Métodos Matemáticos
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Métodos Matemáticos
INAOE CURSO PROPEDEUTICO PARA LA
MAESTRIA EN ELECTRONICA
Capítulo 2
2010
EDO de segundo orden
Métodos Matemáticos - INAOE
Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal de 2o. OrdenForma General
pc yyy
Sol. Complementaria es la sol. de la ec. homogénea asociada
La solución particular proviene de la forma de f(x)
)(2
2
xfcydx
dyb
dx
yda
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Ecuaciones Homogeneas
Ecuación diferencial de segundo orden, lineal, de coeficientes constantes, homogénea
2
20
d y dya b cy
dx dx
2 0am bm c
2 2
1 2
4 4 and
2 2
b b ac b b acm m
a a
mxey
02 mxmxmx ceebmeam
Ecuación característica
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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La ecuación auxiliar: Raices reales y diferentes.
Si la ecuación auxiliar:
Con solución:
donde:
Entonces la solución a:
2 0am bm c
2 2
1 2
4 4 and
2 2
b b ac b b acm m
a a
1 2 1 2, , y m m m m R
1 2
2
20 es m x m xd y dy
a b cy y Ae Bedx dx
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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La ecuación auxiliar: Raices reales e iguales.
Si la ecuación auxiliar:
Con solución:
donde:
Entonces la solución a:
2 0am bm c
2 2
1 2
4 4 and
2 2
b b ac b b acm m
a a
1 2 1 2, , y m m m m R
1
2
20 es ( ) m xd y dy
a b cy y A Bx edx dx
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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La ecuación auxiliar: Raices complejas.
Si la ecuación auxiliar:
Con solución:
donde:
Entonces las soluciones a la ecuación auxiliar son complejas conjugadas, y por tanto :
2 0am bm c
2 2
1 2
4 4 and
2 2
b b ac b b acm m
a a
1 2, m m CÎ
1 2 y m j m j
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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La ecuación auxiliar: Raices complejas.
Y la solución a la ecuación diferencial es de la forma:
Como:
Entonces:
Y la solución a una ecuación diferencial con raíces complejas esta dada por:
( ) ( )j x j x
x j x j x
y Ae Be
e Ae Be
cos sin and cos sinj x j xe x j x e x j x
( )cos ( )sin
cos sin
j x j xAe Be A B x j A B x
C x D x
cos sinxy e C x D x
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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Ecuaciones Homogeneas: ejemplos
Solucionar:
Cuya ecuación característica es:
Cuyas raíces son
reales y distintas
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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Solucionar:
Cuya ecuación característica es:
Cuyas raíces son
reales e iguales
Ecuaciones Homogeneas: ejemplos
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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Ecuaciones No-homogeneas. Coeficientes indeterminados
La ecuación diferencial de segundo orden, de coeficientes constantes, lineal, no homogénea, es del tipo:
La solución está dada en dos partes y1 + y2:
(a) La parte 1, y1 es la solución a la ecuaciòn homogénea, y es llamada la solución complementaria.
(b) La parte 2, y2 la cual es llamada la solución particular.
