Prog Completo de Mate IV

8/6/2019 Prog Completo de Mate IV

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APUNTES DE MATEMATICAS

IV

Autor:Jorge Garca Nieva

Tecnologico de Estudios Superiores

del Oriente del Estado de Mexico

29 de julio de 2010

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INTRODUCCION

El Algebra Lineal es el estudio de los espacios vectoriales yde los conceptos derivados de ellos, como son las combinacioneslineales, los conjuntos bases y la representacion de los elementosde un espacio vectorial mediante ellas, las bases ortogonales , lastransformaciones lineales y sus representacion matricial, los espa-cios asociados a los autovalores y vectores propios de una trans-formacion lineal(descomposicion espectral), etc.

El conocimiento de los conceptos anteriores y su interrelacion,proporciona a los estudiantes de las areas de ingeniera una solidabase para trabajar en la modelacion matematica de los fenomenosfsicos dentro de sus respectivas areas.En efecto,la teora de losespacios vectoriales tiene amplias aplicaciones , interviniendo porejemplo en la resolucion matematica de problemas de optimizacion,como sucede con el metodo simplex en la Ingeniera Industrial, obien en el tratamiento simplificado y elegante de la teora de laregresion lineal y multilineal, la estadstica avanzada , la teoradel control de calidad, la teora de la simulacion, la teora de las

ecuaciones diferenciales,etc.Por lo anterior, es muy importante proporcionar a los estudi-

antes material didactico de calidad, que no se reduzca a la repro-duccion sin sentido de calculos, sino que tenga un nivel adecuadode la exposicion de la parte teorica. Es con este fin como el autorde estas notas ha recolectado una serie de resultados importantesdentro del Algebra Lineal que han sido considerados tradicional-mente como fundamentales por los especialistas de esta area y queson consideradas basicas dentro de un curso basico de eta asig-natura.

Estas notas comienzan con una exposicion acerca de los numeros

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complejos, lo cual es importante para abordar el tema de las ma-trices ortogonales y sus aplicaciones en la descripcion geometri-ca de fenomenos fsicos,amen de que interviene en el tratamientoalgebraico de la diagonalizacion de la representacion de transfor-maciones lineales mediante matrices y su ulterior aplicacion en eltratamiento de sistemas dinamicos.

El captulo 2,trata de las matrices , sus propiedades y con-ceptos fundamentales asociados.Los conceptos estudiados en estecaptulo tienen relacion directa con el captulo 3, el cual trata sobrelos sistemas lineales y su resolucion mediante matrices, expresa-do esto en el procedimiento de Gauss-Jordan , en el metodo deCramer y en el metodo de la inversa de la matriz de coeficientesde un sistema lineal. Cabe notar que los conceptos estudiados enlas unidades 2 y 3 son de amplia apliacacion en varios campos den-tro de la ingeniera,como por ejemplo,las ecuaciones diferenciales,la Investigacion de operaciones y la estadstica multivariable. Enla unidad 4 se estudian los espacios vectoriales, los cuales repre-sentan una generalizacion de la geometra plana y del espacio aespacios multidimensionales, as como a espacios con objetos nonecesariamente geometricos, como lo son los espacios de matri-ces o de soluciones de un sistema de ecuaciones ya sea algebraicolineal o de ecuaciones diferenciales lineales , y que en ingenierason de suma importancia para estudiar fenomenos o sistemas detipo lineal. En la unidad 5 se estudian las transformaciones lin-eales, las cuales aparecen en la practica en el analisis de objetosque se pueden ampliar, reducir,transladar o rotar; desde luego,suaplicacion a la robotica es ineludible,as como en la programacion

de graficos.

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Indice general

Introduccion 2

1 Numeros Complejos complejos. 61.1. Definicion y origen de los numeros complejos. . . 6

1.2. Operaciones fundamentales con numeros complejos 6

1.3. Potencias de i, modulo o valor absoluto de un

nu m ero com p lejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Forma polar y exponencial de un numero complejo 121.5. Teorema de De Moivre, potencias y extraccion de

ra ces de un numero complejo. . . . . . . . 13

2 Matrices y determinantes. 20

2.1. Definicion de matriz, notacion y orden. . . . . . . . 20

2.2. Clasificacion de las matrices. . . . . . . . . . . . 22

2.3. Operaciones con matrices. . . . . . . . . . . . . . 23

2.4. Transformaciones elementales por renglon. Escalonamiento

de una matriz. Rango de una matriz. . 382.5. Calculo de la inversa de una matriz. . . . . . . . . . 45

2.6. Definicion de determinante de una matriz. . . . . . 46

2.7. Inversa de una matriz cuadrada a traves de la adjunta. 49

2.8. Aplicacion de matrices y determinantes . . . . . . . 66

3 Sistemas de ecuaciones Lineales. 71

3.1. Definicion de sistemas de ecuaciones lineales. . . . . 71

3.2. Clasificacion de los sistemas de ecuaciones lineales y

tipos de solucion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.3. Interpretacion geometrica de las soluciones. . . . . . 81

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Indice general

3.4. Metodos de solucion de un sistema de ecuaciones

lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una ma-

triz y regla de Cramer. . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.5. Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 24

4 Espacios vectoriales. 128

4.1. Definicion de espacio vectorial. . . . . . . . . . . . 128

4.2. Definicion de subespacio vectorial y sus propiedades. 135

4.3. Combinacion lineal. Independencia lineal. . . . . . . 140

4.4. Base y dimension de un espacio vectorial, cambio de

base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.5. Espacio vectorial con producto interno y sus

propiedades. 179

4.6. Base ortonormal, proceso de ortonormalizacion de

Gram-Schmidt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

5 15Transformaciones lineales. 193

5.1. Introduccion a las transformaciones lineales. . . . . 1935.2. Nucleo e imagen de una transformacion lineal. . . . 212

5.3. La matriz de una transformacion lineal 205

5.4. Aplicacion de las transformaciones lineales: reflexion,

dilatacion, contraccion y rotacion . . . . . . . 219

5

5


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UNIDAD I. Los nmeros complejos

Origen y definicin. Operaciones con complejos. Forma polar. Teorema

de DeMoivre. Potencias y races de complejos

1.1. Definicin y origen de los nmeros complejos.

Los nmeros complejos aparecieron histricamente cuando Cardano,en

1539,trat ecuaciones como x2 + 1 = 0 ,la cual no tiene solucin en R.

Posteriormente Gauss desarroll la teora con mayor formalidad. La impos-

ibilidad de resolver estaclase de ecuaciones en el campo real crea la necesidad

de ampliar R construyendo un supercuerpo conmutativo K en el que todo

elemento admita una raz cuadrada y, en consecu.encia, que la ecuacin

anterior tenga solucin.

Supongamos que K existe y sea i un elemento de K que satisface i2 + 1 = 0.

Vamos a ver que el subconjunto K0 de K engendrado por R{i} y descrito por

los elementos de la forma

a + bi

en donde a, b R es un cuerpo. Es evidente que

a + bi = 0 =a = b = 0

ya que de lo contrario, para b 6= 0 se deducira que i es un elemento de R y esto

no es posible.

1.2. Operaciones fundamentales con nmeroscomplejos.

Por otro lado, de las reglas de clculo en el cuerpo conmutativo K y teniendo

en cuenta que i2 = 1, se deduce

(a + bi) + (c + di) = (a + b) + (b + d)iLas igualdades demuestran que:

a + bi = c + di a = b y c = d

y , que:

(a + bi) (a bi) = a2 + b2

Puesto que en R se cumple

a2 + b2 = 0 a = b = 0

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entonces, si a + bi 6= 0

1a + bi

=a bi

(a + bi) (a bi)=

a bia2 + b2

=a

a2 + b2+

ba2 + b2

i

Luego, si K existe y i2 + 1 = 0, entonces

K0 = {a + bi : a, b R}

es un cuerpo.

No obstante, si existe otro elemento i1 K tal que i2

1 + 1 = 0, entoncespodemos determinarK

0

1 = {a + bi1 : a, b R}y es claro queK0 yK01 son isomorfos. Por tanto,K

0 es nico salvo un isomorfismo.Por otra parte, si K0 existe, (22.4) muestra que hay una biyeccin entre K0

y R Rf : RR K0

(a, b) 7 a + biAdems, es claro que f es un isomorfismo de grupos aditivos, en donde R Rest dotado con la siguiente adicin

(a, b) + (c, d) = (a + b, c + d)

pues, se cumplef((a, b) + (c, d)) = f(a, b) + f(c, d)

Podemos dotar a RR con la siguiente multiplicacin (a, b)(c, d) = (ac bd, ad

+ bc)

y entonces demuestra que

f((a, b) (c, d)) = f(a, b) f(c, d)

De este modo, si demostramos que R R dotado con las operaciones suma ymultiplicacin es un cuerpo, habremos probado la existencia de K0.

En el conjunto R R definimos las dos operaciones siguientes

(a, b) + (c, d) = (a + b, c + d)

y(a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc)

Es fcil comprobar las siguientes propiedades:

UNIDAD I. LOS NMEROS COMPLEJOS


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1. (R R, +) es un grupo conmutativo de elemento neutro (0, 0), en el que

(a,b) es el simtrico de (a, b).2. La multiplicacin es distributiva respecto a la suma .

3. (R R {(0, 0)}, ) es un grupo conmutativo de elemento neutro (1, 0),en el que el simtrico de (a, b) es

a

a2 + b2,b

a2 + b2

Como consecuencia, (R R, +, ) es un cuerpo conmutativo al que denom-inaremos cuerpo de los nmeros complejos y designamos porC. Un nmerocomplejo es un elemento de C, o lo que es lo mismo, un par ordenado denmeros reales.

Identificamos el nmero real a con el nmero complejo (a, 0), pues la apli-cacin

f : R Ca 7 (a, 0)

es un homomorfismo inyectivo entre (R, +, ) y (C, +, ). En efecto,

f(a + b) = (a + b, 0)

= (a, 0) + (b, 0)

= f(a) + f(b)

f(a b) = (ab, 0)

= (a, 0) (b, 0)

= f(a) f(b)

yf(a) = f(b) (a, 0) = (b, 0) a = b

Como consecuencia, podemos considerar R como un subcuerpo de C, y entonceses natural afirmar que C es una extensin de R.

Puesto que(0, 1) (0, 1) = (1, 0)

es natural escribir (0, 1) = i, cumplindose entonces que i2 = 1, y, por tanto,

1 posee raz cuadrada en C. Adems, si b es un nmero real, entonces se cumple

(0, 1) (b, 0) = (0, b)

y podemos escribir ib en lugar de (0, b). De este modo, si z es el nmero complejo(a, b), entonces podemos escribirlo de manera nica bajo la forma

(a, b) = (a, 0) + (0, b)

y, en consecuencia, es natural escribir z como a + ib. Esta manera de representarun nmero complejo se llama forma binmica. Entonces, a a se le llama partereal de z y se escribe Re z = a, y a b se le llama parte imaginaria de z yse escribe Im z = b. Si b = 0, se dice que z es un nmero imaginario puro



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ysi a =0,sediceque z es un nmero real.Alnmerocomplejo i se le llama unid-ad imaginaria. Las operaciones (22.7) y (22.8), pueden escribirse en forma binmica,

operando como en el caso de nmeros reales, sin ms que tener en cuenta que i2= 1.

(a + ib) + (c + id) = (a + b) + i(b + d)

(a + ib) (c + id) = (ac bd) + i(ad + bc)

Observacin. El conjuntoC de los nmeros complejos puede ordenarse de variasmaneras. Sin embargo, no existe relacin de orden total sobreC de manera queC seauncuerpo ordenado(como lo esR), pues, 1=12 y1= i2son cuadrados enC y entonces los dos deberan ser mayores que cero, no siendonulos. Ahora bien, 1 y 1 son opuestos y, por tanto, no es posible que los dossean estrictamente mayores que cero.

El cuerpo de los nmeros complejos dotado con las dos operaciones siguientes

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)

y

(a + ib) = a + ib ( R)es un espacio vectorial sobre R. Es inmediato comprobarlo. Adems, (1, i) for-man una base de este espacio, pues son generadores

a + ib = a 1 + b i

Adems , son linealmente independientes

1 + i = 0 + 0 i = = 0

La geometra ordinaria del plano proporciona una imagen adecuada del cuer-po de los nmeros complejos. Consideremos en el plano eucldeo un origen O yunos ejes rectngulares Ox y Oy. Sean e1, e2 los vectores de la base ortonormalcorrespondiente. Entonces, entre el espacio vectorial de los vectores libres delplano y el cuerpo de los nmeros complejos, considerado como espacio vectorialreal de base (1, i), existe un isomorfismo definido por la aplicacin

x + yi 7 xe1 + ye2

Al vector v = xe1 + ye2 corresponde un representante de origen O y extremo elpunto P de coordenadas (x, y) que se llama afijo del nmero complejo x + iy.En forma breve, el vector imagen de z = x + iy es el vector



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UNIDAD I.LOS NMEROS COMPLEJOS

v = OP, siendo P el afijo de z. De este modo, entre el plano eucldeo y el cuerpode los nmeros complejos queda establecida una biyeccin que lo convierte enel plano complejo. Los complejos que son nmeros reales tienen por afijoslos puntos del eje Ox, y los que son nmeros imaginarios puros, los puntosdel eje Oy. Esta es la razn por la cual estos ejes se denominan entonces ejereal y eje imaginario del plano complejo, respectivamente. Sin embargo, estasdenominaciones son un abuso del lenguaje, pues, tanto el eje Oy como el planoOxy estn descritos por puntos de coordenadas reales.

Esta representacin geomtrica de los nmeros complejos permite interpretarfcilmente la adicin de los nmeros complejos: si P y Q son los afi jos de z1 yz2 y se tiene,

OP +OQ = OR

entonces R es el afi jo de z1 + z2, ya que para sumar vectores de origen O bastacon sumar sus componentes respecto de los ejes de coordenadas; obsrvese quez1 + z2 es por tanto la diagonal del paralelogramo que determinan z1 y z2.

En particular, los afijos de los nmeros complejos z y z son dos puntos simtri-cos respecto a O.

Con la representacin geomtrica, aparecen de manera natural los conceptosde mdulo y argumento de un nmero complejo.


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1.3. Valor absoluto de un nmero complejo.

Se llama mdulo de un nmero complejo z = x + iy y se denota por |z| ala norma del vector imagen correspondiente xe1 + ye2, es decir,

|z| = kxe1 + ye2k =p

x2 + y2

De las propiedades de la norma eucldea se deducen enseguida las propiedadesdel mdulo de un nmero complejo:

1. |z| = 0 si y slo si z = 0

2. |zz 0| = |z| |z0|

3. |z + z0| |z| + |z0|

y de este modo la aplicacin

C R+z 7 |z|

es un valor absoluto en C. Podemos entonces llamar a |z| valor absoluto de z,pero la costumbre hace que se prefiera el trmino mdulo.

Se llama argumento de un nmero complejo z = x + iy no nulo y se denotapor arg z, la medida del ngulo que determinan los vectores e1 y xe1 +ye2.

Recordemos que esta medida es un nmero real mdulo 2, es decir, si 0 esuna medida de dicho ngulo, tambin lo son 0 + 2k para k Z. Para evitarambigedades, a menudo es conveniente utilizar el valor principal para elargumento de z, el cual se define mediante 0 < 2.

Si un nmero complejo z 6= 0 tiene mdulo r y argumento , se denominaforma polar o mdulo-argumental de z al par (r, ), representado a menudopor r. De este modo, tenemos

(r, ) = (r0, 0) r = r0 y 0 = + k 2

Dado un nmero complejo z = x + iy no nulo, entonces las siguientes relaciones

r = px2+ y

2


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y

= arctany

x

(x 6= 0)

permiten determinar la forma polar de z. Si x = 0, podemos tomar = /2 siy > 0, y = 3/2 cuando y < 0.

1.4.Formas trigonomtrica y exponencial de un nmero

complejo

Dado un nmero complejo z = (r, ) en forma polar, la siguiente figura

muestra que se cumplen las siguientes relaciones

x = r cos y y = r sin

de manera que cualquier nmero complejo no nulo de mdulo r y argumento se puede escribir como

z = r cos + ir sin

= r(cos + i sin )

que se llama forma trigonomtrica de z. Obsrvese que si z 6= 0 est dado enforma binmica, entonces las siguientes relaciones

r =p

x2 + y2

y

sin =y

px2 + y2 y cos =x

px2 + y2permiten determinar la forma trigonomtrica.

La forma trigonomtrica nos permite dar una interpretacin geomtrica delproducto de dos nmeros complejos. En efecto, si

z1 = r1(cos 1 + i sin 1) y z2 = r2(cos 2 + i sin 2)

entonces

z1z2 = r1r2(cos 1 + i sin 1)(cos 2 + i sin 2)

= r1r2 [(cos 1 cos 2 sin 1 sin 2) + i(cos 1 sin 2 + sin 1 cos 2)]= r1r2 [cos(1 + 2) + i sin(1 + 2)]


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Por tanto,

|z1z2| = |z1| |z2| y arg(z1z2) = arg z1 + arg z2

Este resultado se interpreta de la siguiente manera: el afi jo del producto z1z2se construye como tercer vrtice del tringulo que tenga uno en O, otro enel afi jo de z2 y sea semejante al tringulo que tiene como vrtices homlogosrespectivamente el afi jo de z1, O y el afi jo de e1. Dicho de otro modo, se aplicauna homotecia de centro el origen y razn r2 al tringulo de vrtices O, el afijode z1 y el de e1, y despus un giro de centro el origen y ngulo 2, formndoseel tringulo semejante de vrtices O, el afi jo de z1z2 y el de z2.

De la misma forma se interpretan las relaciones siguientesz1 = |z|1 y arg z1 = arg z

que se obtienen al hacer en (22.9) z1 = z y z2 = z1, y tambin

z1z2 = |z1|

|z2|y arg

z1z2

= arg z1 arg z2

1.5.Teorema de DeMoivre.Clculo de potencias .Es claro que (22.9) se extiende por induccin a un producto de un nmero

finito de nmeros complejos, cumplindose

n

Yi=1

zi =n

Yi=1

|zi| y argn

Yi=1

zi! =n

Xi=1

arg zi

En particular, para n Z tenemos

zn = rn [cos(n) + i sin(n)]

y si, adems r = 1, entonces tenemos la frmula de De Moivre

(cos + i sin )n = cos n + i sin n

Puesto que

ex =Xn0

xn

n!


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para todo x R, podemos escribir formalmente

ei = 1 + i 22! i 3

3!+

4

4!+ i

5

5!

obteniendo

Re ei = 1 2

2!+

4

4! =

Xn0

(1)n(2n)!

2n = cos

y

Im ei = 3

3!+

5

5! =

Xn0

(1)n(2n + 1)!

2n+1 = sin

De este modo, deducimos que

ei = cos + i sin

De aqu, como un nmero complejo z se expresa en forma trigonomtrica como

z = r(cos + i sin )

tenemosz = rei

que se llama forma exponencial del nmero complejo z.

Nmeros complejos conjugados

Con la ayuda de la representacin geomtrica vamos a considerar una trans-formacin de C que deja invariante R, elemento a elemento. Esto resulta de la

simetra respecto del eje real entre afijos

es decir,C C

z = x + iy 7 z = x iyEl complejo z se llama conjugado de z. Es claro que se trata de una biyecciny, adems, transforma la suma y el producto en la suma y producto de losconjugados. Se tiene entonces que

z = z z + z0 = z + z0

zz 0 = zz 0


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Es evidente que

Re z = Re z Im z = Im z

Re z = 12(z + z) Im z =12i(z z)

Tambin es claro que un nmero complejo z es real si y slo si z = z, y esimaginario puro si y slo si z + z = 0. Si z = x + iy, entonces

zz = (x + iy) (x iy)= x2 + y2

es decir, zz es un nmero real positivo. Adems, se cumple

|z| =

zz

y, para todo nmero complejo z 6= 0,

z1 =z

zz=

z

|z|2

En particular, de aqu se deduce que un nmero complejo z es unitario (tienemdulo 1) si y slo si z1 = z.

Ejemplo. Efectuar las siguientes operaciones con nmeros complejos, ex-presando el resultado en forma binmica:

a) (i1)3

i+1 b)5+3i(1+i)2

c) (2 + i)(8 + 5i)i d) 1+i2+i 1+i2+i

Solucin: (a) Expresando z1 = 1 + i en forma polar tenemos

r1 =

2 y 1 = arctan(1) =3

4

Del mismo modo, para z2 = 1 + i tenemos

r2 =

2 y 2 = arctan1 =

4

Por tanto,

z31 = ((

2)3, 3 3

4)

= (22, 94

)

y, en consecuencia,

z31z2

= (2

22

,9

4

4)

= (2, 2)

o bien, en forma binmicaz31z2

= 2


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(b) Tenemos

5 + 3i(1 + i)2

= 5 + 3i(1 i)2

=5 + 3i2i

=5i 3

2

= 32 5

2i

(c) Tenemos

(2 + i)(8 + 5i)i = (11 + 18i)i

=

18 + 11i

(d) Tenemos

1 + i

2 + i1 + i2 + i =

(1 + i)(2 + i)(2 + i)(1 + i)

=3 i3 + i

3 i3 i

=8 + 6i

10

=4

5+

3

5i

Ejemplo Utilizando la frmula de De Moivre, expresar cos5x en trminos desin x y cos x.

Solucin: Segn esta frmula, tenemos

(cos x + i sin x)5 = cos 5x + i sin5x

Por tanto,cos5x = Re(cos x + i sin x)5

Mediante la frmula del binomio de Newton, obtenemos

cos5x = cos5 x 10cos3 x sin2 x + 5 cos x sin4 x

1.6 . Ecuaciones polinmicas .

Un nmero complejo z0 = r0(cos 0 + i sin 0) se llama raz n-sima de unnmero complejo z = r(cos + i sin ) si

(z0)n = z

Por consiguiente, tenemosr0(cos 0 + i sin 0)

n= r(cos + i sin )

(r0)n(cos n0 + i sin n0) = r(cos + i sin )

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y, por tanto,

(r

0

)

n

= r y n

0

(mod2)o de forma equivalente,

r0 = n

r y 0 =

n+

2k

n(k = 0, 1, 2,...,n 1)

Como consecuencia, todo nmero complejo z = r(cos + i sin ) no nulo tiene nraces n-simas

zk =n

r

cos

+ 2k

n+ i sin

+ 2k

n

(k = 0, 1, 2,...,n 1)

Es evidente que se cumple

|zk+1| = |zk| y arg zk+1 arg zk + 2n

(mod2)

y, por tanto, para n > 2, las n races n-simas de un nmero complejo no nuloson los afi jos de los vrtices de un polgono regular de n lados. Estos afi jos seencuentran sobre la circunferencia de centro O y radio n

r.

