E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios resueltos ...

E.T.S. Minas: Métodos MatemáticosEjercicios resueltos Tema 8EDOs de orden superior

Francisco PalaciosEscuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa

Universidad Politécnica de CataluñaCurso 2006/07

Noviembre 2006, Versión 1.1

Ejercicio 1 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias

1. 4y00 + y0 = 0.

2. y00 − y0 − 6y = 0.

3. y00 + 8y0 + 16y = 0.

4. 12y00 − 5y0 − 2y = 0.

5. y00 + 9y = 0.

6. y00 − 4y0 + 5y = 0.

7. 3y00 + 2y0 + y = 0.

(1.1)4y00 + y0 = 0.

Ecuación característica

4m2 +m = 0,

m (4m+ 1) = 0,

raícesm = 0, m = −1/4,

soluciones

y1 = e0x = 1,

y2 = e−14x.

Solución generaly = c1 + c2e

− 14x, c1, c2 ∈ R.

(1.2)y00 − y0 − 6y = 0.

Ecuación característicam2 −m− 6 = 0,

1

Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 2

m =1±√1 + 24

2=1± 52

=

(62 = 3,

−42 = −2.

Sistema fundamental de soluciones

y1 = e3x,

y2 = e−2x.

Solución generaly = c1e

3x + c2e−2x, c1, c2 ∈ R.

(1.3)y00 + 8y0 + 16y = 0.

Ecuación característicam2 + 8m+ 16 = 0,

m =−8±

√64− 642

= −82= −4 (doble) .


y1 = e−4x,

y2 = xe−4x.


−4x + c2xe−4x, c1, c2 ∈ R.

(1.4)12y00 − 5y0 − 2y = 0.

Ecuación característica12m2 − 5m− 2 = 0,

m =5±√25 + 4 · 2 · 1224

=5±√25 + 96

24

=5±√121

24=5± 1124

=

(1624 =

23 ,

− 624 = −1/4.


y1 = e23x,

y2 = e−14x.


23x + c2e

− 14x, c1, c2 ∈ R.

(1.5)y00 + 9y = 0.

Ecuación característicam2 + 9 = 0,

m2 = −9,


m = ±√−9 = ±3i.

Tenemos dos raíces complejas conjugadas (simples)

z = α± βi,

con α = 0 y β = 3. Las soluciones son del tipo

y1 = eαx cosβx,

y2 = eαx sinβx.

Solución generaly = eαx (c1 cosβx+ c2 sinβx) ,

y = c1 cos 3x+ c2 sin 3x, c1, c2 ∈ R.(1.6)

y00 − 4y0 + 5y = 0.Ecuación característica

m2 − 4m+ 5 = 0,

m =4±√16− 202

=4±√−4

2

=4± 2i2

= 2± i.


y1 = e2x cosx,

y2 = e2x sinx.

Solución general

y = e2x (c1 cosx+ c2 sinx) , c1, c2 ∈ R.

(1.7)3y00 + 2y0 + y = 0.

Ecuación característica3m2 + 2m+ 1 = 0,

m =−2±

√4− 126

=−2±

√−8

6

=−2± 2

√2i

6= −1

3±√2

3i.


y1 = e−x

3 cos

Ã√2

3x

!,

y2 = e−x

3 sin

Ã√2

3x

!.


Solución general

y = e−x3

"c1 cos

Ã√2

3x

!+ c2 sin

Ã√2

3x

!#, c1, c2 ∈ R. ¤

Ejercicio 2 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias

1. y000 − 4y00 − 5y0 = 0.

2. y000 − 5y00 + 3y0 + 9y = 0.

3.d3u

dt3+d2u

dt2− 2u = 0.

4. y000 + 3y00 + 3y0 + y = 0.

5. y(4) + y000 + y00 = 0.

6. 16d4y

dx4+ 24

d4y

dx4+ 9y = 0.

7.d5u

dr5+ 5

d4u

dr4− 2d

3u

dr3− 10d

2u

dr2+du

dr+ 5u = 0.

(2.1)y000 − 4y00 + 5y0 = 0.

Ecuación característicam3 − 4m2 − 5m = 0,

m¡m2 − 4m− 5

¢= 0,

m = 0, m2 − 4m− 5 = 0,m2 − 4m− 5 = 0,

m =4±√16 + 20

2=4±√36

2=4± 62

=

(102 = 5,

−22 = −1.

Raícesm = 0, m = 5, m = −1.


y1 = e0x = 1,

y2 = e5x,

y3 = e−x.

Solución general

y = c1 + c2e5x + c3e

−x, c1, c2, c3 ∈ R.

(2.2)y000 − 5y00 + 3y0 + 9y = 0.



m3 − 5m2 + 3m+ 9 = 0.

Intentamos con los divisores del término independiente

±1,±3,±9.

Para m = −1, obtenemos

(−1)3 − 5(−1)2 + 3(−1) + 9 = −1− 5− 3 + 9 = 0.

Descomponemos usando la regla de Ruffini

1 −5 3 9−1) −1 6 −9

1 −6 9 0

m3 − 5m2 + 3m+ 9 = (m+ 1)¡m2 − 6m+ 9

¢.

Resolvemosm2 − 6m+ 9 = 0,

m =6±√36− 362

=6

2= 3 (doble) .


y1 = e−x,

y2 = e3x,

y3 = xe3x.

Solución general

y = c1e−x + c2e

3x + c3xe3x, c1, c2, c3 ∈ R.

(2.3)d3u

dt2+d2u

dt2− 2u = 0,

u000 + u00 − 2u = 0.Ecuación característica

m3 +m2 − 2 = 0.Observamos que m = 1 es solución. Descomponemos usando la regla de Ruffini

1 1 0 −21) 1 2 2

1 2 2 0

m3 +m2 − 2 = (m− 1)¡m2 + 2m+ 2

¢.

Resolvemosm2 + 2m+ 2 = 0,


m =−2±

√4− 8

2=−2±

√−4

2=−2± 2i2

= −1± i.

Raíces de la ecuación característica

m = 1, m = −1± i.


y1 = et,

y2 = e−t cos t,

y3 = e−t sin t.

Solución general

y = c1et + e−t (c2 cos t+ c3 sin t) , c1, c2, c3 ∈ R.

(2.4)y000 + 3y00 + 3y0 + y = 0.


m3 + 3m2 + 3m+ 1 = 0,

(m+ 1)3= 0.

Raícesm = −1, (triple).


y1 = e−x,

y2 = xe−x,

y3 = x2e−x.

Solución general

y = c1e−x + c2xe

−x + c3x2e−x, c1, c2, c3 ∈ R.

(2.5)y(4) + y000 + y00 = 0.

Ecuación característicam4 +m3 +m2 = 0,

m2¡m2 +m+ 1

¢= 0.

Resolvemosm2 +m+ 1 = 0,

m =−1±

√1− 4

2=−1±

√−3

2

=−1±

√3 i

2= −1

2±√3

2i.



m = 0 (doble) ,

m = −12±√3

2i (complejas conjugadas, simples) .


y1 = e0 = 1,

y2 = xe0 = x,

y3 = e−12x cos

Ã√3

2x

!,

y4 = e−12x sin

Ã√3

2x

!.

Solución general

y = c1 + c2x+ e− 12x

Ãc3 cos

Ã√3

2x

!+ c4 sin

Ã√3

2x

!!, c1, c2, c3, c4 ∈ R.

(2.6)

16d4y

dx4+ 24

d2y

dx2+ 9y = 0,

16y(4) + 24y(2) + 9y = 0.

Ecuación característica16m4 + 24m2 + 9 = 0.

Se trata de una ecuación bicuadrada, realizamos el cambio t = m2

16t2 + 24t+ 9 = 0,

t =−24±

√242 − 4 · 16 · 932

=−24±

√576− 57632

=−2432

= −8 · 38 · 4 = −

3

4(doble).

m2 = −34,

m = ±r−34,

m = ±√3

2i (dobles).


y1 = cos

Ã√3

2x

!,


y2 = x cos

Ã√3

2x

!,

y3 = sin

Ã√3

2x

!,

y4 = x sin

Ã√3

2x

!.

Solución general

y = c1 cos

Ã√3

2x

!+ c2x cos

Ã√3

2x

!+ c3 sin

Ã√3

2x

!+ c4 sin

Ã√3

2x

!, cj ∈ R.

(2.7)d5u

dr5+5d4u

dr4− 2d

3u

dr3− 10d

2u

dr2+du

dr+ 5u = 0.


m5 + 5m4 − 2m3 − 10m2 +m+ 5 = 0.

Descomponemos usando la regla de Ruffini

1 5 −2 −10 1 51) 1 6 4 −6 5

1 6 4 −6 −5 01) 1 7 11 5

1 7 11 5 0−1) −1 −6 −5

1 6 5 0−1) −1 −5

1 5 0

Raícesm = 1 (doble) , m = −1 (doble) , m = −5.


y1 = er,

y2 = rer,

y3 = e−r,

y4 = re−r,

y5 = e−5r.

Solución general

y = c1er + c2re

r + c3e−r + c4re

−r + c5e−5r, cj ∈ R. ¤

Ejercicio 3 Resuelve el problema de valor inicial⎧⎨⎩ y00 + 16y = 0,y(0) = 2,y0(0) = −2.


Se trata de una EDO lineal homogénea con coeficientes constantes.Ecuación característica

m2 + 16 = 0,

m2 = −16,m =

√−16 = ±4i.

Solución generaly = c1 cos 4x+ c2 sin 4x.

Imponemos las condiciones iniciales

y0 = −4c1 sin 4x+ 4c2 cos 4x,

dey(0) = 2,

obtenemosc1 cos 0 + c2 sin 0 = 2,

c1 = 2.

De la condicióny0(0) = −2,

obtenemos−4c1 sin 0 + 4c2 cos 0 = −2,

4c2 = −2,c2 = −1/2.

Solución del problema de valor inicial

y = 2 cos 4x− 12sin 4x. ¤

Ejercicio 4 Resuelve el problema de valor inicial⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩d2y

dx2−4dydx− 5y = 0,

y(1) = 0,y0(1) = 2.

EDO lineal homogénea con coeficientes constantes.Ecuación característica

m2 − 4m− 5 = 0,

m =4±√16 + 20

2=4±√36

2=4± 62

=

(102 = 5,

−22 = −1.



5t + c2e−t.

Imponemos las condiciones iniciales

y0 = 5c1e5t − c2e−t,

dey(1) = 0,

obtenemosc1e

5 + c2e−1 = 0.

Dey0(1) = 2,

resulta5c1e

5 − c2e−1 = 2.Tenemos el sistema ½

c1e5 + c2e

−1 = 0,5c1e

5 − c2e−1 = 2.Sumamos las ecuaciones y resulta

6c1e5 = 2,

c1 =2

6e5=

1

3e5.

Sustituimos enc1e

5 + c2e−1 = 0

y obtenemos1

3e5e5 + c2e

−1 = 0,

c2e−1 = −1

3,

c2 = −1

3e.


y =1

3e5e5t − 1

3e · e−t.

Podemos reescribir la solución en la forma

y =1

3e5t−5 − 1

3e−t+1,

y =1

3e5(t−1) − 1

3e−(t−1). ¤

Ejercicio 5 Resuelve el problema de valor inicial½y00 + y0 + 2y = 0,y(0) = y00(0) = 0.



m2 +m+ 2 = 0,

m =−1±

√1− 8

2=−1±

√−7

2= −1

2±√7

2i.

Solución general

y = e−x2

"c1 cos

Ã√7

2x

!+ c2 sin

Ã√7

2x

!#.

Dey(0) = 0,

obtenemose0 (c1 cos 0 + c2 sin 0) = 0

c1 = 0.

Como c1 = 0, sabemos que la solución es de la forma

y = e−x2 c2 sin

Ã√7

2x

!.

Calculamos

y0 = −12e−x/2c2 sin

Ã√7

2x

!+ e−x/2c2

√7

2cos

Ã√7

2x

!,

de la condicióny0(0) = 0,

obtenemos

−12e0c2 sin 0 + e

0c2

√7

2cos 0 = 0,

c2 = 0.

La solución esy(x) = 0.

Este resultado puede deducirse sin realizar ningún cálculo, ya que y = 0 essolución ( y es única). ¤

Ejercicio 6 Resuelve el problema de valor inicial⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩y000 + 12y00 + 36y0 = 0,y(0) = 0,y0(0) = 1,y00(0) = −7.



m3 + 12m2 + 36m = 0,

m¡m2 + 12m+ 36

¢= 0,

m2 + 12m+ 36 = (m+ 6)2.


m = 0, m = −6 (doble).

Solución generaly = c1 + c2e

−6x + c3xe−6x.

Imponemos las condiciones iniciales. De

y(0) = 0,

obtenemosc1 + c2e

0 + c3 · 0 · e0 = 0,c1 + c2 = 0.

Calculamosy0 = −6c2e−6x + c3e−6x − 6c3xe−6x.

De la condicióny0(0) = 1,

resulta−6c2 + c3 = 1.

Calculamos

y00 = 36c2e−6x − 6c3e−6x − 6c3e−6x + 36c3xe−6x

= 36c2e−6x − 12c3e−6x + 36c3xe−6x.

De la condicióny00(0) = −7,

resulta36c2 − 12c3 = −7.

Tenemos el sistema ⎧⎨⎩ c1 + c2 = 0,−6c2 + c3 = 1,36c2 − 12c3 = −7.

Multiplicamos la 2a ecuación por 6 y la sumamos a la 3a⎧⎨⎩ c1 + c2 = 0,−6c2 + c3 = 1,−6c3 = −1,

resultac3 =

1

6.


Sustituimos en la 2a

−6c2 +1

6= 1,

−6c2 = 1−1

6=5

6,

c2 =−536.

Sustituimos en la 1a

c1 = −c2 =5

36.


y =5

36− 5

36e−6x +

1

6xe−6x. ¤

Ejercicio 7 Resuelve el problema de condiciones de contorno⎧⎨⎩ y00 − 10y0 + 25y = 0,y(0) = 1,y(1) = 0.


m2 − 10m+ 25 = 0,

m =10±

√100− 1002

= 5 (doble) .


5x + c2xe5x.

Imponemos las condiciones de contorno½y(0) = 1,y(1) = 0.

y obtenemos el sistema ½c1 = 1,c1e

5 + c2e5 = 0,½

c1 = 1,c1 + c2 = 0,

c1 = 1, c2 = −1.Solución

y = e5x − xe5x.= e5x (1− x) . ¤

Ejercicio 8 Resuelve el problema de condiciones de contorno⎧⎨⎩ y00 + y = 0,y0(0) = 0,y0(π2 ) = 2.


Ecuación característicam2 + 1 = 0,

raícesm2 = −1,

m = ±√−1 = ±i.

Solución general

y = e0x (c1 cosx+ c2 sinx) ,

y = c1 cosx+ c2 sinx.

Calculamos y0

y0 = −c1 sinx+ c2 cosxe imponemos las condiciones de contorno½

y0(0) = 0,y0(π2 ) = 2.

Obtenemos ½−c1 · 0 + c2 · 1 = 0,−c1 · 1 + c2 · 0 = 2,½

c2 = 0,−c1 = 2,½c1 = −2,c2 = 0.

La solución esy = −2 cosx. ¤

Ejercicio 9 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales

1. y00 + y = secx.

2. y00 + y = cos2 x.

3. y00 − y = coshx.

4. y00 + 3y0 + 2y =1

1 + ex.

5. y00 + 3y0 + 2y = sin (ex) .

6. y00 + 2y0 + y = e−t ln t.

7. 3y00 − 6y0 + 6y = ex secx.


(9.1)y00 + y = secx.

Homogénea asociaday00 + y = 0,

ecuación característicam2 + 1 = 0,

m2 = −1,m = ±

√−1 = ±i.


y1 = cosx,

y2 = sinx.

Solución de la EDO homogénea

yh = c1 cosx+ c2 sinx.

Solución particularyp = u1y1 + u2y2,

que verifica ½y1u

01 + y2u

02 = 0,

y01u01 + y

02u02 = f(x) = secx.

u01 =W1

W, u02 =

W2

W.

W =

¯̄̄̄y1 y2y01 y02

¯̄̄̄=

¯̄̄̄cosx sinx− sinx cosx

¯̄̄̄= cos2 x+ sin2 x = 1.

W1 =

¯̄̄̄0 y2f(x) y02

¯̄̄̄=

¯̄̄̄0 sinx

secx cosx

¯̄̄̄=

¯̄̄̄¯̄ 0 sinx

1

cosxcosx

¯̄̄̄¯̄ = − sinxcosx

.

W2 =

¯̄̄̄y1 0y01 f(x)

¯̄̄̄=

¯̄̄̄¯̄ cosx 0

− sinx 1

cosx

¯̄̄̄¯̄ = 1.

Determinamos u1(x)

u01 =W1

W= − sinx

cosx,

u1 =

Z − sinxcosx

dx = ln |cosx| .

Determinamos u2(x)

u02 =W2

W= 1,

u2 =

Zdx = x.


Solución particular de la EDO completa

yp = cosx ln |cosx|+ x sinx.

Solución general de la EDO completa

y = c1 cosx+ c2 sinx+ cosx ln |cosx|+ x sinx, c1, c2 ∈ R.

(9.2)y00 + y = cos2 x.

EDO lineal completa con coeficientes constantes. Homogénea asociada

y00 + y = 0,

ecuación característicam2 + 1 = 0,

m2 = −1,m = ±

√−1 = ±i.


y1 = cosx,

y2 = sinx.

Solución general de la EDO homogénea asociada

yh = c1 cosx+ c2 sinx, c1, c2 ∈ R.


yp = u1y1 + u2y2

que verifica ½y1u

01 + y2u

02 = 0,

y01u01 + y

02u02 = cos

2 x.

Wronskiano

W =

¯̄̄̄y1 y2y01 y02

¯̄̄̄=


¯̄̄̄= cos2 x+ sin2 x = 1,

W1 =

¯̄̄̄0 y2f(x) y02

¯̄̄̄=

¯̄̄̄0 sinx

cos2 x cosx

¯̄̄̄= − sinx cos2 x,

W2 =

¯̄̄̄y1 0y01 f(x)

¯̄̄̄=

¯̄̄̄cosx 0− sinx cos2 x

¯̄̄̄= cos3 x,

determinamos u1

u01 =W1

W=− sinx cos2 x

1= − sinx cos2 x,


u1 =

Z− sinx cos2 xdx =

Zcos2 x(− sinx) dx

=1

3cos3 x.

Determinamos u2u02 = cos

3 x,

u2 =

Zcos3 xdx =

Zcos2 x cosx dx

=

Z ¡1− sin2 x

¢cosxdx

=

Zcosx dx−

Zsin2 x cosx dx

= sinx− 13sin3 x.


yp =

µ1

3cos3 x

¶cosx+

µsinx− 1

3sin3 x

¶sinx

=1

3cos4 x+ sin2 x− 1

3sin4 x.


y = yh + yp = c1 cosx+ c2 sinx+1


3sin4 x, c1, c2 ∈ R.

Podemos simplificar

1


3sin4 x =

1

3

£cos4 x− sin4 x

¤+ sin2 x

=1

3

⎡⎢⎣¡cos2 x+ sin2 x¢| {z }=1

¡cos2 x− sin2 x

¢| {z }cos 2x

⎤⎥⎦+ sin2 x=

1

3cos 2x+ sin2 x

=1

3cos 2x+

1− cos 2x2

=1

2+1

3cos 2x− 1

2cos 2x

=1

2− 16cos 2x.

Finalmente

y = c1 cosx+ c2 sinx+1

2− 16cos 2x, c1, c2 ∈ R.

(9.3)y00 − y = coshx.



y00 − y = 0,

ecuación característicam2 − 1 = 0,

raícesm = ±1,

sistema fundamental de soluciones

y1 = ex,

y2 = e−x.

Solución de la EDO homogénea

yh = c1ex + c2e

−x, c1, c2 ∈ R.


yp = u1y1 + u2y2

con ⎧⎨⎩ y1u01 + y2u

02 = 0,

y01u01 + y

02u02 = coshx =

ex + e−x

2.

u01 =W1

W, u02 =

W2

W.

Wronskiano

W =

¯̄̄̄y1 y2y01 y02

¯̄̄̄=

¯̄̄̄ex e−x

ex −e−x¯̄̄̄= −exe−x − exe−x

= −1− 1 = −2.

Calculamos

W1 =

¯̄̄̄0 y2f(x) y02

¯̄̄̄=

¯̄̄̄0 e−x

coshx −e−x¯̄̄̄= −e−x coshx

= −e−x ex + e−x

2= −1 + e

−2x

2.

Determinamos u1

u01 =W1

W=

³−1+e2x2

´−2 =

1 + e−2x

4,

u1 =1

4

Z ¡1 + e−2x

¢dx =

1

4x− 1

8e−2x.

Calculamos

W2 =

¯̄̄̄y1 0y01 f(x)

¯̄̄̄=

¯̄̄̄ex 0ex coshx

¯̄̄̄= ex coshx = ex

ex + e−x

2=e2x + 1

2,


determinamos u2

u02 =W2

W=

³e2x+12

´−2 = −1

4

¡e2x + 1

¢,

u2 =

Z µ−14

¶¡e2x + 1

¢dx = −1

4

µ1

2e2x + x

¶= −1

8e2x − 1

4x.


yp =

µ1

4x− 1

8e−2x

¶ex +

µ−18e2x − x

4

¶e−x

=1

4xex − 1

8e−x − 1

8ex − x

4e−x.


y = c1ex + c2e

−x +1

4x¡ex − e−x

¢− 18

¡ex + e−x

¢, c1, c2 ∈ R.

Como

sinhx =ex − e−x

2, coshx =

ex + e−x

2,

la solución puede reescribirse en la forma

y = c1ex + c2e

−x +1

2x sinhx− 1

4coshx.

(9.4)

y00 + 3y0 + 2y =1

1 + ex.


y00 + 3y0 + 2y = 0,

ecuación característicam2 + 3m+ 2 = 0,

raíces

m =−3±

√9− 8

2=−3± 12

=

⎧⎨⎩−3+12 = −1,

−3−12 = −2.


y1 = e−x,

y2 = e−2x.

Solución general de la EDO homogénea

yh = c1e−x + c2e

−2x, c1, c2 ∈ R.



yp = u1y1 + u2y2,

que verifica (y1u

01 + y2u

02 = 0,

y01u01 + y

02u02 = f(x) =

1

1 + ex.

Wronskiano

W =

¯̄̄̄y1 y2y01 y02

¯̄̄̄=

¯̄̄̄e−x e−2x

−e−x −2e−2x¯̄̄̄

= e−x(−2)e−2x + e−xe−2x = −2e3x + e−3x

= −e−3x.

También puede calcularse como sigue

W =

¯̄̄̄e−x e−2x

−e−x −2e−2x¯̄̄̄= e−xe−2x

¯̄̄̄1 1−1 −2

¯̄̄̄= e−3x(−2 + 1)

= −e−3x.

Calculamos

W1 =

¯̄̄̄0 y2f(x) y02

¯̄̄̄=

¯̄̄̄0 e−2x1

1+ex −2e−2x¯̄̄̄

=−e−2x1 + ex

,

determinamos u1

u01 =W1

W=

³−e−2x1+ex

´−2 =

e−2x

(1 + ex) e−3x=

ex

1 + ex,

u1 =

Zex

1 + exdx = ln (1 + ex) .

Calculamos

W2 =

¯̄̄̄y1 0y01 f(x)

¯̄̄̄=

¯̄̄̄e−x 0−e−x 1

1+ex

¯̄̄̄=

e−x

ex + 1,

determinamos u2

u02 =W2

W=

³e−x

ex+1

´−e−3x =

−1e−2x (ex + 1)

= − e2x

ex + 1.

u2 = −Z

e2x

ex + 1dx.


Realizamos el cambio de variable

ex = tdt = ex dxdx = 1

t dt

⎫⎬⎭⇒ −Z

e2x

ex + 1dx = −

Zt2

t+ 1· 1tdt

= −Z

t dt

t+ 1= −

Zt+ 1− 1t+ 1

dt

= −Z µ

1− 1

t+ 1

¶dt = −t+ ln(t+ 1)

= −ex + ln (ex + 1) .


yp = e−x ln (1 + ex) + e−2x (−ex + ln (ex + 1))= e−x ln (1 + ex)− e−x + e−2x ln (ex + 1)= −e−x +

¡e−x + e−2x

¢ln (ex + 1) .


y = c1e−x + c2e

−2x − e−x +¡e−x + e−2x

¢ln (ex + 1) , c1, c2 ∈ R.

Podemos reescribir la solución en la forma

y = e−x (c1 − 1) + c2e−2x +¡ex + e−2x

¢ln (ex + 1)

= c01e−x + c2e

−2x +¡e−x + e−2x

¢ln (ex + 1) .

c01 = (c1 − 1) .(9.5)

y00 + 3y0 + 2y = sin (ex) .

EDO lineal completa con coeficientes constantes.EDO homogénea asociada

y00 + 3y0 + 2y = 0,


raíces

m =−3±

√9− 8

2=−3± 12

=

⎧⎨⎩−3+12 = −1,

−3−12 = −42 = −2.


y1 = e−x,

y2 = e−2x.


yh = c1e−x + c2e

−2x, c1, c2 ∈ R.



yp = u1y1 + u2y2,

que verifica ½y1u

01 + y2u

02 = 0,

y01u01 + y

02u02 = f(x) = sin (e

x) .

Wronskiano

W =

¯̄̄̄y1 y2y01 y02

¯̄̄̄=

¯̄̄̄e−x e−2x

−e−x −2e−2x¯̄̄̄

= −2e3x + e−3x = −e−3x.

Calculamos

W1 =

¯̄̄̄0 y2f(x) y02

¯̄̄̄=

¯̄̄̄0 e−2x

sin ex −2e−2x¯̄̄̄= −e−2x sin (ex) ,

determinamos u1

u01 =W1

W=−e−2x sin (ex)−e−3x =

sin (ex)

e−x

= sin (ex) · ex,

u1 =

Zsin (ex) ex dx.

Con el cambio ½t = ex,dt = ex dx,

resulta

u1 =

Zsin t dt = − cos t,

u1 = − cos (ex) .

Calculamos

W2 =

¯̄̄̄y1 0y01 f(x)

¯̄̄̄=

¯̄̄̄e−x 0−e−x sin (ex)

¯̄̄̄= e−x sin (ex) ,

determinamos u2

u02 =W2

W=e−x sin (ex)

−e−3x =− sin (ex)e−2x

,

u02 = −e2x sin (ex) ,

u2 = −Ze2x sin (ex) dx.

Con el cambio ½t = ex,dt = ex dx,


resulta

u2 = −Zt sin t dt = −

µ−t cos t+

Zcos t dt

¶,

u2 = − (−t cos t+ sin t) ,= t cos t− sin t,

deshacemos el cambio

u2 = ex cos (ex)− sin (ex) .

La solución particular de la EDO completa es

yp = − (cos ex) e−x + (ex cos (ex)− sin (ex)) e−2x

= −e−x cos (ex) + e−x cos (ex)− e−2x sin (ex)= −e−2x sin (ex) .


y = c1e−x + c2e

−2x − e−2x sin (ex) , c1, c2 ∈ R.

(9.6)y00 + 2y0 + y = e−t ln t.

EDO lineal completa con coeficientes constantes. La EDO homogénea asociadaes

y00 + 2y0 + y = 0,


raíces

m =−2±

√4− 4

2= −1 (doble) .


y1 = e−t,

y2 = t e−t.

Solución general de la EDO homogénea asociada

yh = c1e−t + c2te

−2t. c1, c2 ∈ R.


yp = u1y1 + u2y2,

que verifica ½y1u

01 + y2u

02 = 0,

y01u01 + y

02u02 = f(t) = e

−t ln t.

Wronskiano

W =

¯̄̄̄y1 y2y01 y02

¯̄̄̄=

¯̄̄̄e−t te−t

−e−t e−t − te−t¯̄̄̄

= e−t(e−t − te−t) + te−2t

= e−2t − te−2t + te−2t = e−2t.


Calculamos

W1 =

¯̄̄̄0 y2f(t) y02

¯̄̄̄=

¯̄̄̄0 te−t

e−t ln t (1− t)e−t¯̄̄̄

= −¡e−t ln t

¢ ¡te−t

¢= −e−2tt ln t.

Determinamos u1

u01 =W1

W=−e−2tt ln te−2t

= −t ln t,

u1 =

Z(−t ln t) dt = −

µt2

2ln t−

Z1

2t2 · 1

tdt

¶= −

µt2

2ln t− 1

2

Zt dt

¶= − t

2

2ln t+

1

4t2.

Calculamos

W2 =

¯̄̄̄y1 0y01 f(t)

¯̄̄̄=

¯̄̄̄e−t 0−e−t e−t ln t

¯̄̄̄= e−2t ln t.

Determinamos u2

u02 =W2

W=e−2t ln t

e−2t= ln t,

u2 =

Zln t dt = t ln t−

Zt · 1tdt

= t ln t−Zdt

= t ln t− t.


yp = e−tµ− t

2

2ln t+

1

4t2¶+ te−t (t ln t− t)

= e−tµ− t

2

2ln t+

1

4t2 + t2 ln t− t2

¶= e−t

µt2

2ln t− 3

4t2¶.


y = c1e−t + c2te

−t + e−tµt2

2ln t− 3

4t2¶, c1, c2 ∈ R.

(9.7)3y00 − 6y0 + 6y = ex secx.

EDO lineal completa con coeficientes constantes, la forma estándar es

y00 − 2y0 + 2y = 1

3ex secx.


Ecuación homogénea asociada

y00 − 2y0 + 2y = 0,

ecuación característicam2 − 2m+ 2 = 0,

raíces

m =2±√4− 82

=2±√−4

2=2± 2i2

,

m = 1± i.

Tenemos un par de raíces complejas conjugadas, el sistema fundamental desoluciones es

y1 = ex cosx,

y2 = ex sinx.


y = c1ex cosx+ c2e

x sinx, c1, c2 ∈ R.


yp = u1y1 + u2y2,

que verifica ½y1u

01 + y2u

02 = 0,

y01u01 + y

02u02 = f(x) =

13ex secx.

Wronskiano

W =

¯̄̄̄y1 y2y01 y02

¯̄̄̄=

¯̄̄̄ex cosx ex sinx

ex cosx− ex sinx ex sinx+ ex cosx

¯̄̄̄= e2x

¡cosx sinx+ cos2 x

¢− e2x

¡cosx sinx− sin2 x

¢= e2x

¡cosx sinx+ cos2 x− cosx sinx+ sin2 x

¢= e2x

¡sin2 x+ cos2 x

¢= e2x.

Calculamos

W1 =

¯̄̄̄0 y2f(x) y02

¯̄̄̄=

¯̄̄̄0 ex sinx

13ex secx ex (sinx+ cosx)

¯̄̄̄= −1

3e2x sinx · secx = −1

3e2x sinx

1

cosx

= −13e2x

sinx

cosx,

determinamos u1

u01 =W1

W=−13e2x

¡sinxcosx

¢e2x

= −13

sinx

cosx

u1 =1

3

Z − sinxcosx

dx =1

3ln | cosx|.


Calculamos

W2 =

¯̄̄̄y1 0y01 f(x)

¯̄̄̄=

¯̄̄̄ex cosx 0

ex (cosx− sinx) 13ex secx

¯̄̄̄=

1

3e2x cosx · secx = 1

3e2x cosx

1

cosx=1

3e2x.

Determinamos u2

u02 =W2

W=

13e2x

e2x= 1/3,

u2 =1

3

Zdx = x/3.


yp =

µ1

3ln |cosx|

¶ex cosx+

x

3ex sinx.


y = c1ex cosx+ c2e

x sinx+1

3ex cosx ln |cosx|+ 1

3xex sinx, c1, c2 ∈ R.

Ejercicio 10 Resuelve el problema de valor inicial⎧⎨⎩ 4y00 − y = x ex/2,y(0) = 1,y0(0) = 0.

Se trata de una EDO lineal completa de segundo orden con coeficientes con-stantes, escribimos la ecuación en forma estándar

y00 − 14y =

1

4xex/2.

Homogénea asociada

y00 − 14y = 0,

ecuación característicam2 − 1

4= 0,

raícesm2 =

1

4,

m = ±12.


y1 = e12x,

y2 = e−x/2.



y = c1ex/2 + c2e

−x/2, c1, c2 ∈ R.


yp = u1y1 + u2y2,

que verifica ½y1u

01 + y2u

02 = 0,

y01u01 + y

02u02 = f(x) =

14xe

x/2.

Wronskiano

W =

¯̄̄̄y1 y2y01 y02

¯̄̄̄=

¯̄̄̄ex/2 e−x/212ex/2 −12e−x/2

¯̄̄̄= −1

2− 12= −1.

Calculamos

W1 =

¯̄̄̄0 y2f(x) y02

¯̄̄̄=

¯̄̄̄0 e−x/2

14xe

x/2 −12e−x/2¯̄̄̄

= −14xex/2e−x/2 = −1

4x.

Determinamos u1

u01 =W1

W=−14x(−1) =

1

4x,

u1 =

Z1

4x dx =

1

8x2.

Calculamos

W2 =

¯̄̄̄y1 0y01 f(x)

¯̄̄̄=

¯̄̄̄ex/2 012ex/2 1

4xex/2

¯̄̄̄= ex/2

1

4xex/2 =

1

4x ex.

Determinamos u2

u02 =W2

W=

14xe

x

−1 = −14xex,

u2 =

Z µ−14xex

¶dx = −1

4

Zxex dx =

−14(x− 1) ex.


yp =

µ1

8x2¶ex/2 +

(1− x)4

ex · e−x/2

=

µ1

8x2 − x

4+1

4

¶ex/2.



y = c1ex/2 + c2e

−x/2 +

µ1

8x2 − x

4+1

4

¶ex/2, c1, c2 ∈ R.

Imponemos las condiciones iniciales½y(0) = 1,y0(0) = 0.

De la condicióny(0) = 1

resultac1 + c2 +

1

4= 1,

c1 + c2 = 3/4.

Calculamos

y0 =1

2c1e

x/2 − 12c2e−x/2 +

µ1

4x− 1

4

¶ex/2 +

µ1

8x2 − x

4+1

4

¶1

2ex/2

e imponemos la condicióny0(0) = 0,

resulta1

2c1 −

1

2c2 −

1

4+1

8= 0,

1

2c1 −

1

2c2 −

1

8= 0,

c1 − c2 =1

4.

Resolvemos el sistema ½c1 + c2 = 3/4,c1 − c2 = 1/4.

Sumando, resulta

2c1 = 1,

c1 = 1/2.

Restando, la 2a ecuación a la 1a, obtenemos

2c2 = 1/2,

c2 = 1/4.

La solución del problema de valor inicial es

y =1

2ex/2 +

1

4e−x/2 +

µ1

8x2 − x

4+1

4

¶ex/2

=3

4ex/2 +

1

4e−x/2 +

µ1

8x2 − x

4

¶ex/2. ¤


Ejercicio 11 Resuelve el problema de valor inicial⎧⎨⎩ y00 + 2y0 − 8y = 2e−2x − e−x,y(0) = 1,y0(0) = 0.

EDO lineal completa de segundo orden con coeficientes constantes. La ho-mogénea asociada es

y00 + 2y0 − 8y = 0.Ecuación característica

m2 + 2m− 8 = 0,raíces

m =−2±

√4 + 32

2=−2± 62

=

⎧⎨⎩−2+62 = 2,

−2−62 = −4.


y1 = e2x,

y2 = e−4x.


y = c1e2x + c2e

−4x, c1, c2 ∈ R.


yp = u1y1 + u2y2,

que verifica ½y1u

01 + y2u

02 = 0,

y01u01 + y

02u02 = f(x) = 2e

−2x − e−x.Wronskiano

W =

¯̄̄̄y1 y2y01 y02

¯̄̄̄=

¯̄̄̄e2x e−4x

2e2x −4e−4x¯̄̄̄

= −4e−2x − 2e−2x = −6e−2x.

Calculamos

W1 =

¯̄̄̄0 y2f(x) y02

¯̄̄̄=

¯̄̄̄0 e−4x

2e−2x − e−x −4e−4x¯̄̄̄

= −e−4x¡2e−2x − e−x

¢.

Determinamos u1

u01 =W1

W=−e−4x

¡2e−2x − e−x

¢−6e−2x

=1

6e−2x

¡2e−2x − e−x

¢=

1

6

¡2e−4x − e−3x

¢=1

3e−4x − 1

6e−3x.


u1 =

Z µ1

3e−4x − 1

6e−3x

¶dx

= − 112e−4x +

1

18e−3x.

Calculamos

W2 =

¯̄̄̄y1 0y01 f(x)

¯̄̄̄=

¯̄̄̄e2x 02e2x 2e−2x − e−x

¯̄̄̄= e2x

¡2e−2x − e−x

¢= 2− ex,

y determinamos u2

u02 =W2

W=2− ex−6e−2x =

µ−16

¶e2x (2− ex)

= −16

¡2e2x − e3x

¢= −1

3e2x +

1

6e3x,

u2 =

Z µ−13e2x +

1

6e3x¶dx,

u2 = −1

6e2x +

1

18e3x.


yp =

µ− 112e−4x +

1

18e−3x

¶e2x +

µ−16e2x +

1

18e3x¶e−4x

= − 112e−2x +

1

18e−x − 1

6e−2x +

1

18e−x

=−312e−2x +

2

18e−x

=−14e−2x +

1

9e−x.


y = c1e2x + c2e

−4x − 14e−2x +

1

9e−x.

Imponemos la condicióny(0) = 1

y resulta

c1 + c2 −1

4+1

9= 1,

c1 + c2 +−9 + 436

= 1,

c1 + c2 −5

36= 1,

c1 + c2 = 1 +5

36=41

36.


Calculamosy0 = 2c1e

2x − 4c2e−4x +1

2e−2x − 1

9e−x

e imponemos la condicióny0(0) = 0,

resulta2c1 − 4c2 +

1

2− 19= 0,

2c1 − 4c2 +9− 218

= 0,

2c1 − 4c2 +7

18= 0,

2c1 − 4c2 = −7/18,

c1 − 2c2 =−736.

Resolvemos el sistema (c1 + c2 =

4136 ,

c1 − 2c2 = −736 .

Restamos la 2a ecuación a la 1a

3c2 =41 + 7

36=48

36=4 · 123 · 12 =

4

3,

c2 =4

9.

Sustituimos en la 1a ecuación

c1 +4

9=41

36,

c1 =41

36− 49=41− 1636

=25

36.


y =25

36e2x +

4

9e−4x − 1

4e−2x +

1

9e−x. ¤

Ejercicio 12 Resuelve la EDO

y000 + y0 = tanx.

EDO lineal completa de tercer orden con coeficientes constantes. La EDO ho-mogénea asociada es

y000 + y0 = 0.

Ecuación característicam3 +m = 0,

m¡m2 + 1

¢= 0,


raícesm = 0, m = ±i.


y1 = 1,

y2 = cosx,

y3 = sinx.


yh = c1 + c2 cosx+ c3 sinx, c1, c2, c3 ∈ R.


yp = u1y1 + u2y2 + u3y3,

que verifica ⎧⎨⎩ y1u01 + y2u

02 + y3u

03 = 0,

y01u01 + y

02u02 + y

03u03 = 0,

y001u01 + y

002u

02 + y

003u

03 = f(x) = tanx.

Wronskiano¯̄̄̄¯̄ y1 y2 y3y01 y02 y03y001 y002 y003

¯̄̄̄¯̄ =

¯̄̄̄¯̄ 1 cosx sinx0 − sinx cosx0 − cosx − sinx

¯̄̄̄¯̄ = ¯̄̄̄ − sinx cosx

− cosx − sinx

¯̄̄̄,

W = sin2 x+ cos2 x = 1.

Calculamos

W1 =

¯̄̄̄¯̄ 0 y2 y3

0 y02 y03f(x) y002 y003

¯̄̄̄¯̄ =

¯̄̄̄¯̄ 0 cosx sinx

0 − sinx cosxtanx − cosx − sinx

¯̄̄̄¯̄

= tanx


¯̄̄̄= tanx

¡cos2 x+ sin2 x

¢= tanx.

Determinamos u1u01 = tanx,

u1 =

Zsinx

cosxdx = − ln |cosx| .

Calculamos

W2 =

¯̄̄̄¯̄ y1 0 y3y01 0 y03y001 f(x) y003

¯̄̄̄¯̄ =

¯̄̄̄¯̄ 1 0 sinx0 0 cosx0 tanx − sinx

¯̄̄̄¯̄

=

¯̄̄̄0 cosx

tanx − sinx

¯̄̄̄= − tanx cosx = − sinx.

Determinamos u2

u02 =W2

W= − sinx,

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios resueltos ...

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