Mate 3041Universidad de Puerto Rico

Recinto de BayamónProf. Juan L. Vélez

Prof. José A. Toro Clarke

Proposiciones y Cuantificadores Proposiciones

Definición: Una oración declaratoria (o afirmación) que es falsa o verdadera, pero no ambas, se llama proposición.

Oraciones exclamativas, interrogativas o imperativas por naturaleza no son proposiciones.

Ejemplos:

1. Ponce es la capital de Puerto Rico

2. 2 + 2 = 3

3. ¿Qué hora es?

4. x + y = z

Proposición

Proposición

No es una Proposición; oración interrogativa

No es una Proposición; desconocemos x, y, z

Ejemplos:

5. Tome una taza de café

Nota: “Tomé una taza de café”. Si es una proposición

6. Alex Rodríguez es mejor jugador de beisbol que Dereck Jeter.

No es una Proposición

No es una Proposición; oración imperativa

Proposiciones Compuestas Definición: Una proposición es

compuesta cuando se forma por la combinación de dos o más proposiciones usando conectivos lógicos.

Conectivos y sus respectivos símbolos tales como:

sisoloysientoncessinegaciónoy ,...,,,

Ejemplos de proposiciones compuestas Leo el nuevo Día y leo el Vocero.

Si él lo dijo, entonces es cierto.

Mañana será Domingo.

Nota: “Mañana no será Domingo”.Aunque no consta de dos

proposiciones, para conveniencia se considera compuesta ya que su valor de verdad depende de una proposición diferente. “Mañana será Domingo”.

Compuesta; conectivo y

Compuesta; conectivo si…entonces

No es compuesta

Ejemplos de proposiciones compuestas La firma de abogados que atendió el

caso se llamó Goldman Antonetti y Cordóva, P.S.C

No es compuesta; y no es un conectivo en este caso por que y es parte del nombre de la firma de abogados

Símbolos de la Lógica Matemática

;qp ,qop disyunción p y q: proposición compuesta que es falsa cuando ambas p y q son falsas y verdadera en otro caso.

;qp ,qyp conjunción p y q: proposición compuesta que es verdadera cuando tanto como p y q son verdadera y falsa en otro caso.

p q

F F F

qp

p q

T T T

qp

Símbolos de la Lógica Matemática

;p ,pno negación de p : proposición formada al escribir “no es el caso que” o “es falso que” antes de p o al insertar la palabra “no” de manera adecuada en p.

;qp “si p entonces q” : proposición compuesta condicional la cual es falsa cuando p es verdadera y q es falsa, y verdadera en otro caso

p

T F

p

p q

T F F

qp

Símbolos de la Lógica Matemática

;qp

;QP P y Q son lógicamente equivalentes: proposiciones compuestas y son lógicamente equivalentes si tienen tablas de verdad idénticas. A esto es lo que se le conoce como una tautología.

“p si y sólo si q” : proposición compuesta bicondicional la cual es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores de verdad y falsa en caso contrario.

nppppP ,...,,, 321

nqqqqQ ,...,,, 321

p q

T T T

F F T

qp

Símbolos de la Lógica Matemática

“por lo tanto”

“para todo”

“existe”

Cuantificadores

Cuantificadores universales: todo, cada uno, todos, ninguno

Cuantificadores existenciales: hay, al menos uno

Uso de conectivos lógicosSean p que representa “Hoy estamos a 80F”,

q que representa “Hoy es martes”.

Transcriba cada proposición simbólica en palabras

:)1 qp Hoy estamos a 80F o es martes.

:)2 qp Hoy no estamos a 80F y es martes.

:)3 qp No es el caso que hoy estemos a 80F o que sea martes.

Ésta proposición se puede traducir como “ni p ni q” o qp

Uso de conectivos lógicosSean p que representa “Hoy estamos a 80F”,

q que representa “Hoy es martes”.

Transcriba cada proposición simbólica en palabras

:)4 qp

qp

No es el caso que hoy estemos a 80F y sea martes.

Uso de conectivos lógicosEjemplo:

Proporcione la negación de cada desigualdad sin usar los símbolos o .

;)1 qp

qp

;77117)2 yx 77117 yx

Orden de prioridad de los conectivos lógicos Se usará generalmente paréntesis para

especificar el orden en que se aplicarán los operadores lógicos.

De no haber paréntesis, se adopta el siguiente orden de prioridad.

Conectivo Prioridad

1

2

3

4

5

Tablas de verdad

Una proposición lógica con n componentes tendrá renglones en su tabla de verdad.

n2

T F

F T

pp Nota: p proposición (1 componente):

renglones.

renglones.

renglones.

221

422

823

Tablas de verdad

T T T

T F F

F T F

F F F

p q qp

T T T

T F T

F T T

F F F

p q qp

disyunción p y q: proposición compuesta que es falsa cuando ambas p y q son falsas y verdadera en otro caso.

conjunción p y q: proposición compuesta que es verdadera cuando tanto como p y q son verdadera y falsa en otro caso.

422 renglones

Tablas de verdad

T T T

T F F

F T T

F F T

p q qp

T T T

T F F

F T F

F F T

p q qp

“si p entonces q” : proposición compuesta condicional la cual es falsa cuando p es verdadera y q es falsa, y verdadera en otro caso

“p si y sólo si q” : proposición compuesta bicondicional la cual es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores de verdad y falsa en caso contrario.

Tautología y ContradicciónUna proposición compuesta

Se denomina tautología si es verdadera para toda asignación de verdad de y contradicción si es falsa.

nppppPP ,...,,, 321

Proposiciones elementales

npppp ,...,,, 321

T

F

p p pp pp

Tautología y ContradicciónUna proposición compuesta

Se denomina tautología si es verdadera para toda asignación de verdad de y contradicción si es falsa.

nppppPP ,...,,, 321

Proposiciones elementales

npppp ,...,,, 321

T F

F T

p p pp pp

Tautología y ContradicciónUna proposición compuesta

Se denomina tautología si es verdadera para toda asignación de verdad de y contradicción si es falsa.

nppppPP ,...,,, 321

Proposiciones elementales

npppp ,...,,, 321

T F T

F T T

p p pp pp

Tautología y ContradicciónUna proposición compuesta

Se denomina tautología si es verdadera para toda asignación de verdad de y contradicción si es falsa.

nppppPP ,...,,, 321

Proposiciones elementales

npppp ,...,,, 321

T F T F

F T T F

p p pp pp

pp Es una tautología pp Es una contradicción

Proposiciones equivalentes

T T

T F

F T

F F

p q qp qp p q qp

Proposiciones equivalentes

T T T

T F T

F T T

F F F

p q qp qp p q qp

Proposiciones equivalentes

T T T F

T F T F

F T T F

F F F T

p q qp qp p q qp

Proposiciones equivalentes

T T T F F

T F T F F

F T T F T

F F F T T

p q qp qp p q qp

Proposiciones equivalentes

T T T F F F

T F T F F T

F T T F T F

F F F T T T

p q qp qp p q qp

Proposiciones equivalentes

T T T F F F F

T F T F F T F

F T T F T F F

F F F T T T T

p q qp qp p q qp

Proposiciones equivalentes

T T T F F F F

T F T F F T F

F T T F T F F

F F F T T T T

p q qp qp p q qp

entonces qpqp

Leyes del álgebra de proposiciones1. Ley de idempotencia

2. Ley de identidad

Prueba: Suponga que p es verdadero, entonces

Suponga que p es falso, entonces

pppppp ,

pTppFp ,

p

T

FT

Fp

p

F

FF

Fp

Leyes del álgebra de proposiciones3. Ley dominante

Prueba:

,TTp

T

TT

Tp

F

TF

Fp

F

FT

Tp

F

FF

Fp

FFp

Leyes del álgebra de proposiciones

1. Ley de complemento

2. Ley conmutativa

3. Ley asociativa

Tpp

Fpp

pqqp

pqqp

rqprqp

rqprqp

Leyes del álgebra de proposiciones4. Ley distributiva

5. Ley de absorción

6. Ley de De Morgan

pqqp

pqqp

pqpp

pqpp

rpqprqp

rpqprqp