MATRICES Concepto

Se llama matriz de orden m x n a todo conjunto de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

mnmjm2m1

iniji2i1

2n2j2221

1n1j1211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

Abreviadamente suele expresarse en la forma

A =(aij)

con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n.

Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

mxnAR

Ejemplo

10045

51422

150

0215

31

,A

a23= a32= a43=a34= a41=

4 4xAR

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1 x n.

naaaaA 1131211

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x 1.

1

31

21

11

ma

a

a

a

A

Clasificación de matrices:

1mxAR

1xnAR

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n. Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria o contradiagonal

nnnnn

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

321

3333231

2232221

1131211

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc. De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m.

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji " i, j.

Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji " i, j.

0 2 3

2 0 1

3 1 0

A

Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0

La matriz

La matriz

es una matriz nula de orden 3

es una matriz nula de orden 2 x4

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal.

Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:

Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 " i < j.

Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 " j < i.

matriz triangular inferior

matriz triangular superior

Operaciones con matrices

Trasposición de matrices

Suma y diferencia de matrices

Producto de una matriz por un número

Propiedades simplificativas

Producto de matrices

Matrices inversibles

Trasposición de matrices

Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por

At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A.

Es decir:

Propiedades de la trasposición de matrices:

1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.

2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A. (At)t = A.

La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión,

es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con

término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices

estas han de tener la misma dimensión.La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

Ejemplo

Suma y diferencia de matrices

Operaciones con matrices

                                                      

Sin embargo,                            no se pueden sumar.

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)

4ª. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.

Propiedades de la Suma de matrices

1ª. A + (B + C) = (A + B) + C Propiedad Asociativa

2ª. A + B = B + A Propiedad conmutativa

Matriz Nula3ª. A + 0 = A (0 es la matriz nula)

, , mxnA B C R

Producto de una matriz por un escalar

El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es

otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que

cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es

decir, bij = k·aij.

Ejemplo:

Propiedades del Producto de una matriz por un escalar

.

1ª. k (A + B) = k A + k B Propiedad distributiva 1ª

2ª. (k + h)A = k A + h A Propiedad distributiva 2ª

Propiedad asociativa mixta3ª. k [h A] = (k h) A

Elemento unidad4ª. 1 · A = A · 1 = A

, , ,mxnA B C k h R R

Propiedades simplificativas

Si A + C = B + C A = B

Si k A = k B A = B si k es distinto de 0

Si k A = h A h = k si A es distinto de 0

Producto de matrices

Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B. De manera más formal,

los elementos de P son de la forma:

Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p, Es decir:

Pij = aik bkj

1

.n

ij ik kjk

p a b

Ejemplo

1 2 3

4 0 10A

781

134

140

B

a) Calcule A.B

b) Calcule A. Bt

c) Calcule At.B

1 2 3

4 0 10A

781

134

140

B

Aplicaciónpan carne leche 2000 2001 2002 2003

115100600

20180120

150240540

128150400

D

C

B

A

P

70.130.120.11

8664

260.150.120.1

carne

leche

pan

Q

Propiedades del producto de matrices

A·(B·C) = (A·B)·C (Propiedad asociativa)

Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A.

Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A–1 .

El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C

El producto de matrices en general no es conmutativo.

Consecuencias de las Propiedades

Si A · B = 0 no implica que A = 0 ó B = 0

Si A · B = A · C no implica que B = C

Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es

inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de

singular.

Matrices inversibles

Propiedades de la inversión de matrices

(At) –1 = (A-1) t

La matriz inversa, si existe, es única

A-1·A = A·A-1= I

(A·B)-1 = B-1·A-1

(A-1)-1 = A

(kA)-1 = (1/k) · A-1

DETERMINANTES

Sea se llama determinante de A a una función definida de Rnxn en R, de modo que la imagen de cada matriz es un número real. El determinante de una matriz se obtiene realizando operaciones con sus elementos, el procedimiento depende del orden de la matriz en cuestión.

det (A) o |A|

nxnAR

Determinante de una matriz de orden 1

AR1x1

entonces

|A| = a

Determinante de una matriz de orden 2

AR2x2

entonces

11 1211 22 21 12

21 22

| | . .a a

A a a a aa a

Ejemplo:

Determinante de una matriz de orden 3

AR3x3

entonces

| |

a a a

A a a a

a a a

Este procedimiento se conoce como la regla de Sarrus

Ejemplo

Determinantes de orden mayor a 3

• A través de los elementos de una línea o Regla de Laplace.

• Regla de Chio.

Menor complementario

Se llama menor complementario de un elemento aij de una matriz cuadrada de orden n al determinante asociado a la matriz cuadrada de orden n-1 que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j donde se encuentra el elemento. Se lo denomina ij.

Ejemplo

Adjunto de un elemento

Se llama adjunto de un elemento aij al número que se obtiene al multiplicar su menor complementario por (-1)i+j.

Se simboliza Aij.

Entonces Aij = (-1)i+j. ij.

Cálculo de determinantes a través de los elementos de una línea. Regla de

Laplace

El valor de un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea cualquiera por su correspondiente adjunto

|A|= aij.Aij

Ejemplo

Adjunta de una matriz

Es la traspuesta de la matriz que se obtiene al reemplazar en la matriz, cada elemento por su adjunto.Se simboliza Adj A

Adj A = (Aij)t

Ejemplo

Regla de ChioEste procedimiento permite reducir el orden de una matriz de orden n a una de orden n – 1 y de esa manera poder calcular más fácilmente su determinante.La regla a seguir es la siguiente:

1.Tomar un elemento cualquiera no nulo, al que lo llamaremos pivote y se lo escribe como factor del determinante multiplicado por (-1)i+j.

2.Marcar la fila y la columna del pivote.

3. Determinar los nuevos valores correspondientes a los elementos que estén en líneas distintas a las del pivote, para ello al elemento se les resta el producto de los elementos que figuren en la misma fila y columna que el pivote (los marcados) dividido por el pivote.

4. El determinante así obtenido es de orden n – 1 y puede resolverse por cualquiera de los métodos aprendidos, incluso volver a aplicar la regla de Chio.

Ejemplo

1 2 3 4

3 3 5 6| |

5 1 2 4

5 1 1 1

A

sigue…

Operaciones elementales entre líneas de una matriz

1. Permutar dos líneas paralelas entre sí.

2. Multiplicar o dividir una línea por un escalar no nulo.

3. Adición de una línea a otra paralela multiplicada por un escalar.

Ejemplo

1 3

2 1 0

4 5 2

0 2 3

permutamosF y FA

25

2 1 0

4 5 2

0 2 3

FA

1 3 +3

2 1 0

4 5 2

0 2 3

F FA

Rango de una matriz

• El rango de una matriz es el mayor número de líneas (columnas o filas) linealmente independientes.

• Es el orden del determinante de mayor orden no nulo que se puede obtener con los elementos de la matriz.

• Es la mayor cantidad de vectores columna canónicos distintos que se pueden obtener en una matriz aplicando sucesivas operaciones elementales.

Las dos primeras filas son L.I. la tercera depende linealmente de las dos primeras

Vectores fila de una matriz:

Las filas de una matriz pueden ser consideradas como vectores. Es posible que sean linealmente Independientes (L.I.) y es posible que unos dependan linealmente de otros. Por ejemplo:

Las dos primeras líneas son L.I., las otras dos dependen linealmente de las primeras

Sus dos filas son linealmente independientes

2431

5232A

43

50

12

31

B

158

209

351

C

2123 FFF

214 FFF

312 FFF

Se llama rango de una matriz al número de filas Linealmente Independientes

Teorema

En una matriz el número de filas L.I. coincide con el número de columnas L.I.

Vectores columna de una matriz:

También las columnas de una matriz pueden ser consideradas como vectores. Podríamos definir rango de la matriz como el número de columnas linealmente independientes, pero aparece la duda de si esa definición puede contradecir en algún caso la anterior.

Es decir: ¿Es posible que en una matriz el número de filas linealmente independientes sea distinto del número de columnas linealmente independiente?. El siguiente teorema nos asegura que no.

Por esto podemos dar una nueva definición de Rango:

Rango de una matriz es el número de filas, o columnas, linealmente independientes.

El rango de una matriz lo podemos calcular por dos métodos diferentes:

Rango de una matriz

Por el método de Gauss

Usando Determinantes

El método de Gauss consiste en aplicar transformaciones elementales a una matriz con objeto de conseguir que los elementos que están por debajo de la diagonal principal se anulen (aij = 0,para i > j).

Para conseguir "triangular" la matriz debemos dejar en la diagonal principal elementos no nulos, salvo que la fila sea nula.

Una vez aplicado este proceso de triangulación, el rango de la matriz es el número de filas no nulas de la matriz obtenida. Esto es fácil probarlo usando las propiedades de los determinantes.

Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss

                                                                                                                                         

  

                                                                                             

Cálculo del rango de una matriz aplicando el método de Gauss Jordan

Este método consiste en obtener una matriz equivalente a la dad en la cual aparezcan la mayor cantidad posible de vectores columna canónicos aplicando operaciones elementales

Procedimiento

1. Se elige el pivote (distinto de 0, preferentemente 1).

2. La fila del pivote de divide por el pivote.

3. Los elementos de la columna del pivote se trasforman en 0, excepto del pivote.

4. Los demás elementos se transforman por la regla del rectángulo.

5. Se repite el procedimiento eligiendo otro pivote que no pertenezca ni a la fila ni a la columna del pivote elegido anteriormente.

EjemploCalcular r(A)

1 1 1

2 1 2

1 1 1

1 2 1

A

Inversa de una matriz

Sea A una matriz cuadrada de orden n se llama inversa de A y se denota A-1, a la matriz tal que multiplicada por A se obtiene la identidad

A-1. A = A . A-1 = I

A-1 es la inversa de A si y solo sí

Para calcular la inversa de una matriz podemos utilizar uno de estos métodos:

•Método de Gauss Jordan

•Usando determinantes

Método de Gauss Jordan

Para aplicar este método se escribe a la derecha de A la matriz identidad de orden n, obteniéndose así una matriz ampliada de orden 2nxn. Se aplica el método de Gauss Jordan visto anteriormente hasta que la matriz A se haya convertido en identidad. La matriz que queda a la derecha es la inversa de A.

La condición necesaria para que una matriz cuadrada de orden n tenga inversa es que:

r(A) = n

Ejemplo

Encontrar la inversa de A

1 0 1

1 2 2

2 1 1

A

Usando determinantes

1

| |

Adj AA

A

1 0 1

1 2 2

2 1 1

A

Ejemplo