Metodo de Gauss para resolver sistemas deecuaciones

Ricardo MateosDepartamento de Matemáticas

IBD de Bizkaia

Curso 2011-2012

Ricardo Mateos Metodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuacionesUn sistema de m ecuaciones con n incógnitas es el conjunto de mecuaciones lineales cada una de las cuales contiene a las nincógnitas

a11 + a12 + · · · + a1n = b1a21 + a22 + · · · + a2n = b2· · · + · · · + · · · + · · · = · · ·am1 + am2 + · · · + amn = bm

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Tipos de sistemas de ecuaciones

Los sistemas de ecuaciones pueden ser:

Sistemas compatibles determinados: Tienen una únicasolución.Sistemas compatibles indeterminados: Tienen infinitassoluciones.Sistemas incompatibles: No tienen solución.

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Expresión matricial de un sistema de ecuaciones

El sistema anterior se puede escribir en forma matricial de lasiguiente forma:

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n· · · · · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn

·

x1x2· · ·xn

=

b1b2· · ·bm

En la práctica es muy útil la matriz ampliada del sistema cuyoselementos están formados por los coeficientes de las incógnitas y lacolumna de los términos independientes.

a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2· · · · · · · · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn bm

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Método de GaussEl método de Gauss consiste en transformar el sistema deecuaciones dado en otro escalonado equivalente.Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediantetransformaciones elementales la transformamos en otra matrizescalonada, es decir, con ceros debajo de la diagonal.

Las transformaciones elementales que pueden realizarse son lassiguientes:

Cambiar filas de lugar.Multiplicar una fila por un número distinto de cero.Sumar a una fila otra fila multiplicada por un número.

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Método de GaussEl método de Gauss consiste en transformar el sistema deecuaciones dado en otro escalonado equivalente.Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediantetransformaciones elementales la transformamos en otra matrizescalonada, es decir, con ceros debajo de la diagonal.

Las transformaciones elementales que pueden realizarse son lassiguientes:

Cambiar filas de lugar.Multiplicar una fila por un número distinto de cero.Sumar a una fila otra fila multiplicada por un número.

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Método de Gauss

ProblemaEn un comercio de bricolaje se venden listones de madera de treslongitudes: 0,9 m, 1,5 m y 2,4 m, cuyos precios respectivos son 4euros, 6 euros y 10 euros. Un cliente ha comprado 19 listones, conuna longitud total de 30m, que le han costado 126 euros en total.Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones necesario paradeterminar cuántos listones de cada longitud ha comprado esecliente.

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Método de Gauss

Las incógnitas serán:x = Listones de 0,9 my = Listones de 1,5 mz = Listones de 2,4 m

Según las condiciones del problema:Cantidad total de listones = 19 → x + y + z = 19Longitud total de los listones = 30 → 0, 9x + 1, 5y + 2, 4z = 30Precio total de los listones = 126 → 4x + 6y + 10z = 126

El sistema resultante es:x + y + z = 19

0, 9x + 1, 5y + 2, 4z = 304x + 6y + 10z = 126

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Método de Gauss

Paso 1Escribimos la matriz ampliada del sistema: 1 1 1 19

0,9 1,5 2,4 304 6 10 126

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Método de Gauss

Paso 2Hacemos ceros en la primera columna. Para ello hacemos lassiguientes transformaciones:

F2→ F2 − 0,9F1

F3→ F3 − 4F1

El resultado es: 1 1 1 190 0,6 1,5 12,90 2 6 50

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Método de Gauss

Paso 3Hacemos ceros en la segunda columna. Para ello hacemos lassiguientes transformaciones:

F3→ 0,6F3 − 2F2

El resultado es: 1 1 1 190 0,6 1,5 12,90 0 0,6 4,2

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Método de Gauss

Paso 4El sistema equivale a:

x + y z = 190,6y + 1,5z = 12,9

0,6z = 4,2

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Método de Gauss

La solución es: z = 7, y = 4 y x = 8

SoluciónHa comprado 8 listones de 0,9m, 6 listones de 1,5m y 7 listones de2,4m.

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