Nivelaci on Presencial 2018 Departamento de Matem aticas

Nivelacion Presencial 2018Departamento de MatematicasEcuaciones de Primer y Segundo Grado

Giglia Calabrese H., Maura Alvarez D., Erika Riveros M., Pilar Rivera A.

Marıa Gatica N., Vanessa Garcıa M., Daniza Rojas C., Dalia Escalier S.

Alicia Alarcon H., Rodrigo Martınez P.,Alberto Ramırez F., Mario Rojas P.

Universidad de Antofagasta

Marzo 2018

Maura Alvarez Erika Riveros Ecuaciones de Primer y Segundo Grado

Ecuaciones

Ecuacion

Una ecuacion es una igualdad matematica entre dos expresiones enla que hay una o mas cantidades literales llamadas incognitas.

El termino ecuacion puede parecer extrano y lejano, sin embargo,las ecuaciones estan mas cerca de nosotros de lo que imaginamos,por ejemplo:

Ecuaciones

Ecuacion

Una ecuacion es una igualdad matematica entre dos expresiones enla que hay una o mas cantidades literales llamadas incognitas.

El termino ecuacion puede parecer extrano y lejano, sin embargo,las ecuaciones estan mas cerca de nosotros de lo que imaginamos,por ejemplo:

Ecuaciones

Ecuacion

Ecuaciones

Ecuacion

Ecuaciones

Ecuacion

El problema de Mafalda tambien es una ecuacion.

Las ecuaciones se encuentran estrechamente relacionadas conel Algebra.

Los arabes introdujeron este termino para referirse a toda unaserie de metodos estandarizados que permitıan resolverproblemas para determinar el valor de una cantidad o unamagnitud cumpliendo ciertas condiciones.

Ecuaciones

Ecuacion

Ecuaciones

Ecuacion

Ecuaciones

Definicion

Una ecuacion es una igualdad matematica entre dosexpresiones en la que hay una o mas cantidades literalesllamadas incognitas.

Una ecuacion es una igualdad en la cual hay terminosconocidos y terminos desconocidos. El termino desconocido sellama incognita y se representa generalmente por las ultimasletras del abecedario: x , y o z , aunque puede utilizarsecualquiera otra letra.

Ecuaciones

Definicion

Una ecuacion es una igualdad matematica entre dosexpresiones en la que hay una o mas cantidades literalesllamadas incognitas.

Una ecuacion es una igualdad en la cual hay terminosconocidos y terminos desconocidos. El termino desconocido sellama incognita y se representa generalmente por las ultimasletras del abecedario: x , y o z , aunque puede utilizarsecualquiera otra letra.

Ecuaciones

Importante

Solucion de una ecuacion:

Es un valor de la variable (incognita) que hace valida laigualdad

Resolver una ecuacion:

Es determinar todos los valores posibles de la variable quesatisfacen la igualdad planteada.

Ecuaciones

Importante

Solucion de una ecuacion:

Es un valor de la variable (incognita) que hace valida laigualdad

Resolver una ecuacion:

Es determinar todos los valores posibles de la variable quesatisfacen la igualdad planteada.

Ecuaciones

Clasificacion de una Ecuacion

Se clasifican segun su grado. Como vamos a resolver ecuaciones deuna sola variable el grado de una ecuacion lo marca el termino demayor grado.

Ecuacion de Primer Grado o Ecuacion Lineal:

3x − 1 = 4− x

Ecuacion de Segundo Grado o Ecuacion Cuadratica:

x2 − 1 = 4− x

Ecuacion de Tercer Grado o Ecuacion Cubica:

x2 − 1 = 4x − x3

Ecuacion de n-esimo grado o Ecuacion Polinomica:

x5 = 4x − x2

Ecuaciones

3x − 1 = 4− x

x2 − 1 = 4− x

x2 − 1 = 4x − x3

x5 = 4x − x2

Ecuaciones

3x − 1 = 4− x

x2 − 1 = 4− x

x2 − 1 = 4x − x3

x5 = 4x − x2

Ecuaciones

3x − 1 = 4− x

x2 − 1 = 4− x

x2 − 1 = 4x − x3

x5 = 4x − x2

Ecuaciones

Ecuacion de Primer Grado o Ecuacion Lineal

Son aquellas ecuaciones donde el exponente de la incognita es1.

Reducirlas a la forma ax + b = 0

Para obtener solucion, despejar la variable x .

La solucion sera un solo valor para x .

Se pueden presentar

de forma simple y parentesis.

con fracciones.

con productos y/o binomios.

con letras (ecuaciones literales).

Ecuaciones

Se pueden presentar

con fracciones.

Ecuaciones

Se pueden presentar

con fracciones.

Ecuaciones

Se pueden presentar

con fracciones.

Ecuaciones

Se pueden presentar

con fracciones.

Ecuaciones

Se pueden presentar

con fracciones.

Ecuaciones

Se pueden presentar

con fracciones.

Ecuaciones

Se pueden presentar

con fracciones.

Ecuaciones

De forma simple y parentesis

Ejemplo 1Resolver la ecuacion lineal 3x + 1 = 3− (2− 2x)

Solucion

3x + 1 = 3− (2− 2x)

3x + 1 = 3− 2 + 2x resolvemos el parentesis

3x + 1 = 1 + 2x aplicamos el inverso aditivo de (1)

3x = 2x aplicamos el inverso aditivo de (2x)

3x − 2x = 0

Ecuaciones

Ejemplo 1Resolver la ecuacion lineal 3x + 1 = 3− (2− 2x)Solucion

3x + 1 = 3− (2− 2x)

3x − 2x = 0

Ecuaciones

3x + 1 = 3− (2− 2x)

3x − 2x = 0

Ecuaciones

3x + 1 = 3− (2− 2x)

3x − 2x = 0

Ecuaciones

3x + 1 = 3− (2− 2x)

3x − 2x = 0

Ecuaciones

3x + 1 = 3− (2− 2x)

3x − 2x = 0

Ecuaciones

3x + 1 = 3− (2− 2x)

3x − 2x = 0

Ecuaciones

Comprobacion

A fin de comprobar la solucion se sustituye x por 0 en la ecuaciony se computa el valor de cada miembro. Si los dos valoresası obtenidos son iguales, la solucion es la correcta.

3x + 1 = 3− (2− 2x)

3(0) + 1 = 3− (2− 2(0))

1 = 3− 2

Por tanto x = 0 es el valor correcto.

Ecuaciones

ComprobacionA fin de comprobar la solucion se sustituye x por 0 en la ecuaciony se computa el valor de cada miembro. Si los dos valoresası obtenidos son iguales, la solucion es la correcta.

3x + 1 = 3− (2− 2x)

3(0) + 1 = 3− (2− 2(0))

1 = 3− 2

Ecuaciones

3x + 1 = 3− (2− 2x)

3(0) + 1 = 3− (2− 2(0))

1 = 3− 2

Ecuaciones

3x + 1 = 3− (2− 2x)

3(0) + 1 = 3− (2− 2(0))

1 = 3− 2

Ecuaciones

3x + 1 = 3− (2− 2x)

3(0) + 1 = 3− (2− 2(0))

1 = 3− 2

Ecuaciones

3x + 1 = 3− (2− 2x)

3(0) + 1 = 3− (2− 2(0))

1 = 3− 2

Ecuaciones

3x + 1 = 3− (2− 2x)

3(0) + 1 = 3− (2− 2(0))

1 = 3− 2

Ecuaciones

Con Fracciones

Ejemplo 1

Resolver la ecuacion lineal3x

1 + 3x

Solucion3x

1 + 3x

6 · 3x

2+ 6 · 2x

3= 6 · 1 + 3x

2multiplicar por el m.c.m que es 6

3 · 3x + 2 · 2x = 3 · (1 + 3x) multiplicar

9x + 4x = 3 + 9x aplicamos el inverso aditivo de (9x)

4x = 3 aplicamos el inverso multiplicativo de (4)

Ecuaciones

Con Fracciones

Ejemplo 1

1 + 3x

2Solucion

1 + 3x

6 · 3x

2+ 6 · 2x

3= 6 · 1 + 3x

3 · 3x + 2 · 2x = 3 · (1 + 3x) multiplicar

Ecuaciones

Con Fracciones

Ejemplo 1

1 + 3x

2Solucion

1 + 3x

6 · 3x

2+ 6 · 2x

3= 6 · 1 + 3x

3 · 3x + 2 · 2x = 3 · (1 + 3x) multiplicar

Ecuaciones

Con Fracciones

Ejemplo 1

1 + 3x

2Solucion

1 + 3x

6 · 3x

2+ 6 · 2x

3= 6 · 1 + 3x

3 · 3x + 2 · 2x = 3 · (1 + 3x) multiplicar

Ecuaciones

Con Fracciones

Ejemplo 1

1 + 3x

2Solucion

1 + 3x

6 · 3x

2+ 6 · 2x

3= 6 · 1 + 3x

3 · 3x + 2 · 2x = 3 · (1 + 3x) multiplicar

Ecuaciones

Con Fracciones

Ejemplo 1

1 + 3x

2Solucion

1 + 3x

6 · 3x

2+ 6 · 2x

3= 6 · 1 + 3x

3 · 3x + 2 · 2x = 3 · (1 + 3x) multiplicar

Ecuaciones

Con Fracciones

Ejemplo 1

1 + 3x

2Solucion

1 + 3x

6 · 3x

2+ 6 · 2x

3= 6 · 1 + 3x

3 · 3x + 2 · 2x = 3 · (1 + 3x) multiplicar

Ecuaciones

Con Fracciones

Comprobacion

A fin de comprobar la solucion se sustituye x por 34 en la ecuacion

y se computa el valor de cada miembro. Si los dos valoresası obtenidos son iguales, la solucion es la correcta.

1 + 3x

Ecuaciones

Con Fracciones

ComprobacionA fin de comprobar la solucion se sustituye x por 3

4 en la ecuaciony se computa el valor de cada miembro. Si los dos valoresası obtenidos son iguales, la solucion es la correcta.

1 + 3x

Ecuaciones

Con Fracciones

1 + 3x

Ecuaciones

Con Fracciones

1 + 3x

Ecuaciones

Con Fracciones

1 + 3x

Ecuaciones

Con Fracciones

1 + 3x

Ecuaciones

Con Fracciones

1 + 3x

Ecuaciones

con productos y/o binomios

Ejemplo 1Resolver la ecuacion lineal 2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]

Solucion

2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]

2− [3− 2x − 2] = 3x + 2[x − 3− 2x ] eliminamos los parentesis interiores

2− [1− 2x ] = 3x + 2[−x − 3] eliminamos los parentesis restantes

2− 1 + 2x = 3x − 2x − 6 sumamos

1 + 2x = x − 6 aplicamos el inverso aditivo de (x)

− x + 1 + 2x = −6 sumamos

x + 1 = −6 aplicamos el inverso aditivo de (1)

x = −7

Ecuaciones

Ejemplo 1Resolver la ecuacion lineal 2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]Solucion

2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]

2− 1 + 2x = 3x − 2x − 6 sumamos

− x + 1 + 2x = −6 sumamos

x = −7

Ecuaciones

2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]

2− 1 + 2x = 3x − 2x − 6 sumamos

− x + 1 + 2x = −6 sumamos

x = −7

Ecuaciones

2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]

2− 1 + 2x = 3x − 2x − 6 sumamos

− x + 1 + 2x = −6 sumamos

x = −7

Ecuaciones

2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]

2− 1 + 2x = 3x − 2x − 6 sumamos

− x + 1 + 2x = −6 sumamos

x = −7

Ecuaciones

2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]

2− 1 + 2x = 3x − 2x − 6 sumamos

− x + 1 + 2x = −6 sumamos

x = −7

Ecuaciones

2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]

2− 1 + 2x = 3x − 2x − 6 sumamos

− x + 1 + 2x = −6 sumamos

x = −7

Ecuaciones

2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]

2− 1 + 2x = 3x − 2x − 6 sumamos

− x + 1 + 2x = −6 sumamos

x = −7

Ecuaciones

2− [3− 2(x + 1)] = 3x + 2[x − (3 + 2x)]

2− 1 + 2x = 3x − 2x − 6 sumamos

− x + 1 + 2x = −6 sumamos

x = −7

Ecuaciones

Con letras (Ecuaciones Literales)

Ejemplo 1

Resolver la ecuacion lineala− x

a− b − x

2(a− b)

Soluciona− x

a− b − x

2(a− b)

ab · a− x

a− ab · b − x

b= ab · 2(a− b)

abmultiplicar por el m.c.d que es ab

b(a− x)− a(b − x) = 2(a− b) simplificamos

ab − bx − ab + ax = 2(a− b) multiplicamos

x(a− b) = 2(a− b) factorizamos en x

x = 2 aplicamos el inverso aditivo de (a-b)

Ecuaciones

Ejemplo 1

a− b − x

2(a− b)

abSolucion

a− x

a− b − x

2(a− b)

ab · a− x

a− ab · b − x

b= ab · 2(a− b)

Ecuaciones

Ejemplo 1

a− b − x

2(a− b)

abSolucion

a− x

a− b − x

2(a− b)

ab · a− x

a− ab · b − x

b= ab · 2(a− b)

Ecuaciones

Ejemplo 1

a− b − x

2(a− b)

abSolucion

a− x

a− b − x

2(a− b)

ab · a− x

a− ab · b − x

b= ab · 2(a− b)

Ecuaciones

Ejemplo 1

a− b − x

2(a− b)

abSolucion

a− x

a− b − x

2(a− b)

ab · a− x

a− ab · b − x

b= ab · 2(a− b)

Ecuaciones

Ejemplo 1

a− b − x

2(a− b)

abSolucion

a− x

a− b − x

2(a− b)

ab · a− x

a− ab · b − x

b= ab · 2(a− b)

Ecuaciones

Ejemplo 1

a− b − x

2(a− b)

abSolucion

a− x

a− b − x

2(a− b)

ab · a− x

a− ab · b − x

b= ab · 2(a− b)

Ecuaciones

Ejemplo 1

a− b − x

2(a− b)

abSolucion

a− x

a− b − x

2(a− b)

ab · a− x

a− ab · b − x

b= ab · 2(a− b)

Ecuaciones

Otras Ecuaciones

Ecuaciones Racionales

Tienen la forma de fraccion, con la incognita en eldenominador.

Ecuaciones Irracionales

Tienen la forma de raız, con la incognita en la cantidadsub-radical

Ecuaciones

Otras Ecuaciones

Ecuaciones Racionales

Tienen la forma de fraccion, con la incognita en eldenominador.

Ecuaciones Irracionales

Tienen la forma de raız, con la incognita en la cantidadsub-radical

Ecuaciones

Con Ecuaciones Racionales

Ejemplo 1

Resolver la ecuacion2

x + 1=

x − 1− 1

Solucion:multiplicar por el m.c.m que es (x2 − 1)

x + 1· (x2 − 1) =

x − 1· (x2 − 1)− 1 · (x2 − 1)

2(x − 1) = x(x + 1)− (x2 − 1) multiplicamos

2x − 2 = x2 + x − x2 + 1 sumamos

2x − 2 = x + 1 aplicamos el inverso aditivo de (x)

x − 2 = 1 aplicamos el inverso aditivo de (-2)

Ecuaciones

Ejemplo 1

x + 1=

x − 1− 1

x + 1· (x2 − 1) =

x − 1· (x2 − 1)− 1 · (x2 − 1)

2x − 2 = x2 + x − x2 + 1 sumamos

Ecuaciones

Ejemplo 1

x + 1=

x − 1− 1

x + 1· (x2 − 1) =

x − 1· (x2 − 1)− 1 · (x2 − 1)

2x − 2 = x2 + x − x2 + 1 sumamos

Ecuaciones

Ejemplo 1

x + 1=

x − 1− 1

x + 1· (x2 − 1) =

x − 1· (x2 − 1)− 1 · (x2 − 1)

2x − 2 = x2 + x − x2 + 1 sumamos

Ecuaciones

Ejemplo 1

x + 1=

x − 1− 1

x + 1· (x2 − 1) =

x − 1· (x2 − 1)− 1 · (x2 − 1)

2x − 2 = x2 + x − x2 + 1 sumamos

Ecuaciones

Ejemplo 1

x + 1=

x − 1− 1

x + 1· (x2 − 1) =

x − 1· (x2 − 1)− 1 · (x2 − 1)

2x − 2 = x2 + x − x2 + 1 sumamos

Ecuaciones

Ejemplo 1

x + 1=

x − 1− 1

x + 1· (x2 − 1) =

x − 1· (x2 − 1)− 1 · (x2 − 1)

2x − 2 = x2 + x − x2 + 1 sumamos

Ecuaciones

Con Ecuaciones RacionalesEjemplo 2

x + 5+

5 + 4x

x + 5= 5

Solucion:multiplicar por el m.c.m que es (x + 5)

x + 5· (x + 5) +

5 + 4x

x + 5· (x + 5) = 5 · (x + 5)

30 + (5 + 4x) = 5(x + 5) multiplicamos

30 + 5 + 4x = 5x + 25 sumamos

4x + 35 = 5x + 25 aplicamos el inverso aditivo de (5x)

− x + 35 = 25 aplicamos el inverso aditivo de (35)

− x = −10

x = 10

Ecuaciones

x + 5+

5 + 4x

x + 5= 5

x + 5· (x + 5) +

5 + 4x

x + 5· (x + 5) = 5 · (x + 5)

30 + 5 + 4x = 5x + 25 sumamos

− x = −10

x = 10

Ecuaciones

x + 5+

5 + 4x

x + 5= 5

x + 5· (x + 5) +

5 + 4x

x + 5· (x + 5) = 5 · (x + 5)

30 + 5 + 4x = 5x + 25 sumamos

− x = −10

x = 10

Ecuaciones

x + 5+

5 + 4x

x + 5= 5

x + 5· (x + 5) +

5 + 4x

x + 5· (x + 5) = 5 · (x + 5)

30 + 5 + 4x = 5x + 25 sumamos

− x = −10

x = 10

Ecuaciones

x + 5+

5 + 4x

x + 5= 5

x + 5· (x + 5) +

5 + 4x

x + 5· (x + 5) = 5 · (x + 5)

30 + 5 + 4x = 5x + 25 sumamos

− x = −10

x = 10

Ecuaciones

x + 5+

5 + 4x

x + 5= 5

x + 5· (x + 5) +

5 + 4x

x + 5· (x + 5) = 5 · (x + 5)

30 + 5 + 4x = 5x + 25 sumamos

− x = −10

x = 10

Ecuaciones

x + 5+

5 + 4x

x + 5= 5

x + 5· (x + 5) +

5 + 4x

x + 5· (x + 5) = 5 · (x + 5)

30 + 5 + 4x = 5x + 25 sumamos

− x = −10

x = 10

Ecuaciones

x + 5+

5 + 4x

x + 5= 5

x + 5· (x + 5) +

5 + 4x

x + 5· (x + 5) = 5 · (x + 5)

30 + 5 + 4x = 5x + 25 sumamos

− x = −10

x = 10

Ecuaciones

Con Ecuaciones Irracionales

Ejemplo 1Resolver la ecuacion

√x − 1 = 1

(√x − 1)2 = 12 elevamos al cuadrado

Ecuaciones

√x − 1 = 1

Ecuaciones

√x − 1 = 1

Ecuaciones

√x − 1 = 1

Ecuaciones

Aplicacion de las Ecuaciones

Ecuaciones

Ejercicio

Sea x un numero cualquiera. Escriba las siguientes expresionesmediante lenguaje algebraico.

N◦ Expresion Escrita Expresion Algebraica

1.- El doble de x 2x

2.- El triple de x 3x

3.- El cuadruple de x 4x

4.- La mitad de x 12x

5.- Un tercio de x 13x

6.- Tres cuartos de x 34x

7.- El 80 % de x 80100x = 0,8x

8.- El 25 % de x 25100x = 0,25x

9.- El cosecutivo o sucesor de x (x ∈ Z) x + 1

10.- El anterior o antecesor de x (x ∈ Z) x − 1

Ecuaciones

Ejercicio

Sea x un numero cualquiera. Escriba las siguientes expresionesmediante lenguaje algebraico.

11.- El resultado de sumar un numero a cinco 5 + x

12.- La suma de algun numero y once x + 11

13.- El resultado de restar a nueve a algun numero 9− x

14.- Siete por algun numero 7x

15.- Dos veces la suma de un numero mas cuatro 2(x + 4)

16.- Un numero y su raız cuadrada x ,√x

17.- Dos numeros, uno y el triple del otro x , 3x

18.- Tres numeros proporcionales a 2,3 y 4. 2x , 3x , 4x

19.- Tres numeros inversamente proporcionales 12x , 1

3x ,14x

Ecuaciones

Ejercicio

Escriba las siguientes ecuaciones con una incognita.

1.- La suma de tres numeros consecutivos es veinte. x + (x + 1) + (x + 2) = 20

2.- La suma de dos numeros impares consecutivos es 18. (2x + 1) + (2x + 3) = 18

3.- La suma de tres numeros pares consecutivos es 26. 2x + (2x + 2) + (2x + 4) = 26

4.- Un numero mas su septima parte es 18. x + 17x = 18

5.- La suma de dos numeros consecutivos es 16. x + (x + 1) = 16

6.- La suma de tres numeros consecutivos es 20. x + (x + 1) + (x + 2) = 20

7.- La suma de cuatro numeros consecutivos es 42. x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = 42

8.- La suma de tres multiplos de tres consecutivos es 84. 3x + 3(x + 1) + 3(x + 2) = 84

Ecuaciones

Ejemplo

Ecuaciones

Solucion

Ecuaciones

Solucion de problemas mediante el uso de ecuaciones lineales

El procedimiento para resolver un problema mediante el uso de una ecuacion nosiempre es facil y para lograr cierta aptitud se requiere una practicaconsiderable. Para ello se sugiere el siguiente esquema:

1 Leer cuidadosamente el problema y estudiarlo hasta que quedeperfectamente clara la situacion que plantea.

2 Identificar las cantidades comprendidas en el problema, tanto lasconocidas como las desconocidas.

3 Elegir una de las cantidades desconocidas y representarla mediante unaletra, generalmente x . Despues, expresar las otras cantidadesdesconocidas en terminos de esta letra.

4 Buscar en el problema los datos que indiquen que cantidades oque combinaciones de estas son iguales.

5 Formular la ecuacion, igualando las cantidades o combinacionesapropiadas encontradas en el paso anterior.

6 Resolver la ecuacion obtenida y comprobar la solucion.

Ecuaciones

Ejemplo 1

Pedro tiene 42 anos y su hijo 10 anos. ¿Dentro de cuantos anos laedad del padre sera el triple que la del hijo?.

Solucion:

i) La incognita es el numero de anos que tienen quepasar para que la edad del padre sea el triple que lade su hijo. Por tanto definimos,x : Variable que indica el numero de anos.

2i) Si pasan x anos, el padre tendra, (42 + x) anos y elhijo, (10 + x) anos.por tanto, tendremos que

42 + x = 3(10 + x)

Ecuaciones

Ejemplo 1

Pedro tiene 42 anos y su hijo 10 anos. ¿Dentro de cuantos anos laedad del padre sera el triple que la del hijo?.Solucion:

i) La incognita es el numero de anos que tienen quepasar para que la edad del padre sea el triple que lade su hijo. Por tanto definimos,

x : Variable que indica el numero de anos.

42 + x = 3(10 + x)

Ecuaciones

Ejemplo 1

42 + x = 3(10 + x)

Ecuaciones

Ejemplo 1

2i) Si pasan x anos, el padre tendra, (42 + x) anos y elhijo, (10 + x) anos.

por tanto, tendremos que

42 + x = 3(10 + x)

Ecuaciones

Ejemplo 1

42 + x = 3(10 + x)

Ecuaciones

Ejemplo 1

Solucion:

3i) Ahora solo nos resta resolver el sistema de ecuacion

42 + x = 3(10 + x)

42 + x = 30 + 3x

2x = 12

Luego, Tienen que pasar 6 anos para que Pedrotenga el triple de la edad de su hijo.

Ecuaciones

Ejemplo 1

Solucion:

42 + x = 3(10 + x)

42 + x = 30 + 3x

2x = 12

Luego, Tienen que pasar 6 anos para que Pedrotenga el triple de la edad de su hijo.

Ecuaciones

Ejemplo 2

Juan tarda 6 dıas en hacer una obra. Paco es capaz de acabarla en 3 dıas. ¿Encuanto tiempo pueden hacer la obra trabajando juntos?.

Solucion:

i) La incognita es el tiempo en que pueden hacer la obratrabajando juntos. Por tanto definimos,x : variable que indica el tiempo en que pueden hacer la obratrabajando juntos.

2i) Juan tarda 6 dıas en hacer la obra, por tanto, en un dıatendra hecho 1

6de la obra, y en x dıas tendra hecho 1

Paco tarda 3 dıas en hacer la obra, por tanto, en un dıatendra hecho 1

Si Juan hace x6

y Paco x3

, entre los dos haran la obra completa,es decir, la unidad,

Ecuaciones

Ejemplo 2

Juan tarda 6 dıas en hacer una obra. Paco es capaz de acabarla en 3 dıas. ¿Encuanto tiempo pueden hacer la obra trabajando juntos?.Solucion:

i) La incognita es el tiempo en que pueden hacer la obratrabajando juntos. Por tanto definimos,

x : variable que indica el tiempo en que pueden hacer la obratrabajando juntos.

Si Juan hace x6

y Paco x3

Ecuaciones

Ejemplo 2

Si Juan hace x6

y Paco x3

Ecuaciones

Ejemplo 2

Si Juan hace x6

y Paco x3

Ecuaciones

Ejemplo 2

Si Juan hace x6

y Paco x3

Ecuaciones

Ejemplo 2

Si Juan hace x6

y Paco x3

Ecuaciones

Ejemplo 2

Solucion:

x + 2x

3x = 6

Luego, entre los dos tardan 2 dıas completos.

Ecuaciones

Ejemplo 2

Solucion:

x + 2x

3x = 6

Ecuaciones

Ejemplo 2

Solucion:

x + 2x

3x = 6

Ecuaciones

Ecuacion de Segundo Grado o Ecuacion Cuadratica

Reducirlas a la forma ax2 + bx + c = 0

La solucion seran dos valores o un valor o ningun valor para x .

Podemos resolver una ecuacion de la siguiente forma:

Usando la formula de la ecuacion de segundo gradoax2 + bx + c = 0.

Usando la factorizacion de binomios.

Ecuaciones

Usando la formula de la ecuacion de segundo gradoax2 + bx + c = 0

1 Despejar x de la forma:

x =−b ±

√b2 − 4ac

2 Existen dos soluciones reales para x , si

b2 − 4ac > 0

3 Existe una solucion real para x , si

b2 − 4ac = 0

4 NO existe solucion real para x , si

b2 − 4ac < 0

Ecuaciones

x =−b ±

√b2 − 4ac

b2 − 4ac > 0

b2 − 4ac = 0

b2 − 4ac < 0

Ecuaciones

x =−b ±

√b2 − 4ac

b2 − 4ac > 0

b2 − 4ac = 0

b2 − 4ac < 0

Ecuaciones

x =−b ±

√b2 − 4ac

b2 − 4ac > 0

b2 − 4ac = 0

b2 − 4ac < 0

Ecuaciones

x =−b ±

√b2 − 4ac

b2 − 4ac > 0

b2 − 4ac = 0

b2 − 4ac < 0

Ecuaciones

x =−b ±

√b2 − 4ac

b2 − 4ac > 0

b2 − 4ac = 0

b2 − 4ac < 0

Ecuaciones

x =−b ±

√b2 − 4ac

b2 − 4ac > 0

b2 − 4ac = 0

b2 − 4ac < 0

Ecuaciones

x =−b ±

√b2 − 4ac

b2 − 4ac > 0

b2 − 4ac = 0

b2 − 4ac < 0

Ecuaciones

Ecuacion de Segundo Grado

Ejemplo 1Resolver la ecuacion cuadratica 3x2 − 5x + 2 = 0

Solucion Aquı tenemos que a = 3, b = −5 y c = 2, luego

x =−(−5)±

√(−5)2 − 4(3)(2)

x =5±√

25− 24

x =5± 1

x1 =5 + 1

6⇒ x1 = 1,

x2 =5− 1

6⇒ x2 =

Por tanto, las dos soluciones son x1 = 1 y x2 = 23 .

Importante: Verificar si efectivamente x1 y x2 son las soluciones correctas.

Ecuaciones

Ejemplo 1Resolver la ecuacion cuadratica 3x2 − 5x + 2 = 0Solucion Aquı tenemos que a = 3, b = −5 y c = 2, luego

x =−(−5)±

√(−5)2 − 4(3)(2)

x =5±√

25− 24

x =5± 1

x1 =5 + 1

6⇒ x1 = 1,

x2 =5− 1

6⇒ x2 =

Ecuaciones

x =−(−5)±

√(−5)2 − 4(3)(2)

x =5±√

25− 24

x =5± 1

x1 =5 + 1

6⇒ x1 = 1,

x2 =5− 1

6⇒ x2 =

Ecuaciones

x =−(−5)±

√(−5)2 − 4(3)(2)

x =5±√

25− 24

x =5± 1

x1 =5 + 1

6⇒ x1 = 1,

x2 =5− 1

6⇒ x2 =

Ecuaciones

x =−(−5)±

√(−5)2 − 4(3)(2)

x =5±√

25− 24

x =5± 1

x1 =5 + 1

6⇒ x1 = 1,

x2 =5− 1

6⇒ x2 =

Ecuaciones

x =−(−5)±

√(−5)2 − 4(3)(2)

x =5±√

25− 24

x =5± 1

x1 =5 + 1

6⇒ x1 = 1,

x2 =5− 1

6⇒ x2 =

Ecuaciones

x =−(−5)±

√(−5)2 − 4(3)(2)

x =5±√

25− 24

x =5± 1

x1 =5 + 1

6⇒ x1 = 1,

x2 =5− 1

6⇒ x2 =

Ecuaciones

x =−(−5)±

√(−5)2 − 4(3)(2)

x =5±√

25− 24

x =5± 1

x1 =5 + 1

6⇒ x1 = 1,

x2 =5− 1

6⇒ x2 =

Ecuaciones

x =−(−5)±

√(−5)2 − 4(3)(2)

x =5±√

25− 24

x =5± 1

x1 =5 + 1

6⇒ x1 = 1,

x2 =5− 1

6⇒ x2 =

Ecuaciones

Ejemplo 2Resolver la ecuacion cuadratica 3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)

Solucion

3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)

3x2 − 6x − x + 6 = 23x − 69

3x2 − 30x + 75 = 0

x =−(−30)±

√(−30)2 − 4(3)(75)

x =30±

√900− 900

x =30± 0

6⇒ x = 5,

Por tanto, la solucion es x = 5.

Importante: Verificar si efectivamente x es la solucion correcta.

Ecuaciones

Ejemplo 2Resolver la ecuacion cuadratica 3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)Solucion

3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)

3x2 − 6x − x + 6 = 23x − 69

3x2 − 30x + 75 = 0

x =−(−30)±

√(−30)2 − 4(3)(75)

x =30±

√900− 900

x =30± 0

6⇒ x = 5,

Ecuaciones

3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)

3x2 − 6x − x + 6 = 23x − 69

3x2 − 30x + 75 = 0

x =−(−30)±

√(−30)2 − 4(3)(75)

x =30±

√900− 900

x =30± 0

6⇒ x = 5,

Ecuaciones

3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)

3x2 − 6x − x + 6 = 23x − 69

3x2 − 30x + 75 = 0

x =−(−30)±

√(−30)2 − 4(3)(75)

x =30±

√900− 900

x =30± 0

6⇒ x = 5,

Ecuaciones

3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)

3x2 − 6x − x + 6 = 23x − 69

3x2 − 30x + 75 = 0

x =−(−30)±

√(−30)2 − 4(3)(75)

x =30±

√900− 900

x =30± 0

6⇒ x = 5,

Ecuaciones

3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)

3x2 − 6x − x + 6 = 23x − 69

3x2 − 30x + 75 = 0

x =−(−30)±

√(−30)2 − 4(3)(75)

x =30±

√900− 900

x =30± 0

6⇒ x = 5,

Ecuaciones

3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)

3x2 − 6x − x + 6 = 23x − 69

3x2 − 30x + 75 = 0

x =−(−30)±

√(−30)2 − 4(3)(75)

x =30±

√900− 900

x =30± 0

6⇒ x = 5,

Ecuaciones

3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)

3x2 − 6x − x + 6 = 23x − 69

3x2 − 30x + 75 = 0

x =−(−30)±

√(−30)2 − 4(3)(75)

x =30±

√900− 900

x =30± 0

6⇒ x = 5,

Ecuaciones

3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)

3x2 − 6x − x + 6 = 23x − 69

3x2 − 30x + 75 = 0

x =−(−30)±

√(−30)2 − 4(3)(75)

x =30±

√900− 900

x =30± 0

6⇒ x = 5,

Ecuaciones

3x(x − 2)− (x − 6) = 23(x − 3)

3x2 − 6x − x + 6 = 23x − 69

3x2 − 30x + 75 = 0

x =−(−30)±

√(−30)2 − 4(3)(75)

x =30±

√900− 900

x =30± 0

6⇒ x = 5,

Ecuaciones

Ejemplo 3Resolver la ecuacion cuadratica −x2 + 4x − 7 = 0

Solucion

−x2 + 4x − 7 = 0

x2 − 4x + 7 = 0

x =−(−4)±

√(−4)2 − 4(1)(7)

x =4±√

16− 28

x =4±√−12

Por tanto, el sistema no tiene solucion.

Ecuaciones

Ejemplo 3Resolver la ecuacion cuadratica −x2 + 4x − 7 = 0Solucion

−x2 + 4x − 7 = 0

x2 − 4x + 7 = 0

x =−(−4)±

√(−4)2 − 4(1)(7)

x =4±√

16− 28

x =4±√−12

Ecuaciones

−x2 + 4x − 7 = 0

x2 − 4x + 7 = 0

x =−(−4)±

√(−4)2 − 4(1)(7)

x =4±√

16− 28

x =4±√−12

Ecuaciones

−x2 + 4x − 7 = 0

x2 − 4x + 7 = 0

x =−(−4)±

√(−4)2 − 4(1)(7)

x =4±√

16− 28

x =4±√−12

Ecuaciones

−x2 + 4x − 7 = 0

x2 − 4x + 7 = 0

x =−(−4)±

√(−4)2 − 4(1)(7)

x =4±√

16− 28

x =4±√−12

Ecuaciones

−x2 + 4x − 7 = 0

x2 − 4x + 7 = 0

x =−(−4)±

√(−4)2 − 4(1)(7)

x =4±√

16− 28

x =4±√−12

Ecuaciones

−x2 + 4x − 7 = 0

x2 − 4x + 7 = 0

x =−(−4)±

√(−4)2 − 4(1)(7)

x =4±√

16− 28

x =4±√−12

Ecuaciones

Ejemplo 4Resolver la ecuacion cuadratica (5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27

Solucion

(5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27

25x2 − 40x + 16− 6x2 + 3x − 10x + 5 = 20x2 − 40x + 27

− x2 − 7x − 6 = 0

x2 + 7x + 6 = 0

x =−(7)±

√(7)2 − 4(1)(6)

x =−7±

√49− 24

x =−7± 5

x1 =−7 + 5

2⇒ x1 = −1,

x2 =−7− 5

2⇒ x2 = −6.

Importante: Verificar si efectivamente x1 = −1 y x2 = −6 son las soluciones correctas.

Ecuaciones

Ejemplo 4Resolver la ecuacion cuadratica (5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27Solucion

(5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27

25x2 − 40x + 16− 6x2 + 3x − 10x + 5 = 20x2 − 40x + 27

− x2 − 7x − 6 = 0

x2 + 7x + 6 = 0

x =−(7)±

√(7)2 − 4(1)(6)

x =−7±

√49− 24

x =−7± 5

x1 =−7 + 5

2⇒ x1 = −1,

x2 =−7− 5

2⇒ x2 = −6.

Ecuaciones

(5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27

25x2 − 40x + 16− 6x2 + 3x − 10x + 5 = 20x2 − 40x + 27

− x2 − 7x − 6 = 0

x2 + 7x + 6 = 0

x =−(7)±

√(7)2 − 4(1)(6)

x =−7±

√49− 24

x =−7± 5

x1 =−7 + 5

2⇒ x1 = −1,

x2 =−7− 5

2⇒ x2 = −6.

Ecuaciones

(5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27

25x2 − 40x + 16− 6x2 + 3x − 10x + 5 = 20x2 − 40x + 27

− x2 − 7x − 6 = 0

x2 + 7x + 6 = 0

x =−(7)±

√(7)2 − 4(1)(6)

x =−7±

√49− 24

x =−7± 5

x1 =−7 + 5

2⇒ x1 = −1,

x2 =−7− 5

2⇒ x2 = −6.

Ecuaciones

(5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27

25x2 − 40x + 16− 6x2 + 3x − 10x + 5 = 20x2 − 40x + 27

− x2 − 7x − 6 = 0

x2 + 7x + 6 = 0

x =−(7)±

√(7)2 − 4(1)(6)

x =−7±

√49− 24

x =−7± 5

x1 =−7 + 5

2⇒ x1 = −1,

x2 =−7− 5

2⇒ x2 = −6.

Ecuaciones

(5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27

25x2 − 40x + 16− 6x2 + 3x − 10x + 5 = 20x2 − 40x + 27

− x2 − 7x − 6 = 0

x2 + 7x + 6 = 0

x =−(7)±

√(7)2 − 4(1)(6)

x =−7±

√49− 24

x =−7± 5

x1 =−7 + 5

2⇒ x1 = −1,

x2 =−7− 5

2⇒ x2 = −6.

Ecuaciones

(5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27

25x2 − 40x + 16− 6x2 + 3x − 10x + 5 = 20x2 − 40x + 27

− x2 − 7x − 6 = 0

x2 + 7x + 6 = 0

x =−(7)±

√(7)2 − 4(1)(6)

x =−7±

√49− 24

x =−7± 5

x1 =−7 + 5

2⇒ x1 = −1,

x2 =−7− 5

2⇒ x2 = −6.

Ecuaciones

(5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27

25x2 − 40x + 16− 6x2 + 3x − 10x + 5 = 20x2 − 40x + 27

− x2 − 7x − 6 = 0

x2 + 7x + 6 = 0

x =−(7)±

√(7)2 − 4(1)(6)

x =−7±

√49− 24

x =−7± 5

x1 =−7 + 5

2⇒ x1 = −1,

x2 =−7− 5

2⇒ x2 = −6.

Ecuaciones

(5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27

25x2 − 40x + 16− 6x2 + 3x − 10x + 5 = 20x2 − 40x + 27

− x2 − 7x − 6 = 0

x2 + 7x + 6 = 0

x =−(7)±

√(7)2 − 4(1)(6)

x =−7±

√49− 24

x =−7± 5

x1 =−7 + 5

2⇒ x1 = −1,

x2 =−7− 5

2⇒ x2 = −6.

Ecuaciones

(5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27

25x2 − 40x + 16− 6x2 + 3x − 10x + 5 = 20x2 − 40x + 27

− x2 − 7x − 6 = 0

x2 + 7x + 6 = 0

x =−(7)±

√(7)2 − 4(1)(6)

x =−7±

√49− 24

x =−7± 5

x1 =−7 + 5

2⇒ x1 = −1,

x2 =−7− 5

2⇒ x2 = −6.

Ecuaciones

(5x − 4)2 − (3x + 5)(2x − 1) = 20x(x − 2) + 27

25x2 − 40x + 16− 6x2 + 3x − 10x + 5 = 20x2 − 40x + 27

− x2 − 7x − 6 = 0

x2 + 7x + 6 = 0

x =−(7)±

√(7)2 − 4(1)(6)

x =−7±

√49− 24

x =−7± 5

x1 =−7 + 5

2⇒ x1 = −1,

x2 =−7− 5

2⇒ x2 = −6.

Ecuaciones

Ejemplo 5Resolver la ecuacion cuadratica 1

4(x − 4) + 2

5(x − 5) = 1

5(x2 − 53)

Solucion

4(x − 4) +

5(x − 5) =

5(x2 − 53) · (20)

5(x − 4) + 8(x − 5) = 4(x2 − 53)

− 4x2 + 13x + 152 = 0

4x2 − 13x − 152 = 0

x =−(−13)±

√(−13)2 − 4(4)(−152)

x =13±

√169 + 2432

x =13± 51

x1 =13 + 51

8⇒ x1 = 8,

x2 =13− 51

8⇒ x2 = −

Ecuaciones

4(x − 4) + 2

5(x − 5) = 1

5(x2 − 53)

Solucion

4(x − 4) +

5(x − 5) =

5(x2 − 53) · (20)

5(x − 4) + 8(x − 5) = 4(x2 − 53)

− 4x2 + 13x + 152 = 0

4x2 − 13x − 152 = 0

x =−(−13)±

√(−13)2 − 4(4)(−152)

x =13±

√169 + 2432

x =13± 51

x1 =13 + 51

8⇒ x1 = 8,

x2 =13− 51

8⇒ x2 = −

Ecuaciones

4(x − 4) + 2

5(x − 5) = 1

5(x2 − 53)

Solucion

4(x − 4) +

5(x − 5) =

5(x2 − 53) · (20)

5(x − 4) + 8(x − 5) = 4(x2 − 53)

− 4x2 + 13x + 152 = 0

4x2 − 13x − 152 = 0

x =−(−13)±

√(−13)2 − 4(4)(−152)

x =13±

√169 + 2432

x =13± 51

x1 =13 + 51

8⇒ x1 = 8,

x2 =13− 51

8⇒ x2 = −

Ecuaciones

4(x − 4) + 2

5(x − 5) = 1

5(x2 − 53)

Solucion

4(x − 4) +

5(x − 5) =

5(x2 − 53) · (20)

5(x − 4) + 8(x − 5) = 4(x2 − 53)

− 4x2 + 13x + 152 = 0

4x2 − 13x − 152 = 0

x =−(−13)±

√(−13)2 − 4(4)(−152)

x =13±

√169 + 2432

x =13± 51

x1 =13 + 51

8⇒ x1 = 8,

x2 =13− 51

8⇒ x2 = −

Ecuaciones

4(x − 4) + 2

5(x − 5) = 1

5(x2 − 53)

Solucion

4(x − 4) +

5(x − 5) =

5(x2 − 53) · (20)

5(x − 4) + 8(x − 5) = 4(x2 − 53)

− 4x2 + 13x + 152 = 0

4x2 − 13x − 152 = 0

x =−(−13)±

√(−13)2 − 4(4)(−152)

x =13±

√169 + 2432

x =13± 51

x1 =13 + 51

8⇒ x1 = 8,

x2 =13− 51

8⇒ x2 = −

Ecuaciones

4(x − 4) + 2

5(x − 5) = 1

5(x2 − 53)

Solucion

4(x − 4) +

5(x − 5) =

5(x2 − 53) · (20)

5(x − 4) + 8(x − 5) = 4(x2 − 53)

− 4x2 + 13x + 152 = 0

4x2 − 13x − 152 = 0

x =−(−13)±

√(−13)2 − 4(4)(−152)

x =13±

√169 + 2432

x =13± 51

x1 =13 + 51

8⇒ x1 = 8,

x2 =13− 51

8⇒ x2 = −

Ecuaciones

4(x − 4) + 2

5(x − 5) = 1

5(x2 − 53)

Solucion

4(x − 4) +

5(x − 5) =

5(x2 − 53) · (20)

5(x − 4) + 8(x − 5) = 4(x2 − 53)

− 4x2 + 13x + 152 = 0

4x2 − 13x − 152 = 0

x =−(−13)±

√(−13)2 − 4(4)(−152)

x =13±

√169 + 2432

x =13± 51

x1 =13 + 51

8⇒ x1 = 8,

x2 =13− 51

8⇒ x2 = −

Ecuaciones

4(x − 4) + 2

5(x − 5) = 1

5(x2 − 53)

Solucion

4(x − 4) +

5(x − 5) =

5(x2 − 53) · (20)

5(x − 4) + 8(x − 5) = 4(x2 − 53)

− 4x2 + 13x + 152 = 0

4x2 − 13x − 152 = 0

x =−(−13)±

√(−13)2 − 4(4)(−152)

x =13±

√169 + 2432

x =13± 51

x1 =13 + 51

8⇒ x1 = 8,

x2 =13− 51

8⇒ x2 = −

Ecuaciones

4(x − 4) + 2

5(x − 5) = 1

5(x2 − 53)

Solucion

4(x − 4) +

5(x − 5) =

5(x2 − 53) · (20)

5(x − 4) + 8(x − 5) = 4(x2 − 53)

− 4x2 + 13x + 152 = 0

4x2 − 13x − 152 = 0

x =−(−13)±

√(−13)2 − 4(4)(−152)

x =13±

√169 + 2432

x =13± 51

x1 =13 + 51

8⇒ x1 = 8,

x2 =13− 51

8⇒ x2 = −

Ecuaciones

4(x − 4) + 2

5(x − 5) = 1

5(x2 − 53)

Solucion

4(x − 4) +

5(x − 5) =

5(x2 − 53) · (20)

5(x − 4) + 8(x − 5) = 4(x2 − 53)

− 4x2 + 13x + 152 = 0

4x2 − 13x − 152 = 0

x =−(−13)±

√(−13)2 − 4(4)(−152)

x =13±

√169 + 2432

x =13± 51

x1 =13 + 51

8⇒ x1 = 8,

x2 =13− 51

8⇒ x2 = −

Ecuaciones

Usando la Factorizacion de Binomios

Si en la ecuacion ax2 + bx + c = 0, a = 1, resolvemos como unproducto de binomios, es decir, encontramos dos numeros quemultiplicados den como resultado c y sumados den b.

Ejemplo 1

Resolver la ecuacion cuadratica x2 + 3x − 18 = 0

Solucion:Buscamos dos numeros que multiplicados den −18 y sumadosentre si den 3, estos numeros resultan ser el 6 y el −3, luego

x2 + 3x − 18 = 0

(x + 6)(x − 3) = 0

x + 6 = 0 ⇒ x = −6,

x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Por tanto, las dos soluciones son x1 = 3 y x2 = −6.Importante: Verificar si efectivamente x1 y x2 son las solucionescorrectas.

Ejemplo 1

Resolver la ecuacion cuadratica x2 + 3x − 18 = 0Solucion:Buscamos dos numeros que multiplicados den −18 y sumadosentre si den 3, estos numeros resultan ser el 6 y el −3, luego

x2 + 3x − 18 = 0

(x + 6)(x − 3) = 0

x + 6 = 0 ⇒ x = −6,

x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Ejemplo 1

x2 + 3x − 18 = 0

(x + 6)(x − 3) = 0

x + 6 = 0 ⇒ x = −6,

x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Ejemplo 1

x2 + 3x − 18 = 0

(x + 6)(x − 3) = 0

x + 6 = 0 ⇒ x = −6,

x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Ejemplo 1

x2 + 3x − 18 = 0

(x + 6)(x − 3) = 0

x + 6 = 0 ⇒ x = −6,

x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Ejemplo 1

x2 + 3x − 18 = 0

(x + 6)(x − 3) = 0

x + 6 = 0 ⇒ x = −6,

x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Ejemplo 1

x2 + 3x − 18 = 0

(x + 6)(x − 3) = 0

x + 6 = 0 ⇒ x = −6,

x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Por tanto, las dos soluciones son x1 = 3 y x2 = −6.

Importante: Verificar si efectivamente x1 y x2 son las solucionescorrectas.

Ejemplo 1

x2 + 3x − 18 = 0

(x + 6)(x − 3) = 0

x + 6 = 0 ⇒ x = −6,

x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Ecuaciones

Ejemplo de Aplicacion

Hallar dos numeros pares consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea452.

Solucion:

i) Sea x : variable que indica un numero cualquiera. Luego, sitenemos un numero x , su consecutivo sera x + 1.

2i) queremos que sean numeros pares, es decir, tienen que sermultiplos de dos, entonces, 2x y 2(x + 1) son los numeros.sus cuadrados son (2x)2 y [2(x + 1)]2.suma de sus cuadrados sea 452, la podemos escribir,

(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452

Ecuaciones

Hallar dos numeros pares consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea452.Solucion:

i) Sea x : variable que indica un numero cualquiera.

Luego, sitenemos un numero x , su consecutivo sera x + 1.

(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452

Ecuaciones

(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452

Ecuaciones

2i) queremos que sean numeros pares, es decir, tienen que sermultiplos de dos, entonces, 2x y 2(x + 1) son los numeros.

sus cuadrados son (2x)2 y [2(x + 1)]2.suma de sus cuadrados sea 452, la podemos escribir,

(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452

Ecuaciones

2i) queremos que sean numeros pares, es decir, tienen que sermultiplos de dos, entonces, 2x y 2(x + 1) son los numeros.sus cuadrados son (2x)2 y [2(x + 1)]2.

suma de sus cuadrados sea 452, la podemos escribir,

(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452

Ecuaciones

(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452

Ecuaciones

Solucion:

(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452

4x2 + 4(x2 + 2x + 1) = 452

4x2 + 4x2 + 8x + 4 = 452

8x2 + 8x − 448 = 0

x2 + x − 56 = 0

(x − 7)(x + 8) = 0

x − 7 = 0 ⇒ x = 7,

x + 8 = 0 ⇒ x = −8.

Ecuaciones

Solucion:

(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452

4x2 + 4(x2 + 2x + 1) = 452

4x2 + 4x2 + 8x + 4 = 452

8x2 + 8x − 448 = 0

x2 + x − 56 = 0

(x − 7)(x + 8) = 0

x − 7 = 0 ⇒ x = 7,

x + 8 = 0 ⇒ x = −8.

Ecuaciones

Solucion:

(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452

4x2 + 4(x2 + 2x + 1) = 452

4x2 + 4x2 + 8x + 4 = 452

8x2 + 8x − 448 = 0

x2 + x − 56 = 0

(x − 7)(x + 8) = 0

x − 7 = 0 ⇒ x = 7,

x + 8 = 0 ⇒ x = −8.

Ecuaciones

Solucion:

(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452

4x2 + 4(x2 + 2x + 1) = 452

4x2 + 4x2 + 8x + 4 = 452

8x2 + 8x − 448 = 0

x2 + x − 56 = 0

(x − 7)(x + 8) = 0

x − 7 = 0 ⇒ x = 7,

x + 8 = 0 ⇒ x = −8.

Ecuaciones

Solucion:

(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452

4x2 + 4(x2 + 2x + 1) = 452

4x2 + 4x2 + 8x + 4 = 452

8x2 + 8x − 448 = 0

x2 + x − 56 = 0

(x − 7)(x + 8) = 0

x − 7 = 0 ⇒ x = 7,

x + 8 = 0 ⇒ x = −8.

Ecuaciones

Solucion:

(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452

4x2 + 4(x2 + 2x + 1) = 452

4x2 + 4x2 + 8x + 4 = 452

8x2 + 8x − 448 = 0

x2 + x − 56 = 0

(x − 7)(x + 8) = 0

x − 7 = 0 ⇒ x = 7,

x + 8 = 0 ⇒ x = −8.

Ecuaciones

Solucion:

(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452

4x2 + 4(x2 + 2x + 1) = 452

4x2 + 4x2 + 8x + 4 = 452

8x2 + 8x − 448 = 0

x2 + x − 56 = 0

(x − 7)(x + 8) = 0

x − 7 = 0 ⇒ x = 7,

x + 8 = 0 ⇒ x = −8.

Ecuaciones

Solucion:

(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452

4x2 + 4(x2 + 2x + 1) = 452

4x2 + 4x2 + 8x + 4 = 452

8x2 + 8x − 448 = 0

x2 + x − 56 = 0

(x − 7)(x + 8) = 0

x − 7 = 0 ⇒ x = 7,

x + 8 = 0 ⇒ x = −8.

Ecuaciones

Solucion:

(2x)2 + [2(x + 1)]2 = 452

4x2 + 4(x2 + 2x + 1) = 452

4x2 + 4x2 + 8x + 4 = 452

8x2 + 8x − 448 = 0

x2 + x − 56 = 0

(x − 7)(x + 8) = 0

x − 7 = 0 ⇒ x = 7,

x + 8 = 0 ⇒ x = −8.

Ecuaciones

Solucion:

4i) Si x = 7 ⇒ 2(7) = 14 y 2(7 + 1) = 16.

Six = −8 ⇒ 2(−8) = −16 y 2(−8+1) = −14.

Por tanto, el problema tiene dos soluciones: 14 y 16 yademas -16 y -14.

Ecuaciones

Solucion:

4i) Si x = 7 ⇒ 2(7) = 14 y 2(7 + 1) = 16.

Six = −8 ⇒ 2(−8) = −16 y 2(−8+1) = −14.

Ecuaciones

Solucion:

4i) Si x = 7 ⇒ 2(7) = 14 y 2(7 + 1) = 16.

Six = −8 ⇒ 2(−8) = −16 y 2(−8+1) = −14.

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