Post on 12-Apr-2016
description
Facultad de Ciencias de la Ingeniería
Centro de Docencia de Ciencias Básicas para Ingeniería · Campus Miraflores · Valdivia · Chile
General Lagos 2086 - Casilla 567 · Fono: 221828 · Fax: 56 63 223730
PAUTA PRUEBA PARCIAL I – BAIN037 – Cálculo I para Ingeniería
PROBLEMA 1 (2.0 ptos)
a) Considerando que la función cos senf x x x es invertible en 0,2
. Determine 1 '(0)f .
Solución:
Se sabe que
1
1
1'(0)
' 0f
f f
, por otro lado se tiene que cos sen ' sen cosf x x x f x x x , luego
basta determinar el valor de 1 0f para ello solucionaremos la ecuación 0f x en el intervalo 0,2
:
cos sen 0 sen cos tan 1 arctan(1)4
x x x x x x x
Por lo tanto se sabe que 10 04 4
f f
. Finalmente estamos en condiciones de calcular 1 '(0)f
1
1
1 1 1 1 2'(0)
2' 0 2 2' cos sen
4 4 4 2 2
ff f
f
b) Si
5 2
2
1 1
1
x xy
x
con 1x . Encuentre 'y .
Solución:
Dado que la función es mayor que cero para cualquier 1x , es posible aplicar derivación logarítmica para simplificar los
cálculos, luego:
5 2
2
2
2 3 3
2 2 2 4
5 2 42 4 2 4
2 4 2 2
1 1/ ln ln 5ln 1 2ln 1 ln 1 /
1
' 5 2 2 3 7 2 3 3 7 7 2 2' '
1 1 1 1 1 1
1 1 1 13 9 3 5 3 9 3 5' '
1 1 1 1
x x dy y x x x
dxx
y x x x x x x x xy y y y
y x x x x x x
x x x xx x x x x xy y
x x x x
4 2 4
22
1 1 3 9 3 5'
1
x x x x xy
x
c) Si arctanf x x y 1
arctan1
xg x
x
. Verifique que ' 'f x g x .
Solución:
Se sabe que 2
1'
1f x
x
, por lo cual calcularemos 'g x para verificar que se obtiene la misma derivada:
2
2 2
11 1 11 1arctan / ' '
1 111
1
xx xx dg x g x g x
x dx xx
x
2 2
1
1 1
x
x x
1 x
2
1 x
1
'1 2
g xx
2 1 2x x
2
12 '
2g x
x
22
1 x
2
1'
1g x
x
Por lo tanto se verifica que ' 'f x g x
Facultad de Ciencias de la Ingeniería
Centro de Docencia de Ciencias Básicas para Ingeniería · Campus Miraflores · Valdivia · Chile
General Lagos 2086 - Casilla 567 · Fono: 221828 · Fax: 56 63 223730
PROBLEMA 2 (2.0 ptos)
Dada la curva C de ecuaciones paramétricas
cot0,
2sen cos
x a
y b
con ,a b .
a) Calcule dy
dx.
Solución:
Se tiene que 2 2sen cos cos sendy
y b bd
, por otro lado 2cot cscdx
x a ad
, luego
2 2 2 2
2 2
cos sen cos sen
csc csc
dybdy bd
dxdx aa
d
b) Determine analíticamente los puntos donde la rectas tangentes a C son horizontales.
Solución:
Para que las rectas tangentes sean horizontales se debe cumplir que 0dy
dx , en este caso particular 0
dy
d :
2 2 2 2 2cos sen 0 cos tan 1 /
tan 1 tan 1 tan 1 arctan 1 arctan 1
4 4
sen
Luego para determinar el punto se evalúa 1
, ,4 4 2
x y a b
.
PROBLEMA 3 (2.0 ptos)
Un obrero de la construcción levanta una plancha tirando una cuerda a lo largo del muro, como se muestra en la figura adjunta.
Suponemos que el extremo más alejado de la plancha se mueve perpendicular al muro y que el obrero tira de la cuerda a razón
de 0,2 m/s. ¿A qué velocidad se mueve el extremo alejado de la plancha por el suelo cuando se encuentra a 2 m de la base del
muro?.
Solución:
Estableciendo nombre para cada una de las variables se tiene que:
x : Distancia desde el extremo inferior de plancha al muro.
y : Distancia desde el extremo superior de la plancha al suelo.
z : Longitud de la plancha.
Facultad de Ciencias de la Ingeniería
Centro de Docencia de Ciencias Básicas para Ingeniería · Campus Miraflores · Valdivia · Chile
General Lagos 2086 - Casilla 567 · Fono: 221828 · Fax: 56 63 223730
Además por las condiciones físicas del problema tanto x como y cambian con el tiempo, es decir que ambas variables son
funciones del tiempo ( ( ) ( )x t e y t ) y sólo la longitud de la plancha permanece constante, por otro se sabe las variables están
relacionadas a través del teorema de Pitágoras 2 2 2x y z , derivando esta última expresión con respecto al tiempo:
2 2 2 / 2 2 0 0
dyy
d dx dy dx dy dx dtx y z x y x ydx dt dt dt dt dt x
Luego en el instante en el cual se quiere determinar dx
dt se posee la siguiente información 2x m ,
10,2 / /
5
dym s m s
dt e
2 2 2 2 22 5 25 4 21 21 21y y y y y 21y , por lo que finalmente a evaluar se obtiene:
121
215 /2 10
dyy
dx dt m sdt x
La plancha se está acercando al muro a una velocidad de 21
10 metros por segundo.