UNIVERSIDAD DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MATEMÁTICA

MODELOS ESTOCÁSTICOS PARADISTRIBUCIÓN DE VETILLAS GEOLÓGICAS

Ángela Marcela Ganz Bustos

U. de Chile – D.I.M. – A. Ganz – Noviembre 2003– p. 1/54

�INDICE

� Introducción a conceptos Geológicos y Mineros

� Introducción a la geoestadística

� Introducción a proceso de poisson sentido general

� El problema

� El modelo

� Simulaciones

� Datos reales

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�

Conceptos Mineros y geológicos deInterés

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�Vetillas

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�¿Qué es una vetilla?

Es el resultado de un proceso de alteración ymineralización. Los esfuerzos de la cortezaterrestre fracturan la roca y luego, estas fracturasson rellenadas por fluidos mineralizados, que alenfriarse precipitan los distintos minerales quese pueden reconocer en las vetillas. Esimportante agregar que las fracturas sonaperturas en la roca en forma de planos.

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�Otra Foto

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�Proceso del cobre

� La extracción de cobre, tanto en minas subterraneáscomo a rajo abierto, consisten en moler los pedazosde rocas hasta encontrarse con el mineral y mientrasmás molida salga la roca de la mina, más eficiente esel proceso de obtención de cobre, lo que implica másrentabilidad.

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�Proceso del cobre

� Una mina requiere de una gran infraestructura (obrasciviles), luego por seguridad planificarse dondedinamitar y que sectores se dejarán sin explotar.Conocer en estos casos como se fragmenta la rocapermitiría tomar la decisión adecuada.

la fragmentación de la roca depende entre otrosfactores de la frecuencia de vetillas y de la dureza delrelleno que poseen estas.

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�Proceso del cobre

� Una mina requiere de una gran infraestructura (obrasciviles), luego por seguridad planificarse dondedinamitar y que sectores se dejarán sin explotar.Conocer en estos casos como se fragmenta la rocapermitiría tomar la decisión adecuada.

� la fragmentación de la roca depende entre otrosfactores de la frecuencia de vetillas y de la dureza delrelleno que poseen estas.

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�

Geoestadística

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�Conceptos

Los métodos de recopilación de datos en unamina son muchos, los utilizados para crear elmodelo y la simulación son las fotos, y los datosobtenidos a partir de las líneas de detalle,principalmente traza, rumbo y manteo.

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�Líneas de Detalle

El método consiste en pararsehuincha será la línea de referenciadel mapeo de las estructuras. Lasestructuras seleccionadas para serregistradas en el mapeo, deben enprimer lugar cortar la línea de refer-encia (huincha).

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�Dibujo estereográfica

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�Dibujo explicativo

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�Rumbo y Manteo

φ

θ

φ

vetilla

S

N

EO

z

n

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�

Introducción a procesos de Poissongenerales

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�

� Definiciones y formalización

� Proceso de Poisson de puntos

� Proceso de Poisson de planos

� Proceso de Poisson de líneas

�

Cálculo de resultados requeridos por el modelo

� Intersección de procesos de Poisson

� procesos de Poisson coloreados

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�Dibujo Poisson

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�Procesos de Poisson

Los procesos de Poisson comúnmente sonusados para modelar “colas” y se aplicanprincipalmente para simular. La teoría de colasda una interpretación temporal del proceso (sehabla de cantidad de gente atendida por unidadde tiempo). La otra interpretación posible es laespacial (cantidad de ocurrencias por unidad delongitud), como en el modelo que se presentará.

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�Proceso de Poisson Espacial

Se define un proceso de Poisson como unsubconjunto de objetos numerable aleatorioque conserva nociones como las expuestas enla línea, es decir, independencia de unaocurrencia con otra y el no amontonarse.

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�Poisson de Puntos Homogéneo

El ejemplo de la cola de personas corresponde aun Poisson de líneas, que es un ejemploparticular de un Poisson de puntos homogéneo.La generalización a dimensión dos y tres son degran importancia en aplicaciones (como lanuestra).

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�

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�Poisson de Líneas Homogéneo

θ

IR2

PL

Para construir las líneas se manejan rela-cionándo con el Poisson de puntos de

� �

por la función:

��� ���� � � �

�� � � � � � � ��� � ��� � ��� � � �

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�Poisson de Planos Homogéneo

θ

φ

X

Y

Z

P

Se puede construir a partir de la parametrización siguiente:

� � � ��� � � � � ���

�

� � � � �� � � �� ��� �

�� � �� � ��� �� � �� � � � ��� � ��� � ��� �� ��� � ��� ��� � � �

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�

Se considera un proceso de puntos homógeneo en

�� � �

, es decir una medida en

� �

escrita como:

� � � ��

� � ��� � � ��� �� �� � � �

Esta definición permite tener una forma fácil desimular el proceso, lo que es importante en nuestrotrabajo.

[volver]

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�Procesos por Intersección

� El proceso de puntos formado porintersección de una recta fija con el procesode planos homogéneo de tasa

�

también esun proceso de Poisson y su tasa es � �

.

� Esta propiedad es la que se usa paraencontrar la tasa de la simulación, ya que enla mina se toman mediciones lineales. Esteresultado se basa en un teorema.

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�

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�

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�P.P. Filtrado (o Coloreados)

Las propiedades de un proceso de Poisson homogéneo detasa

�

se conservan, si con probabilidad constante

serechaza una ocurrencia, el nuevo proceso tendrá tasa

�� .

Por ejemplo, piense en la llegada de clientes a un bancoque sea un proceso de Poisson, entonces el proceso demujeres que llega al banco también es Poissoniano.

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�

El Problema

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�Motivación

Aportar herramientas para el estudio sobre elproceso de fragmentación de la roca. el que esmuy importante, pues cualquier avance en lamateria permite optimizar los procesos deextracción de cobre.

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�Problema

Encontrar un modelo estocástico, geométricopara la disposición tri-dimensional de vetillas. Laespacialidad del problema hace necesario basarel estudio sobre fotografías bi-dimensionales yen datos geoestadísticos.

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�

El Modelo

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�Modelo

Primera etapa: se construyen planos según un proceso dePoisson de planos homogéneo La tasa con que se

genera

� � ��� � se deduce a partir de la frecuencia lineal

tomada en la mina,

� � ��� � ���� ����

�� .

Segunda etapa: se procede a subdividir cada plano en un

conjunto de polígonos, esto se hace por medio de un

Proceso de Poisson de líneas. La tasa utilizada

� � �� � es

la misma en todos los planos.

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�Modelo

Tercera etapa: corresponde a establecer una probabilidad

constante como regla de marcado sobre los polígonos

formados en el paso anterior. Este procedimiento permite

clasificar a cada polígono como roca intacta o como

vetilla.

El proceso se repite para distintos conjuntos, según un orden

temporal, creando el modelo final por superposición.

[Dibujo]

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�Explicación

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�Aplicación El Teniente.

� Primero se estableció el orden temporal: según laclasificación TM,HP y HT, conjuntos con procesosindependientes a tasas distintas que se superpondrán.

� Se modela la tasa

� � � � � , dado los datos

� La probabilidad

de marcado y

� � �� � se calculan porsimulación usando las fotos.

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�¿Cómo modelar la tasa � ��� �� �?

Las hipótesis que juegan un rol fundamental son:

a) La suposición de que toda orientación esigualmente probable permite deducir a partirde las líneas de detalle la tasa del proceso deplanos que se quiere simular.

b) Tomar constante y el proceso de líneashomogéneo nos permite incorporar elproceso de marcado en la estimación a partirde las líneas de detalle.

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�Proceso Filtrado

Para calcular la tasa se puede ver el proceso final como unPoisson coloreado tomando dos colores: uno conprobabilidad

y el otro con probabilidad�� �

, se diceque el plano tiene un color cuando la línea fija intersectaen un polígono elegido (probabilidad P) y otro color encaso contrario

�� �

.Por el Teorema de Coloreo la tasa será

� � ��� � .

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�Resultado Final

Finalmente llamamos

�� ��� � a las frecuencias

deducidas de las líneas de detalle la tasa delproceso de planos a simular lo calculamos como:

�� � �� �� �� ��� ���

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�Variable Dureza del Relleno

El modelo planteado se puede “colorear” segúnun indicador que discretice la dureza del relleno.De esta forma tendríamos la distribuciónespacial de este indicador calculada a partir dela clasificación ya realizada (TM,HP,HT). Esto sejustifica porque cada una de estos tipos tienendistintos rellenos característicos.

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�

Simulaciones

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�Sobre Estimación de P y �

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

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�Simulaciones

� Implementamos el algoritmo y se ingresaron losparámetros

� � ��� � � � ���

� Se tomaron los datos de la zona y se estimaron lastasas y tamaños promedio:

Tipo Tasa Tamaño (mt)TM 5.01 1.71HP 0.19 2.46HT 0.12 2.41

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�Simulaciones

� para un marco visor de 3 metros se encontró que

� � �� � �

y

� ��� �

ajustaban al tamaño promediopara las TM. Los otros procesos no se tomaron encuenta en esta implementación debido a su escasafrecuencia.

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�Simulaciones

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

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�Simulaciones

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

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�Simulaciones

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

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�Simulaciones

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

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�Simulaciones

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

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�Realización 3D

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

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�

Justificación con Datos

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�Conclusiones de los datos

Se tomaron los datos mapeados en líneas dedetalle de 20 metros, las conclusiones fueron:

� Las mediciones de cantidad de vetillas TMintersectando por metro se venaparentemente regulares.

� Se usaron test de hipótesis.

� En cuanto al gráfico de la distancia entrerealizaciones, los histogramas producen unabuena curva.

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�Gráfico zona1

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�Gráfico zona3

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�Gráfico zona4

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�

La tasa estimada para la zona 3 y la zona 1 sonrelativamente parecidas

�� � �

y

�� �

respectivamente.

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�

� Los ángulos

� ��

�

no se distrubuyenuniformes en el casquete esférico. Sí sepuede concluir que son independientes entresí.

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�

En la bibliografía citamos especialmenteStochastic Geometry and its applications, D. Stoyan,W.S.Kendall, J.mecke

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�

GRACIAS

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