Modelamiento Matemático de Sistemas Dinámicos

Introducción

Modelos Matemáticos• Diferentes Modelos Matemáticos.

– Control Optimo.

– Representación en Espacios de Estado.

– Funciones de Transferencia

• Modelos matemáticos ayudan al análisis usando computadores.

Introducción cont..

Simplicidad versus Precisión.• Modelos precisos => Modelos Complejos.

• Obtener un modelo razonablemente simplificado.

• Modelos simplificados tienen buen comportamiento dentro de un rango de ....

Introducción cont..

Sistemas Lineales.• Un sistema es lineal, si es posible aplicar el

Principio de Superposición.

• Ecuaciones Diferenciales Lineales.

Invariantes en el Tiempo.• Coeficientes constantes.

Variantes en el tiempo.• Coeficientes dependientes del tiempo.

Salida

Entrada

Introducción cont..

Sistemas no lineales.• No lineal si no se cumple Principio de

Superposición.

Introducción cont..

Linealización de Sistemas no Lineales.• Para sistemas no lineales, lo común es que se

linealizar en torno al punto de equilibrio.

• Por ejemplo se aplican Series de Taylor, se suponen pequeñas variaciones, de tal manera de dejar sólo los primeros términos y despreciando los restante y en consecuencia se transforma una ecuación no lineal en lineal.

Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.

Función de Transferencia= G(s)

£[entrada]

£[salida]

G(s) =

Con CIs = 0

=Y(s)

X(s)

Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont

Suponga

a0y(n) + a1y(n-1) + ...an-1y’+any=

b0x(m) + b1x(m-1)+ ... + bm-1x’+bmx

(nm) ; Si x es variable de entrada e y variable de salida, entonces;

a0sn + a1sn-1 + ...an-1s+an

b0sm + b1sm-1+ ... + bm-1s+bm

G(s) =

Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont

Comentarios.La función de transferencia es:

Un modelo matemático.

Es una propiedad que no depende de la entrada al sistema.

Incluye las unidades a relacionar, pero no entrega información de la estructura interna del sistema.

Un forma de relacionar entrada y salida de un sistema.

Se puede obtener de manera experimental.

Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont

Ejemplo: Suponga el siguiente sistema mecánico.

MK

Bf

v

Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont

La Función de Transferencia será:

Pero si la salida es posición, entonces la Función de Transferencia será:

Ms2 + Bs + K

sG(s) =

Ms2 + Bs + KG(s) =

1

Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont

Diagramas de Bloques.Diagrama en Bloque = Representación Gráfica.

Función de Transferencia

G(s)

X(s) Y(s)

Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont

Diagrama de Bloques de un sistema de Lazo Cerrado.

G(s)-+R(s) E(s) C(s)

Punto Suma

Punto de Ramificación

B(s)

Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont

Función de Transferencia de Lazo Cerrado.

Generalizando:

G(s)-+R(s) E(s) C(s)

B(s)

H(s)

Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont

Función de Transferencia en Lazo Abierto.

Función de Transferencia de la Trayectoria Directa.

¿ Cual será la Función de Transferencia en Lazo Cerrado ?

B(s)

E(s)= G(s) H(s)

C(s)E(s) = G(s)

Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont

Función de Transferencia en Lazo Cerrado será.

C(s)R(s)

G(s)1 + G(s) H(s)

=

Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont

Sistema en Lazo Cerrado con Perturbaciones.

G1(s)-+R(s) E(s) C(s)

B(s)

H(s)

G2(s)-+

Perturbación

D(s)

Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont

Como el sistema es lineal, se puede aplicar superposición, es decir, para el cálculo con una entrada se anula la otra y finalmente se suman.

CD(s)D(s)

G2(s)1 + G1(s)G2(s) H(s)

=

CR(s)R(s)

G1(s)G2(s)1 + G1(s)G2(s) H(s)

=

Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont

Así,

C(s) = CR(s) + CD(s)

Es decir,

CD(s)G2(s)

1 + G1(s)G2(s) H(s)= [ G1(s)R(s) + D(s) ]

Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont

Posibles consideraciones:

Si | G1(s)H(s)| >> 1 y |G1(s)G2(s)H(s)| >> 1

Se puede eliminar el efecto de la perturbación y, la Función del sistema completo tiende a

CR(s)R(s)

1H(s)

=

Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont

Procedimiento para dibujar un diagrama en bloques. Ejemplo.

R

Cei e0

i

i = ei - eo

R

eo = i dt

C

1-+

Ei(s) I(s)

Eo(s)R

1Cs

Eo(s)

Función de Transferencia y Respuesta al Impulso.... cont

Reducción de un Diagrama de Bloques.