Observacin. 1. En el caso particular de n = 2, tenemos

z0 =

r(cos

2+ i sin

2)

y

z1 = r cos2

+

+ i sin

2

+

=

r( cos 2 i sin

2)

= z0

es decir, encontramos que las dos races son opuestas y, como consecuen-cia, son los afi jos de dos puntos simtricos respecto al origen.

2. En particular, las races n-simas de la unidad son las soluciones de laecuacin zn = 1. Vienen dadas por la frmula

zk = cos2k

n

+ i sin2k

n

(k = 0, 1, 2,...,n

1)

En este caso el polgono que forman sus afi jos est inscrito en la circun-ferencia de radio 1, siendo uno de sus vrtices el punto z0 = 1.

3. Las races n-simas de un nmero complejo cualquiera son los productosde una de ellas por las races n-simas de la unidad, pues, si u0 es unaraz particular de ordenn dez, yu es una cualquiera de las otras, se tiene

un = un0 = z =

u

u0

n= 1

y el cociente u/u0 es una cualquiera de las races n-simas de la unidad.


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Ejemplo. Calcular5

p1

3i.Solucin:

Expresando z = 1 3i en forma polar, obtenemos|z| = 2 y arg z = arctan(

3) =

5

3

En consecuencia, las races quintas de z vienen dadas por

zk =5

2

cos

5/3 + 2k

5+ i sin

5/3 + 2k

5

(k = 0, 1, 2, 3, 4)

es decir,z1 =

5

2

cos 3 + i sin

3

z2 =

5

2 cos 1115 + i sin1115

z3 =

5

2 cos1715 + i sin

1715

z4 =5

2 cos23

15 + i sin23

15

z5 =52

cos 2915 + i sin2915

Ejemplo. Hallar las races de la ecuacin

(1 + i)z3 2i = 0

Solucin: Es claro que

z3 =2i

1 + i

=2i

1 + i

1 i1

i

=2 + 2i

2= 1 + i

Por tanto, z = 3

1 + i. Para determinar las races cbicas de este complejo,determinamos primero el mdulo y el argumento de z0 = 1 + i. Obtenemos

|z0| =

2 y arg z0 = arctan1 =

4

Por lo tanto, tenemos

zk =3

2cos/4 + 2k

33 + i sin

/4 + 2k

3 (k = 0, 1, 2)es decir,

z1 =3

2 cos 12 + i sin

12

z2 =3

2

cos 912 + i sin912

z3 =

3

2

cos 1712 + i sin1712

Ejemplo. Expresar en forma binmica ei.

Solucin: Puesto que

i = cos

/2 + 2k

2+ i sin

/2 + 2k

2(k = 0, 1)


19/232


obtenemos

i = ( cos 4 + i sin 4 =2

2 + i

2

2cos 54 + i sin

54 =

22 i

22

Por tanto,

ei =

e2

2+i

2

2 = e2

2 ei2

2 = e2

2

cos

22 + i sin

22

e

2

2i

2

2 = e2

2 ei2

2 = e2

2

cos

22 i sin

22

Ejemplo. Dados los nmeros complejos z1 = 1 + i y z = 2 + 3i, cal-cular dos nmeros complejos z2, z3 tales que los afi jos dez1, z2 y z3 formen untringulo equilatero de centro el afi jo dez.

Solucin: Sabemos que los afi jos de las races cbicas de un nmero com-plejo w son los vrtices de un tringulo equilatero inscrito en una circunferenciade centro el origen y radio 3

p|w|. Puesto que nuestro tringulo ha de estar cen-

trado en el afijo dez, deberemos efectuar una traslacin de vector el asociado az. De este modo, se tiene

zi = z +3

w (i = 1, 2, 3)

Como una de las races cbicas de w esz1z, podemos obtener las races cbicasde w multiplicando z1 z por las races cbicas de la unidad. Las races cbicasde la unidad son

u1 = 1

u2 = cos2

3+ i sin 2

3=

1

2+ i

3

2u3 = cos

43 + i sin

43 = 12 i

32

Por tanto, las races cbicas de w son

w1 = 1 2iw2 = (1 2i)

12 + i

32

= 12 +

3 + i

32 + 1

w3 = (1 2i) 12 i

32 = 12

3 + i

32 + 1

y, en consecuencia, los nmeros complejos que buscamos son

z1 = z + w1 = 1 + iz2 = z + w2 =

5

2

+

3 + i3

2

+ 4z3 = z + w3 = 52

3 + i 32 + 4


20/232

Unidad II. Matrices y Determinantes

2.1. Definicin de matriz.Notacin y orden.

Definicion 1.1. Sean m, n Z+. Una matriz real A de orden m por n (m n) es unarreglo bidimensional de numeros reales dispuestos en m filas y n columnas como sigue

A = (aij)mn =

a11 a12 a1na21 a22 a2n

...

.....

...

.

am1 am2 amn

= a11 a12 a1na21 a22 a2n

...

.....

...

.

am1 am2 amn

donde aij R para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}, el cual es llamado componenteij-esima de A.

Para cada i {1, . . . , m} la i-esima fila de A la denotaremos por A(i) y esta dada por

A(i) = ai1 ai2 ainPara cada j {1, . . . , n} la j-esima columna de A la denotaremos por A(j) y esta dada por

A(j) =

a1j

a2j

...

amj

Cuando m = n, diremos que A es una matriz cuadrada de orden n, en este caso, las

componentes a11, a22, . . . , ann forman lo que llamaremos diagonal principal de A.

Cuando m = 1, diremos que A es una matriz fila y cuando n = 1, diremos que A es una

matriz columna.

La notacion A = (aij)mn, significa que A es la matriz de orden m n cuya ij-esima compo-nente es aij para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}.

El conjunto formado por todas las matrices reales de orden mn lo denotaremos porMmn(R).

Operaciones con matrices. Matrices especiales . Operaciones por

filas. Matrices escalonadas. Determinantes


21/232

UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES

Observacion 1.1. Podemos considerar matrices sobre un campo K ,l, por ejem plo K =C, en lugar de matrices reales, en cuyo caso las componentes de las matrices son

elementos de K.

Observacion 1.2. Se debe tener cuidado cuando se usa la notacion (aij)mn, el cambio dendices no significa que se trata de otra matriz, los ndices son mudos, esto es

(aij)mn = (akr)mn = (apq)mn = (aji)mn

Ejemplo 2.1.

1. A =

2 0 5

23

4 1

es una matriz real de orden 23, la componente 2, 1 de A es a2,1 = 23 ,

la fila 2 de A es A(2) =

23

4 1

, la columna 3 de A es A(3) = 5

1

2. B =

1 4 0

5 12 30 2 8

es una matriz cuadrada real de orden 3, las componentes de ladiagonal principal son a1,1 = 1, a2,2 = 12, a3,3 = 8.

3. La matrizIn = (ij)nn, donde ij = 1 si i = j0 si i = j , para cadai, j {1, . . . , n}, es llamada

matriz identidad de orden n, esto es,

In =

1 0 00 1

. . . .......

. . .. . . 0

0 0 1

nn

4. La matriz 0/mn = (ij)mn, donde ij = 0 para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n},es llamada matriz nula de orden m n, es decir

0/mn =

0 0.... ...

0 0

mn


22/232


Cuando m = n, solo escribiremos 0/n en lugar de 0/nn, es decir,

0/n =

0 0....

. . .....

0 0

nn

Definicion 2.2 SeaA Mnn(R). Diremos que A = (aij)nn es

1. Triangular superior si aij = 0 para i, j {1, . . . , n} coni > j.

2. Triangular inferior si aij = 0 para i, j {1, . . . , n} coni < j.

3. Diagonal si aij = 0 para i, j {1, . . . , n} con i = j, es decir, A es triangular superior einferior simult aneamente.

4. Escalar si es diagonal y existe R tal que aii = para i {1, . . . , n}.

Observacion 2.3. Una matriz cuadrada es triangular superior (respectivamente inferior) si y

solo si todas sus componentes bajo (respectivamente sobre) la diagonal principal son iguales a

cero.

Observacion 2.4. Cuando A Mnn(R) es diagonal y las componentes en la diagonal principalson 1, 2, . . . , n R, entonces escribiremos A = diag( 1, 2, . . . , n)

Ejemplo 2.2

1. Para cada n Z+, In y 0/n son matrices escalares, y por lo tanto diagonales y consecuente-mente triangulares superior e inferior.

2. A = 5 4 0 7

0 3 12 50 0 2 1

0 0 0 0

es triangular superior.

3. A =

5 0 0 00 4 0 0

0 1 0 09 13 3 8

es triangular inferior.

2.2.Clasificacin de las matrices.


23/232

Unidad II.Matrices y Determinantes

4. A =

6 0 0 0

0 3 0 00 0 5 0

0 0 0 0

es diagonal, en cuyo caso podemos escribir A = diag(6, 3, 5, 0).

5. A =

8 0 0 0

0 8 0 0

0 0 8 0

0 0 0 8

es escalar, en cuyo caso podemos escribir A = diag(8, 8, 8, 8).

Definicion2 .3 Sean A, BMmn(R). Diremos que A y B son matrices iguales, lo cual

denotaremos por A = B, si la componente ij-esima de A es igual a la componente ij-esima de

B para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}, es decir, si A = (aij)mn y B = (bij)mn,diremos que A y B son iguales si

aij = bij para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}

Observacion 2.5. Notese que para que dos matrices sean iguales, en primer lugar deben ser

del mismo orden.

Ejemplo 2.3 Si A =

5 1 0

6 8 3

; B =

5 7

0 y

2 4

y C =

x 7

0 32 4

, entonces A = Bpues ni siquiera son del mismo orden; B = C si y solo si x = 5 e y = 3.

El siguiente teorema es una consecuencia directa de la definicion de igualdad de matrices, su

demostracion la dejamos como ejercicio.

Teorema.2.1 Sean A, B

Mmn(R). Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes

1. A = B.

2. A(i) = B(i) para cada i {1, . . . , m}.

3. A(j) = B(j) para cada j {1, . . . , n}.

Demostracion. Hacerlo como ejercicio.


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2.3. Operaciones con matrices.

En esta seccion definiremos dos operaciones con matrices que dotaran al conjunto Mmn(R)

de una estructura algebraica conocida como espacio vectorial, dicha estructura sera tratada

en el captulo 2 del presente trabajo.

Definicin 2.4. SeanA, B Mmn(R) conA = (aij)mn yB = (bij)mn. Definiremos lamatrizsuma de A conB, como la matrizA + B Mmn(R) cuyaij-esima componente viene dada poraij + bij para cadai {1, . . . , m} y cadaj {1, . . . , n}, esto es, siA + B = (cij)mn, entoncescij = aij + bij para cadai {1, . . . , m} y cadaj {1, . . . , n}.

Observacion2.6. Para poder sumar dos matrices estas deben ser del mismo orden.

Ejemplo 2.4. Si A = 4 9 0 87 3 5 12

1 0 6 2

y B = 3 9 5 41 13 3 910 4 7 11

, entonces

A + B =

4 9 0 8

7 3 5 121 0 6 2

+

3 9 5 41 13 3 9

10 4 7 11

= 4 + (

3)

9 + 9 0 + 5 8 + (

4)

7 + 1 3 + (13) 5 + 3 12 + 91 + 10 0 + 4 6 + 7 2 + 11

= 1 0 5 4

6 10 8 311 4 1 13

Definicion2.5. Sean A Mmn(R) y R ( es llamado escalar), con A = (aij)mn.Definiremos la multiplicacion de por A (multiplicacion por escalar) como la matriz

A o simplemente A cuyaij-esima componente es aij para cadai {1, . . . , m} y cadaj

{1, . . . , n}, esto es, siA = (bij)mn, entonces bij = aij para cadai {1, . . . , m} y cadaj {1,. . . , n}.

Observacion2.7. La notacion de multiplicacion por escalar es A o A y no A ni A, se debe colocar primero el escalar luego la matriz.

Observacion 2.8. Toda matriz escalar de orden n es un multiplo escalar de In, ms an, A

Mnn(R) es una matriz escalar si y solo si existe R tal que A = In.


25/232


Ejemplo 2.5. SeaA la matriz del ejemplo 2.4, entonces

2 A = 2

4 9 0 87 3 5 12

1 0

6 2

=

2 4 2(9) 2 0 2 82(7) 2 3 2 5 2(12)

2

1 2

0 2(

6) 2

2

=

8 18 0 16

14 6 10 242 0 12 4

Teorema 2.2 Sean A,B,CMmn(R) y , Rcualesquiera. Entonces

1. A + B = B + A (conmutatividad de la suma).

2. (A + B) + C = A + (B + C) (asociatividad de la suma).

3. A + 0/mn = A = 0/mn +A (neutro aditivo).

4. Existe una matriz D Mmn(R) tal que A + D = 0/mn = D + A (opuesto aditivo).

5. (A + B) = A + B (distributividad de la multiplicacion por escalar respecto ala suma

matricial).

6. ( + )A = A + A (distributividad de la multiplicacion por escalar respectoa la suma

escalar).

7. (A) = ()A = (A) (asociatividad de la multiplicacion por escalar).

8. 1 A = A (neutro de la multiplicacion por escalar).

Demostracion. Sean A = (aij)mn, B = (bij)mn y C = (cij)mn.

1. Hagamos A + B = E = (eij)mn y B + A = F = (fij)mn. Por definicion de suma de

matrices, tenemos que para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}

eij = aij + bij = bij + aij = fij

Luego A + B = E = F = B + A (definicion de igualdad de matrices).


26/232


2. Hagamos A + B = E = (eij)mn, (A + B) + C = E+ C = F = (fij)mn, B + C = G =

(gij)mn y A + (B + C) = A + G = H = (hij)mn. As que por definicion de suma de

matrices

fij = eij + cij = (aij + bij) + cij = aij + (bij + cij) = aij + gij = hij

De donde (A + B) + C = F = H = A + (B + C) (definicion de igualdad de matrices).

3. Recordemos que 0/mn = (ij)mn donde ij = 0 para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}. As que si A + 0/mn = E = (eij)mn, entonces, por definicion de suma dematrices, para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}

eij = aij + ij = aij + 0 = aij

Por lo tanto A + 0/mn = E = A y por conmutatividad

A + 0/mn = A = 0/mn +A

4. Definamos D = (dij)mn con dij = aij para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}.Hagamos A + D = E = (eij)mn. Entonces, por definicion de suma de matrices, para cada

i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}

eij = aij + dij = aij + (aij) = 0

Por lo tanto A + D = E = 0/mn y por conmutatividad

A + D = 0/mn = D + A

5. Hagamos A + B = E = (eij)mn, (A + B) = E = F = (fij)mn, A =G = (gij)mn,

B = H = (hij)mn y A + B = G + H =P = (pij)mn. Entonces, para cada

i

{1, . . . , m

}y cada j

{1, . . . , n

}tenemos que

fij = eij (definicion de multiplicacion por escalar)

= (aij + bij) (definicion de suma de matrices)

= gij + hij (definicion de multiplicacion por escalar)

= pij (definicion de suma de matrices)

Luego

(A+B) = F = P = A+


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6. Hagamos ( + )A = E = (eij)mn, A = F = (fij)mn, A = G = (gij)mn

F + G = H = (hij)mn. En consecuencia, para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}se tiene que

eij = (+ )aij (definicion de multiplicacion por escalar)

= aij + aij

= fij + gij (definicion de multiplicacion por escalar)

= hij (definicion de suma de matrices)

De donde

E = H = A + A

7. Hagamos A = E = (eij)mn, E = F = (fij)mn y ()A = G =(gij)mn.

As que, por definicion de multiplicacion de por escalar, para cada i {1, . . . , m} y cadaj {1, . . . , n} obtenemos

fij = eij = ()A= (aij) = ()aij = gij

Luego (A) = F = G = ()A y en consecuencia

(A) = ()A = ()A

Por lo tanto

(A) = ()A = (A)

8. Hagamos 1 A = E = (eij)mn. As que al usar la definicion de multiplicacion por escalar,se tiene que para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}

eij = 1 aij = aij

En consecuencia

1 A = E = A


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2. Para cada matriz A Mmn(R), existe una unica matriz D Mmn(R) tal que A + D =0/mn = D + A, tal matriz D es llamada matriz opuesta de A y se denota porA.

Demostracion. La parte 3 del teorema 1.2 garantiza que la matriz nula 0/mn satisface que para

cada A Mmn(R) se cumple que A + 0/mn = A = 0/mn +A. Ademas, la existencia de la matrizD es garantizada en la parte 4 del mismo teorema. Solo faltara probar la unicidad de ambas

matrices.

1. Supongamos que P Mmn(R) es tal que A + P = A = P + A para cada A Mmn(R),luego

P = P + 0/mn (por la parte 3 del teorema 1.2)

= 0/mn (hipotesis)

2. Sea A Mmn(R) cualquiera. Supongamos que existen D, EMmn(R) tales que

A + D = 0/mn = D + A (2.1)

A + E = 0/mn = E+ A (2.2)

En consecuencia

D = D + 0/mn (teorema 1.2 parte 3)

= D + (A + E) (por la ecuacion 1.2)

= (D + A) + E (teorema 1.2 parte 2)

= 0/mn +E (por la ecuacion 1.1)

= E (teorema 1.2 parte 3)

Teorema 2.4. Sean A,B,C Mmn(R) tales que A + B = A + C. Entonces B =C.

Demostracion. Hacer como ejercicio.

28


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2. 0/mn = 0/mn.

3. (1)A = A.

4. Si A = 0/

m

n, entonces = 0 o A = 0/

m

n.

Demostracion.

1. Sabemos que

0 A + 0/mn = 0 A (por que?)

ademas

0 A = (0 + 0)A = 0 A + 0 A

as que

0 A + 0 A = 0 A + 0/mny por el teorema 1.4, se tiene que 0 A = 0/mn

2. Por un lado

0/mn = 0/mn + 0mn

por otro lado

0/

mn = (0/

mn + 0/

mn) = 0/

mn + 0/

mn

luego

0/mn + 0/mn = 0/mn + 0/mny nuevamente, usando el teorema 1.4, tenemos que 0/mn = 0/mn

3. Basta probar que A + (1)A = 0/mn, y por unicidad, obtendramos el resultado. Veamos

A + (1)A = 1 A + (1)A (teorema 2.2 parte 8)= (1 + (1))A (teorema 2.2 parte 6)= 0 A= 0/mn (por la parte 1)

Luego, por unicidad de la matriz opuesta, (1)A = A


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4. Supongamos que A = 0/mn. Si = 0, no hay nada que probar, supongamos entonces que

= 0, as queA = 1 A (teorema 2.2 parte 8)

= (1)A

A = 1( A) (teorema 2.2 parte 7) 1 0

(por hipotesis)

= 0 (por la parte 2)

Con lo cual, se concluye la prueba.

Definicion 2.6. Sean A, B Mmn(R). Definiremos A B = A + (B).

Ejemplo 2.6. Si A =

4 12 06 5 3

6 1 27 0 1

y B =

5 10 66 1 114 0 5

2 6 1

, entonces

A B = A + (B) =

4

12 0

6 5 36 1 27 0 1

+

5

10

6

6 1 114 0 5

2 6 1

=

4 12 06 5 3

6 1 27 0 1

+

5 10 66 1 114 0 5

2 6 1

=

1 2 612 6 14

2 1 39 6 2

Producto de Matrices

A diferencia de las dos operaciones definidas en la seccion anterior, la multiplicacion de matrices

no se define de manera natural, como veremos luego, no por ello deja de ser importante dicha

operacion.


31/232


Definicin.2.7. SeanA = (aij)mn Mmn(R) yB = (bjk)np Mnp(R). Definiremos elpro-ducto de A por B como la matriz C = (cik)mp Mmp(R), denotada por AB o A B, tal quepara cadai {1, . . . , m} y cadak {1, . . . , p} se tiene que

cik =n

j=1

aijbjk = ai1b1k + ai2b2k + + ainbnk

Observacion 2.9Notese que para poder definir el producto AB, la cantidad de columnas d

A debe coincidir con la cantidad de filas de B, ademas, la matriz resultante, es una matriz cuya

cantidad de filas coincide con la cantidad de filas de A y su cantidad de columnas es igual a la

cantidad de columnas de B.

Ejemplo 2.7. Sean A = 2 1 00 3 1 y B = 3 1 0

2 1 24 2 3

. EntoncesAB = A B

=

2 3 + (1)2 + 0(4) 2 1 + (1)(1) + 0(2) 2 0 + (1)(2) + 0 3

0 3 + 3 2 + 1(4) 0 1 + 3(1) + 1(2) 0 0 + 3(2) + 1 3

=

6 2 + 0 2 + 1 + 0 0 + 2 + 00 + 6

4 0

3

2 0

6 + 3

=

4 3 2

2

5

3

Observacion 2.10. Notese que en el ejemplo anterior, el producto BA no esta definido, esto

nos dice que el producto de matrices no es conmutativo, mas aun, a pesar de que ambosproductos

estan definidos, AB yBA, no necesariamente son ambos del mismo orden, ademas, siendo ambos

productos del mismo orden, en cuyo caso necesariamente A yB deben ser cuadradas y del mismo

orden, las matrices AB y BA no tienen por que ser iguales, cuando esto ocurre, es decir, cuando

AB = BA, se dice que A y B son matrices que conmutan.

A continuacion enunciaremos un teorema que expone las principales propiedades del producto

de matrices

Teorema 2.6. Sean A Mmn(R); B, C Mnp(R); C Mpq(R) y R. Entonces

1. (AB)D = A(BD) (asociatividad del producto de matrices).

2. A(B + C) = AB +AC (distributividad a izquierda del producto de matrices).


32/232


3. (B + C)D = BD + CD (distributividad a derecha del producto de matrices).

4. (AB) = (A)B = A(B) (asociatividad del producto de matrices y la multiplicacion por

escalar).

5. ImA = A = AIn (neutros del producto de matrices).

6. B 0/pq = 0/nq y 0/mn B = 0/mp.

Demostracion. Sean A = (aij)mn; B = (bjk)np; C = (cjk)np y D = (dkl)pq.

1. Hagamos AB = E = (eik)mp; (AB)D = ED = F = (fil)mq; BD = G = (gjl)nq y

A(BD) = AG = H = (hil)mq. Entonces, usando la definicion de producto matricial, para

cada i {1, . . . , m} y cada k {1, . . . , p}

eik =n

j=1

aijbjk

para cada j {1, . . . , n} y cada l {1, . . . , q}

gjl =

pk=1

bjkdkl

y para cada i {1, . . . , m} y cada l {1, . . . , q}

fil =

pk=1

eikdkl; hil =n

j=1

aijgjl

Luego

fil =

pk=1

eikdkl =

pk=1

nj=1

aijbjk

dkl =

pk=1

nj=1

aijbjkdkl =n

j=1

pk=1

aijbjkdkl

=n

j=1

aij

pk=1

bjkdkl = nj=1

aijgjl = hil

Por lo tanto, usando la definicion de igualdad de matrices

(AB)D = F = H = A(BD)


33/232


2. Hagamos B + C = E = (ejk)np; A(B + C) = AE = F = (fik)mp; AB = G =(gik)mp;

AC = H = (hik)mp y AB + AC = G + H = R = (rik)mp. Entonces, para cada i

{1, . . . , m

}y cada k

{1, . . . , p

}fik =

nj=1

aijejk (definicion de producto de matrices)

=n

j=1

aij(bjk + cjk) (definicion de suma de matrices)

=n

j=1

(aijbjk + aijcjk) =n

j=1

aijbjk +n

j=1

aijcjk

= gik + hik (definicion de producto de matrices)

= rik (definicion de suma de matrices)

En consecuencia

A(B + C) = F = R = AB + AC

3. Analogo a la demostracion de la parte 2.

4. Sean AB = E = (eik)mp; (AB) = E = F = (fik)mp; A = G =(gij)mn y ( A)B =

GB = H = (hik)mp. Entonces, para cada i {1, . . . , m} y cada k {1, . . . , p}

fik = eik(definici on eee multiplicaci ooon por escalar)

=

nj=1

aijbjk (ddd finicion de pr ducto de matrices)

=n

j=1

(aijbjk) =n

j=1

(aij)bjk

=n

j=1

gijbjk (definicion de multiplicacion por escalar)

= hik (definicion de producto de matrices)

De donde (AB) = F = H = (A)B. De manera analoga se prueba que (AB) = A(B),

as que

(AB) = (A)B = A(B)

(2.3)


34/232


Hagamos AIn = E = (eik)mn. Entonces, para cada i {1, . . . , m} y cada k {1, . . . , n}

eik

=n

j=1 aijjk (definicion de producto de matrices)= ai11k + + ai(k1)(k1)k + aikkk + ai(k+1)(k+1)k + + ainnk= ai1 0 + + ai(k1) 0 + aik 1 + ai(k+1) 0 + + ain 0 (por 1.3)= aik

Por lo tanto AIn = E = A, analogamente puede probarse que ImA = A, en consecuencia

AIn = A = ImA

Ejercicio 2.1. Pruebe que si A Mmn(R) y B Mnp(R), entonces

1. AB =

AB(1) AB(2) AB(p)

(desarrollo por columnas del producto AB), es decir,

la k-esima columna de AB, que es (AB)(k), es igual a A por la k-esima columna de B,

AB(k)

, para cada k {1, . . . , p}.

2. AB =

A(1)B

A(2)B....

A(m)B

(desarrollo por filas del producto AB), es decir, la i-esima fila de AB,

que es (AB)(i), es igual a la i-esima fila de A por B, A(i)B, para cada i {1, . . . , m}.

Definicion 2.8. Una matriz N Mnn(R) es llamada nilpotente si existe p N tal queNp = 0/n, ademas, si p es tal que N

p1 = 0/n, diremos que N es nilpotente de orden p.


35/232


Observacion 2.11. La matriz nula de orden n es nilpotente y conveninos en que es nilpotente

de orden 0.

Ejemplo 2.8. Las siguientes matrices son nilpotentes

N1 =

1 1 0 01 0 1 01 0 1 01 0 1 0

; N2 =

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

N1 es de orden 3 y N2 es de orden 4 (Probarlo como ejercicio)

Transposicion de MatricesDefinicion 2.9. SeaA = (aij)mn Mmn(R). Definiremos la transpuesta o traspuesta deA como la matriz AT = (bji)nm Mnm(R) tal que

bji = aij para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}

Ejemplo 2.9. Sea

A =

2 5 0 73 0 1

6

5 12 2 9

Entonces

AT =

2 3 55 0 12

0 1 27 6 9

Observacion 2.12. Notese que las filas de A pasan a ser las columnas de AT y las columnas

de A pasan a ser las filas de AT, mas propiamente

A(i)T

= AT(i)

para cada i {1, . . . , m}

A(j)T

= AT(j)

para cada j {1, . . . , n}

Teorema2.7. Sean A, B Mmn(R), C Mnp(R) y R. Entonces


36/232


1. ATT

= A (propiedad de involucion de la transposicion de matrices)

2. (A + B)T = AT + BT (transpuesta de la suma)

3. (A)T = AT (transpuesta de la multiplicacion por escalar)

4. (AC)T = CTAT (transpuesta del producto matricial)

5. (In)T = In y (0/mn)

T = 0/nm

Demostracion. Sean A = (aij)mn; B = (bij)mn y C = (cjk)np.

1. Hagamos AT = D = (dji)nm y ATT

= DT = E = (eij)mn. Entonces, para cada

i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}, por definicion de transpuesta

eij = dji = aij

Luego

ATT

= E = A

2. Sean A + B = D = (dij)mn; (A + B)T = DT = E = (eji)nm; A

T = F = (fji)nm;

BT = G = (gji)nm y AT+BT = F+G = H = (hji)nm. Entonces, para cada i {1, . . . , m}

y cada j {1, . . . , n}

eji = dij (definicion de transpuesta)

= aij + bij (definicion de suma de matrices)

= fji + gji (definicion de transpuesta)

= hji (definicion de suma de matrices)

Por lo tanto

(A + B)T = E = H = AT + BT

3. Hagamos A = D = (dij)mn; (A)T = DT = E = (eji)nm; A

T = F = (fji)nm;

y AT = F = G = (gji)nm. Entonces, para cada i {1, . . . , m} y cada j {1, . . . , n}

eji = dij (definicion de transpuesta)

= aij (definicion de multiplicacion por escalar)

= fji (definicion de transpuesta)

= gji (definicion de multiplicacion por escalar)


37/232


As que

(A)T = E = G = AT

4. Sean AC = D = (dik)mp; (AC)T = DT = E = (eki)pm; C

T = F = (fkj)pn; AT =

G = (gji)nm y CTAT = F G = H = (hki)pm. Entonces, para cada i {1, . . . , m} y cadak {1, . . . , p}

eki = dik (definicion de transpuesta)

=n

j=1

aijcjk (definicion de producto)

=n

j=1

gjifkj (definicion de transpuesta)

=n

j=1

fkjgji = hki (definicion de producto)

De donde

(AC)T = E = H = CTAT

Definicion 2.10. SeaA Mnn(R). Diremos que

1. A es simetrica si AT = A.

2. A es antisimetrica si AT = A.

Ejemplo 2.10.

1. In es simetrica para todo n N.

2. 0/n es simetrica y antisimetrica para todo n N existe alguna otra matriz que sea simetricay antisimetrica simultaneamente?

3. La matriz

A =

0 5 7 65 0 4 87 4 0 12

6 8 12 0


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es antisimetrica pues

AT =

0 5 7 65 0 4 87

4 0

12

6 8 12 0

= A

4. La matriz

A =

5 9 3 09 2 1 13

3 1 0 70 13 7 3

es simetrica ya que

AT =

5 9 3 09 2 1 13

3 1 0 70 13 7 3

= A

Teorema 2.8. SeaA Mnn(R). Entonces

1. A es simetrica si y solo si aij = aji para cualesquiera i, j {

1, . . . , n}

.

2. A es antisimetrica si y solo si aij = aji para cualesquierai, j {1, . . . ,n}.

3. Si A es antisimetrica, entonces aii = 0 para cualquiera i {1, . . . , n}.

Demostracion. Ejercicio!

2.4 Operaciones Elementales por Filas.Escalonamientode una matriz.

Las operaciones elementales por filas son herramientas usadas con mucha frecuencia en

la resolucion de los sistemas de ecuaciones lineales al igual que en calculo de la inversa

de una matriz cuadrada. Estas operaciones las usaremos a lo largo de todo el curso, por ello

deben ser manejadas con la mayor perfeccion posible por parte del estudiante que desee aprender

la materia. Comencemos por definir dichas operaciones.Denotemos por Fm(R) el conjunto formado por todas las matrices reales con m filas.


39/232


Definicion 2.11. Una operacion elemental por filas (OEF) es una funcion f : Fm(R) Fm(R) la cual es de uno de los siguientes tipos

OEF Tipo 1. Si f(A) = B, entonces existen s

{1, . . . , m

}y

= 0 tales que B(i) = A(i)

para cada i {1, . . . , m}, con i = s, y ademas B(s) = A(s), esto es, una de lasfilas

de A es multiplicada por un escalar no nulo y el resto de las filas permanecen iguales.

f(A) = f

A(1)

...

A(s1)

A(s)

A(s+1)....

A(m)

=

A(1)....

A(s1)

A(s)

A(s+1)...

A(m)

= B

Por comodidad, en lugar de escribir B = f(A), escribiremos AFs Fs

B.

OEF Tipo 2. Si f(A) = B, entonces existen s, t {1, . . . , m}, con s = t, y R talesque B(i) = A(i) para cada i {1, . . . , m}, con i = s, y ademas B(s) = A(s) + A(t),es decir, a una fila de A le sumamos un multiplo escalar de alguna otra fila de A,

distinta de la primera, dejando el resto de las filas intactas.

f(A) = f

A(1)

...

A(s1)

A(s)

A(s+1)....

A(m)

=

A(1)

...

A(s1)

A(s) + A(t)

A(s+1)....

A(m)

= B

Al igual que antes, en lugar de escribir B = f(A), escribiremos AFs Fs +Ft

B.

OEF Tipo 3. Si f(A) = B, entonces existen s, t {1, . . . , m} tales que B(i) = A(i) paracada i {1, . . . , m}, con i = s e i = t y ademas B(s) = A(t) y B(t) = A(s), dicho deotra manera, intercambiamos dos filas de A y dejamos el resto sin alterar.


40/232


f(A) = f

A(1)....

A(s1)

A(s)

A(s+1)....

A(t1)

A(t)

A(t+1)....

A(m)

=

A(1)

...

A(s1)

A(t)

A(s+1)....

A(t1)

A(s)

A(t+1)

...

A(m)

= B

Nuevamente, en lugar de escribir B = f(A), escribiremos AFs Ft

B.

Observacion 1.1.3. Notese que si A Mmn(R) y f : Fm(R) Fm(R) es una OEF,entonces

f(A) Mmn(R).

Ejercicio 2.1.3. Pruebe que toda OEF f : Fm(R) Fm(R) es una funcion invertible y quesu

inversa f1 : Fm(R) Fm(R) es tambien una OEF del mismo tipo que f.

Ejemplo 2.1.1. Sea

A =

2 4 56 3 4

2 1 86 21 15

Entonces

A =

2 4

5

6 3 4

2 1 86 21 15

F1 F3

(OEF 3)

2

1 8

6 3 4

2 4 56 21 15

F4 13F4

(OEF 1)

2

1 8

6 3 4

2 4 52 7 5

F3 F3 + F1(OEF 2)

2 1 86 3 4

0 3 3

2 7 5

= B


41/232


Observacin 2.14. Se pueden aplicar ms de dos operaciones por filas en un solo paso, lo nico

que debemos cuidar es no transformar, en el mismo paso, una fila ms de una vez y no transform-

ar, en el mismo paso, una fila que va ser usada para transformar a otra(s).

Observacin 2.15. De manera anloga a como se definieron las operaciones elementales por

filas, pueden definirse operaciones elementales por columnas (OEC), sin embargo, estas ltimas

slo se usarn para el clculo de determinantes y no para la resolucin de sistemas de ecuaciones

lineales ni para hallar la inversa de una matriz cuadrada, en estos ltimos dos problemas slo

usaremos las operaciones elementales por filas.

Definicion 2.12. SeaA = (aij)mnMmn(R). Diremos que A es una matriz

Escalonada

1. Si todas las filas nulas de A, si las hay, estan ubicadas en las timas posiciones, esto es,

siA(i) es una fila no nula de A, entonces A(s) tambin es no nula para cada1 s < i.2. SiA(i) yA(i+1) son dos filas no nulas de A, entonces la primera componente no nula de

A(i) (contada de izquierda a derecha) est mas a la izquierda de la primera compon-

ente no nula de A(i+1), es decir, sij, k

{1, . . . , n

}son tales que aij

= 0; a(i+1)k

= 0 y

ais = 0 = a(i+1)t para cada 1 s < j y cada 1 t < k, entonces j < k.

Reducida por Filas (RF)

1. Si A(i) es una fila no nula de A, entonces la primera componente no nula de A(i) es

igual a 1 (uno), dicha componente es llamada pivote, es decir, si j {1, . . . , n} estal que aij = 0 y ais = 0 para cada 1 s < j, entonces aij = 1.

2. SiA(j) es una columna de A que tiene un pivote, entonces el resto de las componentes

de A(j) son iguales a 0 (cero), esto es, si i {1, . . . , m} es tal que aij = 1 y ais = 0para cada 1 s < j, entonces akj = 0 para cada k {1, . . . , m} conk = i.

Escalonada Reducida por Filas (ERF) si es escalonada y reducida por filas simultanea

mente.

Ejemplo 2.12.


42/232


1. Para cualesquiera m, n Z+, In y 0/mn son matrices escalonadas reducidas por filas.

2. E =

2 1 3 8 30 5 1 6 40 0 0 8 70 0 0 0 0

es escalonada pero no es reducida por filas.

3. R =

1 0 0 7

0 0 0 0

0 0 1 90 0 0 6

0 1 0 1

es reducida por filas pero no es escalonada.

4. F =

1 0 5 0 80 1 3 0 10 0 0 1 20 0 0 0 0

0 0 0 0 0

es escalonada reducida por filas.

Ejercicio 2.4. Sea A Mmn(R). Pruebe que:

1. Si A es una matriz escalonada, entonces la cantidad de filas no nulas de A es, a lo sumo,

el mnimo entre m y n.

2. SiA es una matriz RF, entonces la cantidad de pivotes de A es, a lo sumo, el mnimo entre

m y n.

Ejercicio 2.5. Pruebe que si A Mnn(R) es una matriz escalonada, entonces A es triangularsuperior.

Definicion 2.13. Sean A, B Mmn(R). Diremos que B es equivalente por filas a A siexisten OEF f1, f2, . . . , f r : Fm(R) Fm(R) tales que B = (f1 f2 fr)(A)

Ejemplo 2.13. Consideremos las matrices A y B del ejemplo 1.11. Entonces B es equivalente

por filas a A (por que?).

Teorema 2.9. Sean A,B,CMmn(R). Tenemos que


43/232


1. A es equivalente por filas a A.

2. Si B es equivalente por filas a A, entonces A es equivalente por filas a B.

3. SiC es equivalente por filas a B yB es equivalente por filas a A, entonces C es equivalente

por filas a A.

Demostracion. Ejercicio!

Observacion 2.16. La parte 2 del teorema 2.9, nos permite decir A y B son equivalentes por

filas en lugar de B es equivalente por filas a A o A es equivalente por filas a B.

Teorema 2.10. Toda matriz A

Mmn(R) es equivalente por filas a

1. Una matriz escalonada.

2. Una matriz reducida por filas.

3. Una unica matriz escalonada reducida por filas, la cual llamaremos la forma escalonada

reducida por filas (FERF) de A.

Demostracion.

Observacion 2.17. A Mnn(R) es equivalente por filas a In si y solo si In es la FERF de A.

El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento a seguir para hallar la FERF de una matriz.

Ejemplo 2.14. Hallar la FERF de

A =

6 1 15 2 13

1 0 2 1 30

3

9 0 9

7 1 11 3 10

Solucion.

A =

6 1 15 2 131 0 2 1 3

0 3 9 0 97 1 11 3 10

F1 F2

1 0 2 1 36 1 15 2 130 3 9 0 97 1 11 3 10


44/232


F1 F1

1 0 2 1 36 1 15 2 130 3 9 0 9

7 1 11 3 10

F2 F2 6F1

F4 F4 7F1

1 0 2 1 30 1 3 4 50 3 9 0 9

0 1 3 4 11

F2 F2

1 0 2 1 30 1 3 4 5

0 3 9 0 90 1 3 4 11

F3 F3 + 3F2F4 F4 F2

1 0 2 1 30 1 3 4 5

0 0 0 12 24

0 0 0 8 16

F3 112F3

1 0 2 1 30 1 3 4 5

0 0 0 1 2

0 0 0 8 16

F1 F1 F3

F2 F2 4F3F4 F4 + 8F3

1 0 2 0 10 1 3 0 30 0 0 1 2

0 0 0 0 0

As que la FERF de A es

C =

1 0 2 0 10 1 3 0 30 0 0 1 2

0 0 0 0 0

Definicion 2.14. Una matriz E Mnn(R) es llamada matriz elemental si existe una OEFf : Fn(R) Fn(R) tal que E = f(In), es decir, E se obtiene de In por medio de una unicaOEF.

Ejemplo 1.15.

1. E1 =

1 0 0 0

0 1 0 0

5 0 1 00 0 0 1

es elemental, pues

I4 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

F3 F3 5F1

1 0 0 0

0 1 0 0

5 0 1 00 0 0 1

= E1


45/232

.UNIDAD II. MATRICES Y DETERMINANTES

2. E2 =

1 0 0

0 4 0

0 0 1

es elemental, ya que

I3 =

1 0 00 1 00 0 1

F2 4F2 1 0 00 4 00 0 1

= E2

3. E3 =

1 0 0 0 0

0 0 0 0 1

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 1 0 0 0

es elemental, dado que

I5 =

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

F2 F5

1 0 0 0 0

0 0 0 0 1

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 1 0 0 0

= E3

Teorema 2.11. Sean A Mmn(R), B Mnp(R) y f : Fm(R) Fm(R) una OEF. Entonces

1. f(AB) = f(A)B.

2. (f(A))(j) = f A(j)

para cada j {1, . . . , n} de donde

f(A) =

f

A(1)

f A(2) f A(n)

es decir, la fila j-esima de f(A) es igual a f aplicada a la j-esima fila de A.

Otra consecuencia del mismo teorema, en conjuncion con el corolario anterior,es la siguiente.

Corolario 2.13. Sean A, B Mmn(R) dos matrices equivalentes por filas.Entonces existen matrices elementales E1, E2, . . . , E r Mmm(R) tales que B =E1E2

ErA

45

2.5. Inversa de una matriz


46/232

As que la unica solucion del sistema homogeneo Bx = 0/n1 es la trivial, y en virtud del teorema

1.22, B es invertible. Ademas

A = AIn (teorema 1.6 parte 5)

= A(BB1) (definicion de matriz inversa)

= (AB)B1 (teorema 1.6 parte 1)

= InB1 (por hipotesis)

= B1 (teorema 1.6 parte 5)

Por lo tanto BA = In (definicion de inversa) y como consecuencia de la parte 1 del teorema 3.20

A1 = (B1)1 = B.

Observacion 3.22. El teorema 1.23 nos permite garantizar que A1 = B solo con probar que

AB = In o BA = In.

Ejercicio 3.7. Sean A, B Mnn(R). Pruebe que si AB es invertible, entonces A y B tambien

son invertibles

2.6. Definicin de determinante de una matriz

En esta seccion trataremos los determinantes y algunas de sus propiedades, en primer lugar

definiremos los determinantes de orden 2, continuando luego con los determinantes de

orden 3, para finalmente definir los determinantes de orden n.

Definicion 2.17. SeaA =

a11 a12

a21 a22

M22(R). Definiremos el determinante de A, como

el numero real det(A) = |A|, dado por

det(A) = |A| = a11 a12

a21 a22

= a11a22 a12a21

este tipo de determinante se suele llamar determinante de orden 2.

Ejemplo 2.22. Hallar det(A) para A =

6 5

7 6

46


47/232


Solucion. det(A) = 6 57 6 = (6)6 5(7) = 36 + 35 = 1

Ejercicio 2.8. Pruebe que A =

a11 a12a21 a22

M22(R) es invertible si y solo si det(A) = 0.

Ademas, si A es invertible, entonces A1 =1

det(A)

a22 a12

a21 a11

Definicion 2.18. Dada la matriz

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

M33(R)

Definiremos el determinante de A, denotado por det(A) o |A|, como

det(A) = |A| =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11 a22 a23

a32 a33

a12

a21 a23a31 a33

+ a13

a21 a22a31 a32

este tipo de determinante es llamado determinante de orden 3.

Observacion 2.23. Notese que estamos definiendo el determinante de orden 3 en funcion de

determinantes de orden 2.

Ejemplo 2.23. Hallar det(A) para A =

2 3 1

6 1 5

7 0 6

Solucion.

det(A) = |A| =

2 3 16 1 5

7 0 6

= 2 1 5

0 6

(3) 6 5

7 6

+ (1) 6 1

7 0

= 2(6 0) + 3(36 + 35) (0 + 7) = 2


48/232


Observacion 2.24. Una forma muy sencilla recordar la formula de determinantes de orden 3

es la siguiente

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23

a13a22a31 a23a32a11 a33a12a21

a11 a12 a13

a21 a22 a23

no es parte del determinante, es solo para

ayudar a recordar la formula

Los productos generados por las flechas rojas () se colocan con signo positivo, los que son

generados por las flechas azules () se colocan con signo negativo.

Puede verificar que la igualdad anterior es cierta. Tambien se puede hacer el calculo si en lugar

de colocar las dos primeras filas al final, se colocan las dos ultimas filas en la parte superior, las

dos primeras columnas a la derecha o las dos ultimas columnas a la izquierda.

Este metodo se conoce como la metodo de Sarrus para el calculo de determinantes de orden

3 y solo es aplicable a determinantes de orden 3.

Ejemplo 2.24. Calculemos el determinante del ejemplo 2.23 usando este metodo.

Solucion.

2 3 1

6 1 5

7 0 6

= 2 1 6 + (6)0(1) + (7)(3)5 (1)1(7) 5 0 2 6(3)(6)

2 3 16 1 5

2 3 1

6 1 5

7 0 6

= 12 + 0 + 105 7 0 108 = 2

Compare este resultado con el obtenido en el ejemplo 2.23.


49/232


2.7. Propiedades de los determinantes.

Definicion 2.19. Sea A = Mnn(R). Para cada i, j {1, . . . , n} definamos la matriz MAij

M(n1)(n1)(R) que se obtiene de A al eliminar su i-esima fila y su j-esima columna, dicha

matriz es llamada ij -esimo menor de A.

Observacion 2.25. Si en lugar de eliminar una fila y una columna de A, eliminamos dos filas

y dos columnas de A, la matriz que se obtiene se denomina menor de segundo orden de A,

estas matrices se denotan por MAij,kl, lo que significa que se han eliminado las filas i e j

(con i = j) y las columnas k y l (con k = l) de A. De manera analoga se pueden definir

menores de

A Mnn(R) hasta de orden n 1.

Observacion 2.26. Es claro que MAij,kl = MAji,lk = M

Aji,kl = M

Aij,lk para cada i, j, k, l {1, . . . ,

n} coni = j y k = l.

Ejemplo 2.25. Consideremos la matriz

A =

9 2 1 4

0 8 5 7

1 6 3 6

4 1 0 3

Hallar MA23; M

A42 y M

A22.

Solucion.

MA23 =

9 2 4

1 6 6

4 1 3

; MA42 =

9 1 4

0 5 7

1 3 6

y MA22 =

9 1 4

1 3 6

4 0 3

Definicion 2.20. Sea A Mnn(R). Para cada i, j {1, . . . , n} definiremos el ij -esimo co-

factor de A como el numero real CAij dado por

CAij = (1)i+j det MAij

Ejemplo 2.26. Para la matriz del ejemplo 2.25 se tiene que

49


50/232


CA23 = (1)2+3 det MA23 =

9 2 4

1 6 6

4 1 3

= (162 + 4 + 48 + 96 54 6) = 74

CA42 = (1)4+2 det MA42 =

9 1 4

0 5 7

1 3 6

= 270 + 0 7 + 20 + 189 0 = 68

CA22 = (1)2+2 det MA22 =

9 1 4

1 3 6

4 0 3 = 81 + 0 24 + 48 0 + 3 = 54

Pasemos ahora a definir los determinantes de orden n. En primer lugar notemos que la formula

dada en la definicion 2.18 puede ser escrita como

det(A) = |A| = a11CA11 + a12C

A12 + a13C

A13

La idea es generalizar esta formula para una matriz A de orden n.

Definicion 2.21. Sea A Mnn(R). Definiremos el determinante de A, determinante deorden n, como el numero real det(A) = |A| dado por

det(A) = |A| = a11 a12 a1n

a21 a22 a2n....

...

.. . .

...

.

an1 an2 ann

=n

j=1

a1jCA1j =

nj=1

a1j(1)1+j det MA1j

Ejemplo 2.27. Hallar el determinante de la matriz del ejemplo 2.25

Solucion.

det(A) = |A| =

9 2 1 4

0 8 5 7

1 6 3 6

4 1 0 3

= (9)(1)1+1 det MA11

+ 2(1)1+2 det MA12

+ (1)(1)1+3 det MA13

+4(1)1+4 det MA14


51/232


det(A) = 9

8 5 7

6 3 6

1 0 3

2

0 5 7

1 3 6

4 0 3

0 8 7

1 6 6

4 1 3

4

0 8 5

1 6 3

4 1 0

= 9(72 + 0 + 30 21 0 + 90) 2(0 + 0 120 + 84 0 + 15)

(0 + 7 + 192 + 168 0 24) 4(0 5 96 120 0 0)

= 1539 + 42 343 + 884 = 956

Ejemplo 2.28. Calcular el determinante de la matriz

A =

2 0 0 0 0

12 1 0 0 0

3 0 3 0 0

5 8 7 1 0

9 6 7 0 6

Solucion. Notemos primero que A es triangular inferior.

det(A) = |A| =

2 0 0 0 0

12 1 0 0 0

3 0 3 0 0

5 8 7 1 0

9 6 7 0 6

= 2(1)1+1 det MA11

+ 0(1)1+2 det MA12

+ 0(1)1+3 det MA13

+0(1)1+4 det MA14

+ 0(1)1+5 det MA15

= 2(1)1+1 det MA11

+ 0(1)1+2 det MA12

+ 0(1)1+3 det MA13

+0(1)1+4 det MA

14+ 0(1)1+5 det MA

15

= 2

1 0 0 0

0 3 0 0

8 7 1 0

6 7 0 6

51


52/232


det(A) = 2

1(1)1+1

3 0 0

7 1 0

7 0 6

+ 0(1)1+2

0 0 0

8 1 0

6 0 6

+0(1)1+3

0 3 08 7 0

6 7 6

+ 0(1)1+4

0 3 08 7 1

6 7 0

= 2 1

3 0 0

7 1 0

7 0 6

= 2 1 (3)(1)1+1 1 0

0 6+ 0(1)1+2

7 0

7 6+ 0(1)1+3

7 1

7 0

= 2 1(3) 1 0

0 6

= 2 1(3)((1)(6) 0 0)

= 2 1(3)(1)(6) = 36

El determinante de A es el producto de las componentes de la diagonal principal. Este resultado

se cumple siempre que A es una matriz triangular, superior o inferior, como veremos luego.

La demostracion del teorema que enunciaremos a continuacion escapa del objetivo del curso,

sin embargo, de el se derivan el resto de las propiedades que seran enunciadas mas adelante, en

el apendice D se puede encontrar una demostracion de este.

Teorema 2.24. Si A = (aij)nn Mnn(R), entonces

1. det(A) =n

j=1

aijCAij =

nj=1

aij(1)i+j det MAij

para cada i {1, . . . , n} (Desarrollo del

determinante de A mediante la fila i-esima).

2. det(A) =n

i=1

aijCAij =

ni=1

aij(1)i+j det MAij

para cada j {1, . . . , n} (Desarrollo del

determinante de A mediante la columna j-esima).

52


53/232


Ejemplo 2.29. Calcular el determinante de la matriz A del ejemplo 1.23 al desarrollar el de

terminante mediante la tercera fila y mediante la segunda columna.

Solucion. En primer lugar hallemos el determinante de A desarrollandolo mediante la tercera

fila.

det(A) = |A| =

2 3 1

6 1 5

7 0 6

= 7(1)3+1 3 1

1 5

+ 0(1)3+2 2 16 5 + 6(1)3+3

2 36 1

= 7(15 + 1) + 0 + 6(2 18) = 2

Ahora desarrollemos el determinante de A mediante la segunda columna.

det(A) = |A| =

2 3 1

6 1 5

7 0 6

= 3(1)1+2 6 5

7 6

+ 1(1)2+2 2 1

7 6

+ 0(1)3+2 2 1

6 5

= 3(36 + 35) + (12 7) + 0 = 2

Teorema 2.25. Si A Mnn(R), entonces det AT

= det(A).

Demostracion. (Ejercicio)

Sugerencia: proceder por induccion sobre n y usar el teorema 1.24

Teorema 2.26. Si A = (aij)nn M

nn(R

) una matriz triangular (superior o inferior), en-tonces det(A) = a11a22 ann.

Demostracion. Procedamos por induccion sobre n. Supongamos, sin perder generalidad que

A es una matriz triangular superior.

Verifiquemos que la tesis se cumple para n = 2. Sea

A =

a11 a12

0 a22


54/232


Entonces

det(A) = a11a22 a12 0 = a11a22

Supongamos ahora que la tesis se cumple para n 1, esto es, supongamos que para cualquier

matriz triangular superior A = (aij)(n1)(n1) M(n1)(n1)(R) se cumple que det(A) =a11a22 a(n1)(n1) (Hipotesis Inductiva).

Probemos ahora que se cumple para n. Sea

A =

a11 a12 a1n

0 a22 a2n....

. . .. . .

...

.

0 0 ann

Entonces, al desarrollar el determinante de A mediante la fila n, obtenemos

det(A) = 0 CAn1 + + 0 CAn(n1) + annC

Ann = ann(1)

n+n det(MAnn) = ann det MAnn

Pero

MAnn

=

a11 a12 a1(n1)

0 a22 a2(n1)

.... . . . . . . ...

0 0 a(n1)(n1)

es decir, MAnn es una matriz triangular superior de orden (n 1), por lo tanto, usando la Hipotesis

Inductiva, se tiene que det MAnn

= a11a22 a(n1)(n1). Luego

det(A) = anna11a22 a(n1)(n1) = a11a22 a(n1)(n1)ann

Lo cual concluye la prueba.

Los teoremas que enunciaremos a continuacion, nos presentan las propiedades basicas del

determinante, estas propiedades nos permitiran hallar el determinante de una matriz sin hacer

demasiados calculos. Los enunciados de estas propiedades se daran solo para filas, sin embargo,

en virtud del teorema 1.25, se pueden enunciar propiedades analogas para columnas.

Teorema 2.27. Sea A Mnn(R). Si existe s {1, . . . , n} tal que A(s) = 0/1n, entonces

det(A) = 0, es decir, si A tiene una fila nula, su determinante es cero.


55/232


Demostracion. Sea A = (aij)nn. Como A(s) = 0/1n, entonces asj = 0 para cada j {1, . . . , n}.

As que, al desarrollar el determinante de A por medio de la fila s, se tiene que

det(A) =n

j=1

asjCAsj =

n

j=1

0 CAsj = 0

Teorema 2.28. Sean A, B Mnn(R) y R. Si existe s {1, . . . , n} tal que B(s) = A(s) y

B(i) = A(i) para i = s, entonces det(B) = det(A), esto es, si multiplicamos una fila de A por un

escalar, entonces el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de A

multiplicado por .

Demostracion. Sean A = (aij)nn y B = (bij)nn. Como B(s) = A(s) y B(i) = A(i) para i = s,

entonces bsj = asj para cada j {1, . . . , n} y ademas, la matriz que se obtiene al eliminar la

fila s de B coincide con la matriz que se obtiene al eliminar la fila s de A. Luego MAsj = MBsj para

cada j {1, . . . , n} (por que?).

Por lo tanto

CBsj = (1)s+j det(MBsj) = (1)

s+j det(MAsj) = CAsj

para cada j {1, . . . , n}.

As, al desarrollar el determinante de B por medio de la fila s, obtenemos

det(B) =n

j=1

bsjCBsj =

nj=1

asjCAsj =

nj=1

asjCAsj = det(A)

Ejemplo 2.30. Sea

A =

2 1 2

12 16 4

2 0 3

Entonces

det(A) = 2 1 2

12 16 4

2 0 3 =

2 1 2

4 3 4(4) 4 1

2 0 3 = 4

2 1 2

3 4 1

2 0 3

= 4[2(4)3 + 3 0 2 + (2)(1)1 2(4)(2) 1 0 2 3(1)3]

= 4[24 + 0 + 2 16 0 + 9] = 4(29) = 116


56/232


Teorema2.29. SeanA, B, C Mnn(R). Si existe s {1, . . . , n} tal que C(s) = A(s) + B(s) yC(i)

= B(i) = A(i) para i = s, entonces det(C) = det(A) + det(B), dicho de otra manera, si tenemos

tres matrices A, B, Ccuyas filas son identicas excepto la filas, y que la filas de Ces

igual a la suma de la fila s de A con la fila s de B, entonces el determinante de C es igual a lasuma del determinante de A con el determinante de B.

Demostracion. Sean A = (aij)nn, B = (bij)nn y C = (cij)nn. Sean A , B , C Mnn(R).

Como C(s) = A(s) + B(s) y C(i) = B(i) = A(i) para i = s, entonces csj = asj + bsj para cada

j {1, . . . , n} y ademas, las matrices que se obtienen al eliminar la fila s de A, B y C son

iguales, as que MAsj = MBsj = M

Csj para cada j {1, . . . , n}.

Por lo tanto

CCsj = CBsj = C

Asj

para cada j {1, . . . , n} (por que?).

En consecuencia

det(C) =n

j=1

csjCCsj =

nj=1

(asj + bsj)CCsj =

nj=1

asjCCsj +

nj=1

bsjCCsj

=n

j=1

asjCAsj +

nj=1

bsjCBsj = det(A) + det(B)

Ejemplo2.31. Sea A la matriz del ejemplo 1.30. Entonces

det(A) =

2 1 2

12 16 4

2 0 3

=

4 + (2) 1 2

6 + 6 16 4

1 + (3) 0 3

=

4 1 2

6 16 4

1 0 3

+

2 1 2

6 16 4

3 0 3

= [4(16)3 + 6 0 2 + 1(1)4 2(16)1 4 0 4 3(1)6] +

[2(16)3 + 6 0 2 + (3)(1)4 2(16)(3) 4 0(2) 3(1)6]

= [192 + 0 4 + 32 0 + 18] + [96 + 0 + 12 96 0 + 18]

= 146 + 30 = 116

Teorema 2.30. SeanA, B Mnn(R). Si existens, t {1, . . . , n} tales que s = t, B(s) = A(t),

B(t) = A(s) y B(i) = A(i) para i = s y i = t, entonces det(B) = det(A), en otras palabras, si

intercambiamos dos filas distintas de A, el determinante de la matriz resultante es igual al

determinante de A multiplicado por 1.


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Demostracion. Ejercicio

Ejemplo 2.32. Sea A la matriz del ejemplo 2.30 y sea

B =

2 1 2

4 16 12

3 0 2

Las columnas 1 y 3 de B son, respectivamente, las columnas 3 y 1 de A y las fila 2 de B es igual

a la fila 2 de A. Ademas

det(B) =

2 1 2

4 16 12

3 0 2

= 2(16)(2) + 4 0 2 + 3(1)12 2(16)3 12 0 2 (2)(1)4

= 64 + 0 36 + 96 0 8 = 116 = det(A)

Teorema 2.31. Sea A Mnn(R). Si existen s, t {1, . . . , n} tales que s = t y A(s) = A(t),

entonces det(A) = 0, es decir, si A tiene dos filas iguales, su determinante es igual a cero.

Demostracion. Sea B Mn

n(R) la matriz que se obtiene al intercambiar las filas s y t de A.

Como A(s) = A(t), entonces B = A y as det(B) = det(A).

Por otro lado, dado que s = t y segun el teorema 1.30, det(B) =

det(A). As que det(A) = det(B) = det(A) y en consecuencia det(A) =

0.

Ejemplo 2.33. Sea

A =

2 1 2

4 16 12

2 1 2

Entonces

det(A) = 2 1 2

4 16 12

2 1 2

= 2(16)(2) + 4(1)(2) + 2(1)12 (2)(16)2 12(1)2 (2)(1)4

= 64 + 8 24 64 + 24 8 = 0


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Teorema 2.32. Sean A Mnn(R) y R. Si existen s, t {1, . . . , n} tales que s = t y

A(s)

= A(t), entonces det(A) = 0, esto es, si una fila de A es un multiplo escalar de alguna otra

fila de A, su determinante es igual a cero.

Demostracion. Sea B Mnn(R) tal que B(i) = A(i) para cada i {1, . . . , n} con i = s y

B(s) = A(t) = B(t). Por lo tanto, en virtud del teorema 2.31, se tiene que det(B) = 0.

Por otro lado, como A(s) = A(t) = B(t) = B(s), entonces, usando el teorema 2.28, setiene

que det(A) = det(B) = 0 = 0.

Ejemplo 2.34. Sea

A =

2 8 2

4 16 1

3 12 2

Entonces la columna A(2) = 4A(1), ademas

det(A) =

2 8 2

4 16 1

3 12 2

= 2(16)(2) + (4)12 2 + 3 8 1 2(16)3 1 12 2 (2)8(4)

= 64 96 + 24 + 96 24 6 4 = 0

Teorema2.33. SeanA, B Mnn(R) y R. Si existens, t {1, . . . , n} tales que s = t, B(s)

= A(s) + A(t) yB(i) = A(i) parai = s, entonces det(B) = det(A), dicho de otra forma, si a una

fila de A le sumamos un multiplo escalar de alguna otra fila de A, el determinante de la

matriz resultante es igual al determinante de A.

Demostracion. Sea C Mnn(R) tal que C(i) = B(i) = A(i) para i = s y C(s) = A(t). Por lo

tanto, dado que s = t y en virtud del teorema 1.32, det(C) = 0.

Ademas, como B(s) = A(s) + A(t) = A(s) + C(s) y en virtud del teorema 1.29

det(B) = det(A) + det(C) = det(A) + 0 = det(A)


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Ejemplo 2.35. SeaA la matriz del ejemplo 2.30 y sea

B =

2 1 2

2 9 10

2 0 3

As que B(2) = A(2) 7A(1) (verifquelo!). Ademas

det(B) =

2 1 2

2 9 10

2 0 3

= 2(9)3 + (2)0 2 + (2)(1)(10) 2(9)(2) (10)0 2 3(1)(2)

= 54 + 0 20 36 0 6 = 116 = det(A)

El siguiente ejemplo nos da un metodo para calcular el determinante de una matriz A haciendo

uso de las propiedades dadas en los siete teoremas precedentes, como veremos, el c alculo resulta

mucho mas sencillo que al usar la definicion.

Como se dijo en la observacion 1.15, usaremos tanto OEF como operaciones elementales por

columnas (OEC) para el calculo de determinantes, estas operaciones las indicaremos de manera

analoga a las OEF, salvo que en lugar de usar F usaremos C.

Ejemplo 2.36. Hallar el determinante de la matriz

A =

6 1 2 13 2

1 0 1 3 1

0 3 0 9 0

7 1 3 12 3

0 2 4 1 3

Solucion.

det(A) =

6 1 2 13 2

1 0 1 3 1

0 3 0 9 0

7 1 3 12 3

0 2 4 1 3

=

6 1 2 10 2

1 0 1 3 1

0 3 0 0 0

7 1 3 15 3

0 2 4 5 3

C4 C4 + 3C2

por teorema 2.33

1.2.33


60/232


det(A) = 3(1)3+2

6 2 10 2

1 1 3 1

7 3 15 3

0 4 5 3

desarrollando el determinante

mediante la tercera fila

= 3

0 4 8 4

1 1 3 1

0 4 6 4

0 4 5 3

F1 F1 + 6F2

F3 F3 + 7F2

por teorema 1.33

= 3(1)(1)2+1

4 8 4

4 6 4

4 5 3

desarrollando el determinante

mediante la primera columna

= 3 0 13 7

0 11 7

4 5 3

F1 F1 + F3

F2 F2 + F3

por teorema 1.33

= 3 4(1)3+1 13 711 7 desarrollando el determinante

mediante la primera columna

= 12(13(7) (7)(11)) = 12 14 = 168

Resuelva este ejercicio sin hacer uso de OEF ni OEC y compare ambos metodos cual de los dosle parece mas sencillo?

Teorema 2.34. Sea A = (aij)nn Mnn(R). Entonces para cualesquiera s, t {1, . . . , n} con

s = t se tiene quen

k=1

askCAtk = 0 y

nk=1

aksCAkt = 0

Demostracion. Sea s, t {1, . . . , n} con s = t. Definamos B = (bij)nn tal que B(i) = A(i)

para cada i {1, . . . , n} con i = t y B(t) = A(s). As que, usando el teorema 1.31, det(B) = 0.

Por otro lado, las matrices que se obtienen al eliminar la fila t de B y la fila t de A, son iguales,

por lo tanto MBtk = MAtk para cada k {1, . . . , n}, de donde C

Btk = C

Atk. Luego, al desarrollar el

determinante de B mediante la fila t, se tiene que

det(B) =n

k=1

btkCBtk =

nk=1

askCAtk

En consecuencian

k=1

askCAtk = 0, analogamente se prueba que

nk=1

aksCAkt = 0.


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Teorema 2.35. Si E Mnn(R) es una matriz elemental, entonces para cada A Mnn(R) se

tiene que det(EB ) = det(E)det(B).

Demostracion. Como E Mnn(R) es una matriz elemental, existe una OEF f : Fn(R)

Fn(R) tal que E = f(In). Luego, sando la parte 1 del corolario 1.12, se tiene que EA = f(In)A =

f(A).

Debemos proceder por casos sobre el tipo de OEF.

Caso 1. f es una OEF tipo 1. As que existen s {1, . . . , n} y = 0 tales que E(s) = (In)(s)

(donde (In)(s) es la fila s de In) y para i = s se tiene que E(i) = (In)(i). Luego

(f(A))(s) = A(s) y para i = s tenemos (f(A))(i) = A(i).

Por lo tanto, segun el teorema 1.28,

det(E) = det(In) = 1 =

y

det(EA) = det(f(A)) = det(A) = det(E)det(A).

Caso 2. f es una OEF tipo 2. Luego existen s, t {1, . . . , n}, con s = t, y R tales que

E(s) = (In)(s) + (In)(t) y E(i) = (In)(i) para i = s. As que (f(A))(s) = A(s) + A(t) y

(f(A))(i) = A(i) para i = s.

Usando el teorema 1.33, tenemos que

det(E) = det(In) = 1

y

det(EA) = det(f(A)) = det(A) = 1 det(A) = det(E)det(A)

Caso 3. f es una OEF tipo 3. Por lo tanto existen s, t {1, . . . , n} tales que E(s) = (In)(t),

E(t) = (In)(s) y E(i) = (In)(i) para i = s e i = t. De donde (f(A))(s) = A(s) + A(t) y

(f(A))(i) = A(i) para i = s e i = t.

Si s = t, entonces E = In y f(A) = A, as que



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UNIDAD II. MATRICES Y DETERMIN-

ANTESy

det(EA) = det(f(A)) = det(A) = 1 det(A) = det(E)det(A)

Si s = t, podemos usar el teorema 1.30 y obtenemos


y

det(EA) = det(f(A)) = det(A) = (1) det(A) = det(E)det(A)

Observacion 2.27. De la prueba del teorema 1.35, se tiene que si E Mnn(R) es una matriz

elemental, entonces det(E) = 0.

Corolario 2.36. Sean E1, E2, . . . , E r Mnn(R) matrices elementales. Entonces, para cada

A Mnn(R), se tiene que det(E1E2 ErA) = det(E1)det(E2) det(Er)det(A).

Demostracion. Hacerlo como ejercicio.

Teorema 2.37. Si A Mnn(R) es una matriz ERF, entonces det(A) = 0 si y solo si A = In.

Demostracion. Sea A = (aij)nn. Como A es ERF, entonces A es triangular superior (ver

ejercicio 1.5), as que aij = 0 para i > j y det(A) = a11a22 ann.

Supongamos que det(A) = 0. Luego aii = 0 para cada i {1, . . . , n}. Como aij = 0 para i > j,

entonces para cada i {1, . . . , n}, la primera componente no nula en la i-esima fila es aii, y por

ser A una matriz ERF, se tiene que aii = 1 para cada i {1, . . . , n}, es decir, aii es un pivote y

por lo tanto aij = 0 para i = j (por que?). En resumen

aij = 1 si i = j

0 si i = j

Es decir, A = In.

Recprocamente, si A = In, entonces det(A) = 1 = 0.

En el siguiente teorema se da una nueva equivalencia que involucra la inversa de una matriz

cuadrada.


63/232


64/232


Observacion 2.28. Si C = (CAij )nn, es decir, si C es la matriz real cuadrada cuya ij-

esima componente es el ij-esimo cofactor de A para cada i, j {1, . . . , n}, entonces adj(A) =

CT.

Ejemplo 2.37. Hallar la adjunta de2 1 3

1 0 2

4 1 7

Solucion. Necesitamos hallar cada uno de los cofactores de A. Veamos

CA11 = (1)1+1

0 2

1 7 = 2

Prog Completo de Mate IV

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