Métodos Matemáticos

INAOE CURSO PROPEDEUTICO PARA LA

MAESTRIA EN ELECTRONICA

Capítulo 2

2010

EDO de segundo orden

Métodos Matemáticos - INAOE

Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de 2o. OrdenForma General

pc yyy

Sol. Complementaria es la sol. de la ec. homogénea asociada

La solución particular proviene de la forma de f(x)

)(2

2

xfcydx

dyb

dx

yda

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Ecuaciones Homogeneas

Ecuación diferencial de segundo orden, lineal, de coeficientes constantes, homogénea

2

20

d y dya b cy

dx dx

2 0am bm c

2 2

1 2

4 4 and

2 2

b b ac b b acm m

a a

mxey

02 mxmxmx ceebmeam

Ecuación característica

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Métodos Matemáticos - INAOE

La ecuación auxiliar: Raices reales y diferentes.

Si la ecuación auxiliar:

Con solución:

donde:

Entonces la solución a:

2 0am bm c

2 2

1 2

4 4 and

2 2

b b ac b b acm m

a a

1 2 1 2, , y m m m m R

1 2

2

20 es m x m xd y dy

a b cy y Ae Bedx dx

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

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La ecuación auxiliar: Raices reales e iguales.

Si la ecuación auxiliar:

Con solución:

donde:

Entonces la solución a:

2 0am bm c

2 2

1 2

4 4 and

2 2

b b ac b b acm m

a a

1 2 1 2, , y m m m m R

1

2

20 es ( ) m xd y dy

a b cy y A Bx edx dx

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

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La ecuación auxiliar: Raices complejas.

Si la ecuación auxiliar:

Con solución:

donde:

Entonces las soluciones a la ecuación auxiliar son complejas conjugadas, y por tanto :

2 0am bm c

2 2

1 2

4 4 and

2 2

b b ac b b acm m

a a

1 2, m m CÎ

1 2 y m j m j

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

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La ecuación auxiliar: Raices complejas.

Y la solución a la ecuación diferencial es de la forma:

Como:

Entonces:

Y la solución a una ecuación diferencial con raíces complejas esta dada por:

( ) ( )j x j x

x j x j x

y Ae Be

e Ae Be

cos sin and cos sinj x j xe x j x e x j x

( )cos ( )sin

cos sin

j x j xAe Be A B x j A B x

C x D x

cos sinxy e C x D x

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Métodos Matemáticos - INAOE

Ecuaciones Homogeneas: ejemplos

Solucionar:

Cuya ecuación característica es:

Cuyas raíces son

reales y distintas

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

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Solucionar:

Cuya ecuación característica es:

Cuyas raíces son

reales e iguales

Ecuaciones Homogeneas: ejemplos

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

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Ecuaciones No-homogeneas. Coeficientes indeterminados

La ecuación diferencial de segundo orden, de coeficientes constantes, lineal, no homogénea, es del tipo:

La solución está dada en dos partes y1 + y2:

(a) La parte 1, y1 es la solución a la ecuaciòn homogénea, y es llamada la solución complementaria.

(b) La parte 2, y2 la cual es llamada la solución particular.

2

2( )

d y dya b cy f x

dx dx

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

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ejemplo, para solucionar :

(a) solución complementaria

Ecuación auxiliar: m2 – 5m + 6 = 0 la solución m = 2, 3

Y la solución complementaria es y1 = Ae2x + Be3x , donde:

22

25 6

d y dyy x

dx dx

21 1

125 6 0

d y dyy

dx dx

Ecuaciones No-homogeneas: Solución complementaria

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Métodos Matemáticos - INAOE

(b) Solución Particular

Se presupone una forma para y2 tal que y2 = Cx2 + Dx + E, y se sustituye en:

Lo cual da:

permitiendo:

De forma que:

222 2

225 6

d y dyy x

dx dx

2 26 (6 10 ) (2 5 6 ) 0 0Cx D C x C D E x x

1/ 6 : 5 /18 : 19 /108C D E

2

2

5 19

6 18 108

x xy

Ecuaciones No-homogeneas: Solución Particular

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

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(c) La solución completa a:

consiste de:

Solución complementaria + solución particular

La cual es:2

2 31 2

5 19

6 18 108x x x x

y y y Ae Be

22

25 6

d y dyy x

dx dx

Ecuaciones No-homogeneas: Solución Completa

COEFICIENTES INDETERMINADOS

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La forma general que se presupone para la integral particular depende de la forma del lado izquierdo de la ecuación no homogénea. La tabla siguiente puede ser usada como una guía:

2 2

( ) Assume

sin or cos sin cos

sinh or cosh sinh coshkx kx

f x y

k C

kx Cx D

kx Cx Dx E

k x k x C x D x

k x k x C x D x

e Ce

Ecuaciones No-homogeneas: Solución Particulares

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

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Solucionar:

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

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Solucionar:

Ec. Homogénea asociada:

08´´ yy

Polinomio característico:

082 222,1 j

EJEMPLO: Resolver la sig. Ec. Dif. no-homogénea de coef. constantes :

xeyy x 528´´

222

221

jjc ekeky

Por ecuación de Euler:

xsencxcyc )22()22(cos 21

Se propone sol. particular:CBxAey x

p

Derivando dos veces:x

p Aey ´´

Substituyendo en la ec. original y resolviendo para las constantes ABC:

08/59/2 CBA

xey xp 8

592

xexsencxcy x

85

92

)22()22(cos 21

ECS. DIF. LINEALES DE ORDEN SUPERIOR :

Homogénea:

Ejemplo:

Polinomio característico:

Sacando raíces:

Solución:

Cada par de raíces complejo conjugadas DIFERENTES :

Genera un par de funciones linealmente independientes:

N funciones “y” son linealmente independientes si :

Ejemplo:

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

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Variación de Parámetros

Variación de parámetros es otro método para encontrar una solución particular de la ecuación diferencial de orden n:

Si y1(x), y2(x),..., yn(x) son soluciones n-linealmente independientes de la ecuación homogénea entonces la solución complementaria está dada por:

(Recordar brevemente el método ya visto de “Variación de Parámetros” para el caso de 1er. Orden)

METODO DE VARIACION DE PARAMETROS EN LA SOLUCION DE ECS. DIF. LINEAL NO-HOMOGENEA

)()( xfyxPdx

dy

pc yyy

Sol. Complementaria es la sol. de la ec. homogénea asociada

La solución particular proviene de la forma de f(x)

dxxP

ey)(

1 1yvy

cdxxy

xfv

)(

)(

1

METODO DE VARIACION DE PARAMETROS (AHORA PARA ORDEN “n”)

pc yyy

Sol. Complementaria es la sol. de la ec. homogénea asociada

La solución particular proviene de la forma de f(x)

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

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Variación de Parámetros

Una solución particular de L(y) = f(x) tiene la forma:

Para hallar vi, Hay que solucionar primero simultáneamente las siguientes ecuaciones lineales vi’ para :

donde yi = yi(x) (i = 1,2,..., n) fueron obtenidas a partir de la homogénea asociada, vi (i = 1,2,..., n) son las funciones por determinar.

Y entonces se integra cada uno para obtener vi, despreciando todas las constantes de integración, lo cual se permite porque solo buscamos solamente una solución particular

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

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Solucionar:

j 3,213 ;00 senxcxccyc 321 cos

xyy sec´´

j 2,12 01

senxcxcyc 21 cos

senxvxvy p 21 cos

0)´(cos)´(

0´cos´

21

21

xvsenxv

senxvxv

1´cos

´ 21 vxxsen

v

xvxv 21 ;cosln

senxxxxy p coslncos

senxxxxsenxcxcyyy pc coslncoscos 21

Ejemplo: Resolver por variación de parámetros la sig. ec.

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

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Ecuaciones Homogeneas: ejemplos

Solucionar:

Cuya ecuación característica es: