Post on 27-Sep-2018
LÍMITES – Cálculo y representación
1. 1+x
2x-xlim 2
23
1→x
2. 2-x
1+xlim
2
2→x
3. x2+x
x2-xlim 2
3
0→x
4. 2-x+x
3-x2+xlim 2
2
1→x
5. 2
∞-→x)4+x2(lim
6. 2+∞→x -xx3
1+x2lim
7. 2
2
+∞→x 2x
3x-xlim
8. x
x3lim
2
2
3
+∞→x
9. x-x2+xlim 2
+∞→x
10. x-x2+xlim 4
+∞→x
11. 2-1+x
9-xlim
2
3→x
12. x+x2+xlim 2
+∞→x
13. x-
+∞→x 4+4x
3+2xlim
14. x2
∞+→x 4+4x
3+4xlim
15. 2-x
1
2→x 3+x
2+xlim
16. x-2
3
2→x 2+x
2xlim
ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS – Cálculo y representación 1. y = x3 – 2x -1
2. y = 1+x
1+x2
3. y = x+x
1+x2
4. y = 1+x
1+x2 2
5. y = 2
4
x
1+x
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
11.1 – ELEMENTOS FUNDAMENTALES PARA LA CONSTRUCCIÓN DE CURVAS DOMINIO - Polinomio : D = R - Cocientes : D = R – { puntos que anulan el denominador} - Raíces de índice par : D = { Lo de dentro de la raíz ≥ 0} - Raíces de índice impar : D = R - Logaritmos : D = { Lo de dentro del logaritmo > 0} - Exponenciales : D = R - Trigonométricas : Seno y coseno D = R ; El resto se estudia como un cociente - Arcoseno y arcocoseno : D = { -1 ≤ Lo de dentro del arco ≤ 1} PUNTOS DE CORTE - Con el eje OX : y = 0 ⇒ x = x0 ⇒ P(x0,0) - Con el eje OY : x = 0 ⇒ y = y0 ⇒ P(0,y0) SIMETRÍA - Simétrica respecto del OY o par: f(-x) = f(x) - Simétrica respecto del Origen o impar : -f(-x) = f(x) - No simétrica SIGNO DE LA FUNCIÓN - Se calculan los puntos que no pertenecen al dominio ⇒ x = a, .... - Se resuelve la ecuación f(x) = 0 ⇒ x = x0, x = x1,..... - Estos puntos dividen la recta real en partes, tomando un punto en cada intervalo y
sustituyendo en y = f(x) se obtiene el signo de la función ASÍNTOTAS - Asíntotas verticales: Puntos donde la función se va al infinito: y ⇒ ∞, x = a
- Cocientes: Puntos que anulan el denominador - Logaritmos : Puntos que anulan lo de dentro del logaritmo - Aproximación a la asíntota : Calcular límites laterales
- Asíntotas horizontales : Puntos donde la x se va al infinito : x ⇒ ∞, y = b - Cálculo : b)x(flim
x=
∞→⇒ y = b
- Aproximación f(±100) asíntota la de debajopor función La b<
asíntota la de encimapor función La b>
- Asíntotas oblicuas
- Cálculo : y = mx + n; m = x
)x(flimx ∞→
; n = [ ]mx)x(flimx
−∞→
- Aproximación f(±100)–Asínt(±100)
<>
asíntota la de debajopor función La 0
asíntota la de encimapor función La 0
MONOTONIA Y PUNTOS CRÍTICOS - Se calculan los puntos que no pertenecen al dominio ⇒ x = a, .... - Se resuelve la ecuación f ’ (x) = 0 ⇒ x = x0, x = x1,..... - Estos puntos dividen la recta real en partes, tomando un punto en cada intervalo y
sustituyendo en y = f ’ (x) se obtiene el signo de la función - Si f ‘ (a) > 0 la función es creciente en dicho intervalo, y si es < 0 es decreciente. - Máximo relativo : P(a,f(a)) : x = a es el punto del dominio donde la función pasa de
creciente a decreciente. - Mínimo relativo : P(a,f(a)) : x = a es el punto del dominio donde la función pasa de
decreciente a creciente. CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN - Se calculan los puntos que no pertenecen al dominio ⇒ x = a, .... - Se resuelve la ecuación f ’ ’ (x) = 0 ⇒ x = x0, x = x1,..... - Estos puntos dividen la recta real en partes, tomando un punto en cada intervalo y
sustituyendo en y = f ’ ’ (x) se obtiene el signo de la función - Si f ‘ (a) > 0 la función es convexa en dicho intervalo, y si es < 0 es concava. - Puntos de inflexión : P(a,f(a)) : x = a es el punto del dominio donde la función
cambia la curvatura. TABLA DE VALORES Dando valores a la “x” se calculan los correspondientes de la “ y” sustituyendo en la función REPRESENTACIÓN GRÁFICA
11.2 – REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POLINÓMICAS F(x) = P(x) DOMINIO: D(f) = R PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES: OX: y = 0 ⇒ x = x0 ⇒ P(x0,0) OY: x = 0 ⇒ y = y0 ⇒ Q(0,y0) RAMAS INFINITAS DE LA FUNCIÓN (No hay asíntotas) ±∞=
+∞→)x(flim
x ±∞=
−∞→)x(flim
x
MONOTONÍA Y EXTREMOS CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN REPRESENTACIÓN GRÁFICA (Y tabla de valores)
11.3 – REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES F(x) = g(x) / h(x) DOMINIO: D(f) = R – { x / h(x) = 0} PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES: OX: y = 0 ⇒ x = x0 ⇒ P(x0,0) OY: x = 0 ⇒ y = y0 ⇒ Q(0,y0) ASÍNTOTAS O RAMAS INFINITAS DE LA FUNCIÓN MONOTONÍA Y EXTREMOS CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN REPRESENTACIÓN GRÁFICA (Y tabla de valores)
11.4 – REPRESENTACIÓN DE OTRO TIPO DE FUNCIONES RAÍCES DOMINIO: Tenerlo en cuenta en el resto de apartados ASÍNTOTAS OBLICUAS: Hacer por separado en el más infinito y en el menos infinito. LOGARITMOS y = log (f(x)) DOMINIO: Tenerlo en cuenta en el resto de apartados ASÍNTOTAS HORIZANTALES: f(x) = 0 EXPONENCIALES y = af(x)
ASÍNTOTAS: hacer por separado en el más infinito y en el menos infinito. TRIGONOMÉTRICAS DOMINIO: Tenerlo en cuenta en el resto de apartados PERIODICIDAD: - seno y coseno: 2π ó 360º - tangente: π ó 180º
Calcular los dominios de las siguientes funciones:
a) 𝑓 𝑥 = 5𝑥8 + 3𝑥2 − 6𝑥 + 5
b) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 5𝑥2 − 𝑥 − 2
c) 𝑓 𝑥 =3
𝑥2+1
d) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥
e) 𝑔 𝑥 =𝑥+2
𝑥2+𝑥−2
f) 𝑥 = 1
𝑥−2
g) 𝑘 𝑥 = 𝑥+2
3𝑥+1−𝑥
h) 𝑓 𝑥 =1
sin 𝑥
i) 𝑓 𝑥 = 𝑥
3𝑥−2
j) 𝑓 𝑥 =𝑥2+5𝑥−2
tan 𝑥
k) 𝑔 𝑥 = 𝑥−2
4𝑥
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Ejercicio 1: Indica cuáles de las siguientes representaciones corresponden a la gráfica de una función. Razona tu respuesta: a) b) c) d)
DOMINIO Ejercicio 2: Calcular el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) y = 6x
12
b) y = x21 c) y = 4x
x2
d) y = x2
e) y = 4x
12
f) y = 2x
1
g) y = x2x
12
h) y = x36
i) y = 2)5x(3
j) y = 3 4x2 k) y = x1x l) y = 1x 2
m) y = 3x2x
n) y = log2 (x2 – 4) ñ) y = tag x
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DADAS GRÁFICAMENTE Ejercicio 3 : Observando la gráfica de estas funciones, estudia sus propiedades a) b) c) d)
Ejercicio 4 : La siguiente gráfica muestra la altura que alcanza una pelota en función del tiempo, desde que se lanza verticalmente hasta que cae por primera vez al suelo.
a ¿Cuál es el dominio? b Indica la altura máxima que alcanza y en qué momento. c ¿Durante cuánto tiempo la altura es superior a 300 m? d Describe el crecimiento y el decrecimiento de la función y
explica su significado dentro del contexto del problema.
LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS
11.1 – LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 11.1.1 – L ÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO L ímite de una función en un punto
)x(flimcx→
= l Se lee: El límite cuando x tiende a c de f(x) es l
Significa: l es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima a c Notas: - Que x se aproxima a “c” significa que toma valores muy cerca de “c” (Se puede
acercar por la izquierda o por la derecha). - l puede ser +∞ ó -∞ y entonces x = c es una asíntota ver tical.
Límites laterales de una función en un punto • Límite por la derecha:
)x(flimcx +→
= l Se lee: El límite cuando x tiende a c por la derecha de f(x) es l
Significa: l es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima a c por la derecha.
• Límite por la izquierda:
)x(flimcx −→
= l Se lee: El límite cuando x tiende a c por la izquierda de f(x) es l
Significa: l es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima a c por la izquierda.
Existen del límite Para que exista el límite de una función en un punto es necesario que existan los dos límites laterales y sean iguales.
11.1.2 – LÍMITES EN EL INFINITO
+∞=+∞→
)x(flimx
Se lee: El límite cuando x tiende a más infinito de f(x) es más
infinito Significa: la función toma valores grandes positivos cuando la x toma valores grandes positivos. (1º cuadrante)
−∞=
+∞→)x(flim
x Se lee: El límite cuando x tiende a más infinito de f(x) es menos
infinito. Significa: la función toma valores grandes negativos cuando la x toma valores grandes positivos. (4º cuadrante)
)x(flim
x +∞→= l Se lee: El límite cuando x tiende a más infinito de f(x) es l
Significa: l es el valor al que se aproxima f(x) cuando x toma valores muy grandes positivos: y = l es una asíntota ver tical.
+∞=−∞→
)x(flimx
Se lee: El límite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es más
infinito Significa: la función toma valores grandes positivos cuando la x toma valores grandes negativos. (2º cuadrante)
−∞=
−∞→)x(flim
x Se lee: El límite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es
menos infinito. Significa: la función toma valores grandes negativos cuando la x toma valores grandes negativos. (3º cuadrante)
)x(flim
x −∞→= l Se lee: El límite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es l
Significa: l es el valor al que se aproxima f(x) cuando x toma valores muy grandes negativos: y = l es una asíntota ver tical.
11.1.3 – CÁLCULO DE LÍMITES 1 – Se sustituye la “x” por el valor al que tiende
a) 2
3xxlim
→ b)
5x
x5lim
2x −→ c) 4x3lim
7x+
→
d) )3x(senlim4
x
+π→
e) xloglim 101,0x→
f) 2
xlim 2x 4x 7→+∞
+ +
g) 7x4x2lim 2
x+−−
+∞→ h) 7x4x2lim 2
x+−
−∞→ i) 2
xlim 2x 4x 7→−∞
− + +
j) 3xx2lim 3
x−+
+∞→ k) 3
xlim 2x x 3→−∞
+ − l) x3
1limx +∞→
m) 2x x
1lim −
−∞→ n)
5
1xlim
3
x −−
+∞→ ñ)
5
1xlim
3
x −−
−∞→
2 – Indeterminaciones:
0k
Hallar límites laterales
a) 2x
2lim
2x −→ b)
2x
2lim
2x −−
→ c)
x2
3lim
2x −→
d) x2
3lim
2x −−
→ e)
( )22x 2x
x3lim
−→ f)
( )22x 2x
3lim
−−
→
00
Factor izar y simplificar
a) 10x3x
6x5xlim
2
2
2x −++−
→ b)
12x16x7x
x6x5xlim
23
23
2x −+−+−
→ c)
12x16x7x
x6x5xlim
23
23
3x −+−+−
→
<<<<
====
>>>>∞∞∞∞±±±±
∞∞∞∞∞∞∞∞
rdenominado del grado numerador del grado Si 0
r )denominado del ynumerador del gradomayor dex la de
escoeficient los son b y (ar denominado del grado numerador del grado Si ba
r)denominado del ynumerador del gradomayor dex la de escoeficient
los de depende signo (Elr denominado del grado numerador del grado Si
a) 5x3
3x5xlim
2
x −+−
∞→ b)
3
2
x x
3xlim
+∞→
c) 5x2
1x5x3lim
2
2
x −+−
∞→ d)
3
2
x x
3xlim
−+
∞→
∞∞∞∞ - ∞∞∞∞ Se hacen operaciones. Cuando aparecen radicales, multiplicamos y dividimos por la expresión conjugada.
a)
+−
∞→ 1x
x2
x
1lim
2x b)
x
x11lim
0x
−−→
1∞∞∞∞ : Tipo número e : Aplicar : e)x(f
11lim
)x(f
ax====
++++
∞∞∞∞→→→→ ó
]1)x(f).[x(glim)x(g
axaxe)x(flim
−−−−
→→→→→→→→====
3- En funciones definidas a trozos, en los puntos donde esté definida de distinta forma si me aproximo por valores más pequeños, que por valores más grandes, habrá que hacer límites laterales.
a) Dada la función f(x) =
≥+<−
3 x si 7 x -
3 x si 5x2 Calcular su límite en los puntos 3,1, 7
11. 2 – ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS - Asíntotas ver ticales: x = c y →→→→ ∞∞∞∞ Cálculo: Puntos que anulan el denominador
Puntos que anulan lo que está dentro del logaritmo
Aproximación: Calcular los límites laterales
∞+∞−
arribaPor
abajoPor
- Asíntotas hor izontales: x →→→→ ∞∞∞∞ y = b (Grado numerador ≤ Grado denominador) Cálculo: b)x(flim
x=
∞→
Aproximación: f(± 1000) – Asíntota
><
encimaPor 0
debajoPor 0
- Asíntotas oblicuas: y = mx + n (Grado Numerador – Grado denominador = 1)
Cálculo: m = x
)x(flimx ∞→
; n = )mx)x(f(limx
−∞→
Aproximación: f(± 1000) – Asíntota(± 1000)
><
encimaPor 0
debajoPor 0
RAMAS INFINITAS (Grado Numerador – Grado denominador ≥ 2) Cálculo: ±∞=
±∞→)x(flim
x
a) y = 2x
7x5x 2
−+−
b) y = x2x
1x2
2
−+
c) y = x2x
x22 +
d) y = 2x3x
5x32 ++
− e) y =
x2x
1x2
2
−+
f) y = 3x
x5x 23
+−−
11.3 - CONTINUIDAD La idea de función continua es la de que “puede ser construida con un solo trazo” . Una función f(x) es continua en el punto x = a si )a(f)x(flim
ax====
→→→→
Todas las funciones definidas por expresiones analíticas elementales (es decir, todas las que conocemos hasta ahora, exceptuando las funciones a trozos), son continuas en todos los puntos de su dominio. Las funciones a trozos habrá que estudiarlas en los extremos de sus trozos que pertenezcan al dominio. Tipos de discontinuidades - Discontinua inevitable de salto infinito: Si alguno de los límites laterales es
infinito o no existe.
- Discontinua inevitable de salto finito: Si los dos límites laterales son finitos pero
distintos. El salto es la diferencia, en valor absoluto, de los límites laterales.
- Discontinua evitable: Si los dos límites laterales son finitos e iguales, pero su valor
no coincide con f(a) o no existe f(a)
a) y = x2 – 5 b) y = x
3x 2 − c) y =
3x
2x
−+
d) log x
e) y = 2x + f) y =
≥+<−
3 x si 1x
3 x si 4x3 g) y =
=≠
4 x si 1
4 x si 3
h) Calcular el valor de n para que la función f(x) =
>+≤+−4 x sin 2x
4 x si 1x5x 2
sea
continua en todo R.
i) Calcular k para que y =
=≠+−
3 x si 7
3 x si kx2x 3
sea continua en R
1
CÁLCULO GRÁFICO DE LÍMITES EJERCICIO 1 : Sobre la gráfica de f(x), halla :
46
8
2
6 82 44 28 62
4
6
Y
X
xflim x
a)
xflimx
b)
xflimx 2
c)
xflimx 2
d)
xflimx 0
e)
Solución: 1 a)
xflim
x 1 b)
xflim
x
xflim
x 2 c)
xflim
x 2d) 1 e)
0
xflim
x
EJERCICIO 2 : A partir de la gráfica de f(x), calcula:
46
8Y
X
2
6 824 28 62
4
6
4
xflim x
a)
xflimx
b)
xflimx 1
c)
xflimx 1
d)
xflimx 5
e)
Solución:
xflim
x a)
xflim
x b) 2 c)
1
xflim
x 3 d)
1
xflim
x 0 e)
5
xflim
x
EJERCICIO 3 : Representa gráficamente los siguientes resultados:
xflim
x a)
xglim
x b)
Solución: a)
b)
EJERCICIO 4 : Representa los siguientes límites:
xflimxflim
xx 22
Solución:
2
EJERCICIO 5 : Representa en cada caso los siguientes resultados: 2a)
xflim
x
xglim
x b)
Solución: a)
2
o bien
2
b)
2 EJERCICIO 6 : Representa gráficamente: 1a)
xflim
x 0b)
xglim
1x
Solución: a)
1
o bien
1
b) Por ejemplo:
1
EJERCICIO 7 : :que sabemos,31 función la Para
xxxf
31y
31
33 xxlim
xxlim
xx
Representa gráficamente estos dos límites. Solución:
3
CÁLCULO DE LÍMITES INMEDIATOS
EJERCICIO 8 : Calcula los siguientes límites:
324a) 23 xx
limx
9b) 2
3
xlim
x xcoslim
x 0c)
13 d)
22
xx
xlimx
xlimx
36e)1
Solución:
92
184
3694
324 a) 23
xx
limx
00999 b) 2
3
xlim
x 10 c)
0
cosxcoslim
x
d)71
1241
1xx
3xlim22x
e) 3936x36lim
1x
EJERCICIO 9 : 3. en y 1 en 23
función la de límite el Calcula4
xxxxxf
Solución:
61
21
31
23
4
1
xxlimx
251
2327
23
4
3
xxlimx
EJERCICIO 10 : Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
xxxxlim
x
233 222a)
xxxxlim
x
23 222b)
xxxxlim
x
231 222c)
Solución:
31
124
222a) 233
xxx
xlimx
02
22b) 23
xxx
xlimx
1
2112
222c)
121231
xxlim
xxxlim
xxxxlim
xxx
Hallemos los límites laterales:
1
2;1
211 xx
limxx
limxx
2 1 3
1
3 EJERCICIO 11 : Resuelve los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:
181223a) 2
2
1
xxxxlim
x
181223b) 2
2
xxxxlim
x
181223c) 2
2
3
xxxxlim
x
Solución:
81
324
181223a) 2
2
1
xxxxlim
x
21
181223b) 2
2
xx
xxlimx
3232
318122
3c)3232
2
3
xxlim
xxxlim
xxxxlim
xxx
Hallamos los límites laterales:
32
;32 33 x
xlimxxlim
xx
1123
1
EJERCICIO 12 : Halla los límites siguientes y representa gráficamente la información que obtengas:
4442a) 2
34
1
xxxxlim
x
4442b) 2
34
xxxxlim
x 4442c) 2
34
2
xxxxlim
x
Solución:
32
96
4442a) 2
34
1
xxxxlim
x
44
42b) 2
34
xxxxlim
x
2
22
2244
42c)3
22
3
22
34
2
xxlim
xxxlim
xxxxlim
xxx
Hallamos los límites laterales:
2
2;2
2 3
2
3
2 xxlim
xxlim
xx
112
1
EJERCICIO 13 : Halla los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
363a) 2
2
2
xxxxlim
x
363b) 2
2
xxxxlim
x
363c) 2
2
xxxxlim
x 1
Solución:
92
276
363a) 2
2
2
xxxxlim
x
31
363b) 2
2
xx
xxlimx
1313
1363
c)1212
2
1
xxlim
xxxlim
xxxxlim
xxx
Hallamos los límites laterales:
13;
13 11 xxlim
xxlim
xx
EJERCICIO 14 : Calcula los límites siguientes y representa gráficamente los resultados que
obtengas:44
2a) 2
2
0
xxxxlim
x
442b) 2
2
xxxxlim
x
442c) 2
2
xxxxlim
x 2
Solución:
4
21
42
442a) 2
2
0
xxxxlim
x
144
2b) 2
2
xxxxlim
x
2
12
1244
2c)222
2
2
xxlim
xxxlim
xxxxlim
xxx
Hallamos los límites laterales:
21;
21
22 xxlim
xxlim
xx
1 21
1
CÁLCULO DE LÍMITES EJERCICIO 15 : Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
3 a) 21
xlimx
22 2
1b) x
limx
1
c) 2
2
1
x
xxlimx
444d) 2
2
2
xx
xlimx
xxlim
x2
3e)
2
132f) 4
4
x
xxlimx
132g) 4
4
x
xxlimx
2112h)
x
xlimx
2112i)
x
xlimx
33j) xlimx
1
k)3
xxlim
x
Solución:
2313)a 2
1
xlim
x
22x 2x
1limb)
2
21
21
1xxlim
1x1x1xx
lim1x
xxlim)
1x
1x2
2
1x
c
2x
2xlim2x
2x2xlim4x4x
4xlim2x22x2
2
2x
d)
Hallamos los límites laterales:
2222
2
2
xxlim
xxlim
x
x
x2
3xlim
2
xe)
21x
x3x2lim4
4
x
f)
21x
x3x2lim4
4
x
g)
0x1
1x2lim2x
h)
5 0
x1
1x2lim2x
i)
3x
x3limj)
1x
xlim3
xk)
EJERCICIO 16: tegráficamen representa yfunciones siguientes las decuando límite el Halla x
la información que obtengas: 122
a)3
xxxf
523b)
32 xxxf
Solución:
1
22a)
3xxlimx
523b)
32 xxlimx
EJERCICIO 17 : funciónsiguienteladecuando ycuando límite el Calcula x x
y representa la información que obtengas: 3
421 2 xxxf
Solución:
3421
3421 22 xxlimxxlim
xx
EJERCICIO 18 : Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:
24a) xlimx
24b) xlimx
Solución:
24a) xlimx
24b) xlimx
EJERCICIO 19 : Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas:
xxxlim
x 43a)
2
xxxlim
x 43b)
4
Solución:
xxxlim
x 43a)
2
xxxlim
x 43b)
4
6 CÁLCULO DE LÍMITES EJERCICIO 20 : Calcula:
1xea) 2xx
lím 2
4
x x
x3xb)
loglím
1xx3c) 92
xlím
1xed)
x
x lím
x2x3e)
2
x loglím
xx 2
1xf)
lím 2x
xx2g)
lím
x1xh)
2
x
lnlím
xxi) 3x
loglím
1x
3j) 2
x
x lím
Solución:
1a) 2xelím x
x Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.
2
4
2
4 33b)x log
xxlímx log
xxlímxx
Porque una potencia es un infinito de orden superior a un logaritmo.
29
x92
xx1xx3c) límlím
001x
e1x
e)dx
x
x
x
límlím
x2x3e)
2
x loglím
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.
xxxx 2
1x
2
1xf) límlím
2xx
x2g) lím
Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.
0x
1xx
1xh)
2
x
2
x
lnlím
lnlím
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.
xxi) 3
x loglím
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.
00
1x
3
1x
3j)2
x
x2
x
x
límlím
EJERCICIO 21 : Halla los límites:
x3x2x5a) 2
xlím
x2x
1x3xb)6
2
x
lím
1x2
1x23c)4
4
x
lím
1x
x2x1xd) 2
32
xlím
1x3x5
2x3e)
2x
lím
x2x3xf) 2
xlím
x21x3g) 2
xlím
2x
1x2h)4
3 5
x
lím
1x
x1x
x3i)2
32
xlím
1x3
3x2j)
2x
lím
Solución:
7
xxx
xxxxxxlímxxxlím
xx 325
325325325a)
2
22
2
xxx
xxlímxxx
xxxlímxx 325
24
325
9252
2
2
22
02
13
2
13b)6
2
6
2
xx
xxlímxx
xxlímxx
222
1x2
1x23
1x2
1x23c)4
4
x4
4
x
límlím
2x2xx
x2x1x
)1x()2x(
)2x(x)1x()1x(
1x
x2x1xd)
23
344
x2
322
x2
32
xlímlímlím
222
1223
3
xxxxlím
x
553
53
1x3x5
2x3e)2x
lím
x2x3x
x2x3xx2x3xx2x3xx2x3xf)
2
22
x2
x2
xlímlímlím
xxx
xxlímxxx
xxxlímxx 23
33
23
432
2
2
22
x21x3
x41x3
x21x3
x21x3x21x3x21x3g)
2
22
x2
22
x2
xlímlímlím
xx
xlímx 213
12
2
02x
1x2
2x
1x2h)4
3 5
x4
3 5
x
límlím
1xxx
xxx3x3
)1x()1x(
)1x(x)1x(x3
1x
x1x
x3i)23
3424
x2
322
x2
32
xlímlímlím
132
23
234
xxxxxxlím
x
332
32
1x3
3x2
1x3
3x2j)2x2x
límlím
EJERCICIO 22 : Calcula:
a) 323
23
1x 2x7x8x3
1x3x2
lím b)
11x24x2
0x
lím c)
1xxx2xx3
23
2
1x
lím
d)
3x
1x
9x
x223x
lím e) 4x3x
10xx223
2
2x
lím
Solución:
a)
331x
32
2
1x3
23
23
1x3
2x31x2
1x2x3
1x1x2
2x7x8x3
1x3x2
límlímlím
b)
)24x2()11x()11x()44x2(
)24x2()11x()11x()11x()24x2()24x2(
11x24x2
0x0x0xlímlímlím
8
144
24x2)11x(2
)24x2(x)11x(x2
0x0x
límlím
c) )0(
51x1x
2x3
1x1x
2x31x
1xxx
2xx31x21x23
2
1x
límlímlím
Hallamos los límites laterales:
1x1x2x3;
1x1x2x3
1x1xlímlím No existe
d)
3x3x
3x4xx23x3x
3x1xx23x1x
9xx2 2
3x3x23xlímlímlím )0(
183x3x3x2x 2
3x
lím
Hallamos los límites laterales:
3x3x3x2x;
3x3x3x2x 2
3x
2
3xlímlím No existe
e) )0(
92x1x
5x2
2x1x
2x5x2
4x3x
10xx22x22x23
2
2x
límlímlím
Hallamos los límites laterales:
2x1x5x2;
2x1x5x2
2x2xlímlím No existe
EJERCICIO 23 : Calcula los límites:
a) 1xx3
21x 6xx
4x2
lím b) 2xx
22x 4x2x
2x3
lím c) 3x
x22
3x 4x41xx2
lím
d) x3
2
0x 1x51x3x
lím e)
1x1
2
1x 1x3x2x
lím
Solución:
a)
)1x()6xx()x3()2x3x(
1xx3·
6xx6xx4x2
1xx3·1
6xx4x2
1xx3
21x
2
2
1x2
2
1x21x eee6xx
4x2 límlímlímlím
21
63
6xx)2x(x3
)1x()6xx()1x()2x(x3
eeee 21x21x
límlím
b)
)2x()4x2x(x)6x5x(
2xx·
4x2x4x2x2x3
2xx·1
4x2x2x3
2xx
22x
2
2
2x2
2
2x22x eee4x2x
2x3 límlímlímlím
21
42
)4x2x()3x(x
)2x()4x2x()2x()3x(x
eeee22x22x
límlím
c)
3xx2·
4x43x5x2
3xx2·
4x44x41xx2
3xx2·1
4x41xx2
3xx2
2
3x
2
3x
2
3x
2
3xeee
4x41xx2 límlímlím
lím
8
211642
4x4x21x2
3x4x4x23x1x2
eeee 3x3x
límlím
d)
1x5x8xx3
x3·
1x5x8x
x3·
1x51x51x3x
x3·1
1x51x3x
x3
2
0x
0x
2
0x
2
0x
2
0xeeee
1x51x3x límlímlímlím
lím
241x5
8x3
ee 0x
lím
e)
1x
1·1x
2x3x1x
1·1x
1x3x2x1x
1·11x
3x2x1x
12
1x
2
1x
2
1x
2
1xeee
1x3x2x límlímlím
lím
2
11x2x
1x·1x1x·2x
eee 1x1x
límlím
9 EJERCICIO 24 : Calcula estos límites:
2x
x 1x2x32a)
lím
1x2
x
2
5x2x21b)
lím 3
x2
x x542x5c)
lím
1x
x
2
5x32x4d)
lím
3x2
x x12e)
lím
21x
2
2
x x32
x3f)
lím
x2
2
2
x 2x
1xg)
lím
x
2
2
x x9x3
7x4h)
lím
2x
x 2x31x2i)
lím
1x
x x232x2j)
lím
Solución:
23
1232
1232a)
22x
x
x
x xxlím
xxlím
052
21b) 524812·
52522112·1
522112 2222
eeee
xxlím x
xlímxx
xxlímx
xx
límx
xxxx
54
1512
x1512x12
3x2·
x54x542x5
3x2·1
x542x5
3x2
xeeeee
x542x5c) xxx
límlímlímlím
34
5x32x4
5x32x4d)
1x
x
1x
x
22
límlím
02x12
x12e)
3x2
x
3x2
x
límlím
1eeeex32
x3f) 0x642x2
21x·
x32x32x3
21x·1
x32x3
21x
2
2
x
2x2
22
x2
2
x
límlímlímlím
1eeee2x
1xg) 02xx6x2·
2x2x1xx2·1
2x1xx2
2
2
x
2x2
22
x2
2
x
límlímlím
lím
043
34
x9x3
7x4
x9x3
7x4h)x
2
2
x
x
2
2
x
límlím
032
2x31x2
2x31x2i)
22 x
x
x
x
límlím
25
x235x51x·
x23x232x21x·1
x232x21x
xeeee
x232x2j) xxx
límlímlímlím
EJERCICIO 25 : Halla los límites:
1xx3xlím 22
xa)
9x3x5x
3xlím233x
b)
1x2x
xxlím2
3
1x
c)
1x
x x342x3lím
d)
2x
x3xlím2
5 3
x
e)
2x
1x
4x
x3lím22x
f)
2xx6xxlím 2
2
2x
g)
xxlím
x2xh)
1x
x31x
x3lím2
32
xi) 1x
1
1x 2x23xlím
j)
Solución:
10
13
131313a)
22
2222
22
xxx
xxxxxxlímxxxlím
xx
13
13
13
13
13
132222
22
22
22
xxx
xlímxxx
xxxlímxxx
xxxlímxxx
233
xxxlím
x
)0(1
)1()3(1
)1()3(3
9353b)
323233
xx
límxx
xlímxxx
xlímxxx
Hallamos los límites laterales:
)1x()3x(
1lím;)1x()3x(
1lím3x3x
Como son distintos No existe el límite
)0(
21x1xx
lím)1x(
1x1xxlím
1x2x
xxlím1x21x2
3
1x
c)
Hallamos los límites laterales:
11;
11
11 xxxlím
xxxlím
xx Como son distintos No existe el límite
4x3
6x6lím1x·x34
x342x3lím1x·1x342x3lím1x
xxxx eee1
x342x3límd)
22 1
ee
0x
xlím2x
x3xlím2x
x3xlím5
3
x2
5 3
x2
5 3
x
e)
4x
2x3xx3lím4x
2x1xx3lím
2x1x
4x
x3lím2
2
2x22x22xf) )0(
642
2
2
2
x
xlímx
Hallamos los límites laterales:
42;
42
2
2
22
2
2 xxlím
xxlím
xx No existe el límite
35
1x3xlím
)1x()2x()3x()2x(lím
2xx
6xxlím2x2x2
2
2x
g)
xxx
xxxx.xxlímxxxlímxxxlím
2
22
x2
x2
xh)
21
222
22
xxlím
xxxlím
xxx
xlímxxx
xxxlímxxxx
31x
x3lím1x
x3x3x3lím1x
x31xx3lím
1x
x31x
x3lím2
2
x2
323
x2
32
x2
32
x
i)
41
2x21lím)1x()2x2(
1xlím1x
1·2x2
2x23xlím1x1·1
2x23xlím
1x1
1xeeeee1
2x23xlím 1x1x1x1x
j)
11
CONTINUIDAD EJERCICIO 26 : :xf función la a ecorrespond gráfica siguiente La
46
8Y
X
2
6 824 28 62
4
6
4
Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la causa de la discontinuidad.
Solución: En x 1 no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que xflimxflim
xx
11 .
En x 2 sí es continua. EJERCICIO 27 : A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.
46
8
2
26 82 44 28 6
46
Y
X
Solución: En x = 0, sí es continua. En x = 3 es discontinua porque no está definida, ni tiene límite finito. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical). EJERCICIO 28 : :xf de gráfica la Dada
46
8
2
6 82 44 28 62
46
Y
X
a) ¿Es continua en x 1? b) ¿Y en x 2? Si no es continua en alguno de los puntos, indica cuál es la razón de