinacin de una estrategia de clculo

3.- Construccin del diagrama de flujo de informacin

4.- Anlisis de agrupamiento de etapas en el diagrama.

5.- Optimizacin efectiva del sistema.

En el desarrollo de la estrategia mixta, que presupone el quinto y ltimo paso, est implcita la

Fig. 5.6.3


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seleccin del o de los mtodos que resulten ms adecuados para llevar a cabo el proceso de

optimizacin.

Bibliografa

- "Discrete Dynamic Programming" Aris, Blaisdell, 1963.

- "Foundations of Optimization" Wilde & Beightler, Prentice Hall, 1967.

- "Optimization of multistage cyclic and branching systems by serial procedures" Aris,

Nemhauser, Wilde, AIChEJ 10 p.913, 1964

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