lgebra Lineal II, Grado en Matemticas

Prueba de Evaluacin Continua, curso 2011/12

Ejercicio 1:En el espacio vectorial eucldeo R4 se considera el siguiente subespacio vectorial

U (x1 + x4 = 0; x2 + x3 = 0)

(a) Halle una base ortogonal de U:(b) Encuentre la proyeccin sobre U de los vectores v 2 R4 que forman un ngulo de 60o con e1 = (1; 0; 0; 0)

y de 90o con e3 = (0; 0; 1; 0).

Solucin:(a) En este caso por la forma tan sencilla de las ecuaciones de U podemos obtener una base ortogonal de formadirecta

B = fu1 = (1; 0; 0;1); u2 = (0; 1;1; 0)Si las ecuaciones no hubiesen sido tan sencillas, tomaramos una base cualquiera de U; fv1; v2g; y le aplicaramosel mtodo de Gram-Schmidt.

(b) Sea v = (x1; x2; x3; x4) un vector cualquiera de R4: Si el ngulo entre v y e3 es de 90o; entonces

cos 90o =< v; e3 >

jjvjj jje3jj =x3jjvjj = 0 , x3 = 0

As, v = (x1; x2; 0; x4): Ahora consideramos que el ngulo entre v y e1 es de 60o; entonces

cos 60o =< v; e1 >

jjvjj jje1jj =x1jjvjj =

1

2,

x1 =1

2

qx21 + x

22 + x

23 ; (*)

3x21 = x22 + x

23 ;

x1 =

rx22 + x

23

3:

Obsrvese que en el ltimo paso nos hemos quedado slo con la raz positiva, lo que se deduce de (*). As, losvectores v que cumplen las condiciones pedidas son de la forma

v = (

rx22 + x

23

3; x2; 0; x4):

La forma ms rpida de calcular la proyeccin sobre U; conocida la base ortogonal fu1; u2g, es mediante loscoecientes de Fourier (Proposicin pg. 117).

proyU (v) =< v; u1 >

jju1jj2 u1 +< v; u2 >

jju2jj2 u2

=

qx22+x

23

3 x42

u1 +x22u2

=1

2(

rx22 + x

23

3 x4; x2; x2;

rx22 + x

23

3+ x4)

Ejercicio 2:Sean f y g dos endomorsmos de un espacio vectorial V de dimensin n; tales que f g = g f (conmutan).Demuestre que los subespacios propios generalizados de f son invariantes por g; y viceversa, los subespaciospropios generalizados de g son invariantes por f: (Nota: un subespacio vectorial U V es invariante por unendomorsmo f si para todo u 2 U se cumple que f(u) 2 U):

Solucin:Por supuesto, basta demostrar que los subespacios propios generalizados de f son invariantes por g: Sea unautovalor de f y Ei() = Ker(f id)i los subespacios propios generalizados asociados a dicho autovalor.Tenemos que demostrar que cada Ei() es invariante por g:

u 2 Ei() ) g(u) 2 Ei();

es decir(f id)i(u) = 0 ) (f id)i(g(u)) = 0:

Sea u 2 Ei(), entoncesg (f id)i(u) = g((f id)i(u)) = g(0) = 0: (1)

Vamos a demostrar queg (f id)i = (f id)i g (2)

y as podremos deducir que

(f id)i g(u) (2)= g (f id)i(u) (1)= 0como queramos.Entonces, vamos a demostrar (2)

g (f id)i = g (f id) (f id)i1= (g f g) (f id)i1= (f g g) (f id)i1 (f y g conmutan)= (f id) g (f id)i1

:::procediendo de modo anlogo

= (f id)2 g (f id)i2::: = (f id)i g: