7/24/2019 PDS - Tarea 3.3 - OQ

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PDS Tarea 3.3

Oscar J.Quinde SolrzanoUniversidadIsrael,SedeMatriz

Electrnica Digital y Telecomunicaciones Procesamiento Digital de Seales.

Quito,Ecuador.

Resumen. El presente documento pertenece al trabajo 3.3, ejercicios de ecuaciones en diferencias.

2.24El sistema discreto en el tiempo = 1 , 0est en reposo1 = 0.Compruebe si el sistema es lineal, invariante en el tiempo y estable BIBO.

Linealidad:

1 = 1 1 12 = 2 1 2

= 1 2

= 1 = 1 2.Por lo tanto el sistema el lineal.

Variabilidad en el tiempo:

Si la entrada es 1: 1 = 1 2 1

1 = 2 1Entonces el sistema es invariante en el tiempo.

Estabilidad:

Si = , se tiene que || 1.Para tal entrada acotada, se tiene la siguiente salida:

0 = 11 = 1 1 = 2,

2 = 22 1 = 5 , . ..Que no est acotada, por lo que el sistema es inestable.

2.26Determine la respuesta a la entrada nula del sistema descrito por la ecuacin en diferencias de

segundo orden 3 1 4 2 = 0Con = 0:

1 43 1 = 01 = 43 2

0 = ( 43) 2

1 = ( 43) 2

. . .

= ( 43)+ 2

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2.27Determine la solucin particular de la ecuacin en diferencias

= 56 1 16 2

Con = 0:yn 56 yn 1 16 yn 2 = 0

La ecuacin caracterstica sera:

56 16 = 0. =

12 ,

13

Por lo tanto:

yn = C (12) C (13)

Solucin particular:

= 2yn = 2

Sustituyendo en la ecuacin en diferencia:

56 1 16 2 =

2 56 2 16 2=

Para n=2:

4 53 16 = 4 = =

85

La solucin total es:

= yn y

= 85 2 C1 (12)

C2 (13)

Para determinar Cy C, se asume que 2 = 1 = 0, entonces:0 = 1

1 = 56 0 2 =176

Por lo que:

85 C1 C1 = 1

C C = 3

5

165 12 C1 13 C2 = 13C1 2C2 = 115

Resolviendo se obtiene que:

C =1 ; C = 25Por lo tanto la solucin total es:

= 8

52 (1

2

) (2

5) (1

3

)

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2.30Determine la respuesta y(n), n 0 del sistema descrito mediante la ecuacin en diferencias de

segundo orden 3 1 4 2 = 2 1) a la entrada = 4La ecuacin caracterstica sera:

3 4 = 0Se tiene que =4,1, por lo tanto: yn = C4 C1Dado que 4 es una raz caracterstica, y la excitacin es = 4, se asume la solucin particularde la forma:

yn = 4Sustituyendo en la ecuacin en diferencia:

4 3 14 1 4 24 2 = 4 241Para n=2:

3 2 1 2 = 4 8 = 2 4 = = 85La solucin total es: = yn y

= [65 4 C14 C21]

Para determinar Cy C, se asume que 2 = 1 = 0, entonces:0 = 11 = 30 4 2 = 9

Por lo que:

C C = 1

245 4C1 C2 = 94C1 C2 = 215 Resolviendo se obtiene que:

C = 2625 ; C = 1

25Por lo tanto la solucin total es:

= 65 4 2625 4

125 1

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2.45Calcule la respuesta para el estado nulo del sistema descrito mediante la ecuacin en diferencias

1 = 2 2a la entrada = {1,2,3 ,4,2,1} = 12 1 2 2

2 = 12 3 2 24 = 11 = 12 2 1 23 =

32

0 = 12 1 0 22 =174

1 = 12 0 1 21 =478

2.57Determine la respuesta y(n), n 0 del sistema descrito por la ecuacin en diferencias de segundo

orden

4 1 4 2 = 1.

Cuando la entrada es = 1 y las condiciones iniciales son 1 = 2 = 0.

4 1 4 2 = 1La ecuacin caracterstica sera:

4 4 = 0Se tiene que = 2, por lo tanto:

yn = C2 C2Solucin particular:

yn = 1

Sustituyendo en la ecuacin en diferencia:1 41 1 41 2 = 1 11Para = 2 ,

k1 4 4 = 2 k = 29La solucin total es:

= yn y = [29 1 C12 C22]

De las condiciones iniciales se tiene que 0 = 1 , 1 = 2, entonces:C 29 = 1

C = 792C 2C 29 = 2

C = 13