AEscuela de Matematicas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellın.

Tercer Examen Parcial de Algebra Lineal. Valor 35%9 de Junio del 2014

Puntaje. Solo para uso Oficial

1 – 5 6 7 8 TOTAL

Instrucciones: La duracion del examen es de 1 hora y 50 minutos. El examen consta de 8 preguntas en 2 hojasimpresas, verifique que su examen este completo. En las preguntas con procedimiento justifique sus respuestasen los espacios asignados. No esta permitido sacar hojas en blanco ni ningun tipo de apuntes durante el examen,verifique que su celular este apagado.

IDENTIFICACION

Nombre: Cedula

Profesor: Grupo

I. Opcion Multiple y CompletacionEn las preguntas 1 a 5 complete los espacios en blanco o elija la opcion correcta segun el caso. Marque con unaX la letra de su eleccion.NOTA: En esta seccion se califica solo la respuesta y no se tiene en cuenta el procedimiento.

1. [8pt] Sea A una matriz 3× 3 tal que A

10−1

=

−303

.

Entre las siguientes afirmaciones senale las que son necesariamente ciertas (Nota: Cada literal marcadoincorrectamente elimina un literal marcado correctamente).

(a)λ = −3 es un valor propio de A,

(b) v =

10−1

es un vector propio de A correspondiente al valor propio λ = 3,

(c)λ = 3 es un valor propio de A,

(d) v =

10−1

es un vector propio de A correspondiente al valor propio λ = −3.

2. [6pt] Supongamos que C =

1 0 01 1 10 2 0

. Entonces los valores propios de C son:

λ1 = , λ2 = , y λ3 = .

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3. [5pt] Supongamos que B es una matriz 3× 3 cuyos valores propios son λ1 = 1 y λ2 = 4 y cuyos espacios

propios son Eλ1 = gen

1

01

y Eλ2 = gen

0

11

. ¿Cual de las siguientes afirmaciones es correcta?

(a)A es diagonalizable , (b)A no es diagonalizable,

(c) no se puede determinar si A es diagonalizable con la informacion dada.

4. [5pt] Considere las siguientes bases para un subespacio W de R3:

B =

1/

√2

0

−1/√

2

, 0

1/√

5

2/√

5

, C =

1/

√5

1/√

5

1/√

5

, −1/

√2

0

1/√

2

.

Determine cuales son bases ortonormales para W

(a)B unicamente (b) C unicamente (c)B y C (d) ninguna de las dos.

5. [8pt] Sea B una matriz 3 × 3 simetrica cuyos valores propios son λ1 = −4, λ2 = 3 y λ3 = 2 y seaf(x) = xTBx la forma cuadratica correspondiente. Entre las siguientes afirmaciones senale las queson necesariamente ciertas (Nota: Cada literal marcado incorrectamente elimina un literal marcadocorrectamente).

(a) f es definida positiva,

(b) f es indefinida,

(c) el valor maximo de f(x) sujeto a la restriccion ‖x‖ = 1 es 3,

(d) el valor mınimo de f(x) sujeto a la restriccion ‖x‖ = 1 es 2.

II. Solucion con Procedimiento

6. [15pt] Considere las siguientes bases de R3:

B =

1

00

, 1

10

, 1

01

, C =

1

00

, 0

10

, 0

11

.

Encontrar la matriz de cambio de base de la base B a la base C.

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7. [28pt] Supongamos que A es una matriz 3 × 3 y simetrica. Se sabe que los valores propios de A son

λ1 = −3 y λ2 = 6 y que los correspondientes espacios propios son Eλ1 = gen

2

1−2

y Eλ2 =

gen

1

22

, −2

2−1

.

(i) [10pt] Encuentre una matriz ortogonal Q y una matriz diagonal D tales que A = QDQT .

(ii) [12pt] Diagonalice la forma cuadratrica f(x) = xTAx. Indique claramente el cambio de variable,describa la forma cuadratica g(x′, y′, z′) referida al nuevo sistema de coordenadas y encuentre unvector generador por cada uno de los ejes x′, y′ y z′.

(iii) [6pt] Identifique la superficie en R3 dada por la ecuacion f(x) = 36.

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8. [25pt] Sea W =

xyzw

∈R4

∣∣∣∣∣∣∣∣x− w = 0,x+ z = 0

.

(i) [12pt] Si x =

1111

, encuentre proyW (x).

(ii) [13pt] Encuentre una base ortogonal para W⊥.