Logica Inferencial

Inferencia Logica

Salomon Ching BricenoLicenciado en Matematicas

http://mathsalomon.260mb.com

18 de marzo de 2011

Lic. Mat. Salomon Ching Inferencia Logica

Contenido I

Introduccion

Considere los siguientes casos que pueden darse en la vidacotidiana.

1 Un joven le dice a un amigo: tu todos los dıas dices mentiras,y el contesta: no es cierto, ayer en todo el dıa no dije una solamentira.

2 Si llueve hay nubes. Y si hay nubes ¿que se puede deducir?

3 Si haces la tarea te llevo al cine. Pero si ya estas en el cine,¿que puede eso significar?

4 Todos los libros sobre computadores son terriblementeaburridos. Este es un libro sobre computadores. Este libro esterriblemente aburrido.

La validez y sentido logico que tengan estas declaraciones o fraseslo estudia la inferencia logica.

Razonamiento e InferenciaResumen

Validacion de un razonamientoBibliografıa

Ejemplos ILenguaje formal

Formalizando

Una inferencia logica es un razonamiento expresado en una frasecuya ultima parte se afirma con base a lo que previamente se hayadeclarado.

Aspectos del Razonamiento I

El termino razonamiento tiene dos acepciones:

Funcional (la relacion entre las premisas y la conclusion). y

Procesal (la actividad del agente que razona)

Significado Funcional

La logica se ocupa de los razonamientos en el sentidofuncional.

De hecho, en el proceso que lleva de las premisas a laconclusion pueden encadenarse multiples pasos elementales.

La logica inferencial estudia las condiciones bajo las cualesestos pasos son correctos.

Aspectos del Razonamiento II

Significado Procesal

En el caso de que el agente sea humano, de los aspectosprocesales de los razonamientos se ocupa la psicologıa.

Pero si el agente es un artefacto, por ejemplo, un computador,entonces es un asunto propio de la inteligencia artificial.

La inferencia es un razonamiento formal

Una inferencia es simplemente un razonamiento formal, en elsentido de que lo importante es la forma de las premisas y laconclusion, y la relacion entre ellas, mas no su contenido.

Video ExplicativoEl Razonamiento y el concepto de Inferencia

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Parte 01

Asegurese que Acrobat Reader permita la apertura de hipervınculos de la red.

Inferencias con condicionales

Las condicionales junto con otras proposiciones, forman inferencias.

Ejemplo 1.1

“Todos los hombres son mortales, Socrates es un hombre,Socrates es mortal.”

Ejemplo 1.2

“Si estudio, aprendo. Es ası que estudio, luego aprendo.”

La conclusion de una inferencia es la proposicion que se afirmasobre la base de las otras proposiciones que nos dan los elementosde juicio o razones para aceptar la conclusion.

Video ExplicativoEjemplos de Inferencia

Parte 02

Lenguaje formal de un razonamiento

Todo razonamiento predeterminadamente esta en lenguaje natural.En logica proposicional usamos las variables p,q, r, . . . para lasproposiciones simples, y junto a los conectivos(∼ , ∨ , ∧ ,→,↔) se forman las proposiciones compuestas.

Definicion 1.1

En el lenguaje formal la conclusion va precedida del sımbolo ( ∴∴∴ ),que se lee: “luego” o “por tanto”.

Lenguaje formal de un razonamiento

Ejemplo 1.3

El razonamiento del ejemplo anterior en lenguaje natural es:

1. “Si estudio aprendo” (premisa 1)2. “Es ası que estudio” (premisa 2)

Luego: “Aprendo” (conclusion)

Esto, en lenguaje formal, es:

1. p→q (premisa 1)2. p (premisa 2)

∴∴∴ q (conclusion)

Resumen

1. En logica no interesa tanto la verdad o falsedad de lasproposiciones, sino las relaciones logicas que existen entreellas.

2. Un razonamiento es valido cuando la conclusion se derivanecesariamente de las premisas y es invalido cuando laconclusion no se deriva de las premisas.

3. En lenguaje formal todo razonamiento es de la forma:

2. P2...

...n. Pn

o (P1 ∧ P2 ∧ . . . ∧ Pn)→C

Donde P1,P2, . . . ,Pn son las premisas (proposiciones atomicas o

compuestas) y C es la conclusion (tambien proposicion atomica o

compuesta).

Video ExplicativoResumen del concepto de inferencia

Parte 03

Metodos de ValidacionTablas veritativasPrueba formal de invalidezImplicaciones notablesPrueba formal de validezDemostracion IndirectaEjercicios IV

Validacion de un razonamiento

¿Como se puede saber si un razonamiento es o no valido sinnecesidad de manejarlo solo en lenguaje natural?

Para validar se puede usar cualquiera los siguientes metodos:

1 Tablas veritativas

2 Prueba formal de invalidez (absurdo I)

3 Prueba formal de validez (leyes logicas)

4 Demostracion Indirecta (absurdo II)

Tablas Veritativas

Para validar por tablas, se procede de la siguiente manera:

Modus operandi

1. Se halla las tablas de cada una de las premisas y de laconclusion, usando 1 para la verdad y 0 para la falsedad.

2. Si en algun renglon de la tabla encontramos que todas laspremisas sean 1 siendo la conclusion 0 , el razonamientoes invalido.

3. Si no hay ningun renglon como el mencionado anteriormente,se dira que el razonamiento es valido.

Recuerde que un razonamiento es de la forma:Premisas → Conclusion

Es el unico caso en que el razonamiento es falso.

Video ExplicativoTablas Veritativas

Parte 04

Prueba formal de invalidez

Ventajas Es menos laboriosa que la validacion por tabla u otrometodo y no requiere del uso de las leyes deinferencia (implicaciones notables).

Desventajas Puede resultar poco practico cuando el razonamientotiene muchas variables (proposiciones atomicas) obien pueda tener muchas premisas.

Se trata de una demostracion indirecta por reduccion al absurdo(primera forma).Si la conclusion tiene valor falso 0, y las premisas pueden tenervalor verdadero 1, el razonamiento es invalido.

Modus operandi

1 Se da valor 0 a la conclusion.

2 Se le asigna valor 1 a cada premisa.

3 Se deducen los valores las variables que componen a laspremisas y de la conclusion.

4 En estos valores, si no se encuentra ningun conflicto oambiguedad, el razonamiento es invalido.

Leyes ElementalesSe usan para la demostracion directa

Algunos razonamientos validos, son leyes logicas, y sirven tambien paracalcular la validez de otros razonamientos. A dichos razonamientos se lesllama:

Implicaciones Notables

1. Modus ponens

2. Modus tollens

3. Modus tollendo ponens

4. Ley conjuntiva

5. Ley simplificativa

6. Ley aditiva

7. Silogismo condicional

8. Ley de transposicion

9. Ley de traslacion

10. Leyes de Morgan

11. Dilema constructivo

12. Dilema destructivo

13. Ley del condicional

Presentaremos cada una de estas leyes, las cuales siempre se usaran en la

prueba formal de validez.

Modus ponens

1. Modus ponens

1. p→q2. p

Ejemplo 1.4

“Si llueve, las calles se mojan”

“Esta lloviendo”

Luego:

“Las calles se estan mojando”

Modus tollens

2. Modus tollens

1. p→q2. ∼q

∴ ∼p

Ejemplo 1.5

“Si llueve, las calles se mojan”

“Las calles no estan mojadas”

Entonces:

“Es seguro que no ha llovido”

Modus tollendo ponens

3. Modus tollendoponens

A) 1. p ∨ q2. ∼p

Ejemplo 1.6

“O vamos al cine o vamos alteatro”

“no vamos al cine”

Entonces:

“Vamos al teatro”

3. Modus tollendoponens

B) 1. p ∨ q2. ∼q

Ejemplo 1.7

“O vamos al cine o vamos alteatro”

“no vamos al teatro”

Entonces:

“Vamos al cine”

Ley conjuntiva

4. Ley conjuntiva

1. p2. q

∴ p ∧ q

Ejemplo 1.8

“Soy guapo”

“Soy millonario”

Luego:

“Soy guapo y millonario”

Ley simplificativa

5. Ley simplificativa

A) 1. p ∧ q∴ p

B) 1. p ∧ q∴ q

Ejemplo 1.9

Luego, puedo decir que:

“Soy guapo”

Ejemplo 1.10

Luego:

“Soy millonario”

Ley aditiva

6. Ley aditiva

A) 1. p∴ p ∨ q

B) 1. q∴ p ∨ q

Ejemplo 1.11

“Voy al cine”

Luego, puedo decir que:

“Voy al cine o voy al teatro”

Ejemplo 1.12

“Voy al teatro”

Luego:

“Voy al cine o voy al teatro”

Silogismo condicional

7. Silogismo condicionalo Ley transitiva

1. p→q2. q→ r

∴ p→r

Ejemplo 1.13

“Si llueve las calles se mojan”

“Si las calles se mojan meresbalo”

Luego:

“Si llueve me resbalo”

Leyes de transposicion, traslacion y Morgan

8. Ley de transposicion

A) 1. p→q∴ ∼q→ ∼p

B) 1. ∼q→ ∼p∴ p→q

9. Ley de traslacion

A) 1. (p ∧ q)→ r∴ p→(q→r)

B) 1. p→(q ∧ r)∴ (p ∧ q)→r

10. Leyes de Morgan

A) 1. ∼(p ∨ q)∴ ∼p ∧ ∼q

B) 1. ∼(p ∧ q)∴ ∼p ∨ ∼q

Dilema constructivo, destructivo, y ley condicional

11. Dilema constructivo

1. (p→q) ∧ (r →s)2. (p ∨ r)

∴ q ∨ s

12. Dilema destructivo

1. (p→q) ∧ (r →s)2. ∼q ∨ ∼s

∴ ∼p ∨ ∼r

13. Ley del condicional

A) 1. p→q∴∴∴ ∼p ∨ q

B) 1. ∼p ∨ q∴∴∴ p→q

Video Explicativo (en HD)Leyes de Inferencia y ejemplos

Parte 08

Prueba formal de validez o Demostracion Directa

Consiste en obtener la conclusion, a partir de las premisasutilizando las implicaciones notables, anteriormente expuestas. Enla mayorıa de ejercicios, usamos esta prueba, cuando se nos pidedemostrar un razonamiento. La prueba formal de valideztambien es llamada demostracion directa.

Modus operandi

1 Se enumeran las premisas.

2 Se continua la enumeracion en cada uno de los pasos que sevan dando.

3 Al mismo tiempo se indica a la derecha (en lenguaje natural)la implicacion notable que se aplica.

4 Finalmente se alcanza la conclusion.

Demostracion Indirecta

Tambien es llamada: Demostracion por reduccion al absurdo

Modus operandi - I

1 Se supone falsa la conclusion C , es decir: ∼C es verdadera.

2 Se agrega ∼C como una nueva premisa.

3 Se demuestra, por el metodo directo, que estas premisasconducen a una falsedad o contradiccion.

Demostracion Indirecta

Modus operandi - II

4. No hay que llegar a la conclusion, solamente buscar unacontradiccion en las premisas.

5. Se concluye que C es verdadera, ya que ∼C hace invalida a lainferencia.

Ası, se habra demostrado formalmente la inferencia por el metodoindirecto.

Ejercicios Explicativos

Ejemplo 1.14

Demostrar que elrazonamiento:

1. ∼p→ ∼q2. ∼q→ r

∴ ∼p→r

es valido pordemostracionindirecta.

Solucion

Agregamos una nueva premisa negandola conclusion:

3. ∼(∼p→ r) negacion de la conclusion

(D.I.)

4. ∼(p ∨ r) sustitucion del condicional en

5. ∼p ∧ ∼r Ley de Morgan en 4.

6. ∼r Ley simplificacion en 5.

7. r Silogismo condicional en 1-2.

8. r ∧ ∼r Ley conjuntiva en 6-7.

Ası se concluye ∴∴∴ ∼p→r, porque quela negacion de esta proposicion conduceal absurdo r ∧ ∼r .

Ası logramos lo que se querıa demostrar.

Ejemplo 1.15

Demostrar que el razonamiento:

1. p→q2. p→ ∼q

∴ ∼p

es valido por demostracion indirecta.

Solucion

. Regla Comentario1. p→q Premisa2. p→ ∼q Premisa

3. ∼(∼p) = p Hipotesis Se supone falsa la con-clusion ∼p

4. q Modus ponensentre 1 y 3.

5. ∼q Modus ponensentre 2 y 3.

6. q ∧ ∼q Ley conjuntivaentre 4 y 5.

Tenemos la contradiccionbuscada.

Puesto que p produce una contradiccion (absurdo), se concluyeque ∼p es verdadera. Esto es lo que se querıa demostrar.

Bibliografıa

Figueroa G, Ruben.Matematica Basica.Editorial America S.R.L., Lima, Peru, 1995.

EducaredLogica Proposicional. [en lınea]http://portales.educared.net/wikiEducared/ [Consulta: 22 Dic 2010].Licencia de Creative Commons - Fundacion Telefonica.

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