Manuales - matematicas.unex.esmatematicas.unex.es/~pjimenez/matematicasII_bachillerato.pdf ·...

Manuales HEDIMA(HERRAMIENTAS DIGITALES DE MATEMÁTICAS)(HERRAMIENTAS DIGITALES DE MATEMÁTICAS)

�DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA 06071-BADA JOZ (Spain)

Universidad de Extremadura

Departamento de Matemáticas

Grupo HEDIMA

Temas básicos de Análisis Matemático, Álgebra Lineal y

Geometría

C. Calvo Jurado, C. Gutiérrez Pérez, C. Marín Porgueres, P. Martín Jiménez, R. Martínez

Quintana, P. Monfort Vinuesa, J. Navarro Garmendia, I. Ojeda Martínez de Castilla.

http://matematicas.unex.es/HEDIMA

Badajoz, octubre de 2012

Índice general

Portada 1

Índice general 5

Introducción 7

Parte 1. Análisis Matemático 10

1. Continuidad 11

2. Derivadas 64

3. Aplicaciones de las derivadas 93

4. Gráficas de funciones 119

5. Cálculo de primitivas 160

6. Integral definida 207

7. Aplicaciones de la integral 224

Parte 2. Álgebra lineal y geometría 250

8. Matrices 251

9. Determinantes 347

10. Vectores en el espacio tridimensional 457

11. Geometría en el plano 508

12. Geometría en el espacio 543

Introducción

El presente material es el resultado del grupo de trabajo HEDIMA (Herramientas Digitales de Matemáticas), forma-do por profesores del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Extremadura. Incluye exposiciones mediantediapositivas de un conjunto de temas de Análisis Matemático y Álgebra Lineal y Geometría básicos para que los alum-nos de primer curso de enseñanza universitaria de ingeniería o ciencias pueda entender y manejar otros conceptosmás avanzados de Matemáticas o de otras materias relacionadas. Los temas desarrollados constituyen el curriculumde la asignatura Matemáticas II de bachillerato en educación secundaria. En este sentido, se podría considerar comoun curso de nivelación para alumnos de nuevo ingreso en la universidad.

Complementando este material expositivo, el grupo HEDIMA desarrolla un conjunto de cuestionarios de auto-aprendizaje y autoevaluación que están disponibles en la plataforma Moodle de la Universidad de Extremadura. Parael uso de estos cuestionarios, es necesario ser usuario de dicha plataforma (campusvirtual.unex.es), bien como miembrode la Universidad de Extremadura (AVUEX), bien como miembro de algún instituto de bachillerato de la ComunidadAutónoma de Extremadura (AVEXTENSA), así como solicitar autorización escribiendo un correo electrónico a pjime-nez@unex.es.

Los temas incluyen los conceptos teóricos y están ilustrados con numerosos ejemplos. Pueden además ampliarsecon prácticas de ordenador desarrolladas en Octave/MATLAB (cálculo científico y visualización de datos) y MAXIMA

(cálculo simbólico y numérico) por profesores del Departamento de Matemáticas dentro del proyecto SMAD (Soft-ware Matemátio Aplicado a la Docencia). Junto con las prácticas, es posible encontrar tutoriales de ayuda sobre losprogramas utilizados.

Badajoz, octubre de 2012.

Parte 1

Análisis Matemático

1. Continuidad

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

lımite ycontinuidad

HEDIMA

Definicion defuncion

Lımite de unafuncion

Definicion delımite

Propiedadesde los lımites

Calculo delımites

Continuidadde unafuncion

Definicion decontinuidad

Propiedadeselementales

Tipos de dis-continuidad

Continuidaden unintervalo

Herramientas digitales de

auto-aprendizaje para Matematicas

HEDIMA, Grupo de Innovacion Didactica

Departamento de Matematicas

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Bloque: Analisis Matematico

Tema: Funciones. Lımites. Continuidad

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Indice

Definicion de funcion

Lımite de una funcion

Definicion de lımite

Propiedades de los lımites

Calculo de lımites

Continuidad de una funcion

Definicion de continuidad

Propiedades elementales

Tipos de discontinuidad

Continuidad en un intervalo

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

1. Definicion de funcion

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Definicion de funcion

Definicion

Dados dos conjuntos A y B, una funcion o aplicacion entre A y B es unaley que asocia a cada elemento de A un unico elemento de B. Se denota por

F : A→ B

a→ b

Definicion

Se llama funcion real de variable real a toda aplicacion entre dos conjuntos Ay B de R

F : A→ B

x→ f(x)

A f(x) se le llama imagen por f de x y se dice que x es la antiimagen def(x)

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Definiciones

Sea f una funcion real de variable real:

Dominio

Llamamos dominio de f al subconjunto de R donde la funcion esta definida.Se denota por Domf .

Imagen

Llamamos imagen de f al subconjunto de R formado por todos los numerosque son imagen por f de algun elemento de Domf . Se denota por Imf ,

Imf = {y ∈ R : y = f(x) para algun x ∈ Domf}

Grafica

Llamamos grafica de f al subconjunto de R2, denotado por Gf , siguiente

Gf = {(x, f(x)) ∈ R2 : x ∈ Domf}

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Ejemplo de Funcion, Dominio, Imagen y Grafica

Ejemplo

Consideramos la siguiente funcion:

F : R→ Rx→ f(x) =

Dominio: {0} ∪ R+

Imagen: {0} ∪ R+

Grafica:

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Operaciones

Operaciones con funciones

Dadas dos funciones f, g : A→ R, definimos las siguientes operaciones:

f + g : A→ Rx→ f(x) + g(x)

Producto:

f · g : A→ Rx→ f(x) · g(x)

Cociente: siempre que g(x) 6= 0

f/g : A→ Rx→ f(x)/g(x)

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Ejemplos de operaciones con funciones

Ejemplos

Suma: la suma de las funciones f(x) = x2 y g(x) = 2x2 + 3 es lafuncion (f + g)(x) = 3x2 + 3

Producto: el producto de las funciones f(x) = 3x y g(x) = cos(x) es lafuncion (f · g)(x) = 3x cos(x)

Cociente: el cociente de las funciones f(x) = x3 − 5 y g(x) = 3 es la

funcion(

)(x) = x3−5

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

2. Lımite de una funcion

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Definicion

Una funcion f(x) tiene lımite L en el punto x = a, si para todo numero realε > 0, existe otro numero real δ > 0, tal que si

0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Interpretacion grafica de la definicion de lımite

Para cada ε > 0:

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

existe un δ > 0:

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

tal que si 0 < |x− a| < δ:

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

entonces |f(x)− L| < ε:

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Ejemplos del calculo de lımites

Ejemplo

lımx→2

(x2 + x+ 1) = 7

Ejemplo

lımx→∞

2x2 + x+ 2

x2= lım

x→∞

Ejemplo

lımx→1

x2 − 1

x− 1= lım

(x+ 1)(x− 1)

x− 1= lım

x→1(x+ 1) = 2

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

(Unicidad del lımite) Si una funcion tiene lımite en un punto, este esunico.

Si los lımites laterales de una funcion en un punto son distintos, entoncesla funcion no tiene lımite en el.

Si una funcion tiene lımite distinto de cero en un punto, entonces existeun entorno del mismo en el que los valores que toma la funcion tienen elmismo signo que el lımite.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Operaciones con lımites

Sean f y g dos funciones tales que existan lımx→a f(x) y lımx→a g(x), ysea c un numero real, entonces:

Adicion:

lımx→a(f + g)(x) = lımx→a f(x) + lımx→a g(x)

lımx→a(−f)(x) = − lımx→a f(x)

lımx→a(f − g)(x) = lımx→a f(x) − lımx→a g(x)

Multiplicacion:

lımx→a(fg)(x) = lımx→a f(x) · lımx→a g(x)

lımx→a

)(x) = 1

lımx→a f(x)

lımx→a

)(x) =

lımx→a f(x)lımx→a g(x)

lımx→a(cf)(x) = c lımx→a f(x)

Potenciacion:

lımx→a f(x)g(x) = lımx→a f(x)lımx→a g(x)

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Ejemplos de operaciones con lımites

Ejemplos

Adicion: dadas las funciones f(x) = x2 y g(x) = 2x2 + 3, se tiene que:

lımx→2

(f + g)(x) = lımx→2

3x2 + 3 = lımx→2

f(x) + lımx→2

= lımx→2

x2 + lımx→2

2x2 + 3 = 4 + 11 = 15

Multiplicacion: dadas las funciones f(x) = 3x y g(x) = cos(x), se tieneque:

lımx→3

(f · g)(x) = lımx→3

3x cos(x) = lımx→3

f(x) · lımx→3

= lımx→3

3x · lımx→3

cos(x) = 9 cos(3)

Potenciacion: dadas las funciones f(x) = 2x3 y g(x) = x2, se tiene que:

lımx→1

(f(x))g(x) = lımx→1

(2x3)x2

= lımx→1

f(x)lımx→1 g(x)

= lımx→1

(2x3)lımx→1 x2

= 21 = 2

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Operaciones con lımites

Las relaciones anteriores son ciertas siempre que tengan sentido las opera-ciones definidas. En caso contrario, no es posible obtener el lımite del primermiembro a partir del lımite del segundo.

Cuando esto suceda diremos que se trata de un caso de indetermina-cion. Esto significa que la aplicacion directa de las operaciones anteriores esimposible.

Los casos de indeterminacion son:

0,∞∞ , 0 · ∞, ∞−∞, 1∞, ∞0, 00

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Calculo de lımites

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Calculo de lımites de funciones racionales

a) Indeterminacionk

0, k 6= 0

Esta indeterminacion se elimina calculando los lımites laterales. Si soniguales, la funcion tiene lımite +∞ o −∞, en caso contrario no existe ellımite.

Ejemplo

La aplicacion de la propiedad del lımite de un cociente a la funcion

f(x) =1

x− 1,

en el punto x = 1 da 1/0, que carece de sentido. Al calcular los lımiteslaterales obtenemos:

lımx→1−

x− 1= −∞ y lım

x→1+

x− 1= +∞,

como son distintos, la funcion no tiene lımite en ese punto.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

b) Indeterminacion0

Esta indeterminacion desaparece descomponiendo en factores elnumerador y denominador y simplificando.

Ejemplo

f(x) =x3 − 1

x− 1,

en el punto x = 1 da 0/0, que carece de sentido. Descomponiendo enfactores el numerador y el denominador y simplificando obtenemos:

lımx→1

x3 − 1

x− 1= lım

(x− 1)(x2 + x+ 1)

x− 1= lım

x→1(x2 + x+ 1) = 3.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

c) Indeterminacion∞∞

Esta indeterminacion desaparece dividiendo numerador y denominadorpor la potencia maxima del denominador.

Ejemplo

f(x) =4x2 + x− 1

x2 + 1,

cuando x tiende a ∞ da ∞/∞, que carece de sentido. Dividiendo numeradory denominador por x2 obtenemos:

lımx→∞

4x2 + x− 1

x2 + 1= lım

x→∞

4− 1x− 1

1 + 1x2

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Calculo de lımites de funciones irracionales

a) Indeterminaciones0

0y ∞−∞

Esas indeterminaciones en funciones con radicales desaparecenmultiplicando y dividiendo la funcion por la expresion radical conjugada.

Ejemplo

f(x) =x

1−√

1− x ,

en el punto x = 0 da 0/0, que carece de sentido. Al multiplicar y dividir porel conjugado obtenemos:

lımx→0

1−√

1− x = lımx→0

x(1 +√

1− x)

(1−√

1− x)(1 +√

1− x)

= lımx→0

x(1 +√

1− x)

1− (1− x)= lım

x→0(1 +

√1− x) = 2.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Calculo de lımites de funciones irracionales

b) Indeterminacion∞∞

Esta indeterminacion en funciones con radicales desaparece dividiendonumerador y denominador por la potencia maxima del denominador.

Ejemplo

lımx→∞

√x2 + x

x= lım

x→∞

√1 + 1

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

3. Continuidad de una funcion

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Definicion

Una funcion es continua en un punto si existe lımite en el y coincide con elvalor que toma la funcion en ese punto, es decir,

f continua en x = a⇔ lımx→a

f(x) = f(a)

La continuidad de f en x = a implica que se cumplan estas trescondiciones:

Existe el lımite de la funcion f(x) en x = a

La funcion esta definida en x = a, es decir, existe f(a)

Los dos valores anteriores coinciden

Si una funcion no es continua en un punto, diremos que es discontinua enese punto.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Ejemplo de funcion continua

Ejemplo

La funcion f(x) = x2−1x+1

es continua en x = 1 porque

Existelımx→1 f(x) = lımx→1

x2−1x+1

= lımx→1(x−1)(x+1)

x+1= lımx→1 x− 1 = 0

La funcion esta definida en x = 1 puesto que su dominio de definicion estodo R

f(1) = 0 por tanto el valor del lımite coincide con f(1)

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Otra definicion de continuidad

Definicion

Una funcion f es continua en el punto x = a si a cada numero real positivo εse puede asociar otro numero real positivo δ, tal que,

|x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ε

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Ejemplo grafico de discontinuidad

Funcion discontinua: f(x)=[x] (parte entera)

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Ejemplo grafico de continuidad

Funcion continua: f(x) = 2 sin(x2/3)

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Propiedades elementales

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Propiedades de las funciones continuas

1. Unicidad del lımite.

Si una funcion es continua en un punto, entonces tiene lımite en esepunto.

2. Teorema del signo

Si una funcion es continua en un punto x = a y f(a) 6= 0, entoncesexiste un entorno simetrico de x = a en el que los valores que toma ftienen el mismo signo que f(a).

3. Anulacion de la funcion

Si una funcion continua toma valores positivos y negativos en cualquierentorno simetrico del punto x = a, la funcion se anula en el.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Propiedades de las funciones continuas

4. Acotacion de la funcion

Si una funcion es continua en el punto x = a, entonces esta acotada enese punto, es decir, existe un entorno simetrico de x = a en el que lafuncion esta acotada.

5. Continuidad y operaciones

Las operaciones con funciones continuas en x = a dan como resultadootra funcion continua en un entorno simetrico de x = a, siempre quetenga sentido la operacion.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Definicion de discontinuidad

Definicion

Una funcion es discontinua en un punto cuando no existe lımite en el o,existiendo, no coincide con el valor de la funcion en el mismo.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Discontinuidad evitable

Una funcion tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existelımite en el y no coincide con el valor de la funcion en el mismo.El valor que deberıamos dar a la funcion en dicho punto para que fueracontinua en el se llama verdadero valor de la funcion en el mismo.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Ejemplo de discontinuidad evitable

Ejemplo

Consideremos la siguiente funcion:

f(x) =

{x2−1x−1

si x 6= 1

3 si x = 1

Esta funcion es continua en todos los puntos distintos de x = 1. Veamos quesucede en x = 1:

lımx→1

x2 − 1

x− 1= lım

(x+ 1)(x− 1)

x− 1= lım

x→1(x+ 1) = 2.

Puesto que f(1) = 3 y el lımite en ese punto vale 2, la funcion es discontinuaen ese punto. Ahora bien, si en vez de f(1) = 3, hubieramos tomadof(1) = 2, la funcion f serıa continua en toda la recta real. En este sentidodecimos que la discontinuidad era evitable.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Discontinuidad inevitable

Una funcion tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando existenlos lımites laterales en el y son distintos.Si f es discontinua en el punto x = a, el valor

| lımx→a+

f(x)− lımx→a−

se llama salto de la funcion en ese punto, y puede ser finito, si es un numeroreal, o infinito.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Ejemplo de discontinuidad inevitable

Ejemplo

Consideremos la siguiente funcion:

f(x) =

1 si x > 0

0 x = 0

−1 si x < 0

Es evidente que la funcion es discontinua en x = 0. Los lımites laterales son:

lımx→0+

f(x) = 1 y lımx→0−

f(x) = −1.

Puesto que los lımites laterales son distintos, no puede atribuirse a la funcionningun valor para que sea continua. Diremos que se trata de unadiscontinuidad inevitable.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Continuidad en un intervalo

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Definicion de continuidad en un intervalo

Definicion

Una funcion es continua en un intervalo abierto (a, b), si lo es en cada unode sus puntos.

Definicion

Una funcion es continua en un intervalo cerrado [a, b], si lo es en todos lospuntos del intervalo abierto (a, b) y ademas es continua por la derecha en a ypor la izquierda en b.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Ejemplos de continuidad en un intervalo

Ejemplo

La funcion f(x) = x2 es continua en cualquier intervalo cerrado o abierto dela recta real.

Ejemplo

La funcion f(x) = 1x

no es continua en el intervalo [−1, 1], porque noesta definida en el punto x = 0.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Ejemplos de continuidad en un intervalo

Ejemplo

La funcion

f(x) =

{x2 si x < 1

2 si x ≥ 1

no es continua en el intervalo [0, 1], porque no es continua por la izquierdaen x = 1, ya que

lımx→1−

f(x) = 1 6= 2 = f(1).

Sin embargo, esta funcion sı es continua en cualquier intervalo de la forma[1, b], ya que en el punto x = 1 es continua por la derecha, pues

lımx→1+

f(x) = 2 = f(1).

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Teoremas

Teorema [Weierstrass]

Si una funcion es continua en un intervalo cerrado [a, b], tiene maximo ymınimo en ese intervalo.

Interpretacion intuitiva

Intuitivamente, esto significa que la grafica de la funcion debe tener un puntomas alto o igual que los demas y otro mas bajo o igual que los restantes.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Ejemplo del Teorema de Weierstrass

Ejemplo

La funcion f(x) = x2 − x+ 1 es continua en el intervalo [1/2, 1] entoncespor el Teorema de Weierstrass podemos asegurar que tiene maximo y mınimoen ese intervalo.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Teoremas

Teorema [Bolzano]

Si una funcion es continua en un intervalo cerrado [a, b], y toma valores designos opuestos en los extremos, entonces existe al menos un punto interior cdel intervalo en el que f(c) = 0.

Interpretacion intuitiva

Intuitivamente, esto significa que la grafica de la funcion corta al eje deabscisas, ya que pasa por un punto situado por debajo de el a otro que seencuentra por encima o recıprocamente.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

HEDIMA

Calculo delımites

Ejemplo del Teorema de Bolzano

Ejemplo

La funcion f(x) = x3 + x2 − 7x+ 1 es continua en el intervalo [−1, 1] ytoma valores de signos opuestos en los extremos:

f(−1) = 8 y f(1) = −4,

entonces por el Teorema de Bolzano podemos asegurar que existe un punto cen el interior de ese intervalo de modo que la funcion se anula en el, es decirf(c) = 0

Ejemplo de aplicabilidad del Teorema de Bolzano

Podemos asegurar la existencia de al menos una solucion de la ecuacion:

x3 + x− 5 = 0,

en el intervalo [1, 2] utilizando el Teorema de Bolzano, pues la funcionf(x) = x3 + x− 5 es continua en dicho intervalo y f(1) = −3 y f(2) = 5.

2. Derivadas

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Interpretaciongeometrica

Funcionderivada

Derivadaselementales

Algebra dederivadas

TeoremasFundamenta-les del CalculoDiferencial

Teorema deRolle

Teorema delvalor mediode Lagrange

Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy

Regla deL’Hopital

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

Tema: Derivadas

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

Indice

Derivada en un punto

Interpretacion geometrica

Funcion derivada

Algebra de derivadas

Regla de la cadena

Tabla de derivadas

Teoremas Fundamentales del Calculo Diferencial

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

Dada una funcion f : D ⊆ R→ R, se dice que es derivable en a ∈ R, siexiste y es finito el siguiente lımite

lımh→0

f(a+ h)− f(a)

(equivalente a lım

f(x)− f(a)

x− a

El valor de este lımite se denomina derivada de f(x) en a y se denota por

f ′(a) odf

De modo que:

Definicion

f ′(a) = lımh→0

f(a+ h)− f(a)

o bien

f ′(a) = lımx→a

f(x)− f(a)

x− a

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

Ejemplo

Calculemos la derivada de f(x) = x2 en el punto a = 1:

f ′(1) = lımh→0

f(1 + h)− f(1)

= lımh→0

(1 + h)2 − 1

= lımh→0

1 + h2 + 2h− 1

= lımh→0

h(h+ 2)

= lımh→0

h+ 2 = 2

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

La derivada de una funcion f(x) en un punto a es un valor numerico queindica la pendiente de la recta tangente a la grafica de f(x) en el punto deabcisa x = a.Por tanto, la ecuacion de esta recta tangente se escribe

Recta tangente a la grafica de f(x) en x = a

y − f(a) = f ′(a)(x− a)

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

Ejemplo

La recta tangente a la funcion f(x) = x2 en el punto a = 1 tiene la siguienteecuacion:

y − f(1) = f ′(1)(x− 1)

es decir,y − 1 = 2(x− 1)

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

Funcion derivada

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

Funcion derivada

La funcion derivada f ′(x) de una funcion dada f(x) es la que asigna a cadavalor de x el valor de la derivada en ese punto

Funcion derivada

f ′(x) = lımh→0

f(x+ h)− f(x)

Si la funcion f ′(x) es derivable, podemos calcular su derivada, quellamaremos derivada segunda y denotaremos f ′′(x) o f2)(x). De formasimilar se definen la derivadas sucesivas tercera, cuarta, etc.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

Funcion derivada

Ejemplos de derivadas de funciones elementales

f(x) = K ∈ R f ′(x) = 0f(x) = Kx (K ∈ R) f ′(x) = Kf(x) = xn (n 6= −1) f ′(x) = nxn−1

Ejemplo

Veamos cuales son las derivadas de las siguientes funciones en a = 3

f(x) = 45 f ′(x) = 0 f ′(3) = 0f(x) = 34x f ′(x) = 34 f ′(3) = 34f(x) = x5 f ′(x) = 5x4 f ′(3) = 5 · 34

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

Funciones derivadas elementales

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

Funcion seno

y = sen(x) y′ = cos(x)

Funcion coseno

y = cos(x) y′ = −sen(x)

Funcion tangente

y = tg(x) y′ =1

cos2(x)

Funcion logaritmo

y = L(x) y′ =1

Funcion exponencial

y = ax y′ = ax · L(a)

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

Suma de funciones

(f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x)

Producto de una funcion por un numero λ

(λf(x))′ = λf ′(x)

Producto de funciones

(f(x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)

Cociente de funciones(f(x)

)′=f ′(x) · g(x)− g′(x) · f(x)

(g(x))2

Composicion de funciones (regla de la cadena)

(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x)

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

Ejemplos

(x2 + sen(x))′ = 2x+ cos(x)

(3 · sen(x))′ = 3 · cos(x)

(x2 · sen(x))′ = 2xsen(x) + x2 cos(x)(

sen(x)

2xsen(x)− x2 cos(x)

(sen(x))2

(sen(x2))′ = cos(x2) · 2x(cos(x3))′ = −sen(x3) · 3x2

(tg(x2))′ =1

cos2(x2)· 2x

(L(x4))′ =1

x4· 4x3

)′ = 3x2 · L(3) · 2x

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

Teoremas Fundamentales

del Calculo Diferencial

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

Teorema

Si una funcion f(x) es derivable en un punto a entonces es continua en esepunto.La implicacion contraria no es cierta, es decir, una funcion puede sercontinua en un punto y no ser derivable en ese punto

Ejemplo

f(x) = |x| es continua en a=0 pero no es derivable.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

Teorema de Rolle

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

Teorema de Rolle

Si una funcion f : D ⊆ R −→ R es

continua en [a, b] ⊆ D,derivable en (a, b),

f(a) = f(b)

entonces existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0

Ejemplo

Como f(x) = 2x2 − 8x + 11es continua y derivable en [1, 3]y f(1) = f(3), entonces existec = 2 ∈ [1, 3] tal que f ′(2) = 0

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

Teorema de Lagrange

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

Teorema del valor medio de Lagrange

Si una funcion f : D ⊆ R −→ R es

continua en [a, b] ⊆ D,derivable en (a, b),

}entonces existe c ∈ (a, b) tal que

f ′(c) = f(b)−f(a)b−a

Ejemplo

Como f(x) = 2x2− 8x+ 11 escontinua y derivable en [1, 4],existe c = 2′5 ∈ [1, 4] tal quef(4)−f(1)

4−1= 2 = f ′(2′5)

Es decir, existe un punto c = 2′5 en donde la pendiente de la recta tangentees igual que la pendiente de la recta que pasa por (1, f(1)) y (4, f(4)).

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

Teorema de Cauchy

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

Teorema del valor medio generalizado de Cauchy

Dadas dos funciones f : D ⊆ R −→ R y g : D ⊆ R −→ R, si

f y g son continuas en [a, b] ⊆ D,f y g son derivables en (a, b),

entonces existe c ∈ (a, b) tal que

f ′(c)(g(b)− g(a) = g′(c)(f(b)− f(a))

Si en lo anterior g′(c) no es cero, entonces se puede expresar como

f(b)− f(a)

g(b)− g(a)=f ′(c)

g′(c)

es decir, el cociente de las diferencias en los extremos es igual al cociente delas derivadas en el algun punto intermedio.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

Regla de L’Hopital

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

Un entorno reducido de a es un intervalo centrado en a al que se haeliminado el punto a, por ejemplo, (a− r, a) ∪ (a, a+ r), con r > 0.

Regla de L’Hopital

Dadas dos funciones f : D ⊆ R −→ R y g : D ⊆ R −→ R, si

f y g son derivables en un entorno reducido del punto a ∈ D,

O bien f(a) = g(a) = 0, o bien f(a) = g(a) = ±∞

g′(x) no se anula en el entorno reducido,

∃ lımx→a

f ′(x)

g′(x),

entonces existe lımx→a

lımx→a

g(x)= lım

f ′(x)

g′(x)

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Funcionderivada

Algebra dederivadas

Teorema deRolle

Regla deL’Hopital

La Regla de L’Hopital es una herramienta para calcular lımites quepresentan indeterminaciones del tipo 0/0 o ±∞∞ .

Ejemplo

Para calcular el siguiente lımite

lımx→0

sen(x)

podemos utilizar la Regla de L´Hopital:

lımx→0

sen(x)

x= lım

sen′(x)

x′= lım

cos(x)

La regla tambien es valida para calcular lımites laterales. En este caso,sera necesario que las dos funciones f(x) y g(x) esten definidas a la derechao a izquierda del punto a, segun el lımite lateral que queramos calcular. Porejemplo:

Ejemplo

lımx→0+

x= lım

x→0+

L′(x)

x′= lım

x→0+

3. Aplicaciones de las derivadas

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Crecimiento ydecrecimiento

Maximos ymınimos

Concavidad yconvexidad

Puntos deinflexion

Problemas deoptimizacion

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Maximos ymınimos

Puntos deinflexion

Tema: Aplicaciones de la derivada

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Maximos ymınimos

Puntos deinflexion

Indice

Crecimiento y decrecimiento

Maximos y mınimos

Concavidad y convexidad

Puntos de inflexion

Problemas de optimizacion

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Maximos ymınimos

Puntos deinflexion

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Maximos ymınimos

Puntos deinflexion

Dada una funcion f : D ⊆ R −→ R y un intervalo I ⊆ Df es creciente en I si

para todo x, y ∈ I

si x < y =⇒ f(x) ≤ f(y)

f es decreciente en I si

para todo x, y ∈ I

si x < y =⇒ f(x) ≥ f(y)

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Maximos ymınimos

Puntos deinflexion

Si f : D ⊆ R −→ R es derivable en I ⊆ DCondicion necesaria y suficiente para que f sea creciente en I

f ′(x) ≥ 0 para todo x, y ∈ I

f es creciente en I

Condicion necesaria y suficiente para que f sea decreciente en I

f ′(x) ≤ 0 para todo x, y ∈ I

f es decreciente en I

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Maximos ymınimos

Puntos deinflexion

Maximos y mınimos

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Maximos ymınimos

Puntos deinflexion

Maximos y mınimos relativos

Dada una funcion f : D ⊆ R −→ R

f alcanza un maximo relativo en a ∈ D

si ∃ δ > 0 tal que si

x ∈ (a− δ, a+ δ) ⊂ Dentonces

f(x) ≤ f(a)

f alcanza un mınimo relativo en a ∈ D

si ∃ δ > 0 tal que si

x ∈ (a− δ, a+ δ) ⊂ Dentonces

f(x) ≥ f(a)

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Maximos ymınimos

Puntos deinflexion

Maximos y mınimos absolutos

Dada una funcion f : D ⊆ R −→ R

f alcanza un maximo absoluto en a ∈ D

si f(x) ≤ f(a) para todo x ∈ D

f alcanza un mınimo absoluto en a ∈ D

si f(x) ≥ f(a) para todo x ∈ D

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Maximos ymınimos

Puntos deinflexion

Condicion necesaria y suficiente para extremo relativo

Si f(x) : D ⊆ R −→ R es derivable en D,

f(x) alcanza un maximo relativo en a ∈ D si

es creciente a la izquierda de a

es decir, x < a =⇒ f ′(x) ≥ 0

y es decreciente a la derecha de a

es decir, x > a =⇒ f ′(x) ≤ 0

f(x) alcanza un mınimo relativo en a ∈ D si

es decreciente a la izquierda de a

es decir, x < a =⇒ f ′(x) ≤ 0

y es creciente a la derecha de a

es decir, x > a =⇒ f ′(x) ≥ 0

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Maximos ymınimos

Puntos deinflexion

Condicion necesaria de extremo relativo

Extremos relativos y derivada

Si f(x) es derivable en a y alcanza en a un maximo o mınimo relativoentonces

f ′(a) = 0

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Maximos ymınimos

Puntos deinflexion

Ejemplo

Sea h(x) = 1 + x2 + x3 + x4. Los posibles extremos relativos de h(x) seranlos valores de x que anulen la derivada:

h′(x) = 2x+ 3x2 + 4x3 = x(2 + 3x+ 4x2)

En x = 0 se anula la derivada y sera un posible maximo o mınimo. Y notendra mas posibles maximos o mınimos, porque 2 + 3x+ 4x2 solo tieneraıces complejas, y al ser una funcion continua, sus valores seran siemprepositivos o siempre negativos. En este caso, sustituyendo por cualquier valorde x, comprobamos que son siempre positivos.Consecuencia de lo anterior es que el signo de la derivada h′(x) es elsiguiente:

h′(x) < 0 si x ∈ (−∞, 0) (⇒ h(x) decrece si x ∈ (−∞, 0))

h′(x) > 0 si x ∈ (0,∞) (⇒ h(x) crece si x ∈ (0,∞))

En consecuencia, en x = 0 hay un mınimo relativo para la funcion h(x).Ademas, visto el crecimiento y decrecimiento de la funcion, el mınimo es unmınimo absoluto.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Maximos ymınimos

Puntos deinflexion

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Maximos ymınimos

Puntos deinflexion

Concavidad

Dada una funcion f : D ⊆ R −→ R, diremos que

f es concava en a ∈ Dsi existe un entorno de a en el que la grafica de la funcion queda por encimade la recta tangente en a

Funcion concava creciente Funcion concava decreciente

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Maximos ymınimos

Puntos deinflexion

Convexidad

Dada una funcion f : D ⊆ R −→ R, se dice que

f es convexa en a ∈ Dsi existe un entorno de a en el que la grafica de la funcion queda por debajode la recta tangente en a

Funcion convexa creciente Funcion convexa decreciente

Los conceptos de convexidad y concavidad pueden encontrarse definidosde forma diferente en algunos textos, de forma que lo que aquı se entiendepor concavidad, allı serıa convexidad y viceversa.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Maximos ymınimos

Puntos deinflexion

Si f : D ⊆ R −→ R tiene derivada segunda en I ⊆ D, entonces

Condicion necesaria y suficiente para que f sea concava en I

f ′′(x) ≥ 0 ∀x, y ∈ I

f es concava en I

Condicion necesaria y suficiente para que f sea convexa en I

f ′′(x) ≤ 0 ∀x, y ∈ I

f es convexa en I

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Maximos ymınimos

Puntos deinflexion

Puntos de inflexion

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Maximos ymınimos

Puntos deinflexion

Puntos de inflexion

Dada una funcion f : D ⊆ R −→ R, se dice que tiene un punto de inflexionen a ∈ D si es concava a la izquierda de a y convexa a la derecha o viceversa.

La condicion necesaria para que f tenga punto de inflexion en a ∈ D es quef ′′(a) = 0

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Maximos ymınimos

Puntos deinflexion

Puntos de inflexion y maximos y mınimos

Condiciones suficientes para puntos de inflexion, concavidad y convexidad:

Sea f(x) una funcion derivable varias veces. Si la primera derivada en a deorden mayor que 1 que no se anula es de orden

1 par y positiva, entonces a es un punto de concavidad para f(x);

2 par y negativa, entonces a es un punto de convexidad para f(x);

3 impar, entonces a es un punto de inflexion para f(x).

Condiciones suficientes de puntos de inflexion, maximo o mınimo relativo:

Sea f(x) una funcion derivable varias veces. Si la primera derivada en a seanula y la de orden mayor que 1 que no se anula es

1 de orden par y positiva, entonces a es un mınimo relativo para f(x);

2 de orden par y negativa, entonces a es un maximo relativo para f(x);

3 de orden impar, entonces a es un punto de inflexion para f(x).

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Maximos ymınimos

Puntos deinflexion

Ejemplo

Sea f(x) = Ln(1 + x2). Para estudiar la convexidad y concavidad de f(x)calculamos su derivada segunda:

f ′(x) =2x

1 + x2f ′′(x) =

2(1 + x2)− 4x2

(1 + x2)2=

2− 2x2

(1 + x2)2

Por lo tanto, la derivada segunda f ′′(x) se anula en x = ±1, y su signo es elsiguiente:

f ′′(x) < 0 si x ∈ (−∞,−1) ∪ x ∈ (1,∞)

f ′′(x) > 0 si x ∈ (−1, 1)Es decir

f(x) es convexa si x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞)

f(x) es concava si x ∈ (−1, 1).

En x = ±1 hay sendos puntos de inflexion por pasar de concava aconvexa o viceversa. Ademas se puede comprobar que f ′′′(x) 6= 0 enx = ±1.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Maximos ymınimos

Puntos deinflexion

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Maximos ymınimos

Puntos deinflexion

El objetivo es encontrar los valores que hacen que una funcion alcance suvalor maximo o mınimo.Pasos a seguir en la resolucion del problema:

Identificar la funcion que se trata de maximizar o minimizar

Establecer las relaciones entre las variables que hacen que se cumplantodas las condiciones del problema (ligaduras)

Para que alcance un maximo o mınimo, la condicion necesaria es que laderivada primera de la funcion debe ser cero

Ademas se deben verificar las condiciones suficientes de maximo omınimo ( Ver condiciones suficientes de maximo y mınimo )

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Maximos ymınimos

Puntos deinflexion

Ejemplo

Una ventana tiene forma rectangular conun semicırculo en su parte superior. Sabien-do que el perımetro es 4 metros, hallar lasdimensiones para que sea maxima la canti-dad de luz que la traviesa.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Maximos ymınimos

Puntos deinflexion

Ejemplo (resolucion)

Para un maximo de luz ha de ser maxima la superficie con cristal. Sean R, By h las dimensiones de la ventana tal y como se senalan en el dibujo.Evidentemente B = 2R. En este caso la funcion a maximizar es la superficieS:

S = B h+1

2π R2 = B h+

Puesto que el perımetro es 4 metros, ha de ser B + 2h+ πR = 4, por tanto,

h =4−B(1 + π/2)

La funcion a maximizar se puede escribir entonces en funcion de una solavariable

S = B4−B(1 + π/2)

Derivando e igualando a cero se obtiene que ha de ser

4 + π

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Maximos ymınimos

Puntos deinflexion

Ejemplo (resolucion)

B = 84+π

es un posible maximo o mınimo de la funcion superficie.La derivada segunda de la funcion superficie S es la siguiente

S′′(B) = −π4− 1

que es evidentemente negativa para el valor B = 84+π

Por tanto, el valor B = 84+π

es un maximo de la funcion superficie.Para este valor de B, el valor de h es

π + 4.

4. Gráficas de funciones

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Graficas defunciones

HEDIMA

Grafica deuna funcion

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Intervalos decrecimiento

Intervalos deconcavidad

Graficas dealgunasfunciones

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Tema: Representacion grafica de funciones

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Indice

Representacion grafica de funciones

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Puntos de corte

Intervalos de crecimiento

Intervalos de concavidad y convexidad

Graficas de algunas funciones

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Grafica de una funcion

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Grafica de una funcion

Dada una funcion f : D ⊆ R −→ R, la representacion grafica de f es launion de todos los puntos del plano de coordendas (x, f(x)), siendo x ∈ D

Grafica de f(x) = x e−x

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Estudio de una funcion

Para hacer la representacion grafica conviene estudiar los siguientes aspectos

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Puntos de corte

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Dominio

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Dominio

El dominio D de un funcion f(x) son todos los valores de x ∈ R para loscuales esta definida

Ejemplos

f(x) =4

x2 − 4D = R− {−2, 2}

f(x) =√x− 1 D = [1,∞)

f(x) = L(x2 − 5x + 4) D = (−∞, 1) ∪ (4,∞)

f(x) =ex

ex − 1R− {0}

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Simetrıas

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Simetrıa par

Una funcion f : D ⊆ R −→ R tiene simetrıa par si

f(−x) = f(x) ∀x ∈ D

La grafica de una funcion par es simetrica respecto al eje OY

Ejemplo f(x) =x2

x2 − 4

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Simetrıa impar

Una funcion f : D ⊆ R −→ R tiene simetrıa impar si

f(−x) = −f(x) ∀x ∈ D

La grafica de una funcion impar tiene doble simetrıa respecto al eje OY y aleje OX

Ejemplo f(x) = x3

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Asıntotas

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Asıntotas verticales

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Asıntotas verticales

La recta vertical x = a es asıntota vertical de f si al menos uno de los lımiteslaterales en a es infinito. Es decir, si

lımx→a+

f(x) = ±∞ y/o lımx→a−

f(x) = ±∞

La grafica de f se acerca a su asıntota vertical x = a conforme x→ a por laderecha o por la izquierda

Ejemplo: f(x) =x2

x2 − 4tiene dos asıntotas verticales, x = 2 y x = −2

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Asıntotas horizontales

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Asıntotas horizontales

La recta horizontal y = b es asıntota horizontal de f si

lımx→+∞

f(x) = b y/o lımx→−∞

f(x) = b

La grafica de f se acerca a su asıntota horizontal y = b conforme x→ +∞ ox→ −∞

Ejemplo: f(x) =ex − 1

ex + 1tiene dos asıntotas horizontales, y = 1 e y = −1

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Asıntotas oblıcuas

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Definicion

La recta y = mx + n es asıntota oblıcua de f si

lımx→+∞

[f(x)− (mx + n)] = 0 y/o lımx→−∞

[f(x)− (mx + n)] = 0

La grafica de f se acerca a su asıntota oblıcua y = mx + n conformex→ +∞ o x→ −∞

Calculo

Si y = mx + n es asıntota oblıcua de f en +∞ entonces

lımx→+∞

x= m y lım

x→+∞(f(x)−mx) = n

De manera analoga se calculan los valores de m y n cuando x→ −∞.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Ejemplo

La funcion f(x) =ex − 1

ex + 1tiene dos asıntotas oblicuas ,

y = x en x→ +∞

y = −x en x→ −∞

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Puntos de corte

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Puntos de corte con los ejes

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Puntos de corte con los ejes

Cortes con el eje OX

Los puntos de corte con el eje OX son las soluciones de la ecuacion

f(x) = 0

Si esta ecuacion no tiene solucion, la grafica de f(x) no corta al eje OX.

Cortes con el eje OY

El punto de corte con el eje OY es

(0, f(0))

Si 0 /∈ D, la grafica de f(x) no corta al eje OY

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Puntos de corte con las asıntotas

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Puntos de corte con asıntotas

Cortes con las asıntotas horizontales y = a

Los puntos de corte con las asıntotas horizontales son las soluciones de laecuacion

f(x) = a

Si esta ecuacion no tiene solucion, la grafica de f(x) no corta a las asıntotashorizontales.

Cortes con las asıntotas oblicuas y = mx + n

Los puntos de corte con las asıntotas oblicuas son las soluciones de laecuacion

f(x) = mx + n

Si esta ecuacion no tiene solucion, la grafica de f(x) no corta a las asıntotasoblıcuas.

La grafica de una funcion f(x) nunca corta a sus asıntotas verticales

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Son intervalos donde el comportamiento de la funcion es monotono, o escreciente o es decreciente.

Los intervalos de crecimiento vienen delimitados por los puntos dondecambia el signo de la derivada

porque se anula f ′(x)

o porque f(x) presenta una discontinuidad.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Ejemplo

La funcion f(x) =x2

x2 − 4, tiene como derivada f ′(x) = 8x

(x−2)2(x+2)2), por

tanto f ′(x)

tiene dos puntos de discontinuidad x = 2 y x = −2

su derivada se anula en x = 0, es decir f ′(0) = 0

Los intervalos de crecimiento son entonces

(−∞,−2), (−2, 0), (0, 2), (2,∞)

Para conocer el comportamiento de la funcion en cada uno de ellos bastaestudiar el signo de la derivada en cualquier punto perteneciente al intervalo.El resultado es

(−∞,−2) f ′ > 0 f es creciente(−2, 0) f ′ > 0 f es creciente(0, 2) f ′ < 0 f es decreciente(2,∞) f ′ < 0 f es decreciente

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Grafica de la funcionx2

x2 − 4

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Intervalos de concavidad

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Son intervalos donde la funcion es concava o convexa.

Los intervalos de concavidad o convexidad vienen delimitados por los puntosdonde cambia el signo de la segunda derivada

porque se anula f ′′(x)

o porque f ′′(x) presenta una discontinuidad.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Ejemplo

La funcion f(x) =x2

x2 − 4, tiene como derivada segunda 8(3x2+4)

(x−2)3(x+2)3, por

tanto, f ′′(x)

tiene dos puntos de discontinuidad x = 2 y x = −2

su derivada no se anula en ningun punto.

Los intervalos de concavidad y convexidad son entonces

(−∞,−2), (−2, 2), (2,∞)

Para conocer el comportamiento de la funcion en cada uno de ellos bastaestudiar el signo de la derivada segunda en cualquier punto perteneciente alintervalo. El resultado es

(−∞,−2) f ′′ > 0 f es concava(−2, 2) f ′′ < 0 f es convexa(2,∞) f ′′ > 0 f es concava

Volver a ver la grafica de f(x) = x2

x2−4

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Grafica de algunas funciones

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Estudio global de una grafica

Ejemplo: grafica de la funcion f(x) = x3

x2−1.

Dominio: D = {x ∈ R/ x 6= {−1, 1}}.

Simetrıas: es impar porque f(−x) = (−x)3

(−x)2−1= − x3

x2−1= −f(x).

No es periodica.

Puntos de corte con los ejes: con el eje OX se corta en el punto (0, 0) ycon el eje OY se corta tambien el punto (0, 0).

Signo de la funcion:

-1 0 1

x3 - - - 0 + + +x2 − 1 + 0 - - - 0 +

x2−1- · + 0 - · +

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Ejercicio (continuacion)

Puntos de discontinuidad: en los puntos x = ±1 tiene discontinuidadesesenciales de salto infinito, porque los lımites en esos puntos valen ∞ o−∞ (segun los calculemos por la derecha o por la izquierda).

Asıntotas:

Horizontales: no tiene porque lımx→±∞ f(x) = ±∞Verticales: son las rectas x = 1 y x = −1 porque

lımx→1±

f(x) = ±∞ y lımx→−1±

f(x) = ±∞

Oblicuas: la recta y = x es asıntota oblicua cuando x tiende a infinito:

lımx→+∞

x= 1 y lım

x→+∞f(x)− x = 0.

la recta y = x es asıntota oblicua cuando x tiende a menos infinito:

lımx→−∞

x= 1 y lım

x→−∞f(x)− x = 0.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Para el crecimiento, estudiamos el signo de f ′(x) = x4−3x2

x4−2x2+1

−√

3 -1 0 1√

x4 − 3x2 + 0 - - - 0 - - - 0 +x4 − 2x2 + 1 + + + 0 + + + 0 + + +

x4−3x2

x4−2x2+1+ 0 - · - 0 - · - 0 +

Por tanto, crece si x ∈ (−∞,−√

3) ∪ (√

3,∞) y decrece six ∈ (−

√3,−1) ∪ (−1, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1,

Maximos o mınimos relativos. Viendo lo anterior, se deduce que hay unmaximo relativo en x = −

√3 y un mınimo relativo en x =

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Las regiones de concavidad y convexidad las determinamos estudiando el

signo de f ′′(x) = 2x3+6xx6−3x4+3x2−1

-1 0 1

2x3 + 6x - - - 0 + + +(x2 − 1)3 + 0 - - - 0 +2x3+6x(x2−1)3

- · + 0 - · +

Por tanto, es concava si x ∈ (−∞,−1) ∪ (0, 1) y convexa six ∈ (−1, 0) ∪ (1,∞).

Puntos de inflexion. Observando lo anterior, se deduce que el puntox = 0 es un punto de inflexion.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Grafica de la funcion x3

x2−1

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Ejemplo: grafica de f(x) =x3

(1 + x)2

D = R− {−1, 1}

AV: x = −1

AO: y = x− 2

Corte con los ejes (0, 0)

Corte con la AO(− 2

3,− 8

(−∞,−3) ∪ (−1,∞) ↑

(−3,−1) ↓

(∞,−1) ∪ (−1, 0)⋂

(0,∞)⋃

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Ejemplo: grafica de f(x) =2x2 + 2x + 1

D = R− {0}

AV: x = 0

AH: y = 2

Corte con la AH (− 12, 2)

(−∞,−1) ∪ (0,∞) ↓

(−1, 0) ↑

(−∞, −32

(−32, 0) ∪ (0,∞)

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Grafica de f(x) = x e1/x

D = R− {0}

AV: x = 0+

AO: y = x + 1

(−∞, 0) ∪ (1,∞) ↑

(0, 1) ↓

(−∞, 0)⋂

(0,∞)⋃

5. Cálculo de primitivas

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Integral deRiemann.

Tecnicas deintegracion

HEDIMA

Introduccion

Primitiva deuna funcion

Integralesinmediatas

Metodos deintegracion

I. Por cambiode variable

II. Por partes

Funcionesracionales

Funcionestrigonometri-cas

Funcionesirracionales

Bibliografıa

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Tema: Integral de Riemann. Tecnicas deintegracion

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Indice

Introduccion

Primitiva de una funcion. Definiciones y propiedades

Integrales inmediatas

Metodos de integracion

Metodo de integracion por partes

Integracion de funciones racionales

Integracion de funciones trigonometricas

Integracion de funciones irracionales

Bibliografıa

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Introduccion

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

El calculo integral formaliza conceptos bastantes sencillos e intuitivos: el dearea de una region, volumen de un cuerpo, y longitud de curvas entre otrasaplicaciones.

Los orıgenes del calculo deareas se pueden encontraren el metodo de exhauciondesarrollado por los griegoshace mas de 2000 anos.

Sin embargo fueron Newton y Leibnitz quienes le dieron el enfoque rigurosoactual.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Primitiva de una funcion.Definiciones y propiedades

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Definicion

Dadas dos funciones f y F , decimos que F es una primitiva de la funcion fen un conjunto de valores D si:

F ′(x) = f(x), ∀x ∈ D.

Ejemplo

Si f(x) = 2x, entonces

F (x) = x2 es una primitiva de f(x) en R, porqueF ′(x) = (x2)′ = 2x = f(x).

Del mismo modo, F (x) = x2 + 7 es una primitiva de f(x) en R, porqueF ′(x) = (x2 + 7)′ = 2x = f(x).

Se deduce facilmente que

Observacion

Si F es una primitiva de f en D, entonces F (x) + C es primitiva de f(x) enD, siendo C cualquier numero real.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Definicion

Al conjunto de todas las primitivas de f se le llama integral indefinida de f y

se denota por

∫f(x)dx. De la observacion anterior se deduce que si F (x) es

una primitiva de f(x), entonces∫f(x)dx = F (x) + C, ∀C ∈ R.

Propiedades (de la integral indefinida)

Sea f : I ⊂ R→ R. Se tiene que

1 Si k ∈ R, entonces

∫k f(x)dx = k

∫f(x)dx.

∫(f(x)± g(x)) dx =

∫f(x)dx±

∫g(x)dx.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Definicion

Se llaman integrales inmediatas a aquellas que se deducen directamente delas reglas de derivacion.

En la tabla de la pagina siguiente se muestran algunas integralesinmediatas.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Algunas integrales inmediatas

∫k dx = kx ∀k ∈ R

(n 6= −1)∫xn dx = xn+1

∫f(x)nf ′(x) dx = f(x)n+1

n+1∫1xdx = ln |x|

∫ f ′(x)f(x)

dx = ln |f(x)|∫ex dx = ex

∫ef(x)f ′(x) dx = ef(x)∫

ax dx = ax

∫af(x)f ′(x) dx = af(x)

ln a∫sen(x) dx = − cos(x)

∫sen(f(x))f ′(x) dx = − cos(f(x))∫

cos(x) dx = sen(x)∫cos(f(x))f ′(x) dx = sen(f(x))∫

1sen2(x)

dx = − cotg(x)∫ f ′(x)

sen2(f(x))dx = − cotg(f(x))

cos2(x)dx = tg(x)

∫ f ′(x)cos2(f(x))

dx = tg(f(x))∫

dx = arctg(x)∫ f ′(x)

1+(f(x))2dx = arctg f(x)

∫1√

1−x2dx = arcsen(x)

∫ f ′(x)√1−(f(x))2

dx = arcsen f(x)

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Metodos de integracion

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Integracion por sustitucion ocambio de variable

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Metodos de integracion: sustitucion o cambio de variable

Consiste en hacer un cambio de variable que transforme la integral en otra que

sepamos calcular. Una vez resuelta, hay que deshacer el cambio.

Teorema

Sea x = φ(t) una funcion derivable respecto de t (entonces dx = φ′(t)dt).

Podremos calcular

∫f(x)dx ası:

∫f(x)dx =

∫f(φ(t))φ′(t)dt

Encontraremos solucion siempre que sepamos calcular la ultima primitiva de la

igualdad anterior.

Ejemplo

∫cos(2x)dx =

{t = 2x;x = t/2

dt = 2dx

∫cos(t)

2sen(t)+C =

2sen(2x)+C

∫ecosxsen(x) dx =

{t = cosxdt = −sen(x) dx

}= −

∫etdt = −et+C = −ecos(x)+C

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Integracion por partes

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Metodos de integracion: integracion por partes

Integracion por partes

Sea u(x) y v(x) dos funciones derivables. Dado que

(u(x) · v(x))′ = u(x) · v′(x) + u′(x) · v(x)

se deduce que

u(x) · v′(x) = (u(x) · v(x))′ − u′(x) · v(x)

y por tanto, si se puede integrar respecto de x:∫u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)−

∫v(x)u′(x)dx

Ejemplo

∫xn lnx dx =

{u(x) = lnx ⇒ du(x) = 1

dv(x) = xndx ⇒ v(x) = xn+1

n+ 1lnx−

n+ 1dx =

(lnx− 1

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Metodos de integracion: integracion por partes

Ejemplo

∫arctg(x)dx =

{u = arctg(x)⇒ du = dx

dv = dx⇒ v = x

= x arctg(x)−∫

1 + x2dx = x arctg(x)− 1

2ln |x2 + 1|+ C.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Integracion de funcionesracionales

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Son integrales de la forma∫f(x)dx =

∫p(x)

q(x)dx,

donde p(x) y q(x) son polinomios.

Si grado(p) < grado(q), aplicaremos el metodo de descomposiciondescrito a continuacion.

En otro caso, debemos efectuar la division de polinomios:

f(x) =p(x)

q(x)= c(x) +

donde c(x) y r(x) son respectivamente el polinomio cociente y elpolinomio resto de la division.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Ejemplo

Calculemos∫

x−1dx. Dividiendo se obtiene que x2 = (x+ 1)(x− 1) + 1,

por tanto:

x− 1dx =

∫ [(x+ 1) +

x− 1

∫(x+ 1) dx+

x− 1dx = x2/2 + x+ ln(|x− 1|+ C)

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Metodo de descomposicion (grado(p) < grado(q))

Caso 1. grado(q) = n con todas las raıces reales y simples:

q(x) = a0(x− x1)(x− x2) . . . (x− xn)

Se realizara una descomposicion en fracciones simples como sigue:

a0(x− x1)+

x− x2+ . . .+

Anx− xn

, Ai ∈ R, i = 1 . . . n.

A continuacion se integraran los sumandos de la descomposicion obtenida:∫p(x)

q(x)dx =

a0(x− x1)dx+

x− x2dx+ . . .+

x− xndx =

a0ln |x− x1|+A2 ln |x− x2|+ . . .+An ln |x− xn|+ C.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Ejemplo

Calcula∫

2x−3x2−3x+2

Puesto que x2 − 3x+ 2 = (x− 1)(x− 2), se tiene que

2x− 3

x2 − 3x+ 2=

x− 1+

x− 2⇒ 2x− 3

x2 − 3x+ 2=A1(x− 2) +A2(x− 1)

(x− 2)(x− 1))

2x− 3 = A1(x− 2) +A2(x− 1)⇒{

2 = A1 +A2

−3 = −2A1 −A2⇒{A1 = 1A2 = 1

Por tanto

∫2x− 3

x2 − 3x+ 2dx =

x− 1dx +

x− 2dx = ln |x−1|+ln |x−2|+C

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Ejemplo

Calcula∫

2x−3x2−3x+2

Puesto que x2 − 3x+ 2 = (x− 1)(x− 2), se tiene que

2x− 3

x2 − 3x+ 2=

x− 1+

x− 2⇒ 2x− 3

x2 − 3x+ 2=A1(x− 2) +A2(x− 1)

(x− 2)(x− 1))

2x− 3 = A1(x− 2) +A2(x− 1)⇒{

2 = A1 +A2

−3 = −2A1 −A2⇒{A1 = 1A2 = 1

Por tanto

∫2x− 3

x2 − 3x+ 2dx =

x− 1dx +

x− 2dx = ln |x−1|+ln |x−2|+C

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Ejemplo∫

2x− 3

2x3 − x2 − xdx =

{Teniendo en cuenta:2x3 − x2 − x = x(x− 1)(2x+ 1)

∫ (A

x− 1+

= 3 ln |x| − 13ln |x− 1| − 8

3ln |2x+ 1|+ C,

donde los coeficientes A, B y C se han calculado resolviendo:

2x−32x3−x2−x = A

x+ Bx−1

+ C2x+1

=A(x−1)(2x+1)+Bx(2x+1)+Cx(x−1)

x(x−1)(2x+1)=

=x2(2A+2B+C)+x(−A+B−C)−A

2x3−x2−x ,

para lo que se debe cumplir que:

0 = 2A+ 2B + C2 = −A+B − C−3 = −A

A = 3B = −1

3C = −16

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Ejemplo∫

2x− 3

2x3 − x2 − xdx =

{Teniendo en cuenta:2x3 − x2 − x = x(x− 1)(2x+ 1)

∫ (A

x− 1+

= 3 ln |x| − 13ln |x− 1| − 8

3ln |2x+ 1|+ C,

donde los coeficientes A, B y C se han calculado resolviendo:

2x−32x3−x2−x = A

x+ Bx−1

+ C2x+1

=A(x−1)(2x+1)+Bx(2x+1)+Cx(x−1)

x(x−1)(2x+1)=

=x2(2A+2B+C)+x(−A+B−C)−A

2x3−x2−x ,

para lo que se debe cumplir que:

0 = 2A+ 2B + C2 = −A+B − C−3 = −A

A = 3B = −1

3C = −16

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Caso 2. grado(q) = k con alguna raız real de multiplicidad k:

q(x) = a0(x− x0)k

Descomposicion en fracciones simples:

a0(x− x0)+

(x− x0)2+

(x− x0)3+ . . .+

Ak(x− x0)k

Integracion de los sumandos obtenidos:

∫p(x)

q(x)dx =

a0(x− x0)dx+

(x− x0)2dx+

(x− x0)3dx+ . . .+

(x− x0)kdx

a0ln |x−x0|+A2

(x− x0)−1

−1 +A3(x− x0)−2

−2 +. . .+Ak(x− x0)−k+1

−k + 1+C.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Ejemplo

Calcula∫

3x+5x3−x2−x+1

Puesto que x3 − x2 − x+ 1 = (x+ 1)(x− 1)2, se tiene que:

3x+5x3−x2−x+1

= A1x+1

+ A2(x−1)

+ A3(x−1)2

3x+5x3−x2−x+1

=A1(x−1)2+A2(x−1)(x+1)+A3(x+1)

(x+1)(x−1)2

y en consecuencia, como los denominadores de las fracciones anteriores tambien soniguales, los numeradores tambien lo seran:

3x+ 5 = A1(x− 1)2 +A2(x− 1)(x+ 1) +A3(x+ 1)

de donde0 = A1 +A2

3 = −2A1 +A3

5 = A1 −A2 +A3

⇒A1 = 1/2A2 = −1/2A3 = 4

Por tanto∫

x3 − x2 − x+ 1dx =

∫1/2

x+ 1dx +

∫ −1/2(x− 1)

(x− 1)2dx =

1/2 ln |x+ 1| − 1/2 ln |x− 1| − 4

(x− 1)

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Ejemplo

Calcula∫

3x+5x3−x2−x+1

Puesto que x3 − x2 − x+ 1 = (x+ 1)(x− 1)2, se tiene que:

3x+5x3−x2−x+1

= A1x+1

+ A2(x−1)

+ A3(x−1)2

3x+5x3−x2−x+1

=A1(x−1)2+A2(x−1)(x+1)+A3(x+1)

(x+1)(x−1)2

y en consecuencia, como los denominadores de las fracciones anteriores tambien soniguales, los numeradores tambien lo seran:

3x+ 5 = A1(x− 1)2 +A2(x− 1)(x+ 1) +A3(x+ 1)

de donde0 = A1 +A2

3 = −2A1 +A3

5 = A1 −A2 +A3

⇒A1 = 1/2A2 = −1/2A3 = 4

Por tanto∫

x3 − x2 − x+ 1dx =

∫1/2

x+ 1dx +

∫ −1/2(x− 1)

(x− 1)2dx =

1/2 ln |x+ 1| − 1/2 ln |x− 1| − 4

(x− 1)

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Ejemplo

∫2x− 3

x3 − 3x2 + 3x− 1dx =

{Teniendo en cuenta:x3 − 3x2 + 3x− 1 = (x− 1)3

∫ (A

x− 1+

(x− 1)2+

(x− 1)3

∫ (0

x− 1+

(x− 1)2+

−1(x− 1)3

)dx = −2 1

(x− 1)+

(x− 1)2+ C

donde :

2x−3x3−3x2+3x−1

= Ax−1

+ B(x−1)2

+ C(x−1)3

=Ax2+x(−2A+B)+(A−B+C)

(x−1)3

lo que implica que A = 0, B = 2 y C = −1.

Observacion

Hay otras muchas combinaciones, como mezcla de raıces reales y complejas(simples y/o multiples). Aquı solo se tratara el caso anterior, y el caso en quela raız compleja es de multiplicidad 1.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Caso 3. q(x) tiene alguna raız compleja simple.

q(x) = k(x− x1)α1 . . . (x− xp)αp [(x− b1)2 + c21] . . . [(x− bk)2 + c2k]

con k, xi, aj , cj ∈ R y αi ∈ N. Siempre es posible descomponer la fraccion deesta forma:

∫p(x)

q(x)dx =

∫ (A1

x− x1+ · · ·+ Aα1

(x− x1)α1+ . . .

· · ·+ A1p

x− xp+ · · ·+ A

(x− xp)αp+

+M1x+N1

[(x− b1)2 + c21]+ · · ·+ Mkx+Nk

[(x− bk)2 + c2k]

siendo Mj , Nj ∈ R

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Ejemplo∫

Puesto que x3 + 1 = (x+ 1)(x2 − x+ 1), se tiene que:

= A1x+1

+ A2x+A3x2−x+1

2−x+1)+(A2x+A3)(x+1)

(x+1)(x2−x+1)⇒

⇒ 1 = A1(x2 − x+ 1) + (A2x+A3)(x+ 1)

Igualando los coeficientes de los polinomios anteriores

0 = A1 +A2

0 = −A1 +A2 +A3

1 = A1 +A3

⇒A1 = 1/3A2 = −1/3A3 = 2/3

Por tanto∫

dx =∫ 1/3x+1

dx+∫ −1/3x+2/3

x2−x+1dx =

= 13ln |x+ 1|+

∫ −1/3x+2/3

x2−x+1dx

= 13ln |x+ 1| − 1/6

∫2x−4

x2−x+1dx =

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Ejemplo∫

Puesto que x3 + 1 = (x+ 1)(x2 − x+ 1), se tiene que:

= A1x+1

+ A2x+A3x2−x+1

2−x+1)+(A2x+A3)(x+1)

(x+1)(x2−x+1)⇒

⇒ 1 = A1(x2 − x+ 1) + (A2x+A3)(x+ 1)

Igualando los coeficientes de los polinomios anteriores

0 = A1 +A2

0 = −A1 +A2 +A3

1 = A1 +A3

⇒A1 = 1/3A2 = −1/3A3 = 2/3

Por tanto∫

dx =∫ 1/3x+1

dx+∫ −1/3x+2/3

x2−x+1dx =

= 13ln |x+ 1|+

∫ −1/3x+2/3

x2−x+1dx

= 13ln |x+ 1| − 1/6

∫2x−4

x2−x+1dx =

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Ejemplo (continuacion)∫

= 13ln |x+ 1| − 1/6

∫2x−1+1−4x2−x+1

= 13ln |x+ 1| − 1/6

∫2x−1

x2−x+1+ 1/6

x2−x+1dx =

= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1/6

x2−x+1dx =

= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1/6

(x−1/2)2+3/4dx =

= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1/6

∫ 3·4/34/3[(x−1/2)2+3/4]

= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1/6

2x−1√3

= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1

6·√

∫ 4·2/√3(

2x−1√3

= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1√

∫ 2/√3(

2x−1√3

= 13ln |x+ 1| − ln |x2−x+1|

6+ 1√

3arctg

(2x−1√

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Caso 3.q(x) tiene alguna raız compleja multiple

Por ejemplo,∫

2x3−2x2+16x(x2+4)2

Para resolver integrales como la del ejemplo se puede emplear el metodo deHermite (no lo veremos en este curso), que permite calcular primitivas decocientes de polinomios rebajando el grado de los polinomios implicados ensucesivos pasos.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Integracion de funciones

trigonometricas

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Integrales racionales-trigonometricas:

∫f(sen(x), cos(x))dx

Se convierten en integrales racionales mediante la sustitucion trigonometrica

t = tan(x

2) , como sigue:

∫f(sen(x), cos(x))dx =

{t = tan(x

2) dx = 2dt

sen(x) = 2t1+t2

cos(x) = 1−t21+t2

1 + t2,1− t21 + t2

1 + t2dt,

que es la integral de una funcion racional.

Ejemplo

sen(x)dx =

{t = tan(x

2) dx = 2dt

sen(x) = 2t1+t2

cos(x) = 1−t21+t2

tdt = ln |t|+ C = ln

∣∣∣tan(x2)∣∣∣+ C.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Observaciones

Existen varios tipos de integrales trigonometricas que se pueden racionalizarcon cambios mas sencillos. Son los siguientes:

∫f(sen(x), cos(x))dx, donde

f(−sen(x), cos(x)) = −f(sen(x), cos(x)).Cambio t = cos(x) .

f(sen(x),−cos(x)) = −f(sen(x), cos(x)).Cambio t = sen(x) .

f(−sen(x),−cos(x)) = f(sen(x), cos(x)).

Cambio t = tan(x) .

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Ejemplo

sen(x)dx =

{t = cos(x) dx = −dt√

1−t2

sen(x) =√1− t2 cos(x) = t

= −∫

1− t2 dt =1

∣∣∣∣t− 1

∣∣∣∣+ C =1

∣∣∣∣cos(x)− 1

cos(x) + 1

∣∣∣∣+ C.

Ejemplo

∫cos3(x) dx =

t = sen(x) dx = dt√1−t2

cos(x) =√1− t2 sen(x) = t

∫1− t2dt = t− t3

3+ C = sen(x)− sen3(x)

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Integracion de funciones

irracionales

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Integrales del tipo

∫f(x,

√x2 ± a2)dx,

∫f(x,

√a2 − x2)dx

con a ∈ R, se convierten en integrales trigonometricas mediante los cambios

1 f(x,√a2 − x2)dx: cambio x = a sen(t) .

2 f(x,√x2 − a2)dx: cambio x =

sen(t).

3 f(x,√x2 + a2)dx: cambio x = a tan(t) .

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Ejemplo∫ √

a2 − x2dx =

{x = a sen(t)dx = a cos(t)dt

∫cos2(t)dt

que aplicando la igualdad 1 + cos(2t) = 2cos2(t) se transforma en

a2∫cos2(t) dt =

4sen(2t) + C =

42sen(t) cos(t) + C =

42 sen(t)

√1− sen2(t) + C =

2arc sen

√a2 − x2 + C.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Ejemplo

∫ √x2 + a2dx =

{x = a tan(t)dx = adt

cos2(t)

cos3(t)dt =

{y = sen(t) dt = dy√

1−y2

cos(t) =√

1− y2 sen(t) = y

(1− y2)2 dt =

∫ (1

(1− y)2 +1

(1− y) +1

(1 + y)2+

(1 + y)

1−y2 + ln∣∣∣ y+1y−1

∣∣∣)+ C =

{Deshaciendo los cambios:

y = sen t = tan(t)√1−tan2(t)

= x√x2−a2

√x2 + a2 + a2

∣∣∣∣x+√x2+a2

x−√x2+a2

∣∣∣∣+ C

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Ejemplo

∫ √x2 + a2dx =

{x = a tan(t)dx = adt

cos2(t)

cos3(t)dt =

{y = sen(t) dt = dy√

1−y2

cos(t) =√

1− y2 sen(t) = y

(1− y2)2 dt =

∫ (1

(1− y)2 +1

(1− y) +1

(1 + y)2+

(1 + y)

1−y2 + ln∣∣∣ y+1y−1

∣∣∣)+ C =

{Deshaciendo los cambios:

y = sen t = tan(t)√1−tan2(t)

= x√x2−a2

√x2 + a2 + a2

∣∣∣∣x+√x2+a2

x−√x2+a2

∣∣∣∣+ C

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Integrales del tipo

√ax+ b

Se convierten en integrales racionales mediante el cambio

√ax+ b

Ejemplo

1 + 3√x+ 1

Cambio:t = 3√x+ 1

dx = 3t2dt

∫t2dt

1 + t=

∫(t− 1)dt+ 3

1 + t=

2t(t− 2) + 3 ln(t+ 1) + C =

23√x+ 1( 3

√x+ 1− 2) + 3 ln( 3

√x+ 1 + 1) + C

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bibliografıa

T.M. APOSTOL, Calculus, tomos I y II (Reverte, 1989).

J. BURGOS, Calculo Infinitesimal de una variable (MaGraw-Hill, 1995).

B. DEMIDOVICH, 5000 problemas de Analisis Matematico (Paraninfo,1980).

M. SPIVAK, Calculus (Reverte, 1987).

6. Integral definida

Bloque:Analisis

Matematico

Tema: Laintegraldefinida

HEDIMA

Integraldefinida

Propiedades

Bibliografıa

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Integraldefinida

Propiedades

Bibliografıa

Tema: La integral definida

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Integraldefinida

Propiedades

Bibliografıa

Indice

La integral definida. Definicion y ejemplos

Propiedades

Bibliografıa

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Integraldefinida

Propiedades

Bibliografıa

La integral definida.

Definicion y ejemplos

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Integraldefinida

Propiedades

Bibliografıa

La integral definida

f : [a, b] −→ R una funcion continua y positiva.

Af [a, c]: area contenida entre la funcion, el eje OX, y las rectas x = a yx = c. En lo que sigue, a sera fijo y c sera variable.

Relacion entre las funciones Af [a, ·] y f

Cuando f es continua en c, se verifica que para cualquier h > 0 (pequeno) elvalor de Af [a, c+ h]−Af [a, c] es aproximadamente f(c)h, o lo que es lomismo,

Af [a, c+ h]−Af [a, c]h

∼ f(c)

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Integraldefinida

Propiedades

Bibliografıa

Tomando ahora lımite cuando h −→ 0 en ambos miembros de la expresion

Af [a, c+ h]−Af [a, c]h

∼ f(c)

y usando la definicion de derivada, se tiene que

A′f [a, c] = f(c)

es decir, Af [a, ·] es una primitiva de f .

Teorema (Teorema fundamental del calculo y Regla de Barrow)

Sea f : [a, b] −→ R continua en [a, b]. Entonces Af [a, ·] es derivable y suderivada es f , o lo que es equivalente, Af [a, ·] es una primitiva de f .

A′f [a, c] = f(c)

Ademas, si φ es primitiva de f , el area Af [a, b] se puede calcular ası:

Af [a, b] = [φ(x)]ba = φ(b)− φ(a),

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Integraldefinida

Propiedades

Bibliografıa

Definicion (Integral de Riemann)

Llamamos integral definida o de Riemann de f en el intervalo [a, b] al valorde Af [a, b], que normalmente se denota con la expresion

f(x)dx

En caso de a > b, se define:

f(x)dx = −∫ b

f(x)dx.

Para calcular la integral definida de una funcion continua basta conoceruna de sus primitivas φ(x):

f(x) dx = [φ(x)]ba = φ(b)− φ(a).

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Integraldefinida

Propiedades

Bibliografıa

Ejemplos

x2dx =x3

∣∣20 =

∫ π/4

sen(x)dx = −cos(x)∣∣∣π/40 = −cosπ/4 + cos0 = −

√5x+ 1dx =

2(5x+ 1)3/2

∣∣51 =

2(26)3/2

15− 2(6)3/2

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Integraldefinida

Propiedades

Bibliografıa

Propiedades de la integraldefinida

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Integraldefinida

Propiedades

Bibliografıa

Propiedades de la integral definida

Propiedades

1 Si m y M son respectivamente el valor mınimo y maximo de f en [a, b],entonces

m(b− a) ≤∫ b

f(x)dx ≤M(b− a).

(f(x)± g(x))dx =

f(x)dx±∫ b

g(x)dx.

cf(x)dx = c

f(x)dx, ∀c ∈ R.

f(x)dx =

f(x)dx+

f(x)dx, ∀c ∈ (a, b).

5 Si f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b], entonces

f(x)dx ≤∫ b

g(x)dx.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Integraldefinida

Propiedades

Bibliografıa

Teorema

Toda funcion continua en un intervalo [a, b] es integrable en [a, b]. Ademas,se tiene

1 Si f : [a, b] −→ R es una funcion integrable en [a, b], y f(x) ≥ 0,

entonces

f(x)dx es igual al area de la region entre la grafica de f y

el eje OX desde a hasta b.

2 Si f es integrable en [a, b], entonces

af(x)dx es igual al area por encima del eje OX menos el area por

debajo del eje OX

a|f(x)|dx es igual al area de la region entre la grafica de f y el eje

OX desde a hasta b.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Integraldefinida

Propiedades

Bibliografıa

Ejemplo

La integral entre a y b de la funcion f(x) del dibujo inferior es

A2 +A4 − (A1 +A3)

Asimismo, se tiene que

∫|f(x)|dx = A1 +A2 +A3 +A4.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Integraldefinida

Propiedades

Bibliografıa

Observacion

Hemos supuesto que f : [a, b] −→ R es una funcion continua en [a, b].Sin embargo, todo sigue siendo valido si admitimos que f presenta unnumero finito de discontinuidades de salto finito.Basta descomponer [a, b] en intervalos donde f sı sea continua y podamosaplicar las propiedades anteriores.

Ejemplo

Por ejemplo, f : [0, 5] −→ R definida por

f(x) =

{ex si x ∈ [0, 3]x si x ∈ (3, 5]

presenta una discontinuidad de salto finito enx = 3. Su integral definida en [0, 3] es

f(x)dx =

ex dx+

x dx = [ex]30 +

= (e3 − 1) + 8.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Integraldefinida

Propiedades

Bibliografıa

Observacion

Es posible extender el concepto de integral definida a un marco mas general.Por ejemplo, se pueden considerar funciones que no esten acotadas o queesten definidas sobre intervalos no acotados (llamadas integrales impropias).Sin embargo, estas cuestiones superan los objetivos de esta leccion.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Integraldefinida

Propiedades

Bibliografıa

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Integraldefinida

Propiedades

Bibliografıa

M.A. MULERO DIAZ, I. OJEDA MARTINEZ DE CASTILLA,Matematicas para primero de ciencias (Manuales Uex, 2008).

7. Aplicaciones de la integral

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicacionesde la integral

HEDIMA

Introduccion

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Volumen derevolucion

Bibliografıa

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Bibliografıa

Tema: Aplicaciones de la integral

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Bibliografıa

Indice

Introduccion

Calculo de areas de superficies planas

Longitud de un arco de curva plana

Volumen de un solido de revolucion

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Bibliografıa

Indice

Introduccion

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Bibliografıa

Indice

Introduccion

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Bibliografıa

Indice

Introduccion

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Bibliografıa

Introduccion

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Bibliografıa

Introduccion

En muchos fenomenos fısicos, economicos, sociales,... el area bajo la curvade una funcion representa una magnitud relevante que conviene saber medir.

Por ejemplo, si representamos la velocidad de un movil en funcion deltiempo, el area bajo la curva obtenida es el espacio recorrido.

En esta leccion usaremos el calculo integral para formalizar conceptossencillos e intuitivos como el de area de una region, volumen de un cuerpo, ylongitud de curvas planas.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Bibliografıa

Calculo de areas de superficiesplanas

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Bibliografıa

I. Area determinada por x = a, x = b, eje OX e y = f(x)

Si f(x) ≥ 0, entonces el valor del area es

f(x)dx.

Si f(x) ≤ 0, entonces el valor del area es −∫ b

f(x)dx.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Bibliografıa

I. Area determinada por x = a, x = b, eje OX e y = f(x)

Si la funcion tiene cambios de signo en [a, b], hay que separar losintervalos donde f(x) tiene signo constante y aplicar lo anterior. Porejemplo, si f(x) ≥ 0 en [a, c] y f(x) ≤ 0 en [c, b], entonces el valor delarea es:

f(x)dx−∫ b

f(x)dx.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Bibliografıa

II. Area determinada por x = a, x = b, eje OX y las curvas y = f(x) ey = g(x)

Si f(x) ≥ g(x), entonces el valor del area es:

(f(x)− g(x))dx.

En otro caso, hay que separar [a, b] en intervalos y actuar como antes encada intervalo.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Bibliografıa

Ejemplo: Area del cırculo

Sin perdida de generalidad podemos suponer queel cırculo tiene su centro en el origen decoordenadas.Gracias a la simetrıa de la figura, el areasera igual a cuatro veces el area de la parte delcırculo encerrado en el primer cuadrante.

La curva que define el contorno de un cırculo de centro (0, 0) y radio r es

x2 + y2 = r2 , luego y =√r2 − x2 y el area sera

√r2 − x2dx = 4r

√1− x2

r2dx =

Cambio de variablexr= sent

dx = rcost

= 4r2∫ π

0cos2tdt = 4r2

∫ π2

1 + cos(2t)

2dt = 4r2

2+sen(2t)

) ∣∣∣π20 = πr2

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Bibliografıa

Longitud de un arco de curvaplana

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Bibliografıa

Longitud de un arco de curva

Sea f : [a, b] ⊂ D −→ R una funcion derivable en D y tal que su derivada f ′

es continua en [a, b]. Entonces la longitud L del arco de curva

L = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [a, b]},

viene dada por

√1 + f ′(x)2dx

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Bibliografıa

Ejemplo

Calculemos la longitud L del arco de curva y =√x3 entre los puntos (0, 0) y

(4, 8). Se tiene que

√1 + (

12 )2 dx =

√1 +

4x dx =

27(10√10− 1).

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Bibliografıa

Volumen de un solido derevolucion

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Bibliografıa

Solidos de revolucion

Los solidos de revolucion son cuerpos que se generan al girar una regionplana alrededor de un eje.

Por ejemplo:

El cilindro surge al girar un rectangulo alrededor de uno de sus lados.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Bibliografıa

Volumen de un solido por secciones

∀x ∈ [a, b], sea A(x) el area de la seccion de obtenida al cortar un solidocomo el de la figura por un plano transversal al eje OX.

El volumen del mismovendra dado por

A(x)dx

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Bibliografıa

f : [a, b] −→ R una funcion continua en [a, b]

A(x) la seccion transversal al eje x del solido generado al girar lafuncion alrededor del eje OX. Se tiene que:

A(x) = πf(x)2 ∀x ∈ [a, b]

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Bibliografıa

Teniendo en cuenta que A(x) = πf(x)2 ∀x ∈ [a, b], se tiene que el volumendel solido obtenido al girar y = f(x) alrededor del eje OX viene dado por

V = π

f(x)2dx

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Bibliografıa

Ejemplo

El volumen del cuerpo de revolucion engendrado al girar el trozo de parabolay =√x, para los valores x ∈ [0, 4], alrededor del eje OX, viene dado por:

V = π

(√x)2dx = π

x dx = π

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Bibliografıa

Ejemplo: Calculo del volumen de una esfera de radio r

Sin perdida de generalidad podemos suponer que su centro se encuentra en elorigen de coordenadas.En ese caso la esfera es generada al girar el semicırculo y = +

√r2 − x2,

x ∈ [−r, r], en torno al eje OX, por tanto

(√r2 − x2

)2dx = π

(r2 − x2)dx = π

[r2x− x3

3πr3.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Bibliografıa

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Bibliografıa

M.A. MULERO DIAZ, I. OJEDA MARTINEZ DE CASTILLA,Matematicas para primero de ciencias (Manuales Uex, 2008).

Parte 2

Álgebra lineal y geometría

8. Matrices

Bloque:AlgebraLineal

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Operacionescon matrices

Determinantede una matriz

Propiedadesde losdeterminantes

Aplicacion:Calculo de lamatriz inversa

Bibliografıa

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Bloque: Algebra lineal

Tema: Matrices y determinantes

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Indice

Matrices

Operaciones con matrices

Determinante de una matriz

Propiedades de los determinantes

Aplicacion: Calculo de la matriz inversa

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Matrices

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Matrices

Definicion

Se llama matriz de orden m× n con coeficientes en un cuerpo K (por logeneral, K = R o K = C) a un conjunto ordenado de escalaresaij ∈ K, i = 1, . . . ,m y j = 1, . . . , n, dispuestos en m filas y n columnas,formando un rectangulo. Se representa por

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

...am1 am2 . . . amn

Las matrices de orden n× n con coeficientes en K se llaman matricescuadradas de orden n con coeficientes en K.

El conjunto de las matrices de orden m× n con coeficientes en K sedesigna por Mm×n(K), y el conjunto de las matrices cuadradas de orden ncon coeficientes en K se designa por Mn(K).

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Matrices

Definicion

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

...am1 am2 . . . amn

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Matrices

Definicion

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

...am1 am2 . . . amn

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Matrices

Definicion

Sea A ∈Mm×n(K).

El escalar que se encuentra en la fila i-esima y la columna j-esima se llamaelemento (i, j)-esimo de A; es usual denotarlo por aij , y por tantorepresentar a la matriz A por (aij) .

Dado j ∈ {1, . . . , n} la matriz

a1j...

∈Mm×1(K)

se llama columna j-esima de A, y dado i ∈ {1, . . . ,m} la matriz

(ai1 . . . ain) ∈M1×n(K)

se denomina fila i-esima de A.

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Matrices

Definicion

Sea A ∈Mm×n(K).

El escalar que se encuentra en la fila i-esima y la columna j-esima se llamaelemento (i, j)-esimo de A; es usual denotarlo por aij , y por tantorepresentar a la matriz A por (aij) .

Dado j ∈ {1, . . . , n} la matriz

a1j...

∈Mm×1(K)

se llama columna j-esima de A, y dado i ∈ {1, . . . ,m} la matriz

(ai1 . . . ain) ∈M1×n(K)

se denomina fila i-esima de A.

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Matrices

Ejemplos

5 7 42 9 56 2 3

∈M3(R); a23 = 5;

(6 2 3

)∈M1×3(R)

(3 5 1 0−1 0 2 12

)∈M2×4(R); b14 = 0;

)∈M2×1(R)

(3 + 5i −1−i 1 + i

)∈M2(C); c22 = 1+i;

(−i 1 + i

)∈M1×2(C)

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Matrices

Ejemplos

5 7 42 9 56 2 3

∈M3(R); a23 = 5;

(6 2 3

)∈M1×3(R)

(3 5 1 0−1 0 2 12

)∈M2×4(R); b14 = 0;

)∈M2×1(R)

(3 + 5i −1−i 1 + i

)∈M2(C); c22 = 1+i;

(−i 1 + i

)∈M1×2(C)

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Matrices

Ejemplos

5 7 42 9 56 2 3

∈M3(R); a23 = 5;

(6 2 3

)∈M1×3(R)

(3 5 1 0−1 0 2 12

)∈M2×4(R); b14 = 0;

)∈M2×1(R)

(3 + 5i −1−i 1 + i

)∈M2(C); c22 = 1+i;

(−i 1 + i

)∈M1×2(C)

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Matrices

Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y coinciden elemento aelemento; es decir, si (aij) y (bij) ∈Mm×n(K), entonces

(aij) = (bij)⇐⇒ aij = bij , ∀i = 1, . . . ,m ∀j = 1, . . . , n.

Definicion

Sea A ∈Mm×n(K). Llamaremos submatriz o matriz extraıda de A acualquier matriz obtenida a partir de A suprimiendo algunas de sus filas y/ocolumnas.

Ejemplos

5 7 42 9 56 2 3

; submatriz

(9 52 3

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Matrices

Definicion

Ejemplos

5 7 42 9 56 2 3

; submatriz

(9 52 3

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Matrices

Definicion

Ejemplos

5 7 42 9 56 2 3

; submatriz

(9 52 3

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Matrices

Algunos tipos de matrices especiales

i) La matriz nula 0 ∈Mm×n(K) es aquella con m filas y n columnascuyos elementos son todos iguales a 0.

ii) Se dice que una matriz cuadrada D = (dij) ∈Mn(K) es diagonal sidij = 0 para todo i 6= j.

En ocasiones, escribiremos

diag(λ1, . . . , λn),

con λi ∈ K, i = 1, . . . , n, para denotar la matriz diagonalD = (dij) ∈Mn(K) tal que dii = λi, i = 1, . . . , n.

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Matrices

diag(λ1, . . . , λn),

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Matrices

diag(λ1, . . . , λn),

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Matrices

iii) A la matriz diagonal tal que dii = 1 para todo i = 1, . . . , n, se ledenomina matriz unidad (o matriz identidad) de orden n, y se denotapor In; es decir,

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

Con la notacion habitual de la delta de Kronecker

δij =

{1 si i = j0 si i 6= j

se tine que In = (δij) ∈Mn(K).

iv) Se dice que una matriz cuadrada A = (aij) ∈Mn(K) es triangularsuperior si aij = 0 cuando i > j, y se dice que A es triangular inferior siaij = 0 cuando i < j.

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Matrices

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

δij =

{1 si i = j0 si i 6= j

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Matrices

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

δij =

{1 si i = j0 si i 6= j

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Matrices

Ejemplos

(0 0 00 0 0

)∈M2×3(R); matriz nula

3 0 00 1 00 0 0

= diag(3, 1, 0) ∈M3(R); matriz diagonal

(1 00 1

)= I2 ∈M2(R); matriz unidad

2 1 40 5 00 0 −1

∈M3(R); matriz triangular superior

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Matrices

Ejemplos

(0 0 00 0 0

3 0 00 1 00 0 0

(1 00 1

2 1 40 5 00 0 −1

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Matrices

Ejemplos

(0 0 00 0 0

3 0 00 1 00 0 0

(1 00 1

2 1 40 5 00 0 −1

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Matrices

Ejemplos

(0 0 00 0 0

3 0 00 1 00 0 0

(1 00 1

2 1 40 5 00 0 −1

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Para que dos matrices puedan sumarse, tienen que ser del mismo orden.

Definicion

En el conjunto Mm×n(K) se define la suma de matrices de la siguientemanera: si A = (aij) y B = (bij) ∈Mm×n(K), entonces

A+B = (aij) + (bij) = (aij + bij) ;

luego, la suma de matrices define como la suma elemento a elemento.

Una matriz se puede multiplicar por un escalar.

Definicion

Si A = (aij) ∈Mm×n(K) y λ ∈ K, se define

λ ·A := (λ · aij) ,

esto es, el producto de un escalar por una matriz es la matriz que resulta almultiplicar cada uno de los elementos de la matriz por el escalar.

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

λ ·A := (λ · aij) ,

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

λ ·A := (λ · aij) ,

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

λ ·A := (λ · aij) ,

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Notese que la suma de matrices verifica las propiedades asociativa,conmutativa y ademas,

i) si A ∈Mm×n(K) y 0 ∈Mm×n(K), entonces A+ 0 = 0 +A = A.

ii) si A = (aij) ∈Mm×n(K), entonces −A = (−aij), de tal forma queA+ (−A) = (−A) +A = 0 ∈Mm×n(K).

Para que dos matrices puedan multiplicarse, el numero de columnas delfactor de la izquierda ha de coincidir con el numero de filas del factor dela derecha.

Definicion

Sean A = (ail) ∈Mm×p(K) y B = (blj) ∈Mp×n(K). Se llama matrizproducto A ·B a C = (cij) ∈Mm×n(K), cuyo elemento (i, j)-esimo es

ailblj , ∀i = 1, . . . ,m, ∀j = 1, . . . , n.

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

ailblj , ∀i = 1, . . . ,m, ∀j = 1, . . . , n.

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

ailblj , ∀i = 1, . . . ,m, ∀j = 1, . . . , n.

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

ailblj , ∀i = 1, . . . ,m, ∀j = 1, . . . , n.

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

ailblj , ∀i = 1, . . . ,m, ∀j = 1, . . . , n.

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Ejemplos(

4 2 12 −3 0

(4 2 12 −3 0

(8 4 24 −6 0

(4 2 12 −3 0

(8 4 24 −6 0

)producto escalar

(1 3 2−1 2 0

1 02 40 1

(7 143 8

)producto

1 02 40 1

(1 3 2−1 2 0

1 3 2−2 14 4−1 2 0

no es conmutativo

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Ejemplos(

4 2 12 −3 0

(4 2 12 −3 0

(8 4 24 −6 0

(4 2 12 −3 0

(8 4 24 −6 0

)producto escalar

(1 3 2−1 2 0

1 02 40 1

(7 143 8

)producto

1 02 40 1

(1 3 2−1 2 0

1 3 2−2 14 4−1 2 0

no es conmutativo

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Ejemplos(

4 2 12 −3 0

(4 2 12 −3 0

(8 4 24 −6 0

(4 2 12 −3 0

(8 4 24 −6 0

)producto escalar

(1 3 2−1 2 0

1 02 40 1

(7 143 8

)producto

1 02 40 1

(1 3 2−1 2 0

1 3 2−2 14 4−1 2 0

no es conmutativo

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Ejemplos(

4 2 12 −3 0

(4 2 12 −3 0

(8 4 24 −6 0

(4 2 12 −3 0

(8 4 24 −6 0

)producto escalar

(1 3 2−1 2 0

1 02 40 1

(7 143 8

)producto

1 02 40 1

(1 3 2−1 2 0

1 3 2−2 14 4−1 2 0

no es conmutativo

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

Sea A ∈Mm×n(K) llamamos matriz traspuesta de A a la matriz deMm×n(K) que resulta de cambiar filas por columnas y columnas por filas enA. La matriz traspuesta de A siempre existe y se denota por At.

Ejemplo

(4 2 12 −3 0

); At =

4 22 −31 0

Definicion

Sea A ∈Mn(K), diremos que la matriz A es simetrica cuando coincide consu matriz transpuesta, es decir, cuando A = At.

Ejemplo

4 2 12 −3 01 0 5

; At =

4 2 12 −3 01 0 5

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

Ejemplo

(4 2 12 −3 0

); At =

4 22 −31 0

Definicion

Ejemplo

4 2 12 −3 01 0 5

; At =

4 2 12 −3 01 0 5

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

Ejemplo

(4 2 12 −3 0

); At =

4 22 −31 0

Definicion

Ejemplo

4 2 12 −3 01 0 5

; At =

4 2 12 −3 01 0 5

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

Ejemplo

(4 2 12 −3 0

); At =

4 22 −31 0

Definicion

Ejemplo

4 2 12 −3 01 0 5

; At =

4 2 12 −3 01 0 5

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es invertible (o no singular) si existeB ∈Mn(K) tal que A ·B = B ·A = In. La matriz B si existe es unica, sedenomina matriz inversa de A y la denotaremos por A−1.

Ejemplo

(1 20 1

); A−1 =

(1 −20 1

); A ·A−1 = A−1 ·A = I2

Definicion

Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es ortogonal si es invertible yAt = A−1.

Ejemplo

(0 1−1 0

); At =

(0 −11 0

); A ·At = At ·A = I2

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

Ejemplo

(1 20 1

); A−1 =

(1 −20 1

); A ·A−1 = A−1 ·A = I2

Definicion

Ejemplo

(0 1−1 0

); At =

(0 −11 0

); A ·At = At ·A = I2

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

Ejemplo

(1 20 1

); A−1 =

(1 −20 1

); A ·A−1 = A−1 ·A = I2

Definicion

Ejemplo

(0 1−1 0

); At =

(0 −11 0

); A ·At = At ·A = I2

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

Ejemplo

(1 20 1

); A−1 =

(1 −20 1

); A ·A−1 = A−1 ·A = I2

Definicion

Ejemplo

(0 1−1 0

); At =

(0 −11 0

); A ·At = At ·A = I2

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

Sea A = (aij) ∈Mn(K). Se denomina traza de A al numero

tr(A) =

Ejemplo

4 2 12 −3 01 0 5

; tr(A) = 6

Si A y B ∈Mn(K), se verifica que:

tr(A+B) = tr(A) + tr(B); tr(A) = tr(At) y tr(A ·B) = tr(B ·A)

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

tr(A) =

Ejemplo

4 2 12 −3 01 0 5

; tr(A) = 6

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

tr(A) =

Ejemplo

4 2 12 −3 01 0 5

; tr(A) = 6

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

Sea A = (aij) ∈Mn(K), Se llama determinante de A, y se representa por|A|, al escalar definido por la expresion:

|A| =∑

σ∈Sn

sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),

donde Sn denota al grupo simetrico.

Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simetricoSn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X consı mismo. Podemos escribir una permutacion σ ∈ Sn en forma de matriz,situando en primera fila los elementos del dominio 1, . . . , n, y en la segundalas imagenes correspondientes σ(1), . . . , σ(n). El signo de σ es (−1)ν(σ),siendo ν(σ) el numero de pares (i, j) con i < j tales que σ(i) > σ(j).

(1 2 33 2 1

)∈ S3; ν(σ) = 3; signo de σ es − 1

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

|A| =∑

σ∈Sn

sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),

Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simetricoSn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X consı mismo.

Podemos escribir una permutacion σ ∈ Sn en forma de matriz,situando en primera fila los elementos del dominio 1, . . . , n, y en la segundalas imagenes correspondientes σ(1), . . . , σ(n). El signo de σ es (−1)ν(σ),siendo ν(σ) el numero de pares (i, j) con i < j tales que σ(i) > σ(j).

(1 2 33 2 1

)∈ S3; ν(σ) = 3; signo de σ es − 1

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

|A| =∑

σ∈Sn

sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),

Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simetricoSn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X consı mismo. Podemos escribir una permutacion σ ∈ Sn en forma de matriz,situando en primera fila los elementos del dominio 1, . . . , n, y en la segundalas imagenes correspondientes σ(1), . . . , σ(n).

El signo de σ es (−1)ν(σ),siendo ν(σ) el numero de pares (i, j) con i < j tales que σ(i) > σ(j).

(1 2 33 2 1

)∈ S3; ν(σ) = 3; signo de σ es − 1

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

|A| =∑

σ∈Sn

sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),

(1 2 33 2 1

)∈ S3; ν(σ) = 3; signo de σ es − 1

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

|A| =∑

σ∈Sn

sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),

(1 2 33 2 1

)∈ S3; ν(σ) = 3; signo de σ es − 1

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Veamos las expresiones explıcitas para los determinantes de las matricescuadradas de ordenes 2 y 3.

i) Si A = (aij) ∈M2(K), entonces

|A| = a11a22 − a12a21

ya que S2 =

{(1 21 2

(1 22 1

)}, con signos {1,−1},

respectivamente.

ii) Si A = (aij) ∈M3(K), entonces

|A| =a11a22a33 − a12a21a33 − a13a22a31− a11a23a32 + a12a23a31 + a13a21a32.

Ejemplos

(4 22 −3

); |A| = −16; B =

1 2 01 0 3−1 0 1

; |B| = −8

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

|A| = a11a22 − a12a21

ya que S2 =

{(1 21 2

(1 22 1

respectivamente.

Ejemplos

(4 22 −3

); |A| = −16; B =

1 2 01 0 3−1 0 1

; |B| = −8

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

|A| = a11a22 − a12a21

ya que S2 =

{(1 21 2

(1 22 1

respectivamente.

Ejemplos

(4 22 −3

); |A| = −16; B =

1 2 01 0 3−1 0 1

; |B| = −8

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

|A| = a11a22 − a12a21

ya que S2 =

{(1 21 2

(1 22 1

respectivamente.

Ejemplos

(4 22 −3

); |A| = −16;

1 2 01 0 3−1 0 1

; |B| = −8

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

|A| = a11a22 − a12a21

ya que S2 =

{(1 21 2

(1 22 1

respectivamente.

Ejemplos

(4 22 −3

); |A| = −16; B =

1 2 01 0 3−1 0 1

; |B| = −8

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Sea A = (aij) ∈Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aijde A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la filai-esima y la columna j-esima de A, y lo denotaremos por |Aij |.

De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a lasuma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)cualquiera por sus adjuntos respectivos.

Si elegimos la fila i-esima, el determinante de la matriz A es:

|A| = (−1)i+1ai1|Ai1|+ (−1)i+2ai2|Ai2|+ . . .+ (−1)i+nain|Ain|

(−1)i+jaij |Aij |,

Si elegimos la columna j-esima, el determinante de la matriz A es:

|A| = (−1)1+ja1j |A1j |+ (−1)2+ja2j |A2j |+ . . .+ (−1)n+janj |Anj |

(−1)i+jaij |Aij |.

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Ejemplos

1 2 01 0 3−1 0 1

Desarrollando por la segunda columna (muchos elementos son nulos)

|B| = (−1)1+22|A12|+ (−1)2+20|A22|+ (−1)3+22|A32|

|A12| =∣∣∣∣(

1 3−1 1

)∣∣∣∣ = 4

|B| = −8

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Ejemplos

1 2 01 0 3−1 0 1

|B| = (−1)1+22|A12|+ (−1)2+20|A22|+ (−1)3+22|A32|

|A12| =∣∣∣∣(

1 3−1 1

)∣∣∣∣ = 4

|B| = −8

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Ejemplos

1 2 01 0 3−1 0 1

|B| = (−1)1+22|A12|+ (−1)2+20|A22|+ (−1)3+22|A32|

|A12| =∣∣∣∣(

1 3−1 1

)∣∣∣∣ = 4

|B| = −8

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Ejemplos

1 2 01 0 3−1 0 1

|B| = (−1)1+22|A12|+ (−1)2+20|A22|+ (−1)3+22|A32|

|A12| =∣∣∣∣(

1 3−1 1

)∣∣∣∣ = 4

|B| = −8

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Sea A = (aij) ∈Mn(K).

P1. Si B es la matriz traspuesta de A, entonces |B| = |A|, es decir,|At| = |A|.

P2. Si una fila (o columna) de A es combinacion lineal de otras de sus filas(o columnas), es decir, es el resultado de sumar otras de sus filas (ocolumnas) multiplicadas por un escalar, entonces |A| = 0.

Ası, en particular, el determinante de una matriz A con dos filas (ocolumnas) iguales o proporcionales es nulo. Asimismo, si todos loselementos de una fila (o columna) de A son nulos, entonces |A| = 0.

P3. Si se intercambian entre sı dos filas (o columnas) de A, el determinantede la matriz B obtenida es el opuesto del determinante de A, es decir,|B| = −|A|.

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

P4. Si se multiplica una fila (o columna) cualquiera de la matriz A por unescalar λ, el determinante de la matriz B obtenida es igual al productode λ por el determinante de A, esto es, |B| = λ|A|.

P5. Si cada elemento de una fila (o columna), por ejemplo la fila p, de lamatriz A es de la forma apj = a′pj + a′′pj , entonces el determinante deA es igual a la suma de los determinantes de dos matrices B y C, talesque la fila p de B esta formada por los elementos a′pj y la fila p de Cesta formada por los elementos a′′pj , y las restantes filas de ambasmatrices son respectivamente iguales a las de A.

P6. Si a la fila (o columna) p de A se le suma otra fila (columna) qmultiplicada por un escalar λ, el determinante de la matriz obtenida esigual al determinante de A.

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Ejemplos

1 2 01 0 3−1 0 1

1 1 −12 0 00 3 1

; |A| = |B| = −8

1 2 02 4 0−1 0 1

; |A| = 0

1 2 01 0 3−1 0 1

1 0 31 2 0−1 0 1

; |A| = −8; |B| = 8

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Ejemplos

1 2 01 0 3−1 0 1

1 1 −12 0 00 3 1

; |A| = |B| = −8

1 2 02 4 0−1 0 1

; |A| = 0

1 2 01 0 3−1 0 1

1 0 31 2 0−1 0 1

; |A| = −8; |B| = 8

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Ejemplos

1 2 01 0 3−1 0 1

1 1 −12 0 00 3 1

; |A| = |B| = −8

1 2 02 4 0−1 0 1

; |A| = 0

1 2 01 0 3−1 0 1

1 0 31 2 0−1 0 1

; |A| = −8; |B| = 8

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Ejemplos

1 2 01 0 3−1 0 1

−1 −2 01 0 3−1 0 1

; |A| = −8; |B| = 8

1 2 01 0 3−1 0 1

0 2 01 0 3−1 0 1

1 0 01 0 3−1 0 1

|B| = −8; |C| = 0; |A| = |B|+ |C| = −8

1 2 01 0 3−1 0 1

2 2 31 0 3−1 0 1

; |A| = |B| = −8

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Ejemplos

1 2 01 0 3−1 0 1

−1 −2 01 0 3−1 0 1

; |A| = −8; |B| = 8

1 2 01 0 3−1 0 1

0 2 01 0 3−1 0 1

1 0 01 0 3−1 0 1

|B| = −8; |C| = 0; |A| = |B|+ |C| = −8

1 2 01 0 3−1 0 1

2 2 31 0 3−1 0 1

; |A| = |B| = −8

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Ejemplos

1 2 01 0 3−1 0 1

−1 −2 01 0 3−1 0 1

; |A| = −8; |B| = 8

1 2 01 0 3−1 0 1

0 2 01 0 3−1 0 1

1 0 01 0 3−1 0 1

|B| = −8; |C| = 0; |A| = |B|+ |C| = −8

1 2 01 0 3−1 0 1

2 2 31 0 3−1 0 1

; |A| = |B| = −8

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Aplicacion: Calculo de la matrizinversa

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

Sea A ∈Mn(K). Llamaremos matriz adjunta de A, a la matriz

adj(A) = ((−1)i+j |Aji|) ∈Mn(K).

Sea A ∈Mn(K). Entonces se cumple que

A · adj(A) = adj(A) ·A =

|A| 0 . . . 00 |A| . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . |A|

= |A| · In.

Teorema

La condicion necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A tengainversa es que su determinante sea distinto de cero. En cuyo caso,

A−1 =1

|A| adj(A).

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

adj(A) = ((−1)i+j |Aji|) ∈Mn(K).

|A| 0 . . . 00 |A| . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . |A|

= |A| · In.

Teorema

A−1 =1

|A| adj(A).

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Definicion

adj(A) = ((−1)i+j |Aji|) ∈Mn(K).

|A| 0 . . . 00 |A| . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . |A|

= |A| · In.

Teorema

A−1 =1

|A| adj(A).

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Ejemplo

1 2 01 0 3−1 0 1

; |A| = −8 6= 0 invertible

|A11| = 0; |A12| = 4; |A13| = 0; |A21| = 2; |A22| = 1; |A23| = 2

|A31| = 6; |A32| = 3; |A33| = −2;

A−1 = −1

0 −2 6−4 1 −30 −2 −2

0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.3750 0.250 0.250

1 2 01 0 3−1 0 1

0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.3750 0.250 0.250

1 0 00 1 00 0 1

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Ejemplo

1 2 01 0 3−1 0 1

|A11| = 0; |A12| = 4; |A13| = 0; |A21| = 2; |A22| = 1; |A23| = 2

|A31| = 6; |A32| = 3; |A33| = −2;

A−1 = −1

0 −2 6−4 1 −30 −2 −2

0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.3750 0.250 0.250

1 2 01 0 3−1 0 1

0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.3750 0.250 0.250

1 0 00 1 00 0 1

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Ejemplo

1 2 01 0 3−1 0 1

|A11| = 0; |A12| = 4; |A13| = 0; |A21| = 2; |A22| = 1; |A23| = 2

|A31| = 6; |A32| = 3; |A33| = −2;

A−1 = −1

0 −2 6−4 1 −30 −2 −2

0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.3750 0.250 0.250

1 2 01 0 3−1 0 1

0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.3750 0.250 0.250

1 0 00 1 00 0 1

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Ejemplo

1 2 01 0 3−1 0 1

|A11| = 0; |A12| = 4; |A13| = 0; |A21| = 2; |A22| = 1; |A23| = 2

|A31| = 6; |A32| = 3; |A33| = −2;

A−1 = −1

0 −2 6−4 1 −30 −2 −2

0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.3750 0.250 0.250

1 2 01 0 3−1 0 1

0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.3750 0.250 0.250

1 0 00 1 00 0 1

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Bibliografıa

I.Ojeda, J.Gago-Vargas Metodos Matematicos para Estadıstica.Manuales UEx, no. 58 (2008).

9. Determinantes

Tema:Sistema deecuaciones

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Discusion conparametros

Interpretaciongeometrica deSEL

Bibliografıa

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Bloque: Algebra Lineal

Tema: Sistema de ecuaciones lineales

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Indice

Conceptos basicos

Expresion matricial

Resolucion de SEL

Clasificacion de SEL

Discusion con parametros

Interpretacion geometrica de SEL

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Conceptos basicos

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Conceptos basicos

Definicion

Se llama sistema de ecuaciones lineales (SEL) con m ecuaciones y nincognitas con coeficientes en un cuerpo K (por lo general, K = R oK = C), a una expresion de la siguiente forma:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

......

. . ....

......

...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

Resolver un SEL, es determinar los valores de x1, . . . , xn, que denominaremossolucion y tal que verifiquen todas las ecuaciones del sistema.

Ejemplo

Sistema de 3 ecuaciones con 2 incognitas con coeficientes reales

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

Solucion: x = 1, y = 21 + 2 = 31 − 2 = −1

3 · 1 + 2 = 5

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Conceptos basicos

Definicion

......

. . ....

......

...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

Solucion: x = 1, y = 21 + 2 = 31 − 2 = −1

3 · 1 + 2 = 5

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Conceptos basicos

Definicion

......

. . ....

......

...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

Solucion: x = 1, y = 21 + 2 = 31 − 2 = −1

3 · 1 + 2 = 5

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Conceptos basicos

Definicion

......

. . ....

......

...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

Solucion: x = 1, y = 2

1 + 2 = 31 − 2 = −1

3 · 1 + 2 = 5

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Conceptos basicos

Definicion

......

. . ....

......

...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

Solucion: x = 1, y = 21 + 2 = 31 − 2 = −1

3 · 1 + 2 = 5

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Conceptos basicos

Definicion

Se llama SEL homogeneo con m ecuaciones y n incognitas con coeficientesen un cuerpo K (por lo general, K = R o K = C), a una expresion de lasiguiente forma:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0

......

. . ....

......

...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0

El vector de orden n con todos sus elementos nulos, es siempre solucion delSEL homogeneo.

Ejemplo

x − 2y = 03x − 6y = 0

Soluciones: x = 0, y = 0; x = 2, y = 1; entre otras

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Conceptos basicos

Definicion

......

. . ....

......

...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0

Ejemplo

x − 2y = 03x − 6y = 0

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Conceptos basicos

Definicion

......

. . ....

......

...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0

Ejemplo

x − 2y = 03x − 6y = 0

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Conceptos basicos

Definicion

......

. . ....

......

...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0

Ejemplo

x − 2y = 03x − 6y = 0

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Expresion matricial

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Expresion matricial

Un SEL se puede representar en forma de productos de matrices como

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

x1x2...xn

b1b2...bm

denominandose matriz de coeficientes, vector de incognita y vector determino independiente, respectivamente.

De manera mas simplificada, un SEL se puede representar a traves de lamatriz ampliada

a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2

......

. . ....

am1 am2 . . . amn bm

= (A|b), conA ∈Mm×n(k), b ∈Mm×1(k)

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

1 11 −13 1

3−15

1 1 31 −1 −13 1 5

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Expresion matricial

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

x1x2...xn

b1b2...bm

a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2

......

. . ....

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

1 11 −13 1

3−15

1 1 31 −1 −13 1 5

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Expresion matricial

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

x1x2...xn

b1b2...bm

a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2

......

. . ....

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

1 11 −13 1

3−15

1 1 31 −1 −13 1 5

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Expresion matricial

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

x1x2...xn

b1b2...bm

a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2

......

. . ....

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

1 11 −13 1

3−15

1 1 31 −1 −13 1 5

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Expresion matricial

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

x1x2...xn

b1b2...bm

a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2

......

. . ....

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

1 11 −13 1

3−15

1 1 31 −1 −13 1 5

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Resolucion de SEL

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Resolucion de SEL

La resolucion del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangularsuperior (inferior), despejando y sustituyendo sistematicamente de abajo(arriba) a arriba (abajo)

Ejemplo (Triangular superior)

x + y = 32y = 4

(1 10 2

y = 4/2x + 2 = 3

y = 2x = 1

Ejemplo (Triangular inferior)

2y = 4y + x = 3

(2 01 1

y = 4/22 + x = 3

y = 2x = 1

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Resolucion de SEL

x + y = 32y = 4

(1 10 2

y = 4/2x + 2 = 3

y = 2x = 1

2y = 4y + x = 3

(2 01 1

y = 4/22 + x = 3

y = 2x = 1

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Resolucion de SEL

x + y = 32y = 4

(1 10 2

y = 4/2x + 2 = 3

y = 2x = 1

2y = 4y + x = 3

(2 01 1

y = 4/22 + x = 3

y = 2x = 1

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Resolucion de SEL

x + y = 32y = 4

(1 10 2

y = 4/2x + 2 = 3

y = 2x = 1

2y = 4y + x = 3

(2 01 1

y = 4/22 + x = 3

y = 2x = 1

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Resolucion de SEL

x + y = 32y = 4

(1 10 2

y = 4/2x + 2 = 3

y = 2x = 1

2y = 4y + x = 3

(2 01 1

y = 4/22 + x = 3

y = 2x = 1

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Resolucion de SEL

x + y = 32y = 4

(1 10 2

y = 4/2x + 2 = 3

y = 2x = 1

2y = 4y + x = 3

(2 01 1

y = 4/22 + x = 3

y = 2x = 1

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Resolucion de SEL

x + y = 32y = 4

(1 10 2

y = 4/2x + 2 = 3

y = 2x = 1

2y = 4y + x = 3

(2 01 1

y = 4/22 + x = 3

y = 2x = 1

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Resolucion de SEL

x + y = 32y = 4

(1 10 2

y = 4/2x + 2 = 3

y = 2x = 1

2y = 4y + x = 3

(2 01 1

y = 4/22 + x = 3

y = 2x = 1

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Resolucion de SEL

Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operacioneselementales con el fin de obtener una submatriz triangular de ordenmın{m,n}, es decir el menor entre el numero de filas o columnas

Definicion

Se llaman operaciones elementales (OE) por filas en la matriz ampliada (A|b)a las siguientes transformaciones:

(a) Tipo I: Intercambiar las filas i-esima y l-esima

(b) Tipo II: Multiplicar la fila i-esima por λ ∈ k \ {0}.

(c) Tipo III: Sumar a la fila i-esima su fila l-esima multiplicada por λ ∈ k.

Ası, obtenemos un nuevo SEL que es equivalente con el original, en elsentido que tienen las mismas soluciones, y es mas sencillo de resolver.

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Resolucion de SEL

Definicion

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Resolucion de SEL

Definicion

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Resolucion de SEL

Definicion

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Resolucion de SEL

Definicion

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Resolucion de SEL

Definicion

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Resolucion de SEL

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

Matriz ampliada

1 1 31 −1 −13 1 5

Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2

OE 1: Primera fila menos segunda fila

1 1 30 2 43 1 5

OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila

1 1 30 2 40 2 4

SEL equivalentex + y = 3

2y = 42y = 4

Solucionx = 1y = 2

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Resolucion de SEL

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

, Matriz ampliada

1 1 31 −1 −13 1 5

1 1 30 2 43 1 5

1 1 30 2 40 2 4

2y = 42y = 4

Solucionx = 1y = 2

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Resolucion de SEL

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

, Matriz ampliada

1 1 31 −1 −13 1 5

1 1 30 2 43 1 5

1 1 30 2 40 2 4

2y = 42y = 4

Solucionx = 1y = 2

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Resolucion de SEL

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

, Matriz ampliada

1 1 31 −1 −13 1 5

1 1 30 2 43 1 5

1 1 30 2 40 2 4

2y = 42y = 4

Solucionx = 1y = 2

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Resolucion de SEL

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

, Matriz ampliada

1 1 31 −1 −13 1 5

1 1 30 2 43 1 5

1 1 30 2 40 2 4

2y = 42y = 4

Solucionx = 1y = 2

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Resolucion de SEL

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

, Matriz ampliada

1 1 31 −1 −13 1 5

1 1 30 2 43 1 5

1 1 30 2 40 2 4

2y = 42y = 4

Solucionx = 1y = 2

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Resolucion de SEL

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

, Matriz ampliada

1 1 31 −1 −13 1 5

1 1 30 2 43 1 5

1 1 30 2 40 2 4

2y = 42y = 4

Solucionx = 1y = 2

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Los SEL se clasifican de acuerdo a su solucion en compatiblesdeterminados, compatibles indeterminados e incompatibles.

Definicion

Un SEL es compatible cuando tiene solucion, en caso contrario se dice que esincompatible. Ademas, un sistema compatible es determinado si tienesolucion unica, en caso contrario es indeterminado.

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

, Solucionx = 1y = 2

SEL Compatible determinado

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Definicion

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

Solucionx = 1y = 2

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Definicion

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Definicion

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15

Matriz ampliada

1 −1 32 −2 65 −5 15

OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila

1 −1 30 0 05 −5 15

OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila

1 −1 30 0 00 0 0

SEL equivalente x − y = 3 Solucionx = 3 + yy ∈ R

SEL compatible indeterminado: x = 3, y = 0; x = 4, y = 1;...

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 65 −5 15

1 −1 30 0 05 −5 15

1 −1 30 0 00 0 0

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 65 −5 15

1 −1 30 0 05 −5 15

1 −1 30 0 00 0 0

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 65 −5 15

1 −1 30 0 05 −5 15

1 −1 30 0 00 0 0

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 65 −5 15

1 −1 30 0 05 −5 15

1 −1 30 0 00 0 0

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 65 −5 15

1 −1 30 0 05 −5 15

1 −1 30 0 00 0 0

SEL equivalente x − y = 3

Solucionx = 3 + yy ∈ R

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 65 −5 15

1 −1 30 0 05 −5 15

1 −1 30 0 00 0 0

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 65 −5 15

1 −1 30 0 05 −5 15

1 −1 30 0 00 0 0

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10

Matriz ampliada

1 −1 32 −2 63 −3 10

1 −1 30 0 03 −3 10

1 −1 30 0 00 0 −1

SEL equivalentex − y = 3

0 = −1No exisite solucion

SEL incompatible

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 63 −3 10

1 −1 30 0 03 −3 10

1 −1 30 0 00 0 −1

SEL incompatible

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 63 −3 10

1 −1 30 0 03 −3 10

1 −1 30 0 00 0 −1

SEL incompatible

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 63 −3 10

1 −1 30 0 03 −3 10

1 −1 30 0 00 0 −1

SEL incompatible

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 63 −3 10

1 −1 30 0 03 −3 10

1 −1 30 0 00 0 −1

SEL incompatible

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 63 −3 10

1 −1 30 0 03 −3 10

1 −1 30 0 00 0 −1

0 = −1

No exisite solucion

SEL incompatible

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 63 −3 10

1 −1 30 0 03 −3 10

1 −1 30 0 00 0 −1

SEL incompatible

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 63 −3 10

1 −1 30 0 03 −3 10

1 −1 30 0 00 0 −1

SEL incompatible

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Formalmente, la clasificacion de SEL se basa en el rango de una matriz

Definicion

Sea A ∈Mm×n(k). Se llama rango de la matriz A y se denota rg(A), alnumero de filas (o columnas) distintas de cero de la matriz resultante final alaplicar operaciones elementales y tal que contenga una submatriz triangularde orden mın{m,n} y que no se pueda hacer mas filas (o columnas) ceros

Ejemplo

(A|b) =

1 1 31 −1 −13 1 5

aplicando OE

1 1 30 2 40 0 0

rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Definicion

Ejemplo

(A|b) =

1 1 31 −1 −13 1 5

aplicando OE

1 1 30 2 40 0 0

rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Definicion

Ejemplo

(A|b) =

1 1 31 −1 −13 1 5

aplicando OE

1 1 30 2 40 0 0

rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Definicion

Ejemplo

(A|b) =

1 1 31 −1 −13 1 5

aplicando OE

1 1 30 2 40 0 0

rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

(A|b) =

1 −1 32 −2 65 −5 15

aplicando OE

1 −1 30 0 00 0 0

rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1

Ejemplo

(A|b) =

1 −1 32 −2 63 −3 10

aplicando OE

1 −1 30 0 00 0 −1

rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

(A|b) =

1 −1 32 −2 65 −5 15

aplicando OE

1 −1 30 0 00 0 0

rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1

Ejemplo

(A|b) =

1 −1 32 −2 63 −3 10

aplicando OE

1 −1 30 0 00 0 −1

rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

(A|b) =

1 −1 32 −2 65 −5 15

aplicando OE

1 −1 30 0 00 0 0

rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1

Ejemplo

(A|b) =

1 −1 32 −2 63 −3 10

aplicando OE

1 −1 30 0 00 0 −1

rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

(A|b) =

1 −1 32 −2 65 −5 15

aplicando OE

1 −1 30 0 00 0 0

rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1

Ejemplo

(A|b) =

1 −1 32 −2 63 −3 10

aplicando OE

1 −1 30 0 00 0 −1

rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

(A|b) =

1 −1 32 −2 65 −5 15

aplicando OE

1 −1 30 0 00 0 0

rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1

Ejemplo

(A|b) =

1 −1 32 −2 63 −3 10

aplicando OE

1 −1 30 0 00 0 −1

rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

(A|b) =

1 −1 32 −2 65 −5 15

aplicando OE

1 −1 30 0 00 0 0

rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1

Ejemplo

(A|b) =

1 −1 32 −2 63 −3 10

aplicando OE

1 −1 30 0 00 0 −1

rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Teorema de Rouche-Frobenius

Sea A ∈Mm×n(k) la matriz de coeficientes de un SEL, b ∈Mm×1(k) suvector de terminos independientes y n el numero de incognitas. Entonces elSEL es

Compatible determinado si rg(A) = rg(A|b) = n

Compatible indeterminado si rg(A) = rg(A|b) < n, con n− rg(A)incognitas indeterminadas

Incompatible si rg(A) < rg(A|b)

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

, Matriz ampliada

1 1 31 −1 −13 1 5

rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2, entonces SEL compatible determinado

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

Matriz ampliada

1 1 31 −1 −13 1 5

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

, Matriz ampliada

1 1 31 −1 −13 1 5

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

, Matriz ampliada

1 1 31 −1 −13 1 5

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15

Matriz ampliada

1 −1 32 −2 65 −5 15

rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1, entonces SEL compatible indeterminado con unaincognita a determinar

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 63 −3 10

rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2, entonces SEL incompatible

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 65 −5 15

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 63 −3 10

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 65 −5 15

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 63 −3 10

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 65 −5 15

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10

Matriz ampliada

1 −1 32 −2 63 −3 10

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 65 −5 15

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 63 −3 10

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 65 −5 15

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 63 −3 10

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Determinar la solucion del SEL en funcion de ciertos parametros de lamatriz de coeficientes y/o del vector de terminos independientes

Ejemplo

x + y + z = 1ay + az = 2

ax + ay + z = 1, con parametro a ∈ R

Matriz ampliada

1 1 1 10 a a 2a a 1 1

OE 1: a veces primera fila menos tercera fila

1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x + y + z = 1ay + az = 2

Matriz ampliada

1 1 1 10 a a 2a a 1 1

1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x + y + z = 1ay + az = 2

Matriz ampliada

1 1 1 10 a a 2a a 1 1

1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

x + y + z = 1ay + az = 2

Matriz ampliada

1 1 1 10 a a 2a a 1 1

1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo (Continuacion)

Si a = 0, entonces

1 1 1 10 0 0 20 0 −1 −1

, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 3

SEL incompatible

Si a = 1, entonces

1 1 1 10 1 1 20 0 0 0

, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2

SEL compatible indeterminadox = −1, y = 2− z, z ∈ R (incognita a fijar)

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Si a = 0, entonces

1 1 1 10 0 0 20 0 −1 −1

, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 3

SEL incompatible

Si a = 1, entonces

1 1 1 10 1 1 20 0 0 0

, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Si a = 0, entonces

1 1 1 10 0 0 20 0 −1 −1

, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 3

SEL incompatible

Si a = 1, entonces

1 1 1 10 1 1 20 0 0 0

, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Si a = 0, entonces

1 1 1 10 0 0 20 0 −1 −1

, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 3

SEL incompatible

Si a = 1, entonces

1 1 1 10 1 1 20 0 0 0

, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Si a 6= 0, 1, entonces

1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1

, rg(A) = 3 y rg(A|b) = 3

SEL compatible determinado para cada valor de a:

x = (a− 2)/a, y = (2− a)/a, z = 1

Si a = 2, entonces, la solucion es x = 0, y = 0, z = 1

Si a = −2, entonces, la solucion es x = 2, y = −2, z = 1

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1

, rg(A) = 3 y rg(A|b) = 3

x = (a− 2)/a, y = (2− a)/a, z = 1

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1

, rg(A) = 3 y rg(A|b) = 3

x = (a− 2)/a, y = (2− a)/a, z = 1

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1

, rg(A) = 3 y rg(A|b) = 3

x = (a− 2)/a, y = (2− a)/a, z = 1

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

SEL con dos ecuaciones y dos incognitas

En este caso, cada ecuacion representa una recta que se situa en el plano(dimension 2). Entonces, la posicion relativa de las dos rectas puede ser

Las dos rectas se cortan en un punto.

El punto de corte es la solucion del SEL, por tanto compatibledeterminado

Las dos rectas son coincidentes.

Existen infinitos puntos (los que yacen en la recta) que verifican las dosecuaciones, por tanto SEL compatible indeterminado

Las dos rectas son paralelas y no coincidentes

No existen puntos comunes a las dos rectas y por tanto el SEL esincompatible

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

SEL con tres ecuaciones y tres incognitas

En este caso, cada ecuacion representa un plano que se situa en el espacio(dimension 2). Entonces, la posicion relativa de los tres planos puede ser

Los tres planos se cortan en un unico punto comun.

El punto comun es la solucion del SEL, por tanto compatibledeterminado

Los tres planos son coincidentes, o dos planos son coincidentes y el otrolos corta, o los tres planos se cortan en la misma recta.

Existen infinitos puntos que verifican las tres ecuaciones, por tanto SELcompatible indeterminado

Tres planos paralelos (al menos dos no coincidentes), o dos paralelos y elotro que los corte, o los planos se cortan dos a dos

No existen puntos comunes a los tres planos a la vez y por tanto el SELes incompatible.

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

Los tres planos se cortan en un punto. SEL compatible determinado

−200

20−10

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

Los planos se cortan en un misma recta. SEL compatible indeterminado

−20 0 20 40−10

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

Ejemplo

Los planos se cortan dos a dos. SEL incompatible

−30−20−100102030−10−5

10−10

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Bibliografıa

I.Ojeda, J.Gago-Vargas Metodos Matematicos para Estadıstica.Manuales UEx, no. 58 (2008).

10. Vectores en el espacio tridimensional

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

espaciotridimensional

HEDIMA

Espaciovectorial real

Combinacionlineal devectores

Dependenciae indepen-dencialineal

Operacionescon vectores

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Bloque: Geometrıa

Tema: Vectores en el espacio tridimensional

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Indice

Espacio vectorial real

Combinacion lineal de vectores

Dependencia e independencia lineal

Operaciones con vectores

Producto escalar. Propiedades. Significado geometrico

Producto vectorial. Propiedades. Significado geometrico

Producto mixto. Propiedades. Significado geometrico

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

1. Espacio vectorial real

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Definicion

Consideremos un conjunto V = {u,v,w, ...}, en el que definimos lassiguientes operaciones:

Suma: u+ v

Producto por escalares: ku, (k ∈ R)

El conjunto V, con las operaciones suma y producto por escalares, es unespacio vectorial si se verifican las propiedades que veremos a continuacion

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Propiedades

Asociativa: (u+ v) +w = u+ (v +w)

Conmutativa: u+ v = v + u

Elemento neutro: existe un elemento que designaremos por 0, tal quecualquiera que sea el elemento u se verifica u+ 0 = u

Elemento opuesto: cualquiera que sea el elemento u, existe otro, −u(opuesto de u), tal que u+ (−u) = 0

k(u+ v) = ku +kv (k ∈ R)

(k + h)u = ku +hu (k, h ∈ R)

k(hu) = (kh)u (k, h ∈ R)

1u = u, donde 1 es el elemento unidad del conjunto de los numerosreales

A los elementos de V se les llama vectores

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Ejemplos de espacios vectoriales reales

Ejemplos de espacios vectoriales

Los conjuntos R2 = R × R; R3 = R × R × R;...;Rn = R × ...n × R,con las operaciones suma y producto por numeros reales. Por ejemplo,en el espacio vectorial R3, cada vector es una terna de numeros reales(x, y, z), y las operaciones suma y producto por un numero real λ son lassiguientes:

(x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x+ x′, y + y′, z + z′) λ · (x, y, z) = (λx, λy, λz)

El conjunto de las matrices de numeros reales de m = 2 filas y n = 3columnas, con las operaciones de suma de matrices y producto de unescalar por una matriz (valido tambien para otros valores de m y n).

El conjunto de los polinomios con coeficientes reales de grado menor oigual a n = 3, con las operaciones usuales de suma de polinomios yproducto de un polinomio por un numero real (valido tambien para otrosvalores de n).

El conjunto de funciones reales continuas definidas en el intervalo [0, 1],con las operaciones usuales de suma de funciones y producto de unafuncion por un numero real.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Definicion

Un vector u de V es combinacion lineal de los vectores u1,u2, ...,un de V,si puede expresarse ası:

u = a1u1 + a2u2 + ...+ anun,

siendo a1, a2, ..., an numeros reales.

Ejemplo

En el espacio vectorial R3, podemos escribir el vector (−4, 4, 32), comocombinacion lineal de los vectores: (2, 3, 4), (1, 0,−1) y (−1,−1, 3) de lasiguiente manera:

(−4, 4, 32) = 3(2, 3, 4)− 5(1, 0,−1) + 5(−1,−1, 3)

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Subespacio engendrado

Definicion

Sea V un espacio vectorial. Se dice que W es un subespacio vectorial deV, si se verifican las siguientes condiciones:

1 W es un subconjunto no vacıo de V

2 La suma de dos vectores de W es otro vector de W

3 El producto de un numero real por un vector de W es otro vector de W

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Ejemplo de subespacio engendrado

Ejemplo

En el espacio vectorial R3, consideremos el subconjunto W formado por losvectores cuya tercera componente es nula, es decir,

W = {(x, y, 0) : x, y ∈ R}.

W verifica:

1 Es un subconjunto no vacıo de R3, ya que, al menos, el vector nulopertenece a W

2 La suma de dos vectores de W es otro vector de W

3 El producto de un numero real cualquiera por un vector de W es otrovector de W

El conjunto W es un espacio vectorial con las operaciones suma y productopor un numero real usadas en el espacio vectorial R3. Por lo tanto, W es unsubespacio vectorial de R3.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Subespacio engendrado

Definicion

Sea S = {u1,u2, ...,un} un conjunto de vectores de un espacio vectorial V.Se llama subespacio engendrado por S, y se le designa por L(S) o por< u1,u2, ...,un >, al subespacio vectorial formado por todas lascombinaciones lineales que se pueden hacer con los vectores de S, es decir:

L(S) = {a1u1 + a2u2 + ...+ anun}

Los vectores u1,u2, ...,un se dice que forman un sistema generador delespacio L(S)

Ejemplo

En el espacio vectorial R3, el subespacio vectorial engendrado por losvectores u = (1,−1, 3) y v = (2,−5, 6) es:

L(u,v) = < u,v > = {a1u+ a2v} == {a1(1,−1, 3) + a2(2,−5, 6)} == {(a1 + 2a2, −a1 − 5a2, 3a1 + 6a2)}

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Dependencia e independencialineal

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Definicion

Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si al menos uno deellos se puede expresar como combinacion lineal de los restantes. En casocontrario se dice que son linealmente independientes.

Ejemplo

En el ejemplo que veıamos anteriormente, los vectores: (−4, 4, 32), (2, 3, 4),(1, 0,−1) y (−1,−1, 3) son linealmente dependientes pues el primero sepuede escribir como combinacion lineal del resto.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Otra forma de definir los conceptos anteriores es la siguiente:

Definicion

Los vectores u1,u2,...,un son linealmente dependientes si existe unacombinacion lineal de los vectores con algun coeficiente no nulo que sea igualal vector cero, es decir:

a1u1 + a2u2 + ...+ anun = 0,

con algun ai 6= 0,i = 1, ..., n.

Definicion

Los vectores u1,u2,...,un son linealmente independientes si cualquiercombinacion lineal de los vectores que sea igual al vector cero, tiene quetener todos los coeficientes nulos, es decir:

a1u1 + a2u2 + ...+ anun = 0,

solo es posible con todos los ai = 0, i = 1, ..., n.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Ejemplo

Supongamos que queremos estudiar la dependencia lineal en R3 del conjuntode vectores:

{(3, 3, 2), (1, 1,−1), (2, 2, 3)}.Vamos a tratar de escribir un vector como combinacion lineal del resto:

(3, 3, 2) = a1(1, 1,−1) + a2(2, 2, 3)

Identificando las componentes, obtenemos el siguiente sistema:

3 = a1 + 2a2

2 = −a1 + 3a2

La solucion de este sistema es a1 = 1 y a2 = 1, por tanto el vector (3, 3, 2)se puede escribir como combinacion lineal del resto y, en consecuencia, losvectores dados son linealmente dependientes.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Base de un espacio vectorial

Definicion

Sea V un espacio vectorial y B un subconjunto de vectores de V. Se diceque B es una base de V si se verifican las siguientes condiciones:

B es un sistema generador de V

B es linealmente independiente

Definicion

Llamamos dimension del espacio V al numero de elementos que tienecualquiera de sus bases.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Ejemplos de bases y dimensiones de espacios vectoriales

Ejemplos

1 El espacio vectorial R2 esta formado por pares de numeros reales (x, y).Tiene como base canonica B = {(1, 0), (0, 1)}, porque

B es sistema generador de R2 porque cualquier par de numeros reales(x, y) es combinacion de B: (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1).

B es linealmente independiente porque si x(1, 0) + y(0, 1) = (0, 0),entonces x = 0 e y = 0.

Por tanto, R2 tiene dimension 2.

2 El espacio vectorial R3 esta formado por ternas de numeros reales(x, y, z). Tiene como base canonica B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)},por lo que tiene dimension 3.

3 En R3, el espacio vectorial W engendrado por el vector u = (1, 2, 3)tiene por base al propio vector u, pues u es no nulo y genera todo elespacio W . Por tanto la dimension de W es 1.

4 La base mas sencilla del espacio vectorial de los polinomios de gradomenor o igual a 2 es {x2, x, 1} y por lo tanto tiene dimension 3.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Coordenadas de un vector

Definicion

Sea V un espacio vectorial de dimension n y B = {u1,u2, ...,un} una basede V. Se llaman coordenadas de un vector v de V, respecto de la base B,al conjunto de numeros reales a1, a2, ..., an, que permite expresar el vector vcomo combinacion lineal de los vectores de la base, es decir:

v = a1u1 + a2u2 + ...+ anun

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Coordenadas de un vector

Ejemplo

En el espacio vectorial R3, vamos a calcular las coordenadas del vector(1, 0, 0), respecto de la base:

B = {(1,−1, 0), (0, 0, 2), (3, 0, 1)}

Para ello planteamos,

(1, 0, 0) = a1(1,−1, 0) + a2(0, 0, 2) + a3(3, 0, 1),

e igualamos coordenada a coordenada para obtener el siguiente sistema deecuaciones

1 = a1 + 3a3

0 = a1

0 = 2a2 + a3

cuya solucion:a1 = 0, a2 = −1/6, a3 = 1/3,

son las coordenadas del vector (1, 0, 0) en la base B

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

2. Operaciones con vectores

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Vectores fijos en el espacio

Definicion de vector fijo

Llamamos vector fijo de un espacio a un segmento orientado cuyos extremos

estan determinados. Designaremos por−→AB a un vector fijo del espacio que

tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B.

Definicion de vector nulo

Si en un vector su origen coincide con su extremo, se dice que es el vectorfijo nulo.

Todo vector fijo no nulo−→AB en el espacio queda caracterizado por un par

de puntos (A,B) o por su modulo, direccion y sentido.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Vectores fijos en el espacio

Definicion de modulo de vector fijo

Se llama modulo del vector−→AB, y se denota |−→AB|, a la longitud del

segmento de extremos los puntos A y B.

Definicion de direccion de un vector fijo

Se llama direccion del vector−→AB a la direccion de la recta que pasa por A y

Definicion de sentido de un vector fijo

Se llama sentido del vector−→AB al sentido de recorrido de la recta AB

cuando nos trasladamos de A a B.

Como estandar, denotaremos −→u o −→v a los vectores fijos.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Ejemplos

Ejemplo

Los vectores de la siguiente figura tiene igual modulo, direccion y sentido.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Ejemplos

Ejemplo

Los vectores de la siguiente figura tiene igual direccion y sentido pero distintomodulo.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Ejemplos

Ejemplo

Los vectores de la siguiente figura tiene igual direccion pero distinto moduloy sentido.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Ejemplos

Ejemplo

Los vectores de la siguiente figura tiene distinto modulo, direccion y sentido.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Producto escalar. Propiedades.Significado geometrico

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Definicion de producto escalar

Definicion

El producto escalar de dos vectores −→u y −→v se designa por −→u · −→v y seobtiene del siguiente modo:

−→u · −→v =

{|−→u ||−→v | cos(−→u ,−→v ), si −→u y −→v son no nulos

0 si −→u o −→v es el vector nulo

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Propiedades del producto escalar

1. El producto escalar de un vector por sı mismo es un numero positivo onulo: −→u · −→u ≥ 0

2. El producto escalar es conmutativo: −→u · −→v = −→v · −→u

3. Propiedad homogenea: k(−→u · −→v ) = (k−→u ) · −→v o k(−→u · −→v ) = −→u · (k−→v )siendo k ∈ R.

4. Propiedad distributiva respecto de la suma:−→u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Significado geometrico del producto escalar

Consideremos las figuras anteriores donde se representan los vectores −→u y−→v . Al proyectar el vector −→v sobre la direccion del vector −→u o viceversa,obtenemos:

Proyeccion de −→v sobre −→u = medida del segmento−→AB = |−→AB| = vector

proyeccion de −→v sobre −→u

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Significado geometrico del producto escalar

El producto escalar de dos vectores cualesquiera −→u y −→v es igual almodulo de −→u por la proyeccion de −→v sobre −→u o viceversa:

−→u · −→v = |−→u ||−→v | cos(−→u ,−→v ) = |−→u |(proyeccion de −→v sobre −→u )

−→u · −→v = |−→u ||−→v | cos(−→u ,−→v ) = |−→v |(proyeccion de −→u sobre −→v )

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Calculo del modulo y el angulo de un vector

Calcularemos el modulo de un vector como la raız cuadrada positiva delproducto escalar del vector por sı mismo:

|−→u | =√−→u · −→u

Diremos que un vector −→u es unitario si tiene modulo igual a 1 (|−→u | = 1).

Calcularemos el coseno del angulo formado por dos vectores como la divisiondel producto escalar entre el producto de sus modulos:

cos(−→u ,−→v ) =−→u · −→v|−→u ||−→v |

Diremos que dos vectores −→u y −→v son ortogonales si su producto escalar es0.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Expresion analıtica del producto escalar

Sea B = (−→u1,−→u2,−→u3) una base cualquiera y −→u ,−→v dos vectores

cualesquiera cuyas coordenadas en la base B son, respectivamente, (x, y, z) y(x′, y′, z′). Entonces el producto escalar de ambos vectores en terminos decoordenadas se puede expresar ası:

−→u · −→v = (x−→u1 + y−→u2 + z−→u3) · (x′−→u1 + y′−→u2 + z′−→u3)

= xx′(−→u1 · −→u1) + xy′(−→u1−→u2) + xz′(−→u1 · −→u3)

+ yx′(−→u2 · −→u1) + yy′(−→u2−→u2) + yz′(−→u2 · −→u3)

+ zx′(−→u3 · −→u1) + zy′(−→u3−→u2) + zz′(−→u3 · −→u3)

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Expresion analıtica del producto escalar

B es una base normada si esta formada por vectores unitarios, es decir,

−→u1 · −→u1 = −→u2 · −→u2 = −→u3 · −→u3 = 1.

En este caso, la expresion analıtica del producto escalar es:

−→u · −→v = xx′ + yy′ + zz′ + (xy′ + yx′)(−→u1−→u2)

+ (xz′ + zx′)(−→u1 · −→u3) + (yz′ + zy′)(−→u2 · −→u3)

B es una base ortogonal si los vectores de la base son ortogonalestomados de dos en dos, es decir,

−→u1 · −→u2 = −→u1 · −→u3 = −→u2 · −→u3 = 0.

En este caso, la expresion analıtica del producto escalar es:

−→u · −→v = xx′(−→u1−→u1) + yy′(−→u2

−→u2) + zz′(−→u3−→u3)

B es una base ortonormal si es una base normada y ortogonal. En estecaso, la expresion analıtica del producto escalar es:

−→u · −→v = xx′ + yy′ + zz′

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Ejemplos de producto escalar

Ejemplo

El producto escalar de dos fuerzas f1 y f2 en el espacio, que tienen,respectivamente, 5 y 2 newton de intensidad y forman un angulo de 60o es:

f1 · f2 = |f1||f2| cos(f1, f2) = 5 · 2 · 0,5 = 5

Ejemplo

Puesto que

−→u · −→v = |−→u ||−→v | cos(−→u ,−→v ) = |−→v |(proyeccion de −→u sobre −→v ),

la proyeccion del vector −→u = (2, 1, 3) sobre el vector −→v = (−3, 4, 2)considerando una base ortonormal es:

proyeccion de −→u sobre −→v =−→u · −→v|−→v | =

2(−3) + 1 · 4 + 3 · 2√(−3)2 + 42 + 22

=4√29

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Producto vectorial. Propiedades.Significado geometrico

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Definicion de producto vectorial

Definicion

El producto vectorial de dos vectores −→u y −→v es otro vector que se designapor −→u ×−→v y que se obtiene del siguiente modo:

1 Si −→u y −→v son dos vectores no nulos, y no proporcionales, −→u ×−→v es unvector que tiene:

modulo: |−→u ||−→v | sin(−→u ,−→v )direccion: perpendicular a los vectores −→u y −→vsentido: el de avance de un sacacorchos que gira en sentido positivo de−→u a −→v .

2 Si −→u =−→0 o −→v =

−→0 o si −→u y −→v son proporcionales, entonces se tiene

que −→u ×−→v =−→0

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Propiedades del producto vectorial

1. Anticonmutativa: −→u ×−→v = −−→v ×−→u

2. Homogenea: k(−→u ×−→v ) = (k−→u )×−→v = −→u × (k−→v ) (k ∈ R).

3. Distributiva respecto de la suma: −→u × (−→v +−→w ) = −→u ×−→v +−→u ×−→w

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Significado geometrico del producto vectorial

Sean −→u y −→v los vectores de la figura.

Si trazamos por B una perpendicular a la recta−→OA, corta a esta en el

punto B′ y se verifica que:

sin(−→u ,−→v ) = |−−→BB′||−→v | ,

de donde:

|−−→BB′| = |−→v | sin(−→u ,−→v ).

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Significado geometrico del producto vectorial

Multiplicando ambos miembros por el modulo del vector −→u obtenemos:

|−→u ||−−→BB′| = |−→u | |−→v | sin(−→u ,−→v ) = |−→u ×−→v |,

y como |−→u ||−−→BB′| es el producto de la base por la altura del paralelogramo

OACB se tiene que el modulo del producto vectorial de −→u y −→v es igualal area del paralelogramo que tiene por lados los vectores −→u y −→v .

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Expresion analıtica del producto vectorial

Sea B = (−→u1,−→u2,−→u3) una base ortonormal y −→u ,−→v dos vectores

cualesquiera cuyas coordenadas en la base B son, respectivamente, (x, y, z) y(x′, y′, z′). Entonces el vector −→u ×−→v tiene las siguientes componentes:

−→u ×−→v =

(∣∣∣∣y zy′ z′

∣∣∣∣ ,∣∣∣∣z xz′ x′

∣∣∣∣ ,∣∣∣∣x yx′ y′

∣∣∣∣),

Podemos recordar lo anterior relacionandolo con el calculo de losdeterminantes:

−→u ×−→v =

∣∣∣∣∣∣

−→u1−→u2

−→u3

x y zx′ y′ z′

∣∣∣∣∣∣

(El ultimo determinante solo es una regla para recordar el calculo de unaproducto vectorial, puesto que no tiene sentido matematico el determinantede una matriz cuyos elementos sean vectores mezclados con numeros)

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Ejemplo de producto vectorial

Ejemplo

El producto vectorial de los vectores (1, 2, 3) y (0, 3, 5) da como resultado:

(1, 2, 3)× (0, 3, 5) =

∣∣∣∣∣∣

−→u1−→u2

−→u3

1 2 30 3 5

∣∣∣∣∣∣= u1 − 5u2 + 3u3,

es decir el vector (1,−5, 3)

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Producto mixto. Propiedades.Significado geometrico

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Definicion de producto mixto

Definicion

El producto mixto de tres vectores −→u , −→v y −→w es un numero real que sedesigna por [−→u ,−→v ,−→w ] y que se obtiene del siguiente modo:

[−→u ,−→v ,−→w ] = −→u · (−→v ×−→w )

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Propiedades del producto mixto

1. [−→u ,−→v ,−→w ] = [−→v ,−→w ,−→u ] = [−→w ,−→u ,−→v ]

2. [−→u ,−→w ,−→v ] = [−→v ,−→u ,−→w ] = [−→w ,−→v ,−→u ] = −[−→u ,−→v ,−→w ]

3. [−→u ,−→v ,−→w ] = 0 si y solo si, −→u , −→v , −→w son linealmente dependientes.

4. [a−→u , b−→v , c−→w ] = abc[−→u ,−→v ,−→w ]

5. [−→u +−→u′ ,−→v ,−→w ] = [−→u ,−→v ,−→w ] + [

−→u′ ,−→v ,−→w ]

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Significado geometrico del producto mixto

Sean −→u , −→v y −→w los vectores de la figura.

|[−→u ,−→v ,−→w ]| = |−→u · (−→v ×−→w )| = |−→u ||−→v ×−→w || cos( −→u ,−→v ×−→w )|

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Significado geometrico del producto mixto

Como |−→u || cos( −→u ,−→v ×−→w )| = |−−→OH| es la altura del paralelepıpedoconstruido sobre los tres vectores, y como |−→v ×−→w | es el area de la base,resulta que:

|[−→u ,−→v ,−→w ]| = base · altura = volumen.

El valor absoluto del producto mixto de tres vectores es igual alvolumen del paralelepıpedo que tiene por aristas a los tres vectores.

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Expresion analıtica del producto mixto

Sea B = (−→u1,−→u2,−→u3) una base ortonormal y −→u ,−→v ,−→w tres vectores

cualesquiera cuyas coordenadas en la base B son, respectivamente, (x, y, z),(x′, y′, z′) y (x′′, y′′, z′′). Entonces el producto mixto [−→u ,−→v ,−→w ] tiene lasiguiente expresion analıtica:

[−→u ,−→v ,−→w ]

= −→u · (−→v ×−→w )

= (x−→u + y−→v + z−→w ) ·(∣∣∣∣

y′ z′

y′′ z′′

∣∣∣∣−→u +

∣∣∣∣z′ x′

z′′ x′′

∣∣∣∣−→v +

∣∣∣∣x′ y′

x′′ y′′

∣∣∣∣−→w)

∣∣∣∣y′ z′

y′′ z′′

∣∣∣∣+ y

∣∣∣∣z′ x′

z′′ x′′

∣∣∣∣+ z

∣∣∣∣x′ y′

x′′ y′′

∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

x y zx′ y′ z′

x′′ y′′ z′′

∣∣∣∣∣∣= det(−→u ,−→v ,−→w )

es decir,[−→u ,−→v ,−→w ] = det(−→u ,−→v ,−→w )

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

HEDIMA

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Ejemplo de producto mixto

Ejemplo

El producto mixto de los vectores (0, 1, 3), (2, 4, 6) y (1, 2, 1) es:

[(0, 1, 3), (2, 4, 6), (1, 2, 1)] = det((0, 1, 3), (2, 4, 6), (1, 2, 1)) = 4

11. Geometría en el plano

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Ecuacionesde las rectas

Paralelismo,Angulos yDistancias

Geometria deotras figurasnotables

Bibliografıa

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Bloque: Geometrıa

Tema: Geometrıa en el plano

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Indice

Rectas

Ecuaciones

Paralelismo

Angulos

Distancias

Otras figuras notables del plano

Triangulos

Circunferencias

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Puntos y vectores en el plano real

En el plano real R2, conviene distinguir entre punto y vector :

Puntos y vectores

Si consideramos R2 como un conjunto, sus elementos los llamaremos puntos,y los escribiremos con letras mayusculas: P,Q,R, . . ..Si consideramos R2 como espacio vectorial, sus elementos se llaman vectores,y los escribiremos con letras minusculas: u, v, w, . . ..

Aparentemente, esta distincion carece de sentido, puesto que tanto unpunto P como un vector v se representan por una pareja de numeros reales,que se llaman sus coordenadas.

Notacion

Al escribir P (2, 1), hacemos referencia al punto P de coordenadas (2, 1).Analogamente, la notacion v(2, 1) hace referencia al vector de coordenadas(2, 1).

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Sin embargo, la sutil diferencia entre punto y vector es fundamental.La operacion que permite hacer geometrıa es que tiene sentido trasladar

un punto por un vector:

Traslacion de un punto por un vector

Sea P (p1, p2) un punto y v(v1, v2) un vector. El punto P + v se define comoel punto de coordenadas (p1 + v1, p2 + v2).

Ejemplo

La traslacion del punto P (1, 1) por el vector v(2, 1) es el punto decoordenadas:

(3, 2) .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Sin embargo, la sutil diferencia entre punto y vector es fundamental.La operacion que permite hacer geometrıa es que tiene sentido trasladar

un punto por un vector:

Sea P (p1, p2) un punto y v(v1, v2) un vector. El punto P + v se define comoel punto de coordenadas (p1 + v1, p2 + v2).

Ejemplo

La traslacion del punto P (1, 1) por el vector v(2, 1) es el punto decoordenadas:

(3, 2) .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Estudio de las rectas en el plano

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Ecuaciones

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Ecuaciones de las rectas en el plano

Definicion

Dado un punto P del plano y un vector no nulo v, la recta que pasa por Pcon la direccion v es el conjunto de los puntos X que satisfacen que:

-Existe un λ ∈ R tal que:X = P + λv

para algun λ ∈ R .

Conviene recordar:

La direccion de una recta es un espacio vectorial de dimension uno, 〈v〉.

Por dos puntos distintos, P y Q, pasa una unica recta, que denotamosP +Q:

P +Q := P + λ ~PQ .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Definicion

Dado un punto P del plano y un vector no nulo v, la recta que pasa por Pcon la direccion v es el conjunto de los puntos X que satisfacen que:

-Existe un λ ∈ R tal que:X = P + λv

Conviene recordar:

La direccion de una recta es un espacio vectorial de dimension uno, 〈v〉.

Por dos puntos distintos, P y Q, pasa una unica recta, que denotamosP +Q:

P +Q := P + λ ~PQ .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Ejemplo

Consideremos los puntos P (1, 0) y Q(0, 1).

Dado que ~PQ = (−1, 1), la recta definida por P y Q es el conjunto depuntos X(x, y) en el plano que satisfacen:

(x, y) = (1, 0) + λ(−1, 1)

para algun λ ∈ R.

La direccion de esta recta P +Q es el espacio vectorial

〈 ~PQ〉 = 〈(−1, 1)〉 .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Ecuaciones parametricas

Si P (p1, p2) y v(v1, v2), la recta que pasa por P con direccion v es elconjunto de puntos X(x, y) que satisfacen:

{x = p1 + λ v1

y = p2 + λ v2

Ejemplo

Como ~PQ = (−1, 1), las ecuaciones parametricas de la recta P +Q son:

{x = 1− λy = λ

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Si P (p1, p2) y v(v1, v2), la recta que pasa por P con direccion v es elconjunto de puntos X(x, y) que satisfacen:

{x = p1 + λ v1

y = p2 + λ v2

Ejemplo

Como ~PQ = (−1, 1), las ecuaciones parametricas de la recta P +Q son:

{x = 1− λy = λ

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Ecuacion general

Toda recta admite una ecuacion del tipo:

ax+ by = c

para ciertos numeros a, b, c ∈ R.

Observacion

A partir de dicha ecuacion, podemos obtener directamente:

La direccion perpendicular a la recta:

〈(a, b)〉 .

La direccion de la recta:〈(b,−a)〉 .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Ecuacion general

Toda recta admite una ecuacion del tipo:

ax+ by = c

para ciertos numeros a, b, c ∈ R.

Observacion

La direccion perpendicular a la recta:

〈(a, b)〉 .

La direccion de la recta:〈(b,−a)〉 .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Ecuaciones de los planos en el espacio

Ejemplo

Consideremos los puntos P (1, 0) y Q(0, 1).Hemos calculado en el ejemplo anterior que la direccion de la recta P +Q esel espacio vectorial

〈(−1, 1)〉 .Por tanto la direccion ortogonal es 〈(1, 1)〉 y la ecuacion general de la rectaes de la forma:

x+ y = c .

Como el punto P (1, 0) esta en la recta, su ecuacion es:

x+ y = 1 .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Ecuacion, dados dos puntos

La recta que pasa por un punto P (p1, p2) y un punto Q(q1, q2) admite laecuacion:

P +Q ≡ x− p1q1 − p1

=y − p2q2 − p2

Ejemplo

La ecuacion de la recta que pasa por los puntos P (2, 1) y Q(0, 3) es:

x− 2

−2 =y − 1

3− 1

Es decir, la ecuacion de tal recta es:

x+ y = 3 .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

La recta que pasa por un punto P (p1, p2) y un punto Q(q1, q2) admite laecuacion:

P +Q ≡ x− p1q1 − p1

=y − p2q2 − p2

Ejemplo

La ecuacion de la recta que pasa por los puntos P (2, 1) y Q(0, 3) es:

x− 2

−2 =y − 1

3− 1

Es decir, la ecuacion de tal recta es:

x+ y = 3 .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Paralelismo, Angulos y Distancias

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Paralelismo de rectas

Definicion

Dos rectas son paralelas si tienen la misma direccion.Equivalentemente, dos rectas son paralelas si:

cualesquiera vectores directores de ambas son proporcionales.

o bien

cualesquiera vectores normales de ambas son proporcionales.

Condicion de paralelismo

Dos rectas de ecuaciones ax+ by = c y a′x+ b′y = c′ son paralelas si y solosi:

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Definicion

Dos rectas son paralelas si tienen la misma direccion.Equivalentemente, dos rectas son paralelas si:

cualesquiera vectores directores de ambas son proporcionales.

o bien

cualesquiera vectores normales de ambas son proporcionales.

Dos rectas de ecuaciones ax+ by = c y a′x+ b′y = c′ son paralelas si y solosi:

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Ejemplo

Veamos que, dada una recta y un punto exterior a ella, existe una unica rectaparalela a la dada y que pasa por dicho punto.Calculemos, a modo de ejemplo, la recta paralela a r ≡ 2x− y = 5 y quepasa por el punto (1, 3).Si una recta es paralela a r, entonces ha de tener la ecuacion:

2x− y = c

para cierto c ∈ R.Si ademas nos dicen que pasa por el punto (1, 3), entonces quedacompletamente determinada:

2x− y = −1 .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Angulo entre dos rectas

Definicion

Dadas dos rectas r y s, el angulo que forman, que escribimos ∠(r, s), sedefine como el unico angulo comprendido entre 0 y π/2 de entre los cuatroangulos que se pueden formar con un vector (no nulo) de la direccion de r yotro vector de la direccion de s.

Rectas perpendiculares

Dos rectas de ecuaciones ax+ by = c y a′x+ b′y = c′ son Perpendiculares siy solo si:

aa′ + bb′ = 0 .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Angulo entre dos rectas

Definicion

Dadas dos rectas r y s, el angulo que forman, que escribimos ∠(r, s), sedefine como el unico angulo comprendido entre 0 y π/2 de entre los cuatroangulos que se pueden formar con un vector (no nulo) de la direccion de r yotro vector de la direccion de s.

Rectas perpendiculares

Dos rectas de ecuaciones ax+ by = c y a′x+ b′y = c′ son Perpendiculares siy solo si:

aa′ + bb′ = 0 .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Angulos entre de rectas

Ejemplo

Veamos que, dada una recta y un punto exterior a ella, existe una unica rectaperpendicular a la dada y que pasa por dicho punto.Calculemos, a modo de ejemplo, la recta perpendicular a r ≡ 2x− y = 5 yque pasa por el punto (1, 3).Si una recta es perpendicular a r, entonces ha de tener la ecuacion:

x− 2y = c

para cierto c ∈ R.Si ademas nos dicen que pasa por el punto (1, 3), entonces quedacompletamente determinada:

x− 2y = −5 .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Distancia de un punto a una recta

Calculo

La distancia de un punto P (p1, p2) a la recta r de ecuacion ax+ by = c vale:

dist(P, r) =|ap1 + bp2 − c|√

a2 + b2.

Ejemplo

La distancia del punto P (3, 1) a la recta r de ecuacion 2x+ 2y = −4 vale:

dist(P, r) =|2 · 3 + 2 · 1− (−4)|√

22 + 22=

2√2=

6√2.

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Calculo

La distancia de un punto P (p1, p2) a la recta r de ecuacion ax+ by = c vale:

dist(P, r) =|ap1 + bp2 − c|√

a2 + b2.

Ejemplo

La distancia del punto P (3, 1) a la recta r de ecuacion 2x+ 2y = −4 vale:

dist(P, r) =|2 · 3 + 2 · 1− (−4)|√

22 + 22=

2√2=

6√2.

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Otras figuras notables del plano

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Triangulos

Teorema del coseno

Sea un triangulo de vertices A, B y C. Denotemos los angulos en dichosvertices α, β y γ; y denotemos los lados opuestos a dichos vertices como a, by c.Se cumple la siguiente relacion:

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ .

Teorema del seno

senα=

senβ=

sen γ.

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Triangulos

Teorema del coseno

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ .

Teorema del seno

senα=

senβ=

sen γ.

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Circunferencias

Definicion

Se llama circunferencia de centro C y radio ρ al lugar geometrico de lospuntos del plano que distan ρ del punto C.

Ecuacion

Si C ≡ (c1, c2), entonces la ecuacion de la circunferencia con centro en C yradio ρ es:

(x− c1)2 + (y − c2)2 = ρ .

Recuerdese tambien que:

La longitud de una circunferencia de radio ρ vale 2πρ.

El area encerrada en su interior vale πρ2.

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Circunferencias

Definicion

Se llama circunferencia de centro C y radio ρ al lugar geometrico de lospuntos del plano que distan ρ del punto C.

Ecuacion

Si C ≡ (c1, c2), entonces la ecuacion de la circunferencia con centro en C yradio ρ es:

(x− c1)2 + (y − c2)2 = ρ .

Recuerdese tambien que:

La longitud de una circunferencia de radio ρ vale 2πρ.

El area encerrada en su interior vale πρ2.

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el plano

HEDIMA

GID 2010-11

Rectas

Bibliografıa

V. BOLOS et. AL., Algebra Lineal y Geometrıa (Manuales UEX - 50,2007).

J. BURGOS, Algebra Lineal y Geometrıa Cartesiana (Mc Graw Hill,2002).

J. COLERA, M.J. OLIVEIRA, Matematicas II, Bachillerato (Anaya,2009).

F. GARZO et. AL., Matematicas (Mc Graw Hill, 1992).

V. GONZALEZ VALLE, Examenes resueltos de Selectividad, (2011).http://www.vicentegonzalezvalle.es/.

12. Geometría en el espacio

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Ecuacionesde los planos

Rectas

Ecuacionesde la recta

Paralelismo yangulos

Distancias yareas

Bibliografıa

HEDIMA, Grupo de innovacion didactica

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Bloque: Geometrıa

Tema: Geometrıa en el espacio

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Indice

Planos

Ecuaciones

Rectas

Ecuaciones

Paralelismo y angulos

Distancias y areas

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Puntos y vectores en el espacio

En el espacio R3, conviene distinguir entre punto y vector :

Puntos y vectores

Si consideramos R3 como un conjunto, sus elementos los llamaremos puntos,y los escribiremos con letras mayusculas: P,Q,R, . . ..Si consideramos R3 como espacio vectorial, sus elementos se llaman vectores,y los escribiremos con letras minusculas: u, v, w, . . ..

Tanto un punto P como un vector v se representan por una terna denumeros reales, que se llaman sus coordenadas.

Notacion

Al escribir P (2, 1, 0), hacemos referencia al punto P de coordenadas (2, 1, 0).Analogamente, la notacion v(2, 1, 0) hace referencia al vector de coordenadas(2, 1, 0).

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

La sutil diferencia entre punto y vector es fundamental.La operacion que permite hacer geometrıa es la traslacion de un punto P

por un vector v:

Sea P (p1, p2, p3) un punto y v(v1, v2, v3) un vector. El punto P + v se definecomo el punto de coordenadas (p1 + v1, p2 + v2, p3 + v3).

Ejemplo

La traslacion del punto P (1, 2, 3) por el vector v(0, 0, 7) es el punto decoordenadas:

(1, 2, 10) .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

La sutil diferencia entre punto y vector es fundamental.La operacion que permite hacer geometrıa es la traslacion de un punto P

por un vector v:

Sea P (p1, p2, p3) un punto y v(v1, v2, v3) un vector. El punto P + v se definecomo el punto de coordenadas (p1 + v1, p2 + v2, p3 + v3).

Ejemplo

La traslacion del punto P (1, 2, 3) por el vector v(0, 0, 7) es el punto decoordenadas:

(1, 2, 10) .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Geometria de rectas y planos enel espacio

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Planos en el espacio

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Definicion

Dado un punto P del espacio y un par de vectores no proporcionales e, v, elplano que pasa por P con la direccion 〈e, v〉 es el conjunto de los puntos Xque satisfacen:

X = P + λe+ µv

para algunos λ, µ ∈ R .

Conviene recordar:

La direccion de un plano es un espacio vectorial de dimension dos, 〈e, v〉.

Por tres puntos no alineados, P , Q y R, pasa un unico plano, quedenotamos P +Q+R:

P +Q+R := P + λ ~PQ+ µ ~PR .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Definicion

Dado un punto P del espacio y un par de vectores no proporcionales e, v, elplano que pasa por P con la direccion 〈e, v〉 es el conjunto de los puntos Xque satisfacen:

X = P + λe+ µv

para algunos λ, µ ∈ R .

Conviene recordar:

La direccion de un plano es un espacio vectorial de dimension dos, 〈e, v〉.

Por tres puntos no alineados, P , Q y R, pasa un unico plano, quedenotamos P +Q+R:

P +Q+R := P + λ ~PQ+ µ ~PR .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Ejemplo

Consideremos los puntos P (1, 0, 0), Q(0, 1, 0) y R(0, 0, 1).

Dado que ~PQ = (−1, 1, 0) y ~PR = (−1, 0, 1), el plano definido por estostres puntos es el conjunto de puntos X(x, y, z) en el espacio que satisfacen:

(x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(−1, 1, 0) + µ(−1, 0, 1) .

La direccion de este plano P +Q+R es el espacio vectorial

〈 ~PQ, ~PR〉 = 〈(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)〉 .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Sean P (p1, p2, p3) un punto y dos vectores e(e1, e2, e3), v(v1, v2, v3), noproporcionales. El plano que pasa por P con direccion 〈e, v〉 es el conjuntode puntos X(x, y, z) que satisfacen:

x = p1 + λ e1 + µ v1

y = p2 + λ e2 + µ v2

z = p3 + λ e3 + µ v3

λ, µ ∈ R .

Ejemplo

Como ~PQ = (−1, 1, 0) y ~PR = (−1, 0, 1), las ecuaciones parametricas delplano que pasa por estos tres puntos son:

x = 1− λ− µy = λ

z = µ

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Sean P (p1, p2, p3) un punto y dos vectores e(e1, e2, e3), v(v1, v2, v3), noproporcionales. El plano que pasa por P con direccion 〈e, v〉 es el conjuntode puntos X(x, y, z) que satisfacen:

x = p1 + λ e1 + µ v1

y = p2 + λ e2 + µ v2

z = p3 + λ e3 + µ v3

λ, µ ∈ R .

Ejemplo

Como ~PQ = (−1, 1, 0) y ~PR = (−1, 0, 1), las ecuaciones parametricas delplano que pasa por estos tres puntos son:

x = 1− λ− µy = λ

z = µ

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Ecuacion general

Todo plano admite una ecuacion del tipo:

ax+ by + cz = d

para ciertos numeros a, b, c, d ∈ R.

Observacion

La direccion perpendicular al plano:

〈(a, b, c)〉 .

La direccion del plano: basta encontrar dos vectores linealmenteindependientes y ortogonales a (a, b, c); por ejemplo, utilizando elproducto vectorial:

〈(b,−a, 0),(∣∣∣∣

b c−a 0

∣∣∣∣ ,−∣∣∣∣a cb 0

∣∣∣∣ ,∣∣∣∣a bb −a

∣∣∣∣)〉 .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Ecuacion general

Todo plano admite una ecuacion del tipo:

ax+ by + cz = d

para ciertos numeros a, b, c, d ∈ R.

Observacion

La direccion perpendicular al plano:

〈(a, b, c)〉 .

La direccion del plano: basta encontrar dos vectores linealmenteindependientes y ortogonales a (a, b, c); por ejemplo, utilizando elproducto vectorial:

〈(b,−a, 0),(∣∣∣∣

b c−a 0

∣∣∣∣ ,−∣∣∣∣a cb 0

∣∣∣∣ ,∣∣∣∣a bb −a

∣∣∣∣)〉 .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Ejemplo

Consideremos los puntos P (1, 0, 0), Q(0, 1, 0) y R(0, 0, 1).Hemos calculado en el ejemplo anterior que la direccion del plano P +Q+Res el espacio vectorial

〈(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)〉 .Para calcular la direccion ortogonal, puede establecerse un sistema deecuaciones, o bien (por estar en dimension 3), utilizar el producto vectorial:

~PQ× ~PR =

∣∣∣∣∣∣

x y z−1 1 0−1 0 1

∣∣∣∣∣∣= x+ y + z

de modo que la direccion ortogonal al plano es 〈(1, 1, 1)〉 y su ecuaciongeneral es de la forma x+ y + z = d.Como el punto P (1, 0, 0) esta en el plano, su ecuacion general ha de ser

x+ y + z = 1 .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Ecuacion, dados tres puntos

El plano que pasa por los puntos P (p1, p2, p3), Q(q1, q2) y R(r1, r2, r3)admite la ecuacion: ∣∣∣∣∣∣∣∣

x y z 1p1 p2 p3 1q1 q2 q3 1z1 r2 r3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 .

Observacion

Recuerdese la formula para calcular un determinante, desarrollando por unafila o por una columna.

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Ecuacion, dados tres puntos

El plano que pasa por los puntos P (p1, p2, p3), Q(q1, q2) y R(r1, r2, r3)admite la ecuacion: ∣∣∣∣∣∣∣∣

x y z 1p1 p2 p3 1q1 q2 q3 1z1 r2 r3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 .

Observacion

Recuerdese la formula para calcular un determinante, desarrollando por unafila o por una columna.

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Ejemplo

La ecuacion del plano que pasa por los puntos P (2, 0, 0), Q(0, 2, 0) yR(0, 0, 2) tiene como ecuacion:

∣∣∣∣∣∣∣∣

x y z 12 0 0 10 2 0 10 0 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

x y z2 0 00 2 0

∣∣∣∣∣∣− 2

∣∣∣∣∣∣

x y 12 0 10 2 1

∣∣∣∣∣∣

= 4z − 2(4− 2x− 2y) = 4(x+ y + z − 2) .

Es decir, la ecuacion de tal plano es:

x+ y + z = 2 .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Rectas en el espacio

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Definicion

Dado un punto P del espacio y vector no nulo v, la recta que pasa por P conla direccion v es el conjunto de los puntos X que satisfacen:

X = P + λv

Ejemplo

Consideremos los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1).

Dado que ~PQ = (1, 1, 1), la recta que determinan; es decir, la unica rectaque pasa por P y Q, es el conjunto de puntos X(x, y, z) que satisfacen:

(x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 1) .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Definicion

Dado un punto P del espacio y vector no nulo v, la recta que pasa por P conla direccion v es el conjunto de los puntos X que satisfacen:

X = P + λv

Ejemplo

Dado que ~PQ = (1, 1, 1), la recta que determinan; es decir, la unica rectaque pasa por P y Q, es el conjunto de puntos X(x, y, z) que satisfacen:

(x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 1) .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Ecuaciones de las rectas en el espacio

Si P ≡ (p1, p2, p3) y v ≡ (v1, v2, v3), la recta que pasa por P con direccion ves el conjunto de puntos X ≡ (x, y, z) que satisfacen:

x = p1 + λ v1

y = p2 + λ v2

z = p3 + λ v3

Ejemplo

Dado que ~PQ = (1, 1, 1), las ecauciones parametricas de la recta P +Q son:

x = 1 + λ

y = λ

z = λ

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Si P ≡ (p1, p2, p3) y v ≡ (v1, v2, v3), la recta que pasa por P con direccion ves el conjunto de puntos X ≡ (x, y, z) que satisfacen:

x = p1 + λ v1

y = p2 + λ v2

z = p3 + λ v3

Ejemplo

Dado que ~PQ = (1, 1, 1), las ecauciones parametricas de la recta P +Q son:

x = 1 + λ

y = λ

z = λ

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

La recta que pasa por los puntos P (p1, p2, p3) y Q(q1, q2, q3) admite lasecuaciones:

x− p1q1 − p1

=y − p2q2 − p2

=z − p3q3 − p3

Ejemplo

La recta que pasa por los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1) es:

x− 1

2− 1=

1− 0=

1− 0,

es decir, que se trata de la recta de ecuaciones:

r ≡{x − 2y = 1

y − z = 0.

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

La recta que pasa por los puntos P (p1, p2, p3) y Q(q1, q2, q3) admite lasecuaciones:

x− p1q1 − p1

=y − p2q2 − p2

=z − p3q3 − p3

Ejemplo

La recta que pasa por los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1) es:

x− 1

2− 1=

1− 0=

1− 0,

es decir, que se trata de la recta de ecuaciones:

r ≡{x − 2y = 1

y − z = 0.

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Ecuacion general

Toda recta en el espacio es interseccion de dos planos, de modo que puedeescribirse como solucion de un sistema de ecuaciones del tipo:

r ≡{ax + by + cz = d

a′x+ b′y + c′z = d′

siendo los vectores (a, b, c) y (a′, b′, c′) linealmente independientes.

Ejemplo

Como hemos visto en el ejemplo anterior, la recta que pasa por los puntosP (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1) es el corte de los planos:

π1 ≡ x − 2y = 1 y π2 ≡ y − z = 0 .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Ecuacion general

Toda recta en el espacio es interseccion de dos planos, de modo que puedeescribirse como solucion de un sistema de ecuaciones del tipo:

r ≡{ax + by + cz = d

a′x+ b′y + c′z = d′

siendo los vectores (a, b, c) y (a′, b′, c′) linealmente independientes.

Ejemplo

Como hemos visto en el ejemplo anterior, la recta que pasa por los puntosP (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1) es el corte de los planos:

π1 ≡ x − 2y = 1 y π2 ≡ y − z = 0 .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Paralelismo y angulos

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Paralelismo de rectas y planos

Definicion

Dos rectas o dos planos son paralelos si tienen la misma direccion.Una recta es paralela a un plano si su direccion esta contenida en la del plano.

Dos rectas son paralelas si cualesquiera vectores directores de ambas sonproporcionales.Dos planos son paralelos si cualesquiera vectores normales de ambos sonproporcionales.

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Definicion

Dos rectas o dos planos son paralelos si tienen la misma direccion.Una recta es paralela a un plano si su direccion esta contenida en la del plano.

Dos rectas son paralelas si cualesquiera vectores directores de ambas sonproporcionales.Dos planos son paralelos si cualesquiera vectores normales de ambos sonproporcionales.

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Ejemplo

Los planos paralelos al plano 2x− y + z = 1 son los que vienen dados porecuaciones del tipo:

2x− y + z = d

siendo d ∈ R una constante cualquiera.

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Angulos entre rectas y planos

Definicion

Dados dos planos π y π′, el angulo que forman, que escribimos ∠(π, π′), sedefine como el angulo que forma una recta perpendicular a π con una rectaperpendicular a π′.

Definicion

Dada una recta r y un plano π, el angulo que forman, que escribimos ∠(r, π),se define como el angulo que forma r con su proyeccion ortogonal sobre π.

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Angulos entre rectas y planos

Definicion

Dados dos planos π y π′, el angulo que forman, que escribimos ∠(π, π′), sedefine como el angulo que forma una recta perpendicular a π con una rectaperpendicular a π′.

Definicion

Dada una recta r y un plano π, el angulo que forman, que escribimos ∠(r, π),se define como el angulo que forma r con su proyeccion ortogonal sobre π.

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Angulos

Ejemplo

El angulo que forman los planos π ≡ x+ y + z = 1 y el planoπ′ ≡ 2x− y − z = −3 es el angulo que forman sus vectores normales,(1, 1, 1) y (2,−1,−1).Es decir,

∠(π, π′) =π

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Distancias y areas

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Distancia de un punto a plano

Calculo

La distancia de un punto P (p1, p2, p3) al plano π de ecuacionax+ by + cz = d vale:

dist(P, π) =|ap1 + bp2 + cp3 − d|√

a2 + b2 + c2.

Ejemplo

La distancia del punto P (3, 1, 2) al plano π de ecuacion 2x+ 2y + 2z = −4vale:

dist(P, π) =|2 · 3 + 2 · 1 + 2 · 2− (−4)|√

22 + 22 + 22=

2√3=

8√3.

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Distancia de un punto a plano

Calculo

La distancia de un punto P (p1, p2, p3) al plano π de ecuacionax+ by + cz = d vale:

dist(P, π) =|ap1 + bp2 + cp3 − d|√

a2 + b2 + c2.

Ejemplo

La distancia del punto P (3, 1, 2) al plano π de ecuacion 2x+ 2y + 2z = −4vale:

dist(P, π) =|2 · 3 + 2 · 1 + 2 · 2− (−4)|√

22 + 22 + 22=

2√3=

8√3.

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Calculo

Sea r una recta que pasa por un punto Q con direccion 〈v〉.La distancia de un punto P a la recta r vale:

dist(P, r) =‖ ~PQ× v‖‖v‖

donde × denota el producto vectorial y ‖ ‖ el modulo de vectores.

Ejemplo

Sean los puntos P (1, 0, 0) y Q(0, 1, 0), y sea el vector v(−1, 0, 1).Segun la formula anterior, la distancia del punto P a la recta r = Q+ 〈v〉vale:

dist(P, r) =‖ ~PQ× v‖‖v‖ =

‖(1, 1, 1)‖√2

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Calculo

Sea r una recta que pasa por un punto Q con direccion 〈v〉.La distancia de un punto P a la recta r vale:

dist(P, r) =‖ ~PQ× v‖‖v‖

donde × denota el producto vectorial y ‖ ‖ el modulo de vectores.

Ejemplo

Sean los puntos P (1, 0, 0) y Q(0, 1, 0), y sea el vector v(−1, 0, 1).Segun la formula anterior, la distancia del punto P a la recta r = Q+ 〈v〉vale:

dist(P, r) =‖ ~PQ× v‖‖v‖ =

‖(1, 1, 1)‖√2

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Paralelogramos

Definicion

Cuatro puntos no alineados definen un cuadrilatero. Un cuadrilatero se diceparalelogramo si sus lados son paralelos dos a dos.

Area de un paralelogramo

El area del paralelogramo de vertices P,Q,R y S es el modulo del productovectorial de sus lados:

Area del paralelogramo = ‖ ~PQ× ~PS‖ .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Paralelogramos

Definicion

Cuatro puntos no alineados definen un cuadrilatero. Un cuadrilatero se diceparalelogramo si sus lados son paralelos dos a dos.

Area de un paralelogramo

El area del paralelogramo de vertices P,Q,R y S es el modulo del productovectorial de sus lados:

Area del paralelogramo = ‖ ~PQ× ~PS‖ .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Area de un paralelogramos

Ejemplo

Sea el paralelogramo de vertices P (0, 0, 0), Q(1, 1, 0), R(4, 1, 0) y S(3, 0, 0).

Los lados vienen determinados por los vectores ~PQ = (1, 1, 0) y~PS = (3, 0, 0), cuyo producto vectorial vale (0, 0,−3), de modo que el area

que encierra el paralelogramo es:

Area del paralelogramo = ‖(0, 0,−3)‖ = 3 .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Triangulos

Definicion

Tres puntos no alineados del espacio definen un triangulo.

En el espacio, se puede utilizar el producto vectorial para obtenerrapidamente el area de un triangulo:

Area de un triangulo

El area del triangulo de vertices P,Q y R es la mitad del modulo delproducto vectorial de sus lados ~PQ y ~PR

Area del triangulo =1

2‖ ~PQ× ~PR‖ .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Triangulos

Definicion

Tres puntos no alineados del espacio definen un triangulo.

En el espacio, se puede utilizar el producto vectorial para obtenerrapidamente el area de un triangulo:

El area del triangulo de vertices P,Q y R es la mitad del modulo delproducto vectorial de sus lados ~PQ y ~PR

2‖ ~PQ× ~PR‖ .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Ejemplo

Sea el triangulo de vertices P (0, 0, 0), Q(1, 1, 0) y R(3, 0, 0).

El producto vectorial de los lados ~PQ = (1, 1, 0) y ~PR = (3, 0, 0) es(0, 0,−3), de modo que el area que encierra el triangulo es:

2‖(0, 0,−3)‖ = 3

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

La esfera

Definicion

Dados un punto C y un numero positivo r, la esfera de centro C y radio r esel lugar geometrico de los puntos del espacio cuya distancia al punto C esigual a r.Si C(c1, c2, c3), la condicion anterior se expresa en coordenadas:

(x− c1)2 + (y − c2)2 + (z − c3)2 = r2 .

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

Bloque:Geometrıa

Tema:Geometrıa en

el espacio

HEDIMA

Planos

Rectas

Distancias yareas

Bibliografıa

V. BOLOS et. AL., Algebra Lineal y Geometrıa (Manuales UEX - 50,2007).

J. BURGOS, Algebra Lineal y Geometrıa Cartesiana (Mc Graw Hill,2002).

J. COLERA, M.J. OLIVEIRA, Matematicas II, Bachillerato (Anaya,2009).

F. GARZO et. AL., Matematicas (Mc Graw Hill, 1992).

V. GONZALEZ VALLE, Examenes resueltos de Selectividad, (2011).http://www.vicentegonzalezvalle.es/.

Manuales - matematicas.unex.esmatematicas.unex.es/~pjimenez/matematicasII_bachillerato.pdf ·...

Documents

Transcript of Manuales - matematicas.unex.esmatematicas.unex.es/~pjimenez/matematicasII_bachillerato.pdf ·...

Análisis Matemático I - matematicas.unex.esmatematicas.unex.es/~montalvo/Grado en Matematicas/Analisis... · del Teorema 2, no se exige la diferenciabilidad de f en el segmento

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para …matematicas.unex.es/~pjimenez/hedima/12espacio.pdfBloque: Geometr a Tema: Geometr a en el espacio HEDIMA Planos Ecuaciones de los

· PDF fileorganizado el CIEMAT y que pen- ... -Quimica Analítica de los Conta- minantes Medioambientales. El ... el campo de los contaminantes am

Tecnología, Ciencia, Educación · minantes reactivos emitidos por fuentes es que IOS efectos de la turbulcncia atmosférica estén re. ... (.3)_ terminos generales, IOS modelos

Procesos Estocásticos - matematicas.unex.esmatematicas.unex.es/~paloma/HTM/PROBLEMA.pdf · university-logo Martingalas Procesos Estocásticos Licenciatura en Matemáticas, 2010/11

matematicas.unex.esmatematicas.unex.es/~navarro/gregoriano/calendarios.pdf · Así aparecen el calendario solar, lunar, sagrado maya, luni-solares, como el israelita, musulmán, ...

Planificación creativa y ordenada con mapas mentalesww2.eticentre.org/es/Noticias/Documents/PPT... · con mapas mentales Speedplanning Pere Jiménez Creis pjimenez@idi.caib.es 639655339.

matematicas.unex.esmatematicas.unex.es/~navarro/gregoriano/santoentierro.docx · Web viewCofradía del Santo Entierro y su Santísima Madre de las Lágrimas Teodoro A. López López

HEDIMA Herramientas digitales de auto …matematicas.unex.es/~pjimenez/hedima/09sistemas.pdfSistema de ecuaciones lineales HEDIMA Conceptos b asicos Expresi on matricial Resoluci on

matematicas.unex.esmatematicas.unex.es/~navarro/juliopalacios.pdf · la teoria dc Einstein. En cambio. de la impresión que mi articulo produjo entre IOS fisicos norteamericanos que

ASPECTOS GRÁFICOS PARA LOS OBJETOS DIGITALESmatematicas.unex.es/~pjimenez/jornada/aspectos_graficos.pdfEl color: algunos ejemplos FORMAS GEOMÉTRICAS: Los polígonos. ... Combinar

consumerismo173and Maquetación 1Volkswagen, líder mundial del sector de la auto-moción, reconoce haber manipulado los vehículos diésel para evitar controles de emisiones conta-minantes,

matematicas.unex.esmatematicas.unex.es/~pabmonf/PDFS/poster_COORDINACION3.pdf · Conocer la situación actual de continuidad de los cuidados entre los EAP y ESM del área metropolitana

Apuntes elaborados por - matematicas.unex.esmatematicas.unex.es/~navarro/algebralineal/meneses.pdf · ALGEBRA LINEAL JUAN GONZ´ ALEZ-MENESES´ 1 Tema 1. Matrices. Determinantes.

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matem aticasmatematicas.unex.es/~pjimenez/hedima/08matrices.pdfHerramientas digitales de auto-aprendizaje para Matem aticas HEDIMA,

Pedro Sancho de Salas Enero de 2001 - matematicas.unex.esmatematicas.unex.es/~sancho/GeometriaAlgebraica/libro0.pdf · informacion. Es decir, el f´ısico cuenta con unas funciones,

Apuntes de Grupos de Lie - matematicas.unex.esmatematicas.unex.es/~ricarfr/LibroGLie.pdf · Algebra de Lie de un grupo de Lie. ... Idem no conexos. ... llamamos aplicaci on lineal

Modelos - matematicas.unex.esmatematicas.unex.es/~jmf/Archivos/MODELOS_LINEALES.pdf · Modelos Lineales Colección manuales uex - 56 Jesús Montanero Fernández 56 Álgebra lineal

Geometría Algebraica - matematicas.unex.esmatematicas.unex.es/~sancho/LibroGeometriaAlgebraica/geometria0.pdf · Índice general I Álgebra Conmutativa 13 Introducción 15 0. Grupos,

Tema 3: Diseño de experimentos - matematicas.unex.esmatematicas.unex.es/~jmf/Archivos/Tema_3_Diseño_experimentos.pdf · Tema 3: Diseño de experimentos Grado en Fisioterapia, 2010/11