2
2( )
d y dya b cy f x
dx dx
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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ejemplo, para solucionar :
(a) solución complementaria
Ecuación auxiliar: m2 – 5m + 6 = 0 la solución m = 2, 3
Y la solución complementaria es y1 = Ae2x + Be3x , donde:
22
25 6
d y dyy x
dx dx
21 1
125 6 0
d y dyy
dx dx
Ecuaciones No-homogeneas: Solución complementaria
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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(b) Solución Particular
Se presupone una forma para y2 tal que y2 = Cx2 + Dx + E, y se sustituye en:
Lo cual da:
permitiendo:
De forma que:
222 2
225 6
d y dyy x
dx dx
2 26 (6 10 ) (2 5 6 ) 0 0Cx D C x C D E x x
1/ 6 : 5 /18 : 19 /108C D E
2
2
5 19
6 18 108
x xy
Ecuaciones No-homogeneas: Solución Particular
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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(c) La solución completa a:
consiste de:
Solución complementaria + solución particular
La cual es:2
2 31 2
5 19
6 18 108x x x x
y y y Ae Be
22
25 6
d y dyy x
dx dx
Ecuaciones No-homogeneas: Solución Completa
COEFICIENTES INDETERMINADOS
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La forma general que se presupone para la integral particular depende de la forma del lado izquierdo de la ecuación no homogénea. La tabla siguiente puede ser usada como una guía:
2 2
( ) Assume
sin or cos sin cos
sinh or cosh sinh coshkx kx
f x y
k C
kx Cx D
kx Cx Dx E
k x k x C x D x
k x k x C x D x
e Ce
Ecuaciones No-homogeneas: Solución Particulares
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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Solucionar:
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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Solucionar:
Ec. Homogénea asociada:
08´´ yy
Polinomio característico:
082 222,1 j
EJEMPLO: Resolver la sig. Ec. Dif. no-homogénea de coef. constantes :
xeyy x 528´´
222
221
jjc ekeky
Por ecuación de Euler:
xsencxcyc )22()22(cos 21
Se propone sol. particular:CBxAey x
p
Derivando dos veces:x
p Aey ´´
Substituyendo en la ec. original y resolviendo para las constantes ABC:
08/59/2 CBA
xey xp 8
592
xexsencxcy x
85
92
)22()22(cos 21
ECS. DIF. LINEALES DE ORDEN SUPERIOR :
Homogénea:
Ejemplo:
Polinomio característico:
Sacando raíces:
Solución:
Cada par de raíces complejo conjugadas DIFERENTES :
Genera un par de funciones linealmente independientes:
N funciones “y” son linealmente independientes si :
Ejemplo:
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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Variación de Parámetros
Variación de parámetros es otro método para encontrar una solución particular de la ecuación diferencial de orden n:
Si y1(x), y2(x),..., yn(x) son soluciones n-linealmente independientes de la ecuación homogénea entonces la solución complementaria está dada por:
(Recordar brevemente el método ya visto de “Variación de Parámetros” para el caso de 1er. Orden)
METODO DE VARIACION DE PARAMETROS EN LA SOLUCION DE ECS. DIF. LINEAL NO-HOMOGENEA
)()( xfyxPdx
dy
pc yyy
Sol. Complementaria es la sol. de la ec. homogénea asociada
La solución particular proviene de la forma de f(x)
dxxP
ey)(
1 1yvy
cdxxy
xfv
)(
)(
1
METODO DE VARIACION DE PARAMETROS (AHORA PARA ORDEN “n”)
pc yyy
Sol. Complementaria es la sol. de la ec. homogénea asociada
La solución particular proviene de la forma de f(x)
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Variación de Parámetros
Una solución particular de L(y) = f(x) tiene la forma:
Para hallar vi, Hay que solucionar primero simultáneamente las siguientes ecuaciones lineales vi’ para :
donde yi = yi(x) (i = 1,2,..., n) fueron obtenidas a partir de la homogénea asociada, vi (i = 1,2,..., n) son las funciones por determinar.
Y entonces se integra cada uno para obtener vi, despreciando todas las constantes de integración, lo cual se permite porque solo buscamos solamente una solución particular
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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Solucionar:
j 3,213 ;00 senxcxccyc 321 cos
xyy sec´´
j 2,12 01
senxcxcyc 21 cos
senxvxvy p 21 cos
0)´(cos)´(
0´cos´
21
21
xvsenxv
senxvxv
1´cos
´ 21 vxxsen
v
xvxv 21 ;cosln
senxxxxy p coslncos
senxxxxsenxcxcyyy pc coslncoscos 21
Ejemplo: Resolver por variación de parámetros la sig. ec.
Ecuaciones diferenciales de segundo orden
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Ecuaciones Homogeneas: ejemplos
Solucionar:
Cuya ecuación característica es: