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Manuales HEDIMA(HERRAMIENTAS DIGITALES DE MATEMÁTICAS)(HERRAMIENTAS DIGITALES DE MATEMÁTICAS)

�DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA 06071-BADA JOZ (Spain)

Universidad de Extremadura

Departamento de Matemáticas

Grupo HEDIMA

Temas básicos de Análisis Matemático, Álgebra Lineal y

Geometría

C. Calvo Jurado, C. Gutiérrez Pérez, C. Marín Porgueres, P. Martín Jiménez, R. Martínez

Quintana, P. Monfort Vinuesa, J. Navarro Garmendia, I. Ojeda Martínez de Castilla.

http://matematicas.unex.es/HEDIMA

Badajoz, octubre de 2012

Índice general

Portada 1

Índice general 5

Introducción 7

Parte 1. Análisis Matemático 10

1. Continuidad 11

2. Derivadas 64

3. Aplicaciones de las derivadas 93

4. Gráficas de funciones 119

5. Cálculo de primitivas 160

6. Integral definida 207

7. Aplicaciones de la integral 224

Parte 2. Álgebra lineal y geometría 250

8. Matrices 251

9. Determinantes 347

10. Vectores en el espacio tridimensional 457

11. Geometría en el plano 508

12. Geometría en el espacio 543

Introducción

El presente material es el resultado del grupo de trabajo HEDIMA (Herramientas Digitales de Matemáticas), forma-do por profesores del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Extremadura. Incluye exposiciones mediantediapositivas de un conjunto de temas de Análisis Matemático y Álgebra Lineal y Geometría básicos para que los alum-nos de primer curso de enseñanza universitaria de ingeniería o ciencias pueda entender y manejar otros conceptosmás avanzados de Matemáticas o de otras materias relacionadas. Los temas desarrollados constituyen el curriculumde la asignatura Matemáticas II de bachillerato en educación secundaria. En este sentido, se podría considerar comoun curso de nivelación para alumnos de nuevo ingreso en la universidad.

Complementando este material expositivo, el grupo HEDIMA desarrolla un conjunto de cuestionarios de auto-aprendizaje y autoevaluación que están disponibles en la plataforma Moodle de la Universidad de Extremadura. Parael uso de estos cuestionarios, es necesario ser usuario de dicha plataforma (campusvirtual.unex.es), bien como miembrode la Universidad de Extremadura (AVUEX), bien como miembro de algún instituto de bachillerato de la ComunidadAutónoma de Extremadura (AVEXTENSA), así como solicitar autorización escribiendo un correo electrónico a [email protected].

Los temas incluyen los conceptos teóricos y están ilustrados con numerosos ejemplos. Pueden además ampliarsecon prácticas de ordenador desarrolladas en Octave/MATLAB (cálculo científico y visualización de datos) y MAXIMA

7

http://campusvirtual.unex.es

(cálculo simbólico y numérico) por profesores del Departamento de Matemáticas dentro del proyecto SMAD (Soft-ware Matemátio Aplicado a la Docencia). Junto con las prácticas, es posible encontrar tutoriales de ayuda sobre losprogramas utilizados.

Badajoz, octubre de 2012.

http://ocw.unex.es/node/487

Parte 1

Análisis Matemático

1. Continuidad

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:

lımite ycontinuidad

HEDIMA

Definicion defuncion

Lımite de unafuncion

Definicion delımite

Propiedadesde los lımites

Calculo delımites

Continuidadde unafuncion

Definicion decontinuidad

Propiedadeselementales

Tipos de dis-continuidad

Continuidaden unintervalo

Herramientas digitales de

auto-aprendizaje para Matematicas

HEDIMA, Grupo de Innovacion Didactica

Departamento de Matematicas


Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


HEDIMA





Calculo delımites






Bloque: Analisis Matematico

Tema: Funciones. Lımites. Continuidad

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


HEDIMA





Calculo delımites






Indice

Definicion de funcion

Lımite de una funcion

Definicion de lımite

Propiedades de los lımites

Calculo de lımites

Continuidad de una funcion

Definicion de continuidad

Propiedades elementales

Tipos de discontinuidad

Continuidad en un intervalo

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


HEDIMA





Calculo delımites






1. Definicion de funcion

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


HEDIMA





Calculo delımites






Definicion de funcion

Definicion

Dados dos conjuntos A y B, una funcion o aplicacion entre A y B es unaley que asocia a cada elemento de A un unico elemento de B. Se denota por

F : A→ B

a→ b

Definicion

Se llama funcion real de variable real a toda aplicacion entre dos conjuntos Ay B de R

F : A→ B

x→ f(x)

A f(x) se le llama imagen por f de x y se dice que x es la antiimagen def(x)

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


HEDIMA





Calculo delımites






Definiciones

Sea f una funcion real de variable real:

Dominio

Llamamos dominio de f al subconjunto de R donde la funcion esta definida.Se denota por Domf .

Imagen

Llamamos imagen de f al subconjunto de R formado por todos los numerosque son imagen por f de algun elemento de Domf . Se denota por Imf ,

Imf = {y ∈ R : y = f(x) para algun x ∈ Domf}

Grafica

Llamamos grafica de f al subconjunto de R2, denotado por Gf , siguiente

Gf = {(x, f(x)) ∈ R2 : x ∈ Domf}

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


HEDIMA





Calculo delımites






Ejemplo de Funcion, Dominio, Imagen y Grafica

Ejemplo

Consideramos la siguiente funcion:

F : R→ Rx→ f(x) =

√x

Dominio: {0} ∪ R+

Imagen: {0} ∪ R+

Grafica:

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


HEDIMA





Calculo delımites






Operaciones

Operaciones con funciones

Dadas dos funciones f, g : A→ R, definimos las siguientes operaciones:

Suma:

f + g : A→ Rx→ f(x) + g(x)

Producto:

f · g : A→ Rx→ f(x) · g(x)

Cociente: siempre que g(x) 6= 0

f/g : A→ Rx→ f(x)/g(x)

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


HEDIMA





Calculo delımites






Ejemplos de operaciones con funciones

Ejemplos

Suma: la suma de las funciones f(x) = x2 y g(x) = 2x2 + 3 es lafuncion (f + g)(x) = 3x2 + 3

Producto: el producto de las funciones f(x) = 3x y g(x) = cos(x) es lafuncion (f · g)(x) = 3x cos(x)

Cociente: el cociente de las funciones f(x) = x3 − 5 y g(x) = 3 es la

funcion(

fg

)(x) = x3−5

3

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


HEDIMA





Calculo delımites






2. Lımite de una funcion

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


HEDIMA





Calculo delımites







Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


HEDIMA





Calculo delımites







Definicion

Una funcion f(x) tiene lımite L en el punto x = a, si para todo numero realε > 0, existe otro numero real δ > 0, tal que si

0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


HEDIMA





Calculo delımites






Interpretacion grafica de la definicion de lımite

Para cada ε > 0:

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


HEDIMA





Calculo delımites







existe un δ > 0:

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


HEDIMA





Calculo delımites







tal que si 0 < |x− a| < δ:

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


HEDIMA





Calculo delımites







entonces |f(x)− L| < ε:

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


HEDIMA





Calculo delımites






Ejemplos del calculo de lımites

Ejemplo

lımx→2

(x2 + x+ 1) = 7

Ejemplo

lımx→∞

2x2 + x+ 2

x2= lım

x→∞

(2 +

1

x+

2

x2

)= 2

Ejemplo

lımx→1

x2 − 1

x− 1= lım

x→1

(x+ 1)(x− 1)

x− 1= lım

x→1(x+ 1) = 2

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


HEDIMA





Calculo delımites







Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


HEDIMA





Calculo delımites







(Unicidad del lımite) Si una funcion tiene lımite en un punto, este esunico.

Si los lımites laterales de una funcion en un punto son distintos, entoncesla funcion no tiene lımite en el.

Si una funcion tiene lımite distinto de cero en un punto, entonces existeun entorno del mismo en el que los valores que toma la funcion tienen elmismo signo que el lımite.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


HEDIMA





Calculo delımites






Operaciones con lımites

Sean f y g dos funciones tales que existan lımx→a f(x) y lımx→a g(x), ysea c un numero real, entonces:

Adicion:

lımx→a(f + g)(x) = lımx→a f(x) + lımx→a g(x)

lımx→a(−f)(x) = − lımx→a f(x)

lımx→a(f − g)(x) = lımx→a f(x) − lımx→a g(x)

Multiplicacion:

lımx→a(fg)(x) = lımx→a f(x) · lımx→a g(x)

lımx→a

(1f

)(x) = 1

lımx→a f(x)

lımx→a

(fg

)(x) =

lımx→a f(x)lımx→a g(x)

lımx→a(cf)(x) = c lımx→a f(x)

Potenciacion:

lımx→a f(x)g(x) = lımx→a f(x)lımx→a g(x)

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


HEDIMA





Calculo delımites






Ejemplos de operaciones con lımites

Ejemplos

Adicion: dadas las funciones f(x) = x2 y g(x) = 2x2 + 3, se tiene que:

lımx→2

(f + g)(x) = lımx→2

3x2 + 3 = lımx→2

f(x) + lımx→2

g(x)

= lımx→2

x2 + lımx→2

2x2 + 3 = 4 + 11 = 15

Multiplicacion: dadas las funciones f(x) = 3x y g(x) = cos(x), se tieneque:

lımx→3

(f · g)(x) = lımx→3

3x cos(x) = lımx→3

f(x) · lımx→3

g(x)

= lımx→3

3x · lımx→3

cos(x) = 9 cos(3)

Potenciacion: dadas las funciones f(x) = 2x3 y g(x) = x2, se tiene que:

lımx→1

(f(x))g(x) = lımx→1

(2x3)x2

= lımx→1

f(x)lımx→1 g(x)

= lımx→1

(2x3)lımx→1 x2

= 21 = 2

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


HEDIMA





Calculo delımites






Operaciones con lımites

Las relaciones anteriores son ciertas siempre que tengan sentido las opera-ciones definidas. En caso contrario, no es posible obtener el lımite del primermiembro a partir del lımite del segundo.

Cuando esto suceda diremos que se trata de un caso de indetermina-cion. Esto significa que la aplicacion directa de las operaciones anteriores esimposible.

Los casos de indeterminacion son:

k

0,

0

0,∞∞ , 0 · ∞, ∞−∞, 1∞, ∞0, 00

Bloque:Analisis

Matematico

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Calculo delımites






Calculo de lımites

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Matematico

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Calculo delımites






Calculo de lımites de funciones racionales

a) Indeterminacionk

0, k 6= 0

Esta indeterminacion se elimina calculando los lımites laterales. Si soniguales, la funcion tiene lımite +∞ o −∞, en caso contrario no existe ellımite.

Ejemplo

La aplicacion de la propiedad del lımite de un cociente a la funcion

f(x) =1

x− 1,

en el punto x = 1 da 1/0, que carece de sentido. Al calcular los lımiteslaterales obtenemos:

lımx→1−

1

x− 1= −∞ y lım

x→1+

1

x− 1= +∞,

como son distintos, la funcion no tiene lımite en ese punto.

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Matematico

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Calculo delımites







b) Indeterminacion0

0

Esta indeterminacion desaparece descomponiendo en factores elnumerador y denominador y simplificando.

Ejemplo


f(x) =x3 − 1

x− 1,

en el punto x = 1 da 0/0, que carece de sentido. Descomponiendo enfactores el numerador y el denominador y simplificando obtenemos:

lımx→1

x3 − 1

x− 1= lım

x→1

(x− 1)(x2 + x+ 1)

x− 1= lım

x→1(x2 + x+ 1) = 3.

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Calculo delımites







c) Indeterminacion∞∞

Esta indeterminacion desaparece dividiendo numerador y denominadorpor la potencia maxima del denominador.

Ejemplo


f(x) =4x2 + x− 1

x2 + 1,

cuando x tiende a ∞ da ∞/∞, que carece de sentido. Dividiendo numeradory denominador por x2 obtenemos:

lımx→∞

4x2 + x− 1

x2 + 1= lım

x→∞

4− 1x− 1

x2

1 + 1x2

= 4.

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Calculo delımites






Calculo de lımites de funciones irracionales

a) Indeterminaciones0

0y ∞−∞

Esas indeterminaciones en funciones con radicales desaparecenmultiplicando y dividiendo la funcion por la expresion radical conjugada.

Ejemplo


f(x) =x

1−√

1− x ,

en el punto x = 0 da 0/0, que carece de sentido. Al multiplicar y dividir porel conjugado obtenemos:

lımx→0

x

1−√

1− x = lımx→0

x(1 +√

1− x)

(1−√

1− x)(1 +√

1− x)

= lımx→0

x(1 +√

1− x)

1− (1− x)= lım

x→0(1 +

√1− x) = 2.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


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Calculo delımites






Calculo de lımites de funciones irracionales

b) Indeterminacion∞∞

Esta indeterminacion en funciones con radicales desaparece dividiendonumerador y denominador por la potencia maxima del denominador.

Ejemplo

lımx→∞

√x2 + x

x= lım

x→∞

√1 + 1

x

1= 1.

Bloque:Analisis

Matematico

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Calculo delımites






3. Continuidad de una funcion

Bloque:Analisis

Matematico

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Calculo delımites







Bloque:Analisis

Matematico

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Calculo delımites







Definicion

Una funcion es continua en un punto si existe lımite en el y coincide con elvalor que toma la funcion en ese punto, es decir,

f continua en x = a⇔ lımx→a

f(x) = f(a)

La continuidad de f en x = a implica que se cumplan estas trescondiciones:

Existe el lımite de la funcion f(x) en x = a

La funcion esta definida en x = a, es decir, existe f(a)

Los dos valores anteriores coinciden

Si una funcion no es continua en un punto, diremos que es discontinua enese punto.

Bloque:Analisis

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Calculo delımites






Ejemplo de funcion continua

Ejemplo

La funcion f(x) = x2−1x+1

es continua en x = 1 porque

Existelımx→1 f(x) = lımx→1

x2−1x+1

= lımx→1(x−1)(x+1)

x+1= lımx→1 x− 1 = 0

La funcion esta definida en x = 1 puesto que su dominio de definicion estodo R

f(1) = 0 por tanto el valor del lımite coincide con f(1)

Bloque:Analisis

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Calculo delımites






Otra definicion de continuidad

Definicion

Una funcion f es continua en el punto x = a si a cada numero real positivo εse puede asociar otro numero real positivo δ, tal que,

|x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ε

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Ejemplo grafico de discontinuidad

Funcion discontinua: f(x)=[x] (parte entera)

Bloque:Analisis

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Ejemplo grafico de continuidad

Funcion continua: f(x) = 2 sin(x2/3)

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Propiedades elementales

Bloque:Analisis

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Propiedades de las funciones continuas

1. Unicidad del lımite.

Si una funcion es continua en un punto, entonces tiene lımite en esepunto.

2. Teorema del signo

Si una funcion es continua en un punto x = a y f(a) 6= 0, entoncesexiste un entorno simetrico de x = a en el que los valores que toma ftienen el mismo signo que f(a).

3. Anulacion de la funcion

Si una funcion continua toma valores positivos y negativos en cualquierentorno simetrico del punto x = a, la funcion se anula en el.

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Calculo delımites






Propiedades de las funciones continuas

4. Acotacion de la funcion

Si una funcion es continua en el punto x = a, entonces esta acotada enese punto, es decir, existe un entorno simetrico de x = a en el que lafuncion esta acotada.

5. Continuidad y operaciones

Las operaciones con funciones continuas en x = a dan como resultadootra funcion continua en un entorno simetrico de x = a, siempre quetenga sentido la operacion.

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Calculo delımites







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Calculo delımites






Definicion de discontinuidad

Definicion

Una funcion es discontinua en un punto cuando no existe lımite en el o,existiendo, no coincide con el valor de la funcion en el mismo.

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Discontinuidad evitable

Una funcion tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existelımite en el y no coincide con el valor de la funcion en el mismo.El valor que deberıamos dar a la funcion en dicho punto para que fueracontinua en el se llama verdadero valor de la funcion en el mismo.

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Ejemplo de discontinuidad evitable

Ejemplo

Consideremos la siguiente funcion:

f(x) =

{x2−1x−1

si x 6= 1

3 si x = 1

Esta funcion es continua en todos los puntos distintos de x = 1. Veamos quesucede en x = 1:

lımx→1

x2 − 1

x− 1= lım

x→1

(x+ 1)(x− 1)

x− 1= lım

x→1(x+ 1) = 2.

Puesto que f(1) = 3 y el lımite en ese punto vale 2, la funcion es discontinuaen ese punto. Ahora bien, si en vez de f(1) = 3, hubieramos tomadof(1) = 2, la funcion f serıa continua en toda la recta real. En este sentidodecimos que la discontinuidad era evitable.

Bloque:Analisis

Matematico

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Calculo delımites







Discontinuidad inevitable

Una funcion tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando existenlos lımites laterales en el y son distintos.Si f es discontinua en el punto x = a, el valor

| lımx→a+

f(x)− lımx→a−

f(x)|

se llama salto de la funcion en ese punto, y puede ser finito, si es un numeroreal, o infinito.

Bloque:Analisis

Matematico

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Calculo delımites






Ejemplo de discontinuidad inevitable

Ejemplo

Consideremos la siguiente funcion:

f(x) =

1 si x > 0

0 x = 0

−1 si x < 0

Es evidente que la funcion es discontinua en x = 0. Los lımites laterales son:

lımx→0+

f(x) = 1 y lımx→0−

f(x) = −1.

Puesto que los lımites laterales son distintos, no puede atribuirse a la funcionningun valor para que sea continua. Diremos que se trata de unadiscontinuidad inevitable.

Bloque:Analisis

Matematico

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Continuidad en un intervalo

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


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Definicion de continuidad en un intervalo

Definicion

Una funcion es continua en un intervalo abierto (a, b), si lo es en cada unode sus puntos.

Definicion

Una funcion es continua en un intervalo cerrado [a, b], si lo es en todos lospuntos del intervalo abierto (a, b) y ademas es continua por la derecha en a ypor la izquierda en b.

Bloque:Analisis

Matematico

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Calculo delımites






Ejemplos de continuidad en un intervalo

Ejemplo

La funcion f(x) = x2 es continua en cualquier intervalo cerrado o abierto dela recta real.

Ejemplo

La funcion f(x) = 1x

no es continua en el intervalo [−1, 1], porque noesta definida en el punto x = 0.

Bloque:Analisis

Matematico

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HEDIMA





Calculo delımites






Ejemplos de continuidad en un intervalo

Ejemplo

La funcion

f(x) =

{x2 si x < 1

2 si x ≥ 1

no es continua en el intervalo [0, 1], porque no es continua por la izquierdaen x = 1, ya que

lımx→1−

f(x) = 1 6= 2 = f(1).

Sin embargo, esta funcion sı es continua en cualquier intervalo de la forma[1, b], ya que en el punto x = 1 es continua por la derecha, pues

lımx→1+

f(x) = 2 = f(1).

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


HEDIMA





Calculo delımites






Teoremas

Teorema [Weierstrass]

Si una funcion es continua en un intervalo cerrado [a, b], tiene maximo ymınimo en ese intervalo.

Interpretacion intuitiva

Intuitivamente, esto significa que la grafica de la funcion debe tener un puntomas alto o igual que los demas y otro mas bajo o igual que los restantes.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


HEDIMA





Calculo delımites






Ejemplo del Teorema de Weierstrass

Ejemplo

La funcion f(x) = x2 − x+ 1 es continua en el intervalo [1/2, 1] entoncespor el Teorema de Weierstrass podemos asegurar que tiene maximo y mınimoen ese intervalo.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


HEDIMA





Calculo delımites






Teoremas

Teorema [Bolzano]

Si una funcion es continua en un intervalo cerrado [a, b], y toma valores designos opuestos en los extremos, entonces existe al menos un punto interior cdel intervalo en el que f(c) = 0.

Interpretacion intuitiva

Intuitivamente, esto significa que la grafica de la funcion corta al eje deabscisas, ya que pasa por un punto situado por debajo de el a otro que seencuentra por encima o recıprocamente.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Funciones:


HEDIMA





Calculo delımites






Ejemplo del Teorema de Bolzano

Ejemplo

La funcion f(x) = x3 + x2 − 7x+ 1 es continua en el intervalo [−1, 1] ytoma valores de signos opuestos en los extremos:

f(−1) = 8 y f(1) = −4,

entonces por el Teorema de Bolzano podemos asegurar que existe un punto cen el interior de ese intervalo de modo que la funcion se anula en el, es decirf(c) = 0

Ejemplo de aplicabilidad del Teorema de Bolzano

Podemos asegurar la existencia de al menos una solucion de la ecuacion:

x3 + x− 5 = 0,

en el intervalo [1, 2] utilizando el Teorema de Bolzano, pues la funcionf(x) = x3 + x− 5 es continua en dicho intervalo y f(1) = −3 y f(2) = 5.

2. Derivadas

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto

Interpretaciongeometrica

Funcionderivada

Derivadaselementales

Algebra dederivadas

TeoremasFundamenta-les del CalculoDiferencial

Teorema deRolle

Teorema delvalor mediode Lagrange

Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy

Regla deL’Hopital






Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital


Tema: Derivadas

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital

Indice

Derivada en un punto

Interpretacion geometrica

Funcion derivada

Algebra de derivadas

Regla de la cadena

Tabla de derivadas

Teoremas Fundamentales del Calculo Diferencial

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital


Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital


Dada una funcion f : D ⊆ R→ R, se dice que es derivable en a ∈ R, siexiste y es finito el siguiente lımite

lımh→0

f(a+ h)− f(a)

h

(equivalente a lım

x→a

f(x)− f(a)

x− a

)

El valor de este lımite se denomina derivada de f(x) en a y se denota por

f ′(a) odf

dx(a)

De modo que:

Definicion

f ′(a) = lımh→0

f(a+ h)− f(a)

h

o bien

f ′(a) = lımx→a

f(x)− f(a)

x− a

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital


Ejemplo

Calculemos la derivada de f(x) = x2 en el punto a = 1:

f ′(1) = lımh→0

f(1 + h)− f(1)

h=

= lımh→0

(1 + h)2 − 1

h=

= lımh→0

1 + h2 + 2h− 1

h=

= lımh→0

h(h+ 2)

h=

= lımh→0

h+ 2 = 2

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital


Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital


La derivada de una funcion f(x) en un punto a es un valor numerico queindica la pendiente de la recta tangente a la grafica de f(x) en el punto deabcisa x = a.Por tanto, la ecuacion de esta recta tangente se escribe

Recta tangente a la grafica de f(x) en x = a

y − f(a) = f ′(a)(x− a)

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital


Ejemplo

La recta tangente a la funcion f(x) = x2 en el punto a = 1 tiene la siguienteecuacion:

y − f(1) = f ′(1)(x− 1)

es decir,y − 1 = 2(x− 1)

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital

Funcion derivada

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital

Funcion derivada

La funcion derivada f ′(x) de una funcion dada f(x) es la que asigna a cadavalor de x el valor de la derivada en ese punto

Funcion derivada

f ′(x) = lımh→0

f(x+ h)− f(x)

h

Si la funcion f ′(x) es derivable, podemos calcular su derivada, quellamaremos derivada segunda y denotaremos f ′′(x) o f2)(x). De formasimilar se definen la derivadas sucesivas tercera, cuarta, etc.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital

Funcion derivada

Ejemplos de derivadas de funciones elementales

f(x) = K ∈ R f ′(x) = 0f(x) = Kx (K ∈ R) f ′(x) = Kf(x) = xn (n 6= −1) f ′(x) = nxn−1

Ejemplo

Veamos cuales son las derivadas de las siguientes funciones en a = 3

f(x) = 45 f ′(x) = 0 f ′(3) = 0f(x) = 34x f ′(x) = 34 f ′(3) = 34f(x) = x5 f ′(x) = 5x4 f ′(3) = 5 · 34

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital

Funciones derivadas elementales

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital


Funcion seno

y = sen(x) y′ = cos(x)

Funcion coseno

y = cos(x) y′ = −sen(x)

Funcion tangente

y = tg(x) y′ =1

cos2(x)

Funcion logaritmo

y = L(x) y′ =1

x

Funcion exponencial

y = ax y′ = ax · L(a)

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital


Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital


Suma de funciones

(f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x)

Producto de una funcion por un numero λ

(λf(x))′ = λf ′(x)

Producto de funciones

(f(x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)

Cociente de funciones(f(x)

g(x)

)′=f ′(x) · g(x)− g′(x) · f(x)

(g(x))2

Composicion de funciones (regla de la cadena)

(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x)

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital


Ejemplos

(x2 + sen(x))′ = 2x+ cos(x)

(3 · sen(x))′ = 3 · cos(x)

(x2 · sen(x))′ = 2xsen(x) + x2 cos(x)(

x2

sen(x)

)′=

2xsen(x)− x2 cos(x)

(sen(x))2

(sen(x2))′ = cos(x2) · 2x(cos(x3))′ = −sen(x3) · 3x2

(tg(x2))′ =1

cos2(x2)· 2x

(L(x4))′ =1

x4· 4x3

(3x2

)′ = 3x2 · L(3) · 2x

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital

Teoremas Fundamentales

del Calculo Diferencial

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital


Teorema

Si una funcion f(x) es derivable en un punto a entonces es continua en esepunto.La implicacion contraria no es cierta, es decir, una funcion puede sercontinua en un punto y no ser derivable en ese punto

Ejemplo

f(x) = |x| es continua en a=0 pero no es derivable.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital

Teorema de Rolle

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital


Teorema de Rolle

Si una funcion f : D ⊆ R −→ R es

continua en [a, b] ⊆ D,derivable en (a, b),

f(a) = f(b)

entonces existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0

Ejemplo

Como f(x) = 2x2 − 8x + 11es continua y derivable en [1, 3]y f(1) = f(3), entonces existec = 2 ∈ [1, 3] tal que f ′(2) = 0

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital

Teorema de Lagrange

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital


Teorema del valor medio de Lagrange

Si una funcion f : D ⊆ R −→ R es

continua en [a, b] ⊆ D,derivable en (a, b),

}entonces existe c ∈ (a, b) tal que

f ′(c) = f(b)−f(a)b−a

Ejemplo

Como f(x) = 2x2− 8x+ 11 escontinua y derivable en [1, 4],existe c = 2′5 ∈ [1, 4] tal quef(4)−f(1)

4−1= 2 = f ′(2′5)

Es decir, existe un punto c = 2′5 en donde la pendiente de la recta tangentees igual que la pendiente de la recta que pasa por (1, f(1)) y (4, f(4)).

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital

Teorema de Cauchy

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital


Teorema del valor medio generalizado de Cauchy

Dadas dos funciones f : D ⊆ R −→ R y g : D ⊆ R −→ R, si

f y g son continuas en [a, b] ⊆ D,f y g son derivables en (a, b),

entonces existe c ∈ (a, b) tal que

f ′(c)(g(b)− g(a) = g′(c)(f(b)− f(a))

Si en lo anterior g′(c) no es cero, entonces se puede expresar como

f(b)− f(a)

g(b)− g(a)=f ′(c)

g′(c)

es decir, el cociente de las diferencias en los extremos es igual al cociente delas derivadas en el algun punto intermedio.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital

Regla de L’Hopital

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital


Un entorno reducido de a es un intervalo centrado en a al que se haeliminado el punto a, por ejemplo, (a− r, a) ∪ (a, a+ r), con r > 0.

Regla de L’Hopital

Dadas dos funciones f : D ⊆ R −→ R y g : D ⊆ R −→ R, si

f y g son derivables en un entorno reducido del punto a ∈ D,

O bien f(a) = g(a) = 0, o bien f(a) = g(a) = ±∞

g′(x) no se anula en el entorno reducido,

∃ lımx→a

f ′(x)

g′(x),

entonces existe lımx→a

f(x)

g(x)y

lımx→a

f(x)

g(x)= lım

x→a

f ′(x)

g′(x)

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Derivadas

HEDIMA

Derivada enun punto


Funcionderivada


Algebra dederivadas


Teorema deRolle



Regla deL’Hopital


La Regla de L’Hopital es una herramienta para calcular lımites quepresentan indeterminaciones del tipo 0/0 o ±∞∞ .

Ejemplo

Para calcular el siguiente lımite

lımx→0

sen(x)

x

podemos utilizar la Regla de L´Hopital:

lımx→0

sen(x)

x= lım

x→0

sen′(x)

x′= lım

x→0

cos(x)

1= 1

La regla tambien es valida para calcular lımites laterales. En este caso,sera necesario que las dos funciones f(x) y g(x) esten definidas a la derechao a izquierda del punto a, segun el lımite lateral que queramos calcular. Porejemplo:

Ejemplo

lımx→0+

L(x)

x= lım

x→0+

L′(x)

x′= lım

x→0+

1/x

1=∞

3. Aplicaciones de las derivadas

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA

Crecimiento ydecrecimiento

Maximos ymınimos

Concavidad yconvexidad

Puntos deinflexion

Problemas deoptimizacion






Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA


Maximos ymınimos


Puntos deinflexion



Tema: Aplicaciones de la derivada

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA


Maximos ymınimos


Puntos deinflexion


Indice

Crecimiento y decrecimiento

Maximos y mınimos

Concavidad y convexidad

Puntos de inflexion

Problemas de optimizacion

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA


Maximos ymınimos


Puntos deinflexion



Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA


Maximos ymınimos


Puntos deinflexion



Dada una funcion f : D ⊆ R −→ R y un intervalo I ⊆ Df es creciente en I si

para todo x, y ∈ I

si x < y =⇒ f(x) ≤ f(y)

f es decreciente en I si

para todo x, y ∈ I

si x < y =⇒ f(x) ≥ f(y)

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA


Maximos ymınimos


Puntos deinflexion



Si f : D ⊆ R −→ R es derivable en I ⊆ DCondicion necesaria y suficiente para que f sea creciente en I

f ′(x) ≥ 0 para todo x, y ∈ I

m

f es creciente en I

Condicion necesaria y suficiente para que f sea decreciente en I

f ′(x) ≤ 0 para todo x, y ∈ I

m

f es decreciente en I

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA


Maximos ymınimos


Puntos deinflexion


Maximos y mınimos

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA


Maximos ymınimos


Puntos deinflexion


Maximos y mınimos relativos

Dada una funcion f : D ⊆ R −→ R

f alcanza un maximo relativo en a ∈ D

si ∃ δ > 0 tal que si

x ∈ (a− δ, a+ δ) ⊂ Dentonces

f(x) ≤ f(a)

f alcanza un mınimo relativo en a ∈ D

si ∃ δ > 0 tal que si

x ∈ (a− δ, a+ δ) ⊂ Dentonces

f(x) ≥ f(a)

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA


Maximos ymınimos


Puntos deinflexion


Maximos y mınimos absolutos

Dada una funcion f : D ⊆ R −→ R

f alcanza un maximo absoluto en a ∈ D

si f(x) ≤ f(a) para todo x ∈ D

f alcanza un mınimo absoluto en a ∈ D

si f(x) ≥ f(a) para todo x ∈ D

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA


Maximos ymınimos


Puntos deinflexion


Condicion necesaria y suficiente para extremo relativo

Si f(x) : D ⊆ R −→ R es derivable en D,

f(x) alcanza un maximo relativo en a ∈ D si

es creciente a la izquierda de a

es decir, x < a =⇒ f ′(x) ≥ 0

y es decreciente a la derecha de a

es decir, x > a =⇒ f ′(x) ≤ 0

f(x) alcanza un mınimo relativo en a ∈ D si

es decreciente a la izquierda de a

es decir, x < a =⇒ f ′(x) ≤ 0

y es creciente a la derecha de a

es decir, x > a =⇒ f ′(x) ≥ 0

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA


Maximos ymınimos


Puntos deinflexion


Condicion necesaria de extremo relativo

Extremos relativos y derivada

Si f(x) es derivable en a y alcanza en a un maximo o mınimo relativoentonces

f ′(a) = 0

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA


Maximos ymınimos


Puntos deinflexion


Ejemplo

Sea h(x) = 1 + x2 + x3 + x4. Los posibles extremos relativos de h(x) seranlos valores de x que anulen la derivada:

h′(x) = 2x+ 3x2 + 4x3 = x(2 + 3x+ 4x2)

En x = 0 se anula la derivada y sera un posible maximo o mınimo. Y notendra mas posibles maximos o mınimos, porque 2 + 3x+ 4x2 solo tieneraıces complejas, y al ser una funcion continua, sus valores seran siemprepositivos o siempre negativos. En este caso, sustituyendo por cualquier valorde x, comprobamos que son siempre positivos.Consecuencia de lo anterior es que el signo de la derivada h′(x) es elsiguiente:

h′(x) < 0 si x ∈ (−∞, 0) (⇒ h(x) decrece si x ∈ (−∞, 0))

h′(x) > 0 si x ∈ (0,∞) (⇒ h(x) crece si x ∈ (0,∞))

En consecuencia, en x = 0 hay un mınimo relativo para la funcion h(x).Ademas, visto el crecimiento y decrecimiento de la funcion, el mınimo es unmınimo absoluto.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA


Maximos ymınimos


Puntos deinflexion



Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA


Maximos ymınimos


Puntos deinflexion


Concavidad

Dada una funcion f : D ⊆ R −→ R, diremos que

f es concava en a ∈ Dsi existe un entorno de a en el que la grafica de la funcion queda por encimade la recta tangente en a

Funcion concava creciente Funcion concava decreciente

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA


Maximos ymınimos


Puntos deinflexion


Convexidad

Dada una funcion f : D ⊆ R −→ R, se dice que

f es convexa en a ∈ Dsi existe un entorno de a en el que la grafica de la funcion queda por debajode la recta tangente en a

Funcion convexa creciente Funcion convexa decreciente

Los conceptos de convexidad y concavidad pueden encontrarse definidosde forma diferente en algunos textos, de forma que lo que aquı se entiendepor concavidad, allı serıa convexidad y viceversa.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA


Maximos ymınimos


Puntos deinflexion



Si f : D ⊆ R −→ R tiene derivada segunda en I ⊆ D, entonces

Condicion necesaria y suficiente para que f sea concava en I

f ′′(x) ≥ 0 ∀x, y ∈ I

m

f es concava en I

Condicion necesaria y suficiente para que f sea convexa en I

f ′′(x) ≤ 0 ∀x, y ∈ I

m

f es convexa en I

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA


Maximos ymınimos


Puntos deinflexion


Puntos de inflexion

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA


Maximos ymınimos


Puntos deinflexion


Puntos de inflexion

Dada una funcion f : D ⊆ R −→ R, se dice que tiene un punto de inflexionen a ∈ D si es concava a la izquierda de a y convexa a la derecha o viceversa.

La condicion necesaria para que f tenga punto de inflexion en a ∈ D es quef ′′(a) = 0

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA


Maximos ymınimos


Puntos deinflexion


Puntos de inflexion y maximos y mınimos

Condiciones suficientes para puntos de inflexion, concavidad y convexidad:

Sea f(x) una funcion derivable varias veces. Si la primera derivada en a deorden mayor que 1 que no se anula es de orden

1 par y positiva, entonces a es un punto de concavidad para f(x);

2 par y negativa, entonces a es un punto de convexidad para f(x);

3 impar, entonces a es un punto de inflexion para f(x).

Condiciones suficientes de puntos de inflexion, maximo o mınimo relativo:

Sea f(x) una funcion derivable varias veces. Si la primera derivada en a seanula y la de orden mayor que 1 que no se anula es

1 de orden par y positiva, entonces a es un mınimo relativo para f(x);

2 de orden par y negativa, entonces a es un maximo relativo para f(x);

3 de orden impar, entonces a es un punto de inflexion para f(x).

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA


Maximos ymınimos


Puntos deinflexion


Ejemplo

Sea f(x) = Ln(1 + x2). Para estudiar la convexidad y concavidad de f(x)calculamos su derivada segunda:

f ′(x) =2x

1 + x2f ′′(x) =

2(1 + x2)− 4x2

(1 + x2)2=

2− 2x2

(1 + x2)2

Por lo tanto, la derivada segunda f ′′(x) se anula en x = ±1, y su signo es elsiguiente:

f ′′(x) < 0 si x ∈ (−∞,−1) ∪ x ∈ (1,∞)

f ′′(x) > 0 si x ∈ (−1, 1)Es decir

f(x) es convexa si x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞)

f(x) es concava si x ∈ (−1, 1).

En x = ±1 hay sendos puntos de inflexion por pasar de concava aconvexa o viceversa. Ademas se puede comprobar que f ′′′(x) 6= 0 enx = ±1.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA


Maximos ymınimos


Puntos deinflexion



Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA


Maximos ymınimos


Puntos deinflexion



El objetivo es encontrar los valores que hacen que una funcion alcance suvalor maximo o mınimo.Pasos a seguir en la resolucion del problema:

Identificar la funcion que se trata de maximizar o minimizar

Establecer las relaciones entre las variables que hacen que se cumplantodas las condiciones del problema (ligaduras)

Para que alcance un maximo o mınimo, la condicion necesaria es que laderivada primera de la funcion debe ser cero

Ademas se deben verificar las condiciones suficientes de maximo omınimo ( Ver condiciones suficientes de maximo y mınimo )

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA


Maximos ymınimos


Puntos deinflexion



Ejemplo

Una ventana tiene forma rectangular conun semicırculo en su parte superior. Sabien-do que el perımetro es 4 metros, hallar lasdimensiones para que sea maxima la canti-dad de luz que la traviesa.

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA


Maximos ymınimos


Puntos deinflexion



Ejemplo (resolucion)

Para un maximo de luz ha de ser maxima la superficie con cristal. Sean R, By h las dimensiones de la ventana tal y como se senalan en el dibujo.Evidentemente B = 2R. En este caso la funcion a maximizar es la superficieS:

S = B h+1

2π R2 = B h+

π

2

(B

2

)2

Puesto que el perımetro es 4 metros, ha de ser B + 2h+ πR = 4, por tanto,

h =4−B(1 + π/2)

2

La funcion a maximizar se puede escribir entonces en funcion de una solavariable

S = B4−B(1 + π/2)

2+π

2

(B

2

)2

Derivando e igualando a cero se obtiene que ha de ser

B =8

4 + π

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicaciones

de la derivada

HEDIMA


Maximos ymınimos


Puntos deinflexion



Ejemplo (resolucion)

B = 84+π

es un posible maximo o mınimo de la funcion superficie.La derivada segunda de la funcion superficie S es la siguiente

S′′(B) = −π4− 1

que es evidentemente negativa para el valor B = 84+π

.

Por tanto, el valor B = 84+π

es un maximo de la funcion superficie.Para este valor de B, el valor de h es

h =4

π + 4.

4. Gráficas de funciones

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Graficas defunciones

HEDIMA

Grafica deuna funcion

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas

Intervalos decrecimiento

Intervalos deconcavidad

Graficas dealgunasfunciones






Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas





Tema: Representacion grafica de funciones

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas




Indice

Representacion grafica de funciones

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Puntos de corte

Intervalos de crecimiento

Intervalos de concavidad y convexidad

Graficas de algunas funciones

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas




Grafica de una funcion

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas




Grafica de una funcion

Dada una funcion f : D ⊆ R −→ R, la representacion grafica de f es launion de todos los puntos del plano de coordendas (x, f(x)), siendo x ∈ D

Grafica de f(x) = x e−x

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas




Estudio de una funcion

Para hacer la representacion grafica conviene estudiar los siguientes aspectos

Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Puntos de corte


Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas




Dominio

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas




Dominio

El dominio D de un funcion f(x) son todos los valores de x ∈ R para loscuales esta definida

Ejemplos

f(x) =4

x2 − 4D = R− {−2, 2}

f(x) =√x− 1 D = [1,∞)

f(x) = L(x2 − 5x + 4) D = (−∞, 1) ∪ (4,∞)

f(x) =ex

ex − 1R− {0}

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas




Simetrıas

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas




Simetrıa par

Una funcion f : D ⊆ R −→ R tiene simetrıa par si

f(−x) = f(x) ∀x ∈ D

La grafica de una funcion par es simetrica respecto al eje OY

Ejemplo f(x) =x2

x2 − 4

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas




Simetrıa impar

Una funcion f : D ⊆ R −→ R tiene simetrıa impar si

f(−x) = −f(x) ∀x ∈ D

La grafica de una funcion impar tiene doble simetrıa respecto al eje OY y aleje OX

Ejemplo f(x) = x3

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas




Asıntotas

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas




Asıntotas verticales

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas




Asıntotas verticales

La recta vertical x = a es asıntota vertical de f si al menos uno de los lımiteslaterales en a es infinito. Es decir, si

lımx→a+

f(x) = ±∞ y/o lımx→a−

f(x) = ±∞

La grafica de f se acerca a su asıntota vertical x = a conforme x→ a por laderecha o por la izquierda

Ejemplo: f(x) =x2

x2 − 4tiene dos asıntotas verticales, x = 2 y x = −2

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas




Asıntotas horizontales

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas




Asıntotas horizontales

La recta horizontal y = b es asıntota horizontal de f si

lımx→+∞

f(x) = b y/o lımx→−∞

f(x) = b

La grafica de f se acerca a su asıntota horizontal y = b conforme x→ +∞ ox→ −∞

Ejemplo: f(x) =ex − 1

ex + 1tiene dos asıntotas horizontales, y = 1 e y = −1

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas




Asıntotas oblıcuas

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas





Definicion

La recta y = mx + n es asıntota oblıcua de f si

lımx→+∞

[f(x)− (mx + n)] = 0 y/o lımx→−∞

[f(x)− (mx + n)] = 0

La grafica de f se acerca a su asıntota oblıcua y = mx + n conformex→ +∞ o x→ −∞

Calculo

Si y = mx + n es asıntota oblıcua de f en +∞ entonces

lımx→+∞

f(x)

x= m y lım

x→+∞(f(x)−mx) = n

De manera analoga se calculan los valores de m y n cuando x→ −∞.

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas





Ejemplo

La funcion f(x) =ex − 1

ex + 1tiene dos asıntotas oblicuas ,

y = x en x→ +∞

y = −x en x→ −∞

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas




Puntos de corte

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas




Puntos de corte con los ejes

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas




Puntos de corte con los ejes

Cortes con el eje OX

Los puntos de corte con el eje OX son las soluciones de la ecuacion

f(x) = 0

Si esta ecuacion no tiene solucion, la grafica de f(x) no corta al eje OX.

Cortes con el eje OY

El punto de corte con el eje OY es

(0, f(0))

Si 0 /∈ D, la grafica de f(x) no corta al eje OY

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas




Puntos de corte con las asıntotas

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas




Puntos de corte con asıntotas

Cortes con las asıntotas horizontales y = a

Los puntos de corte con las asıntotas horizontales son las soluciones de laecuacion

f(x) = a

Si esta ecuacion no tiene solucion, la grafica de f(x) no corta a las asıntotashorizontales.

Cortes con las asıntotas oblicuas y = mx + n

Los puntos de corte con las asıntotas oblicuas son las soluciones de laecuacion

f(x) = mx + n

Si esta ecuacion no tiene solucion, la grafica de f(x) no corta a las asıntotasoblıcuas.

La grafica de una funcion f(x) nunca corta a sus asıntotas verticales

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas





Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas





Son intervalos donde el comportamiento de la funcion es monotono, o escreciente o es decreciente.

Los intervalos de crecimiento vienen delimitados por los puntos dondecambia el signo de la derivada

porque se anula f ′(x)

o porque f(x) presenta una discontinuidad.

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas





Ejemplo

La funcion f(x) =x2

x2 − 4, tiene como derivada f ′(x) = 8x

(x−2)2(x+2)2), por

tanto f ′(x)

tiene dos puntos de discontinuidad x = 2 y x = −2

su derivada se anula en x = 0, es decir f ′(0) = 0

Los intervalos de crecimiento son entonces

(−∞,−2), (−2, 0), (0, 2), (2,∞)

Para conocer el comportamiento de la funcion en cada uno de ellos bastaestudiar el signo de la derivada en cualquier punto perteneciente al intervalo.El resultado es

(−∞,−2) f ′ > 0 f es creciente(−2, 0) f ′ > 0 f es creciente(0, 2) f ′ < 0 f es decreciente(2,∞) f ′ < 0 f es decreciente

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas




Grafica de la funcionx2

x2 − 4

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas




Intervalos de concavidad

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas





Son intervalos donde la funcion es concava o convexa.

Los intervalos de concavidad o convexidad vienen delimitados por los puntosdonde cambia el signo de la segunda derivada

porque se anula f ′′(x)

o porque f ′′(x) presenta una discontinuidad.

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas





Ejemplo

La funcion f(x) =x2

x2 − 4, tiene como derivada segunda 8(3x2+4)

(x−2)3(x+2)3, por

tanto, f ′′(x)

tiene dos puntos de discontinuidad x = 2 y x = −2

su derivada no se anula en ningun punto.

Los intervalos de concavidad y convexidad son entonces

(−∞,−2), (−2, 2), (2,∞)

Para conocer el comportamiento de la funcion en cada uno de ellos bastaestudiar el signo de la derivada segunda en cualquier punto perteneciente alintervalo. El resultado es

(−∞,−2) f ′′ > 0 f es concava(−2, 2) f ′′ < 0 f es convexa(2,∞) f ′′ > 0 f es concava

Volver a ver la grafica de f(x) = x2

x2−4

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas




Grafica de algunas funciones

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas




Estudio global de una grafica

Ejemplo: grafica de la funcion f(x) = x3

x2−1.

Dominio: D = {x ∈ R/ x 6= {−1, 1}}.

Simetrıas: es impar porque f(−x) = (−x)3

(−x)2−1= − x3

x2−1= −f(x).

No es periodica.

Puntos de corte con los ejes: con el eje OX se corta en el punto (0, 0) ycon el eje OY se corta tambien el punto (0, 0).

Signo de la funcion:

-1 0 1

x3 - - - 0 + + +x2 − 1 + 0 - - - 0 +

x3

x2−1- · + 0 - · +

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas





Ejercicio (continuacion)

Puntos de discontinuidad: en los puntos x = ±1 tiene discontinuidadesesenciales de salto infinito, porque los lımites en esos puntos valen ∞ o−∞ (segun los calculemos por la derecha o por la izquierda).

Asıntotas:

Horizontales: no tiene porque lımx→±∞ f(x) = ±∞Verticales: son las rectas x = 1 y x = −1 porque

lımx→1±

f(x) = ±∞ y lımx→−1±

f(x) = ±∞

Oblicuas: la recta y = x es asıntota oblicua cuando x tiende a infinito:

lımx→+∞

f(x)

x= 1 y lım

x→+∞f(x)− x = 0.

la recta y = x es asıntota oblicua cuando x tiende a menos infinito:

lımx→−∞

f(x)

x= 1 y lım

x→−∞f(x)− x = 0.

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas






Para el crecimiento, estudiamos el signo de f ′(x) = x4−3x2

x4−2x2+1

−√

3 -1 0 1√

3

x4 − 3x2 + 0 - - - 0 - - - 0 +x4 − 2x2 + 1 + + + 0 + + + 0 + + +

x4−3x2

x4−2x2+1+ 0 - · - 0 - · - 0 +

Por tanto, crece si x ∈ (−∞,−√

3) ∪ (√

3,∞) y decrece six ∈ (−

√3,−1) ∪ (−1, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1,

√3)

Maximos o mınimos relativos. Viendo lo anterior, se deduce que hay unmaximo relativo en x = −

√3 y un mınimo relativo en x =

√3.

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas






Las regiones de concavidad y convexidad las determinamos estudiando el

signo de f ′′(x) = 2x3+6xx6−3x4+3x2−1

:

-1 0 1

2x3 + 6x - - - 0 + + +(x2 − 1)3 + 0 - - - 0 +2x3+6x(x2−1)3

- · + 0 - · +

Por tanto, es concava si x ∈ (−∞,−1) ∪ (0, 1) y convexa six ∈ (−1, 0) ∪ (1,∞).

Puntos de inflexion. Observando lo anterior, se deduce que el puntox = 0 es un punto de inflexion.

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas





Grafica de la funcion x3

x2−1

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas





Ejemplo: grafica de f(x) =x3

(1 + x)2

D = R− {−1, 1}

AV: x = −1

AO: y = x− 2

Corte con los ejes (0, 0)

Corte con la AO(− 2

3,− 8

3)

(−∞,−3) ∪ (−1,∞) ↑

(−3,−1) ↓

(∞,−1) ∪ (−1, 0)⋂

(0,∞)⋃

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas





Ejemplo: grafica de f(x) =2x2 + 2x + 1

x2

D = R− {0}

AV: x = 0

AH: y = 2

Corte con la AH (− 12, 2)

(−∞,−1) ∪ (0,∞) ↓

(−1, 0) ↑

(−∞, −32

)⋂

(−32, 0) ∪ (0,∞)

⋃

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA


Dominio

Simetrıas

Asıntotas

Verticales

Horizontales

Oblıcuas

Puntos decorte

Con los ejes

Con lasasıntotas





Grafica de f(x) = x e1/x

D = R− {0}

AV: x = 0+

AO: y = x + 1

(−∞, 0) ∪ (1,∞) ↑

(0, 1) ↓

(−∞, 0)⋂

(0,∞)⋃

5. Cálculo de primitivas

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Integral deRiemann.

Tecnicas deintegracion

HEDIMA

Introduccion

Primitiva deuna funcion

Integralesinmediatas

Metodos deintegracion

I. Por cambiode variable

II. Por partes

Funcionesracionales

Funcionestrigonometri-cas

Funcionesirracionales

Bibliografıa






Bloque:Analisis

Matematico



HEDIMA

Introduccion





II. Por partes

Funcionesracionales



Bibliografıa


Tema: Integral de Riemann. Tecnicas deintegracion

Bloque:Analisis

Matematico



HEDIMA

Introduccion





II. Por partes

Funcionesracionales



Bibliografıa

Indice

Introduccion

Primitiva de una funcion. Definiciones y propiedades

Integrales inmediatas

Metodos de integracion

Metodo de integracion por partes

Integracion de funciones racionales

Integracion de funciones trigonometricas

Integracion de funciones irracionales

Bibliografıa

Bloque:Analisis

Matematico



HEDIMA

Introduccion





II. Por partes

Funcionesracionales



Bibliografıa

Introduccion

Bloque:Analisis

Matematico



HEDIMA

Introduccion





II. Por partes

Funcionesracionales



Bibliografıa


El calculo integral formaliza conceptos bastantes sencillos e intuitivos: el dearea de una region, volumen de un cuerpo, y longitud de curvas entre otrasaplicaciones.

Los orıgenes del calculo deareas se pueden encontraren el metodo de exhauciondesarrollado por los griegoshace mas de 2000 anos.

Sin embargo fueron Newton y Leibnitz quienes le dieron el enfoque rigurosoactual.

Bloque:Analisis

Matematico



HEDIMA

Introduccion





II. Por partes

Funcionesracionales



Bibliografıa

Primitiva de una funcion.Definiciones y propiedades

Bloque:Analisis

Matematico



HEDIMA

Introduccion





II. Por partes

Funcionesracionales



Bibliografıa


Definicion

Dadas dos funciones f y F , decimos que F es una primitiva de la funcion fen un conjunto de valores D si:

F ′(x) = f(x), ∀x ∈ D.

Ejemplo

Si f(x) = 2x, entonces

F (x) = x2 es una primitiva de f(x) en R, porqueF ′(x) = (x2)′ = 2x = f(x).

Del mismo modo, F (x) = x2 + 7 es una primitiva de f(x) en R, porqueF ′(x) = (x2 + 7)′ = 2x = f(x).

Se deduce facilmente que

Observacion

Si F es una primitiva de f en D, entonces F (x) + C es primitiva de f(x) enD, siendo C cualquier numero real.

Bloque:Analisis

Matematico



HEDIMA

Introduccion





II. Por partes

Funcionesracionales



Bibliografıa


Definicion

Al conjunto de todas las primitivas de f se le llama integral indefinida de f y

se denota por

∫f(x)dx. De la observacion anterior se deduce que si F (x) es

una primitiva de f(x), entonces∫f(x)dx = F (x) + C, ∀C ∈ R.

Propiedades (de la integral indefinida)

Sea f : I ⊂ R→ R. Se tiene que

1 Si k ∈ R, entonces

∫k f(x)dx = k

∫f(x)dx.

2

∫(f(x)± g(x)) dx =

∫f(x)dx±

∫g(x)dx.

Bloque:Analisis

Matematico



HEDIMA

Introduccion





II. Por partes

Funcionesracionales



Bibliografıa


Bloque:Analisis

Matematico



HEDIMA

Introduccion





II. Por partes

Funcionesracionales



Bibliografıa


Definicion

Se llaman integrales inmediatas a aquellas que se deducen directamente delas reglas de derivacion.

En la tabla de la pagina siguiente se muestran algunas integralesinmediatas.

Bloque:Analisis

Matematico



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II. Por partes

Funcionesracionales



Bibliografıa

Algunas integrales inmediatas

∫k dx = kx ∀k ∈ R

(n 6= −1)∫xn dx = xn+1

n+1

∫f(x)nf ′(x) dx = f(x)n+1

n+1∫1xdx = ln |x|

∫ f ′(x)f(x)

dx = ln |f(x)|∫ex dx = ex

∫ef(x)f ′(x) dx = ef(x)∫

ax dx = ax

ln a

∫af(x)f ′(x) dx = af(x)

ln a∫sen(x) dx = − cos(x)

∫sen(f(x))f ′(x) dx = − cos(f(x))∫

cos(x) dx = sen(x)∫cos(f(x))f ′(x) dx = sen(f(x))∫

1sen2(x)

dx = − cotg(x)∫ f ′(x)

sen2(f(x))dx = − cotg(f(x))

∫1

cos2(x)dx = tg(x)

∫ f ′(x)cos2(f(x))

dx = tg(f(x))∫

11+x2

dx = arctg(x)∫ f ′(x)

1+(f(x))2dx = arctg f(x)

∫1√

1−x2dx = arcsen(x)

∫ f ′(x)√1−(f(x))2

dx = arcsen f(x)

Bloque:Analisis

Matematico



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II. Por partes

Funcionesracionales



Bibliografıa

Metodos de integracion

Bloque:Analisis

Matematico



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Introduccion





II. Por partes

Funcionesracionales



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Integracion por sustitucion ocambio de variable

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II. Por partes

Funcionesracionales



Bibliografıa

Metodos de integracion: sustitucion o cambio de variable

Consiste en hacer un cambio de variable que transforme la integral en otra que

sepamos calcular. Una vez resuelta, hay que deshacer el cambio.

Teorema

Sea x = φ(t) una funcion derivable respecto de t (entonces dx = φ′(t)dt).

Podremos calcular

∫f(x)dx ası:

∫f(x)dx =

∫f(φ(t))φ′(t)dt

Encontraremos solucion siempre que sepamos calcular la ultima primitiva de la

igualdad anterior.

Ejemplo

∫cos(2x)dx =

{t = 2x;x = t/2

dt = 2dx

}=

∫cos(t)

dt

2=

1

2sen(t)+C =

1

2sen(2x)+C

∫ecosxsen(x) dx =

{t = cosxdt = −sen(x) dx

}= −

∫etdt = −et+C = −ecos(x)+C

Bloque:Analisis

Matematico



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Introduccion





II. Por partes

Funcionesracionales



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Integracion por partes

Bloque:Analisis

Matematico



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Introduccion





II. Por partes

Funcionesracionales



Bibliografıa

Metodos de integracion: integracion por partes

Integracion por partes

Sea u(x) y v(x) dos funciones derivables. Dado que

(u(x) · v(x))′ = u(x) · v′(x) + u′(x) · v(x)

se deduce que

u(x) · v′(x) = (u(x) · v(x))′ − u′(x) · v(x)

y por tanto, si se puede integrar respecto de x:∫u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)−

∫v(x)u′(x)dx

Ejemplo

∫xn lnx dx =

{u(x) = lnx ⇒ du(x) = 1

xdx

dv(x) = xndx ⇒ v(x) = xn+1

n+1

}=

=xn+1

n+ 1lnx−

∫xn

n+ 1dx =

xn+1

n+ 1

(lnx− 1

n+ 1

)+ C.

Bloque:Analisis

Matematico



HEDIMA

Introduccion





II. Por partes

Funcionesracionales



Bibliografıa

Metodos de integracion: integracion por partes

Ejemplo

∫arctg(x)dx =

{u = arctg(x)⇒ du = dx

1+x2

dv = dx⇒ v = x

}=

= x arctg(x)−∫

x

1 + x2dx = x arctg(x)− 1

2ln |x2 + 1|+ C.

Bloque:Analisis

Matematico



HEDIMA

Introduccion





II. Por partes

Funcionesracionales



Bibliografıa

Integracion de funcionesracionales

Bloque:Analisis

Matematico



HEDIMA

Introduccion





II. Por partes

Funcionesracionales



Bibliografıa



Son integrales de la forma∫f(x)dx =

∫p(x)

q(x)dx,

donde p(x) y q(x) son polinomios.

Si grado(p) < grado(q), aplicaremos el metodo de descomposiciondescrito a continuacion.

En otro caso, debemos efectuar la division de polinomios:

f(x) =p(x)

q(x)= c(x) +

r(x)

q(x),

donde c(x) y r(x) son respectivamente el polinomio cociente y elpolinomio resto de la division.

Bloque:Analisis

Matematico



HEDIMA

Introduccion





II. Por partes

Funcionesracionales



Bibliografıa


Ejemplo

Calculemos∫

x2

x−1dx. Dividiendo se obtiene que x2 = (x+ 1)(x− 1) + 1,

por tanto:

∫x2

x− 1dx =

∫ [(x+ 1) +

1

x− 1

]dx =

∫(x+ 1) dx+

∫1

x− 1dx = x2/2 + x+ ln(|x− 1|+ C)

Bloque:Analisis

Matematico



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Introduccion





II. Por partes

Funcionesracionales



Bibliografıa


Metodo de descomposicion (grado(p) < grado(q))

Caso 1. grado(q) = n con todas las raıces reales y simples:

q(x) = a0(x− x1)(x− x2) . . . (x− xn)

Se realizara una descomposicion en fracciones simples como sigue:

p(x)

q(x)=

A1

a0(x− x1)+

A2

x− x2+ . . .+

Anx− xn

, Ai ∈ R, i = 1 . . . n.

A continuacion se integraran los sumandos de la descomposicion obtenida:∫p(x)

q(x)dx =

∫A1

a0(x− x1)dx+

∫A2

x− x2dx+ . . .+

∫An

x− xndx =

=A1

a0ln |x− x1|+A2 ln |x− x2|+ . . .+An ln |x− xn|+ C.

Bloque:Analisis

Matematico



HEDIMA

Introduccion





II. Por partes

Funcionesracionales



Bibliografıa


Ejemplo

Calcula∫

2x−3x2−3x+2

dx

Puesto que x2 − 3x+ 2 = (x− 1)(x− 2), se tiene que

2x− 3

x2 − 3x+ 2=

A1

x− 1+

A2

x− 2⇒ 2x− 3

x2 − 3x+ 2=A1(x− 2) +A2(x− 1)

(x− 2)(x− 1))

2x− 3 = A1(x− 2) +A2(x− 1)⇒{

2 = A1 +A2

−3 = −2A1 −A2⇒{A1 = 1A2 = 1

Por tanto

∫2x− 3

x2 − 3x+ 2dx =

∫1

x− 1dx +

∫1

x− 2dx = ln |x−1|+ln |x−2|+C

Bloque:Analisis

Matematico



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Introduccion





II. Por partes

Funcionesracionales



Bibliografıa


Ejemplo∫

2x− 3

2x3 − x2 − xdx =

{Teniendo en cuenta:2x3 − x2 − x = x(x− 1)(2x+ 1)

}=

=

∫ (A

x+

B

x− 1+

C

2x+ 1

)=

= 3 ln |x| − 13ln |x− 1| − 8

3ln |2x+ 1|+ C,

donde los coeficientes A, B y C se han calculado resolviendo:

2x−32x3−x2−x = A

x+ Bx−1

+ C2x+1

=A(x−1)(2x+1)+Bx(2x+1)+Cx(x−1)

x(x−1)(2x+1)=

=x2(2A+2B+C)+x(−A+B−C)−A

2x3−x2−x ,

para lo que se debe cumplir que:

0 = 2A+ 2B + C2 = −A+B − C−3 = −A

⇒

A = 3B = −1

3C = −16

3

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II. Por partes

Funcionesracionales



Bibliografıa



Caso 2. grado(q) = k con alguna raız real de multiplicidad k:

q(x) = a0(x− x0)k

Descomposicion en fracciones simples:

p(x)

q(x)=

A1

a0(x− x0)+

A2

(x− x0)2+

A3

(x− x0)3+ . . .+

Ak(x− x0)k

.

Integracion de los sumandos obtenidos:

∫p(x)

q(x)dx =

∫A1

a0(x− x0)dx+

∫A2

(x− x0)2dx+

∫A3

(x− x0)3dx+ . . .+

∫Ak

(x− x0)kdx

=A1

a0ln |x−x0|+A2

(x− x0)−1

−1 +A3(x− x0)−2

−2 +. . .+Ak(x− x0)−k+1

−k + 1+C.

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Funcionesracionales



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Ejemplo

Calcula∫

3x+5x3−x2−x+1

dx

Puesto que x3 − x2 − x+ 1 = (x+ 1)(x− 1)2, se tiene que:

3x+5x3−x2−x+1

= A1x+1

+ A2(x−1)

+ A3(x−1)2

⇒

3x+5x3−x2−x+1

=A1(x−1)2+A2(x−1)(x+1)+A3(x+1)

(x+1)(x−1)2

y en consecuencia, como los denominadores de las fracciones anteriores tambien soniguales, los numeradores tambien lo seran:

3x+ 5 = A1(x− 1)2 +A2(x− 1)(x+ 1) +A3(x+ 1)

de donde0 = A1 +A2

3 = −2A1 +A3

5 = A1 −A2 +A3

⇒A1 = 1/2A2 = −1/2A3 = 4

Por tanto∫

3x+ 5

x3 − x2 − x+ 1dx =

∫1/2

x+ 1dx +

∫ −1/2(x− 1)

dx +

∫3

(x− 1)2dx =

1/2 ln |x+ 1| − 1/2 ln |x− 1| − 4

(x− 1)

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Funcionesracionales



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Ejemplo

∫2x− 3

x3 − 3x2 + 3x− 1dx =

{Teniendo en cuenta:x3 − 3x2 + 3x− 1 = (x− 1)3

}=

=

∫ (A

x− 1+

B

(x− 1)2+

C

(x− 1)3

)dx =

=

∫ (0

x− 1+

2

(x− 1)2+

−1(x− 1)3

)dx = −2 1

(x− 1)+

1/2

(x− 1)2+ C

donde :

2x−3x3−3x2+3x−1

= Ax−1

+ B(x−1)2

+ C(x−1)3

=Ax2+x(−2A+B)+(A−B+C)

(x−1)3

lo que implica que A = 0, B = 2 y C = −1.

Observacion

Hay otras muchas combinaciones, como mezcla de raıces reales y complejas(simples y/o multiples). Aquı solo se tratara el caso anterior, y el caso en quela raız compleja es de multiplicidad 1.

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Caso 3. q(x) tiene alguna raız compleja simple.

q(x) = k(x− x1)α1 . . . (x− xp)αp [(x− b1)2 + c21] . . . [(x− bk)2 + c2k]

con k, xi, aj , cj ∈ R y αi ∈ N. Siempre es posible descomponer la fraccion deesta forma:

∫p(x)

q(x)dx =

∫ (A1

1

x− x1+ · · ·+ Aα1

1

(x− x1)α1+ . . .

· · ·+ A1p

x− xp+ · · ·+ A

αpp

(x− xp)αp+

+M1x+N1

[(x− b1)2 + c21]+ · · ·+ Mkx+Nk

[(x− bk)2 + c2k]

)dx

siendo Mj , Nj ∈ R

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Ejemplo∫

1x3+1

dx

Puesto que x3 + 1 = (x+ 1)(x2 − x+ 1), se tiene que:

1x3+1

= A1x+1

+ A2x+A3x2−x+1

=A1(x

2−x+1)+(A2x+A3)(x+1)

(x+1)(x2−x+1)⇒

⇒ 1 = A1(x2 − x+ 1) + (A2x+A3)(x+ 1)

Igualando los coeficientes de los polinomios anteriores

0 = A1 +A2

0 = −A1 +A2 +A3

1 = A1 +A3

⇒A1 = 1/3A2 = −1/3A3 = 2/3

Por tanto∫

1x3+1

dx =∫ 1/3x+1

dx+∫ −1/3x+2/3

x2−x+1dx =

= 13ln |x+ 1|+

∫ −1/3x+2/3

x2−x+1dx

= 13ln |x+ 1| − 1/6

∫2x−4

x2−x+1dx =

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Ejemplo (continuacion)∫

1x3+1

dx =

= 13ln |x+ 1| − 1/6

∫2x−1+1−4x2−x+1

dx =

= 13ln |x+ 1| − 1/6

∫2x−1

x2−x+1+ 1/6

∫3

x2−x+1dx =

= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1/6

∫3

x2−x+1dx =

= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1/6

∫3

(x−1/2)2+3/4dx =

= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1/6

∫ 3·4/34/3[(x−1/2)2+3/4]

dx =

= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1/6

∫4(

2x−1√3

)2+1

dx

= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1

6·√

32

∫ 4·2/√3(

2x−1√3

)2+1

dx =

= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1√

3

∫ 2/√3(

2x−1√3

)2+1

dx =

= 13ln |x+ 1| − ln |x2−x+1|

6+ 1√

3arctg

(2x−1√

3

)

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Funcionesracionales



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Caso 3.q(x) tiene alguna raız compleja multiple

Por ejemplo,∫

2x3−2x2+16x(x2+4)2

dx

Para resolver integrales como la del ejemplo se puede emplear el metodo deHermite (no lo veremos en este curso), que permite calcular primitivas decocientes de polinomios rebajando el grado de los polinomios implicados ensucesivos pasos.

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Integracion de funciones

trigonometricas

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Funcionesracionales



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Integrales racionales-trigonometricas:

∫f(sen(x), cos(x))dx

Se convierten en integrales racionales mediante la sustitucion trigonometrica

t = tan(x

2) , como sigue:

∫f(sen(x), cos(x))dx =

{t = tan(x

2) dx = 2dt

1+t2

sen(x) = 2t1+t2

cos(x) = 1−t21+t2

}=

=

∫f

(2t

1 + t2,1− t21 + t2

)2

1 + t2dt,

que es la integral de una funcion racional.

Ejemplo

∫dx

sen(x)dx =

{t = tan(x

2) dx = 2dt

1+t2

sen(x) = 2t1+t2

cos(x) = 1−t21+t2

}=

=

∫1

tdt = ln |t|+ C = ln

∣∣∣tan(x2)∣∣∣+ C.

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Funcionesracionales



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Observaciones

Existen varios tipos de integrales trigonometricas que se pueden racionalizarcon cambios mas sencillos. Son los siguientes:

1

∫f(sen(x), cos(x))dx, donde

f(−sen(x), cos(x)) = −f(sen(x), cos(x)).Cambio t = cos(x) .

2


f(sen(x),−cos(x)) = −f(sen(x), cos(x)).Cambio t = sen(x) .

3


f(−sen(x),−cos(x)) = f(sen(x), cos(x)).

Cambio t = tan(x) .

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Ejemplo

∫dx

sen(x)dx =

{t = cos(x) dx = −dt√

1−t2

sen(x) =√1− t2 cos(x) = t

}=

= −∫

1

1− t2 dt =1

2ln

∣∣∣∣t− 1

t+ 1

∣∣∣∣+ C =1

2ln

∣∣∣∣cos(x)− 1

cos(x) + 1

∣∣∣∣+ C.

Ejemplo

∫cos3(x) dx =

t = sen(x) dx = dt√1−t2

cos(x) =√1− t2 sen(x) = t

=

=

∫1− t2dt = t− t3

3+ C = sen(x)− sen3(x)

3+ C.

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Funcionesracionales



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Integracion de funciones

irracionales

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Funcionesracionales



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Integrales del tipo

∫f(x,

√x2 ± a2)dx,

∫f(x,

√a2 − x2)dx

con a ∈ R, se convierten en integrales trigonometricas mediante los cambios

1 f(x,√a2 − x2)dx: cambio x = a sen(t) .

2 f(x,√x2 − a2)dx: cambio x =

a

sen(t).

3 f(x,√x2 + a2)dx: cambio x = a tan(t) .

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Ejemplo∫ √

a2 − x2dx =

{x = a sen(t)dx = a cos(t)dt

}= a2

∫cos2(t)dt

que aplicando la igualdad 1 + cos(2t) = 2cos2(t) se transforma en

a2∫cos2(t) dt =

a2

2t+

a2

4sen(2t) + C =

a2

2t+

a2

42sen(t) cos(t) + C =

a2

2t+

a2

42 sen(t)

√1− sen2(t) + C =

a2

2arc sen

x

a+x

2

√a2 − x2 + C.

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Funcionesracionales



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Ejemplo

∫ √x2 + a2dx =

{x = a tan(t)dx = adt

cos2(t)

}= a2

∫1

cos3(t)dt =

=

{y = sen(t) dt = dy√

1−y2

cos(t) =√

1− y2 sen(t) = y

}= a2

∫1

(1− y2)2 dt =

= a2

4

∫ (1

(1− y)2 +1

(1− y) +1

(1 + y)2+

1

(1 + y)

)dt =

= a2

4

(2y

1−y2 + ln∣∣∣ y+1y−1

∣∣∣)+ C =

=

{Deshaciendo los cambios:

y = sen t = tan(t)√1−tan2(t)

= x√x2−a2

}=

= x2

√x2 + a2 + a2

4ln

∣∣∣∣x+√x2+a2

x−√x2+a2

∣∣∣∣+ C

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Funcionesracionales



Bibliografıa


Integrales del tipo

∫f

(x, n

√ax+ b

cx+ d

)dx

Se convierten en integrales racionales mediante el cambio

t = n

√ax+ b

cx+ d

Ejemplo

∫dx

1 + 3√x+ 1

dx =

Cambio:t = 3√x+ 1

dx = 3t2dt

= 3

∫t2dt

1 + t=

= 3

∫(t− 1)dt+ 3

∫dt

1 + t=

3

2t(t− 2) + 3 ln(t+ 1) + C =

=3

23√x+ 1( 3

√x+ 1− 2) + 3 ln( 3

√x+ 1 + 1) + C

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Funcionesracionales



Bibliografıa

Bibliografıa

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Introduccion





II. Por partes

Funcionesracionales



Bibliografıa

Bibliografıa

T.M. APOSTOL, Calculus, tomos I y II (Reverte, 1989).

J. BURGOS, Calculo Infinitesimal de una variable (MaGraw-Hill, 1995).

B. DEMIDOVICH, 5000 problemas de Analisis Matematico (Paraninfo,1980).

M. SPIVAK, Calculus (Reverte, 1987).

6. Integral definida

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Matematico

Tema: Laintegraldefinida

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Integraldefinida

Propiedades

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Integraldefinida

Propiedades

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Tema: La integral definida

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Integraldefinida

Propiedades

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Indice

La integral definida. Definicion y ejemplos

Propiedades

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Integraldefinida

Propiedades

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La integral definida.

Definicion y ejemplos

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Propiedades

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La integral definida

Sean

f : [a, b] −→ R una funcion continua y positiva.

Af [a, c]: area contenida entre la funcion, el eje OX, y las rectas x = a yx = c. En lo que sigue, a sera fijo y c sera variable.

Relacion entre las funciones Af [a, ·] y f

Cuando f es continua en c, se verifica que para cualquier h > 0 (pequeno) elvalor de Af [a, c+ h]−Af [a, c] es aproximadamente f(c)h, o lo que es lomismo,

Af [a, c+ h]−Af [a, c]h

∼ f(c)

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Integraldefinida

Propiedades

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Tomando ahora lımite cuando h −→ 0 en ambos miembros de la expresion

Af [a, c+ h]−Af [a, c]h

∼ f(c)

y usando la definicion de derivada, se tiene que

A′f [a, c] = f(c)

es decir, Af [a, ·] es una primitiva de f .

Teorema (Teorema fundamental del calculo y Regla de Barrow)

Sea f : [a, b] −→ R continua en [a, b]. Entonces Af [a, ·] es derivable y suderivada es f , o lo que es equivalente, Af [a, ·] es una primitiva de f .

A′f [a, c] = f(c)

Ademas, si φ es primitiva de f , el area Af [a, b] se puede calcular ası:

Af [a, b] = [φ(x)]ba = φ(b)− φ(a),

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Integraldefinida

Propiedades

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Definicion (Integral de Riemann)

Llamamos integral definida o de Riemann de f en el intervalo [a, b] al valorde Af [a, b], que normalmente se denota con la expresion

∫ b

a

f(x)dx

En caso de a > b, se define:

∫ a

b

f(x)dx = −∫ b

a

f(x)dx.

Para calcular la integral definida de una funcion continua basta conoceruna de sus primitivas φ(x):

∫ b

a

f(x) dx = [φ(x)]ba = φ(b)− φ(a).

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Integraldefinida

Propiedades

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Ejemplos

∫ 2

0

x2dx =x3

3

∣∣20 =

8

3

∫ π/4

0

sen(x)dx = −cos(x)∣∣∣π/40 = −cosπ/4 + cos0 = −

√2

2+ 1

∫ 5

1

√5x+ 1dx =

2(5x+ 1)3/2

15

∣∣51 =

2(26)3/2

15− 2(6)3/2

15

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Integraldefinida

Propiedades

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Propiedades de la integraldefinida

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Integraldefinida

Propiedades

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Propiedades de la integral definida

Propiedades

1 Si m y M son respectivamente el valor mınimo y maximo de f en [a, b],entonces

m(b− a) ≤∫ b

a

f(x)dx ≤M(b− a).

2

∫ b

a

(f(x)± g(x))dx =

∫ b

a

f(x)dx±∫ b

a

g(x)dx.

3

∫ b

a

cf(x)dx = c

∫ b

a

f(x)dx, ∀c ∈ R.

4

∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx+

∫ b

c

f(x)dx, ∀c ∈ (a, b).

5 Si f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b], entonces

∫ b

a

f(x)dx ≤∫ b

a

g(x)dx.

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Integraldefinida

Propiedades

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Teorema

Toda funcion continua en un intervalo [a, b] es integrable en [a, b]. Ademas,se tiene

1 Si f : [a, b] −→ R es una funcion integrable en [a, b], y f(x) ≥ 0,

entonces

∫ b

a

f(x)dx es igual al area de la region entre la grafica de f y

el eje OX desde a hasta b.

2 Si f es integrable en [a, b], entonces

1

∫ b

af(x)dx es igual al area por encima del eje OX menos el area por

debajo del eje OX

2

∫ b

a|f(x)|dx es igual al area de la region entre la grafica de f y el eje

OX desde a hasta b.

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Integraldefinida

Propiedades

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Ejemplo

La integral entre a y b de la funcion f(x) del dibujo inferior es

A2 +A4 − (A1 +A3)

Asimismo, se tiene que

∫|f(x)|dx = A1 +A2 +A3 +A4.

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Integraldefinida

Propiedades

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Observacion

Hemos supuesto que f : [a, b] −→ R es una funcion continua en [a, b].Sin embargo, todo sigue siendo valido si admitimos que f presenta unnumero finito de discontinuidades de salto finito.Basta descomponer [a, b] en intervalos donde f sı sea continua y podamosaplicar las propiedades anteriores.

Ejemplo

Por ejemplo, f : [0, 5] −→ R definida por

f(x) =

{ex si x ∈ [0, 3]x si x ∈ (3, 5]

presenta una discontinuidad de salto finito enx = 3. Su integral definida en [0, 3] es

∫ 5

0

f(x)dx =

∫ 3

0

ex dx+

∫ 5

3

x dx = [ex]30 +

[x2

2

]5

3

= (e3 − 1) + 8.

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Integraldefinida

Propiedades

Bibliografıa


Observacion

Es posible extender el concepto de integral definida a un marco mas general.Por ejemplo, se pueden considerar funciones que no esten acotadas o queesten definidas sobre intervalos no acotados (llamadas integrales impropias).Sin embargo, estas cuestiones superan los objetivos de esta leccion.

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Matematico


HEDIMA

Integraldefinida

Propiedades

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Bibliografıa

Bloque:Analisis

Matematico


HEDIMA

Integraldefinida

Propiedades

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Bibliografıa




M.A. MULERO DIAZ, I. OJEDA MARTINEZ DE CASTILLA,Matematicas para primero de ciencias (Manuales Uex, 2008).


7. Aplicaciones de la integral

Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Aplicacionesde la integral

Grupo

HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco

Volumen derevolucion

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Grupo

HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Bibliografıa


Tema: Aplicaciones de la integral

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Grupo

HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Bibliografıa

Indice

Introduccion

Calculo de areas de superficies planas

Longitud de un arco de curva plana

Volumen de un solido de revolucion

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Grupo

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Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Bibliografıa

Introduccion

Bloque:Analisis

Matematico


Grupo

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Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Bibliografıa

Introduccion

En muchos fenomenos fısicos, economicos, sociales,... el area bajo la curvade una funcion representa una magnitud relevante que conviene saber medir.

Por ejemplo, si representamos la velocidad de un movil en funcion deltiempo, el area bajo la curva obtenida es el espacio recorrido.

En esta leccion usaremos el calculo integral para formalizar conceptossencillos e intuitivos como el de area de una region, volumen de un cuerpo, ylongitud de curvas planas.

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Grupo

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Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Bibliografıa

Calculo de areas de superficiesplanas

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Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Bibliografıa


I. Area determinada por x = a, x = b, eje OX e y = f(x)

Si f(x) ≥ 0, entonces el valor del area es

∫ b

a

f(x)dx.

Si f(x) ≤ 0, entonces el valor del area es −∫ b

a

f(x)dx.

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Matematico


Grupo

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Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Bibliografıa


I. Area determinada por x = a, x = b, eje OX e y = f(x)

Si la funcion tiene cambios de signo en [a, b], hay que separar losintervalos donde f(x) tiene signo constante y aplicar lo anterior. Porejemplo, si f(x) ≥ 0 en [a, c] y f(x) ≤ 0 en [c, b], entonces el valor delarea es:

∫ c

a

f(x)dx−∫ b

c

f(x)dx.

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Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


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II. Area determinada por x = a, x = b, eje OX y las curvas y = f(x) ey = g(x)

Si f(x) ≥ g(x), entonces el valor del area es:

∫ a

b

(f(x)− g(x))dx.

En otro caso, hay que separar [a, b] en intervalos y actuar como antes encada intervalo.

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Grupo

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Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Bibliografıa


Ejemplo: Area del cırculo

Sin perdida de generalidad podemos suponer queel cırculo tiene su centro en el origen decoordenadas.Gracias a la simetrıa de la figura, el areasera igual a cuatro veces el area de la parte delcırculo encerrado en el primer cuadrante.

La curva que define el contorno de un cırculo de centro (0, 0) y radio r es

x2 + y2 = r2 , luego y =√r2 − x2 y el area sera

4

∫ r

0

√r2 − x2dx = 4r

∫ r

0

√1− x2

r2dx =

Cambio de variablexr= sent

dx = rcost

=

= 4r2∫ π

2

0cos2tdt = 4r2

∫ π2

0

1 + cos(2t)

2dt = 4r2

(t

2+sen(2t)

4

) ∣∣∣π20 = πr2

Bloque:Analisis

Matematico


Grupo

HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Bibliografıa

Longitud de un arco de curvaplana

Bloque:Analisis

Matematico


Grupo

HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Bibliografıa


Longitud de un arco de curva

Sea f : [a, b] ⊂ D −→ R una funcion derivable en D y tal que su derivada f ′

es continua en [a, b]. Entonces la longitud L del arco de curva

L = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [a, b]},

viene dada por

L =

∫ b

a

√1 + f ′(x)2dx

Bloque:Analisis

Matematico


Grupo

HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Bibliografıa


Ejemplo

Calculemos la longitud L del arco de curva y =√x3 entre los puntos (0, 0) y

(4, 8). Se tiene que

∫ 4

0

√1 + (

3

2x

12 )2 dx =

∫ 4

0

√1 +

9

4x dx =

8

27(10√10− 1).

Bloque:Analisis

Matematico


Grupo

HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Bibliografıa

Volumen de un solido derevolucion

Bloque:Analisis

Matematico


Grupo

HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Bibliografıa


Solidos de revolucion

Los solidos de revolucion son cuerpos que se generan al girar una regionplana alrededor de un eje.

Por ejemplo:

El cilindro surge al girar un rectangulo alrededor de uno de sus lados.

Bloque:Analisis

Matematico


Grupo

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Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Bibliografıa


Volumen de un solido por secciones

∀x ∈ [a, b], sea A(x) el area de la seccion de obtenida al cortar un solidocomo el de la figura por un plano transversal al eje OX.

El volumen del mismovendra dado por

V =

∫ b

a

A(x)dx

Bloque:Analisis

Matematico


Grupo

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Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Bibliografıa



Sean

f : [a, b] −→ R una funcion continua en [a, b]

A(x) la seccion transversal al eje x del solido generado al girar lafuncion alrededor del eje OX. Se tiene que:

A(x) = πf(x)2 ∀x ∈ [a, b]

Bloque:Analisis

Matematico


Grupo

HEDIMA

Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Bibliografıa



Teniendo en cuenta que A(x) = πf(x)2 ∀x ∈ [a, b], se tiene que el volumendel solido obtenido al girar y = f(x) alrededor del eje OX viene dado por

V = π

∫ b

a

f(x)2dx

Bloque:Analisis

Matematico


Grupo

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Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Bibliografıa


Ejemplo

El volumen del cuerpo de revolucion engendrado al girar el trozo de parabolay =√x, para los valores x ∈ [0, 4], alrededor del eje OX, viene dado por:

V = π

∫ 4

0

(√x)2dx = π

∫ 4

0

x dx = π

[x2

2

]4

0

= 8π

Bloque:Analisis

Matematico


Grupo

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Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Bibliografıa


Ejemplo: Calculo del volumen de una esfera de radio r

Sin perdida de generalidad podemos suponer que su centro se encuentra en elorigen de coordenadas.En ese caso la esfera es generada al girar el semicırculo y = +

√r2 − x2,

x ∈ [−r, r], en torno al eje OX, por tanto

π

∫ r

−r

(√r2 − x2

)2dx = π

∫ r

−r

(r2 − x2)dx = π

[r2x− x3

3

]r

−r

=4

3πr3.

Bloque:Analisis

Matematico


Grupo

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Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Bibliografıa

Bibliografıa

Bloque:Analisis

Matematico


Grupo

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Introduccion

Areas

Una curva

Dos Curvas

Longitud dearco


Bibliografıa

Bibliografıa




M.A. MULERO DIAZ, I. OJEDA MARTINEZ DE CASTILLA,Matematicas para primero de ciencias (Manuales Uex, 2008).


Parte 2

Álgebra lineal y geometría

8. Matrices

Bloque:AlgebraLineal

Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices

Operacionescon matrices

Determinantede una matriz

Propiedadesde losdeterminantes

Aplicacion:Calculo de lamatriz inversa

Bibliografıa







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determinan-tes

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Matrices





Bibliografıa

Bloque: Algebra lineal

Tema: Matrices y determinantes


Tema:Matrices y

determinan-tes

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Matrices





Bibliografıa

Indice

Matrices

Operaciones con matrices

Determinante de una matriz

Propiedades de los determinantes

Aplicacion: Calculo de la matriz inversa


Tema:Matrices y

determinan-tes

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Matrices





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Matrices


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determinan-tes

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Matrices





Bibliografıa

Matrices

Definicion

Se llama matriz de orden m× n con coeficientes en un cuerpo K (por logeneral, K = R o K = C) a un conjunto ordenado de escalaresaij ∈ K, i = 1, . . . ,m y j = 1, . . . , n, dispuestos en m filas y n columnas,formando un rectangulo. Se representa por

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

...am1 am2 . . . amn

.

Las matrices de orden n× n con coeficientes en K se llaman matricescuadradas de orden n con coeficientes en K.

El conjunto de las matrices de orden m× n con coeficientes en K sedesigna por Mm×n(K), y el conjunto de las matrices cuadradas de orden ncon coeficientes en K se designa por Mn(K).


Tema:Matrices y

determinan-tes

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Matrices





Bibliografıa

Matrices

Definicion

Sea A ∈Mm×n(K).

El escalar que se encuentra en la fila i-esima y la columna j-esima se llamaelemento (i, j)-esimo de A; es usual denotarlo por aij , y por tantorepresentar a la matriz A por (aij) .

Dado j ∈ {1, . . . , n} la matriz

a1j...

amj

∈Mm×1(K)

se llama columna j-esima de A, y dado i ∈ {1, . . . ,m} la matriz

(ai1 . . . ain) ∈M1×n(K)

se denomina fila i-esima de A.


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determinan-tes

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Matrices





Bibliografıa

Matrices

Ejemplos

A =

5 7 42 9 56 2 3

∈M3(R); a23 = 5;

(6 2 3

)∈M1×3(R)

B =

(3 5 1 0−1 0 2 12

)∈M2×4(R); b14 = 0;

(50

)∈M2×1(R)

C =

(3 + 5i −1−i 1 + i

)∈M2(C); c22 = 1+i;

(−i 1 + i

)∈M1×2(C)


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determinan-tes

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Matrices





Bibliografıa

Matrices

Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y coinciden elemento aelemento; es decir, si (aij) y (bij) ∈Mm×n(K), entonces

(aij) = (bij)⇐⇒ aij = bij , ∀i = 1, . . . ,m ∀j = 1, . . . , n.

Definicion

Sea A ∈Mm×n(K). Llamaremos submatriz o matriz extraıda de A acualquier matriz obtenida a partir de A suprimiendo algunas de sus filas y/ocolumnas.

Ejemplos

A =

5 7 42 9 56 2 3

; submatriz

(9 52 3

)


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determinan-tes

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Matrices





Bibliografıa

Matrices

Algunos tipos de matrices especiales

i) La matriz nula 0 ∈Mm×n(K) es aquella con m filas y n columnascuyos elementos son todos iguales a 0.

ii) Se dice que una matriz cuadrada D = (dij) ∈Mn(K) es diagonal sidij = 0 para todo i 6= j.

En ocasiones, escribiremos

diag(λ1, . . . , λn),

con λi ∈ K, i = 1, . . . , n, para denotar la matriz diagonalD = (dij) ∈Mn(K) tal que dii = λi, i = 1, . . . , n.


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Matrices

Algunos tipos de matrices especiales

iii) A la matriz diagonal tal que dii = 1 para todo i = 1, . . . , n, se ledenomina matriz unidad (o matriz identidad) de orden n, y se denotapor In; es decir,

In =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

.

Con la notacion habitual de la delta de Kronecker

δij =

{1 si i = j0 si i 6= j

se tine que In = (δij) ∈Mn(K).

iv) Se dice que una matriz cuadrada A = (aij) ∈Mn(K) es triangularsuperior si aij = 0 cuando i > j, y se dice que A es triangular inferior siaij = 0 cuando i < j.


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Matrices

Ejemplos

A =

(0 0 00 0 0

)∈M2×3(R); matriz nula

B =

3 0 00 1 00 0 0

= diag(3, 1, 0) ∈M3(R); matriz diagonal

C =

(1 00 1

)= I2 ∈M2(R); matriz unidad

E =

2 1 40 5 00 0 −1

∈M3(R); matriz triangular superior


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Para que dos matrices puedan sumarse, tienen que ser del mismo orden.

Definicion

En el conjunto Mm×n(K) se define la suma de matrices de la siguientemanera: si A = (aij) y B = (bij) ∈Mm×n(K), entonces

A+B = (aij) + (bij) = (aij + bij) ;

luego, la suma de matrices define como la suma elemento a elemento.

Una matriz se puede multiplicar por un escalar.

Definicion

Si A = (aij) ∈Mm×n(K) y λ ∈ K, se define

λ ·A := (λ · aij) ,

esto es, el producto de un escalar por una matriz es la matriz que resulta almultiplicar cada uno de los elementos de la matriz por el escalar.


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Notese que la suma de matrices verifica las propiedades asociativa,conmutativa y ademas,

i) si A ∈Mm×n(K) y 0 ∈Mm×n(K), entonces A+ 0 = 0 +A = A.

ii) si A = (aij) ∈Mm×n(K), entonces −A = (−aij), de tal forma queA+ (−A) = (−A) +A = 0 ∈Mm×n(K).

Para que dos matrices puedan multiplicarse, el numero de columnas delfactor de la izquierda ha de coincidir con el numero de filas del factor dela derecha.

Definicion

Sean A = (ail) ∈Mm×p(K) y B = (blj) ∈Mp×n(K). Se llama matrizproducto A ·B a C = (cij) ∈Mm×n(K), cuyo elemento (i, j)-esimo es

cij =

p∑

l=1

ailblj , ∀i = 1, . . . ,m, ∀j = 1, . . . , n.


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Ejemplos(

4 2 12 −3 0

)+

(4 2 12 −3 0

)=

(8 4 24 −6 0

)suma

2

(4 2 12 −3 0

)=

(8 4 24 −6 0

)producto escalar

(1 3 2−1 2 0

)·

1 02 40 1

=

(7 143 8

)producto

1 02 40 1

·

(1 3 2−1 2 0

)=

1 3 2−2 14 4−1 2 0

no es conmutativo


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Definicion

Sea A ∈Mm×n(K) llamamos matriz traspuesta de A a la matriz deMm×n(K) que resulta de cambiar filas por columnas y columnas por filas enA. La matriz traspuesta de A siempre existe y se denota por At.

Ejemplo

A =

(4 2 12 −3 0

); At =

4 22 −31 0

Definicion

Sea A ∈Mn(K), diremos que la matriz A es simetrica cuando coincide consu matriz transpuesta, es decir, cuando A = At.

Ejemplo

A =

4 2 12 −3 01 0 5

; At =

4 2 12 −3 01 0 5


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Definicion

Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es invertible (o no singular) si existeB ∈Mn(K) tal que A ·B = B ·A = In. La matriz B si existe es unica, sedenomina matriz inversa de A y la denotaremos por A−1.

Ejemplo

A =

(1 20 1

); A−1 =

(1 −20 1

); A ·A−1 = A−1 ·A = I2

Definicion

Diremos que una matriz A ∈Mn(K) es ortogonal si es invertible yAt = A−1.

Ejemplo

A =

(0 1−1 0

); At =

(0 −11 0

); A ·At = At ·A = I2


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Definicion

Sea A = (aij) ∈Mn(K). Se denomina traza de A al numero

tr(A) =

n∑

i=1

aii.

Ejemplo

A =

4 2 12 −3 01 0 5

; tr(A) = 6

Si A y B ∈Mn(K), se verifica que:

tr(A+B) = tr(A) + tr(B); tr(A) = tr(At) y tr(A ·B) = tr(B ·A)


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Definicion

Sea A = (aij) ∈Mn(K), Se llama determinante de A, y se representa por|A|, al escalar definido por la expresion:

|A| =∑

σ∈Sn

sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),

donde Sn denota al grupo simetrico.

Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simetricoSn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X consı mismo. Podemos escribir una permutacion σ ∈ Sn en forma de matriz,situando en primera fila los elementos del dominio 1, . . . , n, y en la segundalas imagenes correspondientes σ(1), . . . , σ(n). El signo de σ es (−1)ν(σ),siendo ν(σ) el numero de pares (i, j) con i < j tales que σ(i) > σ(j).

σ =

(1 2 33 2 1

)∈ S3; ν(σ) = 3; signo de σ es − 1


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Definicion


|A| =∑

σ∈Sn

sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),


Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simetricoSn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X consı mismo.

Podemos escribir una permutacion σ ∈ Sn en forma de matriz,situando en primera fila los elementos del dominio 1, . . . , n, y en la segundalas imagenes correspondientes σ(1), . . . , σ(n). El signo de σ es (−1)ν(σ),siendo ν(σ) el numero de pares (i, j) con i < j tales que σ(i) > σ(j).

σ =

(1 2 33 2 1

)∈ S3; ν(σ) = 3; signo de σ es − 1


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Matrices





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Definicion


|A| =∑

σ∈Sn

sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),


Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simetricoSn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X consı mismo. Podemos escribir una permutacion σ ∈ Sn en forma de matriz,situando en primera fila los elementos del dominio 1, . . . , n, y en la segundalas imagenes correspondientes σ(1), . . . , σ(n).

El signo de σ es (−1)ν(σ),siendo ν(σ) el numero de pares (i, j) con i < j tales que σ(i) > σ(j).

σ =

(1 2 33 2 1

)∈ S3; ν(σ) = 3; signo de σ es − 1


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Definicion


|A| =∑

σ∈Sn

sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),


Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simetricoSn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X consı mismo. Podemos escribir una permutacion σ ∈ Sn en forma de matriz,situando en primera fila los elementos del dominio 1, . . . , n, y en la segundalas imagenes correspondientes σ(1), . . . , σ(n). El signo de σ es (−1)ν(σ),siendo ν(σ) el numero de pares (i, j) con i < j tales que σ(i) > σ(j).

σ =

(1 2 33 2 1

)∈ S3; ν(σ) = 3; signo de σ es − 1


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Veamos las expresiones explıcitas para los determinantes de las matricescuadradas de ordenes 2 y 3.

i) Si A = (aij) ∈M2(K), entonces

|A| = a11a22 − a12a21

ya que S2 =

{(1 21 2

),

(1 22 1

)}, con signos {1,−1},

respectivamente.

ii) Si A = (aij) ∈M3(K), entonces

|A| =a11a22a33 − a12a21a33 − a13a22a31− a11a23a32 + a12a23a31 + a13a21a32.

Ejemplos

A =

(4 22 −3

); |A| = −16; B =

1 2 01 0 3−1 0 1

; |B| = −8


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|A| = a11a22 − a12a21

ya que S2 =

{(1 21 2

),

(1 22 1


respectivamente.



Ejemplos

A =

(4 22 −3

); |A| = −16;

B =

1 2 01 0 3−1 0 1

; |B| = −8


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|A| = a11a22 − a12a21

ya que S2 =

{(1 21 2

),

(1 22 1


respectivamente.



Ejemplos

A =

(4 22 −3

); |A| = −16; B =

1 2 01 0 3−1 0 1

; |B| = −8


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Sea A = (aij) ∈Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aijde A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la filai-esima y la columna j-esima de A, y lo denotaremos por |Aij |.

De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a lasuma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)cualquiera por sus adjuntos respectivos.

Si elegimos la fila i-esima, el determinante de la matriz A es:

|A| = (−1)i+1ai1|Ai1|+ (−1)i+2ai2|Ai2|+ . . .+ (−1)i+nain|Ain|

=

n∑

j=1

(−1)i+jaij |Aij |,

Si elegimos la columna j-esima, el determinante de la matriz A es:

|A| = (−1)1+ja1j |A1j |+ (−1)2+ja2j |A2j |+ . . .+ (−1)n+janj |Anj |

=n∑

i=1

(−1)i+jaij |Aij |.


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Sea A = (aij) ∈Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aijde A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la filai-esima y la columna j-esima de A, y lo denotaremos por |Aij |.

De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a lasuma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)cualquiera por sus adjuntos respectivos.

Si elegimos la fila i-esima, el determinante de la matriz A es:

|A| = (−1)i+1ai1|Ai1|+ (−1)i+2ai2|Ai2|+ . . .+ (−1)i+nain|Ain|

=

n∑

j=1

(−1)i+jaij |Aij |,

Si elegimos la columna j-esima, el determinante de la matriz A es:

|A| = (−1)1+ja1j |A1j |+ (−1)2+ja2j |A2j |+ . . .+ (−1)n+janj |Anj |

=

n∑

i=1

(−1)i+jaij |Aij |.


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Ejemplos

B =

1 2 01 0 3−1 0 1

Desarrollando por la segunda columna (muchos elementos son nulos)

|B| = (−1)1+22|A12|+ (−1)2+20|A22|+ (−1)3+22|A32|

|A12| =∣∣∣∣(

1 3−1 1

)∣∣∣∣ = 4

|B| = −8


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Sea A = (aij) ∈Mn(K).

P1. Si B es la matriz traspuesta de A, entonces |B| = |A|, es decir,|At| = |A|.

P2. Si una fila (o columna) de A es combinacion lineal de otras de sus filas(o columnas), es decir, es el resultado de sumar otras de sus filas (ocolumnas) multiplicadas por un escalar, entonces |A| = 0.

Ası, en particular, el determinante de una matriz A con dos filas (ocolumnas) iguales o proporcionales es nulo. Asimismo, si todos loselementos de una fila (o columna) de A son nulos, entonces |A| = 0.

P3. Si se intercambian entre sı dos filas (o columnas) de A, el determinantede la matriz B obtenida es el opuesto del determinante de A, es decir,|B| = −|A|.


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Sea A = (aij) ∈Mn(K).

P4. Si se multiplica una fila (o columna) cualquiera de la matriz A por unescalar λ, el determinante de la matriz B obtenida es igual al productode λ por el determinante de A, esto es, |B| = λ|A|.

P5. Si cada elemento de una fila (o columna), por ejemplo la fila p, de lamatriz A es de la forma apj = a′pj + a′′pj , entonces el determinante deA es igual a la suma de los determinantes de dos matrices B y C, talesque la fila p de B esta formada por los elementos a′pj y la fila p de Cesta formada por los elementos a′′pj , y las restantes filas de ambasmatrices son respectivamente iguales a las de A.

P6. Si a la fila (o columna) p de A se le suma otra fila (columna) qmultiplicada por un escalar λ, el determinante de la matriz obtenida esigual al determinante de A.


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Ejemplos

P1.

A =

1 2 01 0 3−1 0 1

; B =

1 1 −12 0 00 3 1

; |A| = |B| = −8

P2.

A =

1 2 02 4 0−1 0 1

; |A| = 0

P3.

A =

1 2 01 0 3−1 0 1

; B =

1 0 31 2 0−1 0 1

; |A| = −8; |B| = 8


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Ejemplos

P4.

A =

1 2 01 0 3−1 0 1

; B =

−1 −2 01 0 3−1 0 1

; |A| = −8; |B| = 8

P5.

A =

1 2 01 0 3−1 0 1

; B =

0 2 01 0 3−1 0 1

; C =

1 0 01 0 3−1 0 1

|B| = −8; |C| = 0; |A| = |B|+ |C| = −8

P6.

A =

1 2 01 0 3−1 0 1

; B =

2 2 31 0 3−1 0 1

; |A| = |B| = −8


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Aplicacion: Calculo de la matrizinversa


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Definicion

Sea A ∈Mn(K). Llamaremos matriz adjunta de A, a la matriz

adj(A) = ((−1)i+j |Aji|) ∈Mn(K).

Lema

Sea A ∈Mn(K). Entonces se cumple que

A · adj(A) = adj(A) ·A =

|A| 0 . . . 00 |A| . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . |A|

= |A| · In.

Teorema

La condicion necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A tengainversa es que su determinante sea distinto de cero. En cuyo caso,

A−1 =1

|A| adj(A).


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Ejemplo

A =

1 2 01 0 3−1 0 1

; |A| = −8 6= 0 invertible

|A11| = 0; |A12| = 4; |A13| = 0; |A21| = 2; |A22| = 1; |A23| = 2

|A31| = 6; |A32| = 3; |A33| = −2;

A−1 = −1

8

0 −2 6−4 1 −30 −2 −2

=

0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.3750 0.250 0.250

1 2 01 0 3−1 0 1

·

0 0.25 −0.7500.5 −0.125 0.3750 0.250 0.250

=

1 0 00 1 00 0 1


Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices





Bibliografıa

Bibliografıa


Tema:Matrices y

determinan-tes

HEDIMA

Matrices





Bibliografıa

I.Ojeda, J.Gago-Vargas Metodos Matematicos para Estadıstica.Manuales UEx, no. 58 (2008).

9. Determinantes


Tema:Sistema deecuaciones

lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL

Discusion conparametros

Interpretaciongeometrica deSEL

Bibliografıa








lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa

Bloque: Algebra Lineal

Tema: Sistema de ecuaciones lineales



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa

Indice

Conceptos basicos

Expresion matricial

Resolucion de SEL

Clasificacion de SEL

Discusion con parametros

Interpretacion geometrica de SEL



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa

Conceptos basicos



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa

Conceptos basicos

Definicion

Se llama sistema de ecuaciones lineales (SEL) con m ecuaciones y nincognitas con coeficientes en un cuerpo K (por lo general, K = R oK = C), a una expresion de la siguiente forma:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

......

......

. . ....

......

...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

Resolver un SEL, es determinar los valores de x1, . . . , xn, que denominaremossolucion y tal que verifiquen todas las ecuaciones del sistema.

Ejemplo

Sistema de 3 ecuaciones con 2 incognitas con coeficientes reales

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

Solucion: x = 1, y = 21 + 2 = 31 − 2 = −1

3 · 1 + 2 = 5



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa

Conceptos basicos

Definicion



......

......

. . ....

......

...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm


Ejemplo


x + y = 3x − y = −13x + y = 5

Solucion: x = 1, y = 2

1 + 2 = 31 − 2 = −1

3 · 1 + 2 = 5



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa

Conceptos basicos

Definicion



......

......

. . ....

......

...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm


Ejemplo


x + y = 3x − y = −13x + y = 5

Solucion: x = 1, y = 21 + 2 = 31 − 2 = −1

3 · 1 + 2 = 5



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa

Conceptos basicos

Definicion

Se llama SEL homogeneo con m ecuaciones y n incognitas con coeficientesen un cuerpo K (por lo general, K = R o K = C), a una expresion de lasiguiente forma:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0

......

......

. . ....

......

...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0

El vector de orden n con todos sus elementos nulos, es siempre solucion delSEL homogeneo.

Ejemplo


x − 2y = 03x − 6y = 0

Soluciones: x = 0, y = 0; x = 2, y = 1; entre otras



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa

Expresion matricial



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa

Expresion matricial

Un SEL se puede representar en forma de productos de matrices como

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

x1x2...xn

=

b1b2...bm

,

denominandose matriz de coeficientes, vector de incognita y vector determino independiente, respectivamente.

De manera mas simplificada, un SEL se puede representar a traves de lamatriz ampliada

a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2

......

. . ....

am1 am2 . . . amn bm

= (A|b), conA ∈Mm×n(k), b ∈Mm×1(k)

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

;

1 11 −13 1

(xy

)=

3−15

;

1 1 31 −1 −13 1 5



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa

Resolucion de SEL



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa

Resolucion de SEL

La resolucion del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangularsuperior (inferior), despejando y sustituyendo sistematicamente de abajo(arriba) a arriba (abajo)

Ejemplo (Triangular superior)

x + y = 32y = 4

(1 10 2

)(xy

)=

(34

)

y = 4/2x + 2 = 3

y = 2x = 1

Ejemplo (Triangular inferior)

2y = 4y + x = 3

(2 01 1

)(yx

)=

(43

)

y = 4/22 + x = 3

y = 2x = 1



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa

Resolucion de SEL

Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operacioneselementales con el fin de obtener una submatriz triangular de ordenmın{m,n}, es decir el menor entre el numero de filas o columnas

Definicion

Se llaman operaciones elementales (OE) por filas en la matriz ampliada (A|b)a las siguientes transformaciones:

(a) Tipo I: Intercambiar las filas i-esima y l-esima

(b) Tipo II: Multiplicar la fila i-esima por λ ∈ k \ {0}.

(c) Tipo III: Sumar a la fila i-esima su fila l-esima multiplicada por λ ∈ k.

Ası, obtenemos un nuevo SEL que es equivalente con el original, en elsentido que tienen las mismas soluciones, y es mas sencillo de resolver.



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa

Resolucion de SEL

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

,

Matriz ampliada

1 1 31 −1 −13 1 5

Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2

OE 1: Primera fila menos segunda fila

1 1 30 2 43 1 5

OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila

1 1 30 2 40 2 4

SEL equivalentex + y = 3

2y = 42y = 4

Solucionx = 1y = 2



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa

Resolucion de SEL

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

, Matriz ampliada

1 1 31 −1 −13 1 5


OE 1: Primera fila menos segunda fila

1 1 30 2 43 1 5


1 1 30 2 40 2 4

SEL equivalentex + y = 3

2y = 42y = 4

Solucionx = 1y = 2



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa




lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa


Los SEL se clasifican de acuerdo a su solucion en compatiblesdeterminados, compatibles indeterminados e incompatibles.

Definicion

Un SEL es compatible cuando tiene solucion, en caso contrario se dice que esincompatible. Ademas, un sistema compatible es determinado si tienesolucion unica, en caso contrario es indeterminado.

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

, Solucionx = 1y = 2

SEL Compatible determinado



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa



Definicion


Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

,

Solucionx = 1y = 2




lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa



Definicion


Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

, Solucionx = 1y = 2




lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa


Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15

,

Matriz ampliada

1 −1 32 −2 65 −5 15


OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila

1 −1 30 0 05 −5 15

OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila

1 −1 30 0 00 0 0

SEL equivalente x − y = 3 Solucionx = 3 + yy ∈ R

SEL compatible indeterminado: x = 3, y = 0; x = 4, y = 1;...



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa


Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 65 −5 15



1 −1 30 0 05 −5 15


1 −1 30 0 00 0 0





lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa


Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 65 −5 15



1 −1 30 0 05 −5 15


1 −1 30 0 00 0 0

SEL equivalente x − y = 3

Solucionx = 3 + yy ∈ R




lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa


Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 65 −5 15



1 −1 30 0 05 −5 15


1 −1 30 0 00 0 0





lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa


Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10

,

Matriz ampliada

1 −1 32 −2 63 −3 10



1 −1 30 0 03 −3 10


1 −1 30 0 00 0 −1

SEL equivalentex − y = 3

0 = −1No exisite solucion

SEL incompatible



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa


Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 63 −3 10



1 −1 30 0 03 −3 10


1 −1 30 0 00 0 −1



SEL incompatible



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa


Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 63 −3 10



1 −1 30 0 03 −3 10


1 −1 30 0 00 0 −1


0 = −1

No exisite solucion

SEL incompatible



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa


Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 63 −3 10



1 −1 30 0 03 −3 10


1 −1 30 0 00 0 −1



SEL incompatible



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa


Formalmente, la clasificacion de SEL se basa en el rango de una matriz

Definicion

Sea A ∈Mm×n(k). Se llama rango de la matriz A y se denota rg(A), alnumero de filas (o columnas) distintas de cero de la matriz resultante final alaplicar operaciones elementales y tal que contenga una submatriz triangularde orden mın{m,n} y que no se pueda hacer mas filas (o columnas) ceros

Ejemplo

(A|b) =

1 1 31 −1 −13 1 5

aplicando OE

1 1 30 2 40 0 0

rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa


Ejemplo

(A|b) =

1 −1 32 −2 65 −5 15

aplicando OE

1 −1 30 0 00 0 0

rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1

Ejemplo

(A|b) =

1 −1 32 −2 63 −3 10

aplicando OE

1 −1 30 0 00 0 −1

rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa


Teorema de Rouche-Frobenius

Sea A ∈Mm×n(k) la matriz de coeficientes de un SEL, b ∈Mm×1(k) suvector de terminos independientes y n el numero de incognitas. Entonces elSEL es

Compatible determinado si rg(A) = rg(A|b) = n

Compatible indeterminado si rg(A) = rg(A|b) < n, con n− rg(A)incognitas indeterminadas

Incompatible si rg(A) < rg(A|b)

Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

, Matriz ampliada

1 1 31 −1 −13 1 5

rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2, entonces SEL compatible determinado



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa







Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

,

Matriz ampliada

1 1 31 −1 −13 1 5




lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa







Ejemplo

x + y = 3x − y = −13x + y = 5

, Matriz ampliada

1 1 31 −1 −13 1 5




lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa


Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15

,

Matriz ampliada

1 −1 32 −2 65 −5 15

rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1, entonces SEL compatible indeterminado con unaincognita a determinar

Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 63 −3 10

rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2, entonces SEL incompatible



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa


Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 65 −5 15


Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 63 −3 10




lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa


Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 65 −5 15


Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10

,

Matriz ampliada

1 −1 32 −2 63 −3 10




lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa


Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 65x − 5y = 15

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 65 −5 15


Ejemplo

x − y = 32x − 2y = 63x − 3y = 10

, Matriz ampliada

1 −1 32 −2 63 −3 10




lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa




lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa


Determinar la solucion del SEL en funcion de ciertos parametros de lamatriz de coeficientes y/o del vector de terminos independientes

Ejemplo

x + y + z = 1ay + az = 2

ax + ay + z = 1, con parametro a ∈ R

Matriz ampliada

1 1 1 10 a a 2a a 1 1

OE 1: a veces primera fila menos tercera fila

1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa



Ejemplo (Continuacion)

Si a = 0, entonces

1 1 1 10 0 0 20 0 −1 −1

, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 3

SEL incompatible

Si a = 1, entonces

1 1 1 10 1 1 20 0 0 0

, rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2

SEL compatible indeterminadox = −1, y = 2− z, z ∈ R (incognita a fijar)



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa



Ejemplo (Continuacion)

Si a 6= 0, 1, entonces

1 1 1 10 a a 20 0 a− 1 a− 1

, rg(A) = 3 y rg(A|b) = 3

SEL compatible determinado para cada valor de a:

x = (a− 2)/a, y = (2− a)/a, z = 1

Si a = 2, entonces, la solucion es x = 0, y = 0, z = 1

Si a = −2, entonces, la solucion es x = 2, y = −2, z = 1



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa




lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa


SEL con dos ecuaciones y dos incognitas

En este caso, cada ecuacion representa una recta que se situa en el plano(dimension 2). Entonces, la posicion relativa de las dos rectas puede ser

Las dos rectas se cortan en un punto.

El punto de corte es la solucion del SEL, por tanto compatibledeterminado

Las dos rectas son coincidentes.

Existen infinitos puntos (los que yacen en la recta) que verifican las dosecuaciones, por tanto SEL compatible indeterminado

Las dos rectas son paralelas y no coincidentes

No existen puntos comunes a las dos rectas y por tanto el SEL esincompatible



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa


SEL con tres ecuaciones y tres incognitas

En este caso, cada ecuacion representa un plano que se situa en el espacio(dimension 2). Entonces, la posicion relativa de los tres planos puede ser

Los tres planos se cortan en un unico punto comun.

El punto comun es la solucion del SEL, por tanto compatibledeterminado

Los tres planos son coincidentes, o dos planos son coincidentes y el otrolos corta, o los tres planos se cortan en la misma recta.

Existen infinitos puntos que verifican las tres ecuaciones, por tanto SELcompatible indeterminado

Tres planos paralelos (al menos dos no coincidentes), o dos paralelos y elotro que los corte, o los planos se cortan dos a dos

No existen puntos comunes a los tres planos a la vez y por tanto el SELes incompatible.



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa


Ejemplo

Los tres planos se cortan en un punto. SEL compatible determinado

−200

2040

−10

0

10

20−10

−5

0

5

10



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa


Ejemplo

Los planos se cortan en un misma recta. SEL compatible indeterminado

−20 0 20 40−10

0

10

−10

−5

0

5

10



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa


Ejemplo

Los planos se cortan dos a dos. SEL incompatible

−30−20−100102030−10−5

05

10−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa

Bibliografıa



lineales

HEDIMA

Conceptosbasicos

Expresionmatricial

Resolucion deSEL

Clasificacionde SEL



Bibliografıa

I.Ojeda, J.Gago-Vargas Metodos Matematicos para Estadıstica.Manuales UEx, no. 58 (2008).

10. Vectores en el espacio tridimensional

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el

espaciotridimensional

HEDIMA

Espaciovectorial real

Combinacionlineal devectores

Dependenciae indepen-dencialineal

Operacionescon vectores

Productoescalar

Productovectorial

Productomixto






Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Bloque: Geometrıa

Tema: Vectores en el espacio tridimensional

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Indice

Espacio vectorial real

Combinacion lineal de vectores

Dependencia e independencia lineal

Operaciones con vectores

Producto escalar. Propiedades. Significado geometrico

Producto vectorial. Propiedades. Significado geometrico

Producto mixto. Propiedades. Significado geometrico

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

1. Espacio vectorial real

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto


Definicion

Consideremos un conjunto V = {u,v,w, ...}, en el que definimos lassiguientes operaciones:

Suma: u+ v

Producto por escalares: ku, (k ∈ R)

El conjunto V, con las operaciones suma y producto por escalares, es unespacio vectorial si se verifican las propiedades que veremos a continuacion

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto


Propiedades

Asociativa: (u+ v) +w = u+ (v +w)

Conmutativa: u+ v = v + u

Elemento neutro: existe un elemento que designaremos por 0, tal quecualquiera que sea el elemento u se verifica u+ 0 = u

Elemento opuesto: cualquiera que sea el elemento u, existe otro, −u(opuesto de u), tal que u+ (−u) = 0

k(u+ v) = ku +kv (k ∈ R)

(k + h)u = ku +hu (k, h ∈ R)

k(hu) = (kh)u (k, h ∈ R)

1u = u, donde 1 es el elemento unidad del conjunto de los numerosreales

A los elementos de V se les llama vectores

Bloque:Geometrıa

Tema:Vectores en el


HEDIMA





Productoescalar

Productovectorial

Productomixto

Ejemplos de espacios vectoriales reales

Ejemplos de espacios vectoriales

Los conjuntos R2 = R × R; R3 = R × R × R;...;Rn = R × ...n × R,con las operaciones suma y producto por numeros reales. Por ejemplo,en el espacio vectorial R3, cada vector es una terna de numeros reales(x, y, z), y las operaciones suma y producto por un numero real λ son lassiguientes:

(x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x+ x′, y + y′, z + z′) λ · (x, y, z) = (λx, λy, λz)

El conjunto de las matrices de numeros reales de m = 2 filas y n = 3columnas, con las operaciones de suma de matrices y producto de unescalar por una matriz (valido tambien para otros valores de m y n).

El conjunto de los polinomios con coeficientes reales de grado menor oigual a n = 3, con las operaciones usuales de suma de polinomios yproducto de un polinomio por un numero real (valido tambien para otrosvalores de n).

El conjunto de funciones reales continuas definidas en el intervalo [0, 1],con las operaciones usuales de suma de funciones y producto de unafuncion por un numero real.

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Productoescalar

Productovectorial

Productomixto


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Productovectorial

Productomixto


Definicion

Un vector u de V es combinacion lineal de los vectores u1,u2, ...,un de V,si puede expresarse ası:

u = a1u1 + a2u2 + ...+ anun,

siendo a1, a2, ..., an numeros reales.

Ejemplo

En el espacio vectorial R3, podemos escribir el vector (−4, 4, 32), comocombinacion lineal de los vectores: (2, 3, 4), (1, 0,−1) y (−1,−1, 3) de lasiguiente manera:

(−4, 4, 32) = 3(2, 3, 4)− 5(1, 0,−1) + 5(−1,−1, 3)

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Productomixto

Subespacio engendrado

Definicion

Sea V un espacio vectorial. Se dice que W es un subespacio vectorial deV, si se verifican las siguientes condiciones:

1 W es un subconjunto no vacıo de V

2 La suma de dos vectores de W es otro vector de W

3 El producto de un numero real por un vector de W es otro vector de W

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Ejemplo de subespacio engendrado

Ejemplo

En el espacio vectorial R3, consideremos el subconjunto W formado por losvectores cuya tercera componente es nula, es decir,

W = {(x, y, 0) : x, y ∈ R}.

W verifica:

1 Es un subconjunto no vacıo de R3, ya que, al menos, el vector nulopertenece a W

2 La suma de dos vectores de W es otro vector de W

3 El producto de un numero real cualquiera por un vector de W es otrovector de W

El conjunto W es un espacio vectorial con las operaciones suma y productopor un numero real usadas en el espacio vectorial R3. Por lo tanto, W es unsubespacio vectorial de R3.

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Subespacio engendrado

Definicion

Sea S = {u1,u2, ...,un} un conjunto de vectores de un espacio vectorial V.Se llama subespacio engendrado por S, y se le designa por L(S) o por< u1,u2, ...,un >, al subespacio vectorial formado por todas lascombinaciones lineales que se pueden hacer con los vectores de S, es decir:

L(S) = {a1u1 + a2u2 + ...+ anun}

Los vectores u1,u2, ...,un se dice que forman un sistema generador delespacio L(S)

Ejemplo

En el espacio vectorial R3, el subespacio vectorial engendrado por losvectores u = (1,−1, 3) y v = (2,−5, 6) es:

L(u,v) = < u,v > = {a1u+ a2v} == {a1(1,−1, 3) + a2(2,−5, 6)} == {(a1 + 2a2, −a1 − 5a2, 3a1 + 6a2)}

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Dependencia e independencialineal

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Definicion

Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si al menos uno deellos se puede expresar como combinacion lineal de los restantes. En casocontrario se dice que son linealmente independientes.

Ejemplo

En el ejemplo que veıamos anteriormente, los vectores: (−4, 4, 32), (2, 3, 4),(1, 0,−1) y (−1,−1, 3) son linealmente dependientes pues el primero sepuede escribir como combinacion lineal del resto.

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Otra forma de definir los conceptos anteriores es la siguiente:

Definicion

Los vectores u1,u2,...,un son linealmente dependientes si existe unacombinacion lineal de los vectores con algun coeficiente no nulo que sea igualal vector cero, es decir:

a1u1 + a2u2 + ...+ anun = 0,

con algun ai 6= 0,i = 1, ..., n.

Definicion

Los vectores u1,u2,...,un son linealmente independientes si cualquiercombinacion lineal de los vectores que sea igual al vector cero, tiene quetener todos los coeficientes nulos, es decir:

a1u1 + a2u2 + ...+ anun = 0,

solo es posible con todos los ai = 0, i = 1, ..., n.

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Ejemplo

Supongamos que queremos estudiar la dependencia lineal en R3 del conjuntode vectores:

{(3, 3, 2), (1, 1,−1), (2, 2, 3)}.Vamos a tratar de escribir un vector como combinacion lineal del resto:

(3, 3, 2) = a1(1, 1,−1) + a2(2, 2, 3)

Identificando las componentes, obtenemos el siguiente sistema:

3 = a1 + 2a2

3 = a1 + 2a2

2 = −a1 + 3a2

La solucion de este sistema es a1 = 1 y a2 = 1, por tanto el vector (3, 3, 2)se puede escribir como combinacion lineal del resto y, en consecuencia, losvectores dados son linealmente dependientes.

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Base de un espacio vectorial

Definicion

Sea V un espacio vectorial y B un subconjunto de vectores de V. Se diceque B es una base de V si se verifican las siguientes condiciones:

B es un sistema generador de V

B es linealmente independiente

Definicion

Llamamos dimension del espacio V al numero de elementos que tienecualquiera de sus bases.

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Ejemplos de bases y dimensiones de espacios vectoriales

Ejemplos

1 El espacio vectorial R2 esta formado por pares de numeros reales (x, y).Tiene como base canonica B = {(1, 0), (0, 1)}, porque

B es sistema generador de R2 porque cualquier par de numeros reales(x, y) es combinacion de B: (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1).

B es linealmente independiente porque si x(1, 0) + y(0, 1) = (0, 0),entonces x = 0 e y = 0.

Por tanto, R2 tiene dimension 2.

2 El espacio vectorial R3 esta formado por ternas de numeros reales(x, y, z). Tiene como base canonica B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)},por lo que tiene dimension 3.

3 En R3, el espacio vectorial W engendrado por el vector u = (1, 2, 3)tiene por base al propio vector u, pues u es no nulo y genera todo elespacio W . Por tanto la dimension de W es 1.

4 La base mas sencilla del espacio vectorial de los polinomios de gradomenor o igual a 2 es {x2, x, 1} y por lo tanto tiene dimension 3.

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Coordenadas de un vector

Definicion

Sea V un espacio vectorial de dimension n y B = {u1,u2, ...,un} una basede V. Se llaman coordenadas de un vector v de V, respecto de la base B,al conjunto de numeros reales a1, a2, ..., an, que permite expresar el vector vcomo combinacion lineal de los vectores de la base, es decir:

v = a1u1 + a2u2 + ...+ anun

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Coordenadas de un vector

Ejemplo

En el espacio vectorial R3, vamos a calcular las coordenadas del vector(1, 0, 0), respecto de la base:

B = {(1,−1, 0), (0, 0, 2), (3, 0, 1)}

Para ello planteamos,

(1, 0, 0) = a1(1,−1, 0) + a2(0, 0, 2) + a3(3, 0, 1),

e igualamos coordenada a coordenada para obtener el siguiente sistema deecuaciones

1 = a1 + 3a3

0 = a1

0 = 2a2 + a3

cuya solucion:a1 = 0, a2 = −1/6, a3 = 1/3,

son las coordenadas del vector (1, 0, 0) en la base B

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2. Operaciones con vectores

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Vectores fijos en el espacio

Definicion de vector fijo

Llamamos vector fijo de un espacio a un segmento orientado cuyos extremos

estan determinados. Designaremos por−→AB a un vector fijo del espacio que

tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B.

Definicion de vector nulo

Si en un vector su origen coincide con su extremo, se dice que es el vectorfijo nulo.

Todo vector fijo no nulo−→AB en el espacio queda caracterizado por un par

de puntos (A,B) o por su modulo, direccion y sentido.

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Vectores fijos en el espacio

Definicion de modulo de vector fijo

Se llama modulo del vector−→AB, y se denota |−→AB|, a la longitud del

segmento de extremos los puntos A y B.

Definicion de direccion de un vector fijo

Se llama direccion del vector−→AB a la direccion de la recta que pasa por A y

B.

Definicion de sentido de un vector fijo

Se llama sentido del vector−→AB al sentido de recorrido de la recta AB

cuando nos trasladamos de A a B.

Como estandar, denotaremos −→u o −→v a los vectores fijos.

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Ejemplos

Ejemplo

Los vectores de la siguiente figura tiene igual modulo, direccion y sentido.

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Productomixto

Ejemplos

Ejemplo

Los vectores de la siguiente figura tiene igual direccion y sentido pero distintomodulo.

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Ejemplos

Ejemplo

Los vectores de la siguiente figura tiene igual direccion pero distinto moduloy sentido.

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Ejemplos

Ejemplo

Los vectores de la siguiente figura tiene distinto modulo, direccion y sentido.

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Productomixto

Producto escalar. Propiedades.Significado geometrico

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Definicion de producto escalar

Definicion

El producto escalar de dos vectores −→u y −→v se designa por −→u · −→v y seobtiene del siguiente modo:

−→u · −→v =

{|−→u ||−→v | cos(−→u ,−→v ), si −→u y −→v son no nulos

0 si −→u o −→v es el vector nulo

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Productomixto

Propiedades del producto escalar

1. El producto escalar de un vector por sı mismo es un numero positivo onulo: −→u · −→u ≥ 0

2. El producto escalar es conmutativo: −→u · −→v = −→v · −→u

3. Propiedad homogenea: k(−→u · −→v ) = (k−→u ) · −→v o k(−→u · −→v ) = −→u · (k−→v )siendo k ∈ R.

4. Propiedad distributiva respecto de la suma:−→u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w

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Significado geometrico del producto escalar

Consideremos las figuras anteriores donde se representan los vectores −→u y−→v . Al proyectar el vector −→v sobre la direccion del vector −→u o viceversa,obtenemos:

Proyeccion de −→v sobre −→u = medida del segmento−→AB = |−→AB| = vector

proyeccion de −→v sobre −→u

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Significado geometrico del producto escalar

El producto escalar de dos vectores cualesquiera −→u y −→v es igual almodulo de −→u por la proyeccion de −→v sobre −→u o viceversa:

−→u · −→v = |−→u ||−→v | cos(−→u ,−→v ) = |−→u |(proyeccion de −→v sobre −→u )

−→u · −→v = |−→u ||−→v | cos(−→u ,−→v ) = |−→v |(proyeccion de −→u sobre −→v )

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Calculo del modulo y el angulo de un vector

Calcularemos el modulo de un vector como la raız cuadrada positiva delproducto escalar del vector por sı mismo:

|−→u | =√−→u · −→u

Diremos que un vector −→u es unitario si tiene modulo igual a 1 (|−→u | = 1).

Calcularemos el coseno del angulo formado por dos vectores como la divisiondel producto escalar entre el producto de sus modulos:

cos(−→u ,−→v ) =−→u · −→v|−→u ||−→v |

Diremos que dos vectores −→u y −→v son ortogonales si su producto escalar es0.

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Productomixto

Expresion analıtica del producto escalar

Sea B = (−→u1,−→u2,−→u3) una base cualquiera y −→u ,−→v dos vectores

cualesquiera cuyas coordenadas en la base B son, respectivamente, (x, y, z) y(x′, y′, z′). Entonces el producto escalar de ambos vectores en terminos decoordenadas se puede expresar ası:

−→u · −→v = (x−→u1 + y−→u2 + z−→u3) · (x′−→u1 + y′−→u2 + z′−→u3)

= xx′(−→u1 · −→u1) + xy′(−→u1−→u2) + xz′(−→u1 · −→u3)

+ yx′(−→u2 · −→u1) + yy′(−→u2−→u2) + yz′(−→u2 · −→u3)

+ zx′(−→u3 · −→u1) + zy′(−→u3−→u2) + zz′(−→u3 · −→u3)

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Expresion analıtica del producto escalar

B es una base normada si esta formada por vectores unitarios, es decir,

−→u1 · −→u1 = −→u2 · −→u2 = −→u3 · −→u3 = 1.

En este caso, la expresion analıtica del producto escalar es:

−→u · −→v = xx′ + yy′ + zz′ + (xy′ + yx′)(−→u1−→u2)

+ (xz′ + zx′)(−→u1 · −→u3) + (yz′ + zy′)(−→u2 · −→u3)

B es una base ortogonal si los vectores de la base son ortogonalestomados de dos en dos, es decir,

−→u1 · −→u2 = −→u1 · −→u3 = −→u2 · −→u3 = 0.

En este caso, la expresion analıtica del producto escalar es:

−→u · −→v = xx′(−→u1−→u1) + yy′(−→u2

−→u2) + zz′(−→u3−→u3)

B es una base ortonormal si es una base normada y ortogonal. En estecaso, la expresion analıtica del producto escalar es:

−→u · −→v = xx′ + yy′ + zz′

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Ejemplos de producto escalar

Ejemplo

El producto escalar de dos fuerzas f1 y f2 en el espacio, que tienen,respectivamente, 5 y 2 newton de intensidad y forman un angulo de 60o es:

f1 · f2 = |f1||f2| cos(f1, f2) = 5 · 2 · 0,5 = 5

Ejemplo

Puesto que

−→u · −→v = |−→u ||−→v | cos(−→u ,−→v ) = |−→v |(proyeccion de −→u sobre −→v ),

la proyeccion del vector −→u = (2, 1, 3) sobre el vector −→v = (−3, 4, 2)considerando una base ortonormal es:

proyeccion de −→u sobre −→v =−→u · −→v|−→v | =

2(−3) + 1 · 4 + 3 · 2√(−3)2 + 42 + 22

=4√29

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Productomixto

Producto vectorial. Propiedades.Significado geometrico

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Productovectorial

Productomixto

Definicion de producto vectorial

Definicion

El producto vectorial de dos vectores −→u y −→v es otro vector que se designapor −→u ×−→v y que se obtiene del siguiente modo:

1 Si −→u y −→v son dos vectores no nulos, y no proporcionales, −→u ×−→v es unvector que tiene:

modulo: |−→u ||−→v | sin(−→u ,−→v )direccion: perpendicular a los vectores −→u y −→vsentido: el de avance de un sacacorchos que gira en sentido positivo de−→u a −→v .

2 Si −→u =−→0 o −→v =

−→0 o si −→u y −→v son proporcionales, entonces se tiene

que −→u ×−→v =−→0

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Productovectorial

Productomixto

Propiedades del producto vectorial

1. Anticonmutativa: −→u ×−→v = −−→v ×−→u

2. Homogenea: k(−→u ×−→v ) = (k−→u )×−→v = −→u × (k−→v ) (k ∈ R).

3. Distributiva respecto de la suma: −→u × (−→v +−→w ) = −→u ×−→v +−→u ×−→w

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Productomixto

Significado geometrico del producto vectorial

Sean −→u y −→v los vectores de la figura.

Si trazamos por B una perpendicular a la recta−→OA, corta a esta en el

punto B′ y se verifica que:

sin(−→u ,−→v ) = |−−→BB′||−→v | ,

de donde:

|−−→BB′| = |−→v | sin(−→u ,−→v ).

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Productomixto

Significado geometrico del producto vectorial

Multiplicando ambos miembros por el modulo del vector −→u obtenemos:

|−→u ||−−→BB′| = |−→u | |−→v | sin(−→u ,−→v ) = |−→u ×−→v |,

y como |−→u ||−−→BB′| es el producto de la base por la altura del paralelogramo

OACB se tiene que el modulo del producto vectorial de −→u y −→v es igualal area del paralelogramo que tiene por lados los vectores −→u y −→v .

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Expresion analıtica del producto vectorial

Sea B = (−→u1,−→u2,−→u3) una base ortonormal y −→u ,−→v dos vectores

cualesquiera cuyas coordenadas en la base B son, respectivamente, (x, y, z) y(x′, y′, z′). Entonces el vector −→u ×−→v tiene las siguientes componentes:

−→u ×−→v =

(∣∣∣∣y zy′ z′

∣∣∣∣ ,∣∣∣∣z xz′ x′

∣∣∣∣ ,∣∣∣∣x yx′ y′

∣∣∣∣),

Podemos recordar lo anterior relacionandolo con el calculo de losdeterminantes:

−→u ×−→v =

∣∣∣∣∣∣

−→u1−→u2

−→u3

x y zx′ y′ z′

∣∣∣∣∣∣

(El ultimo determinante solo es una regla para recordar el calculo de unaproducto vectorial, puesto que no tiene sentido matematico el determinantede una matriz cuyos elementos sean vectores mezclados con numeros)

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Ejemplo de producto vectorial

Ejemplo

El producto vectorial de los vectores (1, 2, 3) y (0, 3, 5) da como resultado:

(1, 2, 3)× (0, 3, 5) =

∣∣∣∣∣∣

−→u1−→u2

−→u3

1 2 30 3 5

∣∣∣∣∣∣= u1 − 5u2 + 3u3,

es decir el vector (1,−5, 3)

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Producto mixto. Propiedades.Significado geometrico

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Productomixto

Definicion de producto mixto

Definicion

El producto mixto de tres vectores −→u , −→v y −→w es un numero real que sedesigna por [−→u ,−→v ,−→w ] y que se obtiene del siguiente modo:

[−→u ,−→v ,−→w ] = −→u · (−→v ×−→w )

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Propiedades del producto mixto

1. [−→u ,−→v ,−→w ] = [−→v ,−→w ,−→u ] = [−→w ,−→u ,−→v ]

2. [−→u ,−→w ,−→v ] = [−→v ,−→u ,−→w ] = [−→w ,−→v ,−→u ] = −[−→u ,−→v ,−→w ]

3. [−→u ,−→v ,−→w ] = 0 si y solo si, −→u , −→v , −→w son linealmente dependientes.

4. [a−→u , b−→v , c−→w ] = abc[−→u ,−→v ,−→w ]

5. [−→u +−→u′ ,−→v ,−→w ] = [−→u ,−→v ,−→w ] + [

−→u′ ,−→v ,−→w ]

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Significado geometrico del producto mixto

Sean −→u , −→v y −→w los vectores de la figura.

|[−→u ,−→v ,−→w ]| = |−→u · (−→v ×−→w )| = |−→u ||−→v ×−→w || cos( −→u ,−→v ×−→w )|

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Significado geometrico del producto mixto

Como |−→u || cos( −→u ,−→v ×−→w )| = |−−→OH| es la altura del paralelepıpedoconstruido sobre los tres vectores, y como |−→v ×−→w | es el area de la base,resulta que:

|[−→u ,−→v ,−→w ]| = base · altura = volumen.

El valor absoluto del producto mixto de tres vectores es igual alvolumen del paralelepıpedo que tiene por aristas a los tres vectores.

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Expresion analıtica del producto mixto

Sea B = (−→u1,−→u2,−→u3) una base ortonormal y −→u ,−→v ,−→w tres vectores

cualesquiera cuyas coordenadas en la base B son, respectivamente, (x, y, z),(x′, y′, z′) y (x′′, y′′, z′′). Entonces el producto mixto [−→u ,−→v ,−→w ] tiene lasiguiente expresion analıtica:

[−→u ,−→v ,−→w ]

= −→u · (−→v ×−→w )

= (x−→u + y−→v + z−→w ) ·(∣∣∣∣

y′ z′

y′′ z′′

∣∣∣∣−→u +

∣∣∣∣z′ x′

z′′ x′′

∣∣∣∣−→v +

∣∣∣∣x′ y′

x′′ y′′

∣∣∣∣−→w)

= x

∣∣∣∣y′ z′

y′′ z′′

∣∣∣∣+ y

∣∣∣∣z′ x′

z′′ x′′

∣∣∣∣+ z

∣∣∣∣x′ y′

x′′ y′′

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

x y zx′ y′ z′

x′′ y′′ z′′

∣∣∣∣∣∣= det(−→u ,−→v ,−→w )

es decir,[−→u ,−→v ,−→w ] = det(−→u ,−→v ,−→w )

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Ejemplo de producto mixto

Ejemplo

El producto mixto de los vectores (0, 1, 3), (2, 4, 6) y (1, 2, 1) es:

[(0, 1, 3), (2, 4, 6), (1, 2, 1)] = det((0, 1, 3), (2, 4, 6), (1, 2, 1)) = 4

11. Geometría en el plano

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el plano

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Rectas

Ecuacionesde las rectas

Paralelismo,Angulos yDistancias

Geometria deotras figurasnotables

Bibliografıa






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el plano

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Rectas




Bibliografıa

Bloque: Geometrıa

Tema: Geometrıa en el plano

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el plano

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Rectas




Bibliografıa

Indice

Rectas

Ecuaciones

Paralelismo

Angulos

Distancias

Otras figuras notables del plano

Triangulos

Circunferencias

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el plano

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Rectas




Bibliografıa

Puntos y vectores en el plano real

En el plano real R2, conviene distinguir entre punto y vector :

Puntos y vectores

Si consideramos R2 como un conjunto, sus elementos los llamaremos puntos,y los escribiremos con letras mayusculas: P,Q,R, . . ..Si consideramos R2 como espacio vectorial, sus elementos se llaman vectores,y los escribiremos con letras minusculas: u, v, w, . . ..

Aparentemente, esta distincion carece de sentido, puesto que tanto unpunto P como un vector v se representan por una pareja de numeros reales,que se llaman sus coordenadas.

Notacion

Al escribir P (2, 1), hacemos referencia al punto P de coordenadas (2, 1).Analogamente, la notacion v(2, 1) hace referencia al vector de coordenadas(2, 1).

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el plano

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Bibliografıa

Puntos y vectores en el plano real

Sin embargo, la sutil diferencia entre punto y vector es fundamental.La operacion que permite hacer geometrıa es que tiene sentido trasladar

un punto por un vector:

Traslacion de un punto por un vector

Sea P (p1, p2) un punto y v(v1, v2) un vector. El punto P + v se define comoel punto de coordenadas (p1 + v1, p2 + v2).

Ejemplo

La traslacion del punto P (1, 1) por el vector v(2, 1) es el punto decoordenadas:

(3, 2) .

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Estudio de las rectas en el plano

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Ecuaciones

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Ecuaciones de las rectas en el plano

Definicion

Dado un punto P del plano y un vector no nulo v, la recta que pasa por Pcon la direccion v es el conjunto de los puntos X que satisfacen que:

-Existe un λ ∈ R tal que:X = P + λv

para algun λ ∈ R .

Conviene recordar:

La direccion de una recta es un espacio vectorial de dimension uno, 〈v〉.

Por dos puntos distintos, P y Q, pasa una unica recta, que denotamosP +Q:

P +Q := P + λ ~PQ .

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Ejemplo

Consideremos los puntos P (1, 0) y Q(0, 1).

Dado que ~PQ = (−1, 1), la recta definida por P y Q es el conjunto depuntos X(x, y) en el plano que satisfacen:

(x, y) = (1, 0) + λ(−1, 1)

para algun λ ∈ R.

La direccion de esta recta P +Q es el espacio vectorial

〈 ~PQ〉 = 〈(−1, 1)〉 .

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Ecuaciones parametricas

Si P (p1, p2) y v(v1, v2), la recta que pasa por P con direccion v es elconjunto de puntos X(x, y) que satisfacen:

{x = p1 + λ v1

y = p2 + λ v2


Ejemplo

Consideremos los puntos P (1, 0) y Q(0, 1).

Como ~PQ = (−1, 1), las ecuaciones parametricas de la recta P +Q son:

{x = 1− λy = λ

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Ecuacion general

Toda recta admite una ecuacion del tipo:

ax+ by = c

para ciertos numeros a, b, c ∈ R.

Observacion

A partir de dicha ecuacion, podemos obtener directamente:

La direccion perpendicular a la recta:

〈(a, b)〉 .

La direccion de la recta:〈(b,−a)〉 .

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Ecuaciones de los planos en el espacio

Ejemplo

Consideremos los puntos P (1, 0) y Q(0, 1).Hemos calculado en el ejemplo anterior que la direccion de la recta P +Q esel espacio vectorial

〈(−1, 1)〉 .Por tanto la direccion ortogonal es 〈(1, 1)〉 y la ecuacion general de la rectaes de la forma:

x+ y = c .

Como el punto P (1, 0) esta en la recta, su ecuacion es:

x+ y = 1 .

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Ecuacion, dados dos puntos

La recta que pasa por un punto P (p1, p2) y un punto Q(q1, q2) admite laecuacion:

P +Q ≡ x− p1q1 − p1

=y − p2q2 − p2

.

Ejemplo

La ecuacion de la recta que pasa por los puntos P (2, 1) y Q(0, 3) es:

x− 2

−2 =y − 1

3− 1

Es decir, la ecuacion de tal recta es:

x+ y = 3 .

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Paralelismo, Angulos y Distancias

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Paralelismo de rectas

Definicion

Dos rectas son paralelas si tienen la misma direccion.Equivalentemente, dos rectas son paralelas si:

cualesquiera vectores directores de ambas son proporcionales.

o bien

cualesquiera vectores normales de ambas son proporcionales.

Condicion de paralelismo

Dos rectas de ecuaciones ax+ by = c y a′x+ b′y = c′ son paralelas si y solosi:

a

a′=

b

b′.

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Paralelismo de rectas

Ejemplo

Veamos que, dada una recta y un punto exterior a ella, existe una unica rectaparalela a la dada y que pasa por dicho punto.Calculemos, a modo de ejemplo, la recta paralela a r ≡ 2x− y = 5 y quepasa por el punto (1, 3).Si una recta es paralela a r, entonces ha de tener la ecuacion:

2x− y = c

para cierto c ∈ R.Si ademas nos dicen que pasa por el punto (1, 3), entonces quedacompletamente determinada:

2x− y = −1 .

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Angulo entre dos rectas

Definicion

Dadas dos rectas r y s, el angulo que forman, que escribimos ∠(r, s), sedefine como el unico angulo comprendido entre 0 y π/2 de entre los cuatroangulos que se pueden formar con un vector (no nulo) de la direccion de r yotro vector de la direccion de s.

Rectas perpendiculares

Dos rectas de ecuaciones ax+ by = c y a′x+ b′y = c′ son Perpendiculares siy solo si:

aa′ + bb′ = 0 .

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Angulos entre de rectas

Ejemplo

Veamos que, dada una recta y un punto exterior a ella, existe una unica rectaperpendicular a la dada y que pasa por dicho punto.Calculemos, a modo de ejemplo, la recta perpendicular a r ≡ 2x− y = 5 yque pasa por el punto (1, 3).Si una recta es perpendicular a r, entonces ha de tener la ecuacion:

x− 2y = c

para cierto c ∈ R.Si ademas nos dicen que pasa por el punto (1, 3), entonces quedacompletamente determinada:

x− 2y = −5 .

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Distancia de un punto a una recta

Calculo

La distancia de un punto P (p1, p2) a la recta r de ecuacion ax+ by = c vale:

dist(P, r) =|ap1 + bp2 − c|√

a2 + b2.

Ejemplo

La distancia del punto P (3, 1) a la recta r de ecuacion 2x+ 2y = −4 vale:

dist(P, r) =|2 · 3 + 2 · 1− (−4)|√

22 + 22=

12

2√2=

6√2.

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Otras figuras notables del plano

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Triangulos

Teorema del coseno

Sea un triangulo de vertices A, B y C. Denotemos los angulos en dichosvertices α, β y γ; y denotemos los lados opuestos a dichos vertices como a, by c.Se cumple la siguiente relacion:

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ .

Teorema del seno

Sea un triangulo de vertices A, B y C. Denotemos los angulos en dichosvertices α, β y γ; y denotemos los lados opuestos a dichos vertices como a, by c.Se cumple la siguiente relacion:

a

senα=

b

senβ=

c

sen γ.

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Circunferencias

Definicion

Se llama circunferencia de centro C y radio ρ al lugar geometrico de lospuntos del plano que distan ρ del punto C.

Ecuacion

Si C ≡ (c1, c2), entonces la ecuacion de la circunferencia con centro en C yradio ρ es:

(x− c1)2 + (y − c2)2 = ρ .

Recuerdese tambien que:

La longitud de una circunferencia de radio ρ vale 2πρ.

El area encerrada en su interior vale πρ2.

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Bibliografıa

Bibliografıa

V. BOLOS et. AL., Algebra Lineal y Geometrıa (Manuales UEX - 50,2007).

J. BURGOS, Algebra Lineal y Geometrıa Cartesiana (Mc Graw Hill,2002).

J. COLERA, M.J. OLIVEIRA, Matematicas II, Bachillerato (Anaya,2009).

F. GARZO et. AL., Matematicas (Mc Graw Hill, 1992).

V. GONZALEZ VALLE, Examenes resueltos de Selectividad, (2011).http://www.vicentegonzalezvalle.es/.

12. Geometría en el espacio

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el espacio

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Planos

Ecuacionesde los planos

Rectas

Ecuacionesde la recta

Paralelismo yangulos

Distancias yareas

Bibliografıa



HEDIMA, Grupo de innovacion didactica



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Distancias yareas

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Tema: Geometrıa en el espacio

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Indice

Planos

Ecuaciones

Rectas

Ecuaciones

Paralelismo y angulos

Distancias y areas

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Puntos y vectores en el espacio

En el espacio R3, conviene distinguir entre punto y vector :

Puntos y vectores

Si consideramos R3 como un conjunto, sus elementos los llamaremos puntos,y los escribiremos con letras mayusculas: P,Q,R, . . ..Si consideramos R3 como espacio vectorial, sus elementos se llaman vectores,y los escribiremos con letras minusculas: u, v, w, . . ..

Tanto un punto P como un vector v se representan por una terna denumeros reales, que se llaman sus coordenadas.

Notacion

Al escribir P (2, 1, 0), hacemos referencia al punto P de coordenadas (2, 1, 0).Analogamente, la notacion v(2, 1, 0) hace referencia al vector de coordenadas(2, 1, 0).

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el espacio

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Bibliografıa

Puntos y vectores en el espacio

La sutil diferencia entre punto y vector es fundamental.La operacion que permite hacer geometrıa es la traslacion de un punto P

por un vector v:

Traslacion de un punto por un vector

Sea P (p1, p2, p3) un punto y v(v1, v2, v3) un vector. El punto P + v se definecomo el punto de coordenadas (p1 + v1, p2 + v2, p3 + v3).

Ejemplo

La traslacion del punto P (1, 2, 3) por el vector v(0, 0, 7) es el punto decoordenadas:

(1, 2, 10) .

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Geometria de rectas y planos enel espacio

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Planos


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Planos en el espacio

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Planos


Rectas



Distancias yareas

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Planos en el espacio

Definicion

Dado un punto P del espacio y un par de vectores no proporcionales e, v, elplano que pasa por P con la direccion 〈e, v〉 es el conjunto de los puntos Xque satisfacen:

X = P + λe+ µv

para algunos λ, µ ∈ R .

Conviene recordar:

La direccion de un plano es un espacio vectorial de dimension dos, 〈e, v〉.

Por tres puntos no alineados, P , Q y R, pasa un unico plano, quedenotamos P +Q+R:

P +Q+R := P + λ ~PQ+ µ ~PR .

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el espacio

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Planos


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Distancias yareas

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Ejemplo

Consideremos los puntos P (1, 0, 0), Q(0, 1, 0) y R(0, 0, 1).

Dado que ~PQ = (−1, 1, 0) y ~PR = (−1, 0, 1), el plano definido por estostres puntos es el conjunto de puntos X(x, y, z) en el espacio que satisfacen:

(x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(−1, 1, 0) + µ(−1, 0, 1) .

La direccion de este plano P +Q+R es el espacio vectorial

〈 ~PQ, ~PR〉 = 〈(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)〉 .

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Sean P (p1, p2, p3) un punto y dos vectores e(e1, e2, e3), v(v1, v2, v3), noproporcionales. El plano que pasa por P con direccion 〈e, v〉 es el conjuntode puntos X(x, y, z) que satisfacen:

x = p1 + λ e1 + µ v1

y = p2 + λ e2 + µ v2

z = p3 + λ e3 + µ v3

λ, µ ∈ R .

Ejemplo

Consideremos los puntos P (1, 0, 0), Q(0, 1, 0) y R(0, 0, 1).

Como ~PQ = (−1, 1, 0) y ~PR = (−1, 0, 1), las ecuaciones parametricas delplano que pasa por estos tres puntos son:

x = 1− λ− µy = λ

z = µ

.

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Ecuacion general

Todo plano admite una ecuacion del tipo:

ax+ by + cz = d

para ciertos numeros a, b, c, d ∈ R.

Observacion

A partir de dicha ecuacion, podemos obtener directamente:

La direccion perpendicular al plano:

〈(a, b, c)〉 .

La direccion del plano: basta encontrar dos vectores linealmenteindependientes y ortogonales a (a, b, c); por ejemplo, utilizando elproducto vectorial:

〈(b,−a, 0),(∣∣∣∣

b c−a 0

∣∣∣∣ ,−∣∣∣∣a cb 0

∣∣∣∣ ,∣∣∣∣a bb −a

∣∣∣∣)〉 .

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Ejemplo

Consideremos los puntos P (1, 0, 0), Q(0, 1, 0) y R(0, 0, 1).Hemos calculado en el ejemplo anterior que la direccion del plano P +Q+Res el espacio vectorial

〈(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)〉 .Para calcular la direccion ortogonal, puede establecerse un sistema deecuaciones, o bien (por estar en dimension 3), utilizar el producto vectorial:

~PQ× ~PR =

∣∣∣∣∣∣

x y z−1 1 0−1 0 1

∣∣∣∣∣∣= x+ y + z

de modo que la direccion ortogonal al plano es 〈(1, 1, 1)〉 y su ecuaciongeneral es de la forma x+ y + z = d.Como el punto P (1, 0, 0) esta en el plano, su ecuacion general ha de ser

x+ y + z = 1 .

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Ecuacion, dados tres puntos

El plano que pasa por los puntos P (p1, p2, p3), Q(q1, q2) y R(r1, r2, r3)admite la ecuacion: ∣∣∣∣∣∣∣∣

x y z 1p1 p2 p3 1q1 q2 q3 1z1 r2 r3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 .

Observacion

Recuerdese la formula para calcular un determinante, desarrollando por unafila o por una columna.

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Ejemplo

La ecuacion del plano que pasa por los puntos P (2, 0, 0), Q(0, 2, 0) yR(0, 0, 2) tiene como ecuacion:

0 =

∣∣∣∣∣∣∣∣

x y z 12 0 0 10 2 0 10 0 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

x y z2 0 00 2 0

∣∣∣∣∣∣− 2

∣∣∣∣∣∣

x y 12 0 10 2 1

∣∣∣∣∣∣

= 4z − 2(4− 2x− 2y) = 4(x+ y + z − 2) .

Es decir, la ecuacion de tal plano es:

x+ y + z = 2 .

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Rectas en el espacio

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Rectas en el espacio

Definicion

Dado un punto P del espacio y vector no nulo v, la recta que pasa por P conla direccion v es el conjunto de los puntos X que satisfacen:

X = P + λv

para algun λ ∈ R .

Ejemplo

Consideremos los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1).

Dado que ~PQ = (1, 1, 1), la recta que determinan; es decir, la unica rectaque pasa por P y Q, es el conjunto de puntos X(x, y, z) que satisfacen:

(x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 1) .

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Ecuaciones de las rectas en el espacio


Si P ≡ (p1, p2, p3) y v ≡ (v1, v2, v3), la recta que pasa por P con direccion ves el conjunto de puntos X ≡ (x, y, z) que satisfacen:

x = p1 + λ v1

y = p2 + λ v2

z = p3 + λ v3


Ejemplo

Consideremos los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1).

Dado que ~PQ = (1, 1, 1), las ecauciones parametricas de la recta P +Q son:

x = 1 + λ

y = λ

z = λ

.

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Ecuacion, dados dos puntos

La recta que pasa por los puntos P (p1, p2, p3) y Q(q1, q2, q3) admite lasecuaciones:

x− p1q1 − p1

=y − p2q2 − p2

=z − p3q3 − p3

.

Ejemplo

La recta que pasa por los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1) es:

x− 1

2− 1=

y

1− 0=

z

1− 0,

es decir, que se trata de la recta de ecuaciones:

r ≡{x − 2y = 1

y − z = 0.

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Ecuacion general

Toda recta en el espacio es interseccion de dos planos, de modo que puedeescribirse como solucion de un sistema de ecuaciones del tipo:

r ≡{ax + by + cz = d

a′x+ b′y + c′z = d′

siendo los vectores (a, b, c) y (a′, b′, c′) linealmente independientes.

Ejemplo

Como hemos visto en el ejemplo anterior, la recta que pasa por los puntosP (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1) es el corte de los planos:

π1 ≡ x − 2y = 1 y π2 ≡ y − z = 0 .

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Paralelismo y angulos

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Paralelismo de rectas y planos

Definicion

Dos rectas o dos planos son paralelos si tienen la misma direccion.Una recta es paralela a un plano si su direccion esta contenida en la del plano.

Condicion de paralelismo

Dos rectas son paralelas si cualesquiera vectores directores de ambas sonproporcionales.Dos planos son paralelos si cualesquiera vectores normales de ambos sonproporcionales.

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Paralelismo de rectas y planos

Ejemplo

Los planos paralelos al plano 2x− y + z = 1 son los que vienen dados porecuaciones del tipo:

2x− y + z = d

siendo d ∈ R una constante cualquiera.

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Angulos entre rectas y planos

Definicion

Dados dos planos π y π′, el angulo que forman, que escribimos ∠(π, π′), sedefine como el angulo que forma una recta perpendicular a π con una rectaperpendicular a π′.

Definicion

Dada una recta r y un plano π, el angulo que forman, que escribimos ∠(r, π),se define como el angulo que forma r con su proyeccion ortogonal sobre π.

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Angulos

Ejemplo

El angulo que forman los planos π ≡ x+ y + z = 1 y el planoπ′ ≡ 2x− y − z = −3 es el angulo que forman sus vectores normales,(1, 1, 1) y (2,−1,−1).Es decir,

∠(π, π′) =π

2.

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Distancias y areas

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Distancia de un punto a plano

Calculo

La distancia de un punto P (p1, p2, p3) al plano π de ecuacionax+ by + cz = d vale:

dist(P, π) =|ap1 + bp2 + cp3 − d|√

a2 + b2 + c2.

Ejemplo

La distancia del punto P (3, 1, 2) al plano π de ecuacion 2x+ 2y + 2z = −4vale:

dist(P, π) =|2 · 3 + 2 · 1 + 2 · 2− (−4)|√

22 + 22 + 22=

16

2√3=

8√3.

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Distancia de un punto a una recta

Calculo

Sea r una recta que pasa por un punto Q con direccion 〈v〉.La distancia de un punto P a la recta r vale:

dist(P, r) =‖ ~PQ× v‖‖v‖

donde × denota el producto vectorial y ‖ ‖ el modulo de vectores.

Ejemplo

Sean los puntos P (1, 0, 0) y Q(0, 1, 0), y sea el vector v(−1, 0, 1).Segun la formula anterior, la distancia del punto P a la recta r = Q+ 〈v〉vale:

dist(P, r) =‖ ~PQ× v‖‖v‖ =

‖(1, 1, 1)‖√2

=

√3

2.

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Paralelogramos

Definicion

Cuatro puntos no alineados definen un cuadrilatero. Un cuadrilatero se diceparalelogramo si sus lados son paralelos dos a dos.

Area de un paralelogramo

El area del paralelogramo de vertices P,Q,R y S es el modulo del productovectorial de sus lados:

Area del paralelogramo = ‖ ~PQ× ~PS‖ .

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Area de un paralelogramos

Ejemplo

Sea el paralelogramo de vertices P (0, 0, 0), Q(1, 1, 0), R(4, 1, 0) y S(3, 0, 0).

Los lados vienen determinados por los vectores ~PQ = (1, 1, 0) y~PS = (3, 0, 0), cuyo producto vectorial vale (0, 0,−3), de modo que el area

que encierra el paralelogramo es:

Area del paralelogramo = ‖(0, 0,−3)‖ = 3 .

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Bibliografıa

Triangulos

Definicion

Tres puntos no alineados del espacio definen un triangulo.

En el espacio, se puede utilizar el producto vectorial para obtenerrapidamente el area de un triangulo:

Area de un triangulo

El area del triangulo de vertices P,Q y R es la mitad del modulo delproducto vectorial de sus lados ~PQ y ~PR

Area del triangulo =1

2‖ ~PQ× ~PR‖ .

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Tema:Geometrıa en

el espacio

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Bibliografıa

Area de un triangulo

Ejemplo

Sea el triangulo de vertices P (0, 0, 0), Q(1, 1, 0) y R(3, 0, 0).

El producto vectorial de los lados ~PQ = (1, 1, 0) y ~PR = (3, 0, 0) es(0, 0,−3), de modo que el area que encierra el triangulo es:

Area del triangulo =1

2‖(0, 0,−3)‖ = 3

2.

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Bibliografıa

La esfera

Definicion

Dados un punto C y un numero positivo r, la esfera de centro C y radio r esel lugar geometrico de los puntos del espacio cuya distancia al punto C esigual a r.Si C(c1, c2, c3), la condicion anterior se expresa en coordenadas:

(x− c1)2 + (y − c2)2 + (z − c3)2 = r2 .

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Bibliografıa

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Bibliografıa

Bibliografıa

V. BOLOS et. AL., Algebra Lineal y Geometrıa (Manuales UEX - 50,2007).

J. BURGOS, Algebra Lineal y Geometrıa Cartesiana (Mc Graw Hill,2002).

J. COLERA, M.J. OLIVEIRA, Matematicas II, Bachillerato (Anaya,2009).

F. GARZO et. AL., Matematicas (Mc Graw Hill, 1992).

V. GONZALEZ VALLE, Examenes resueltos de Selectividad, (2011).http://www.vicentegonzalezvalle.es/.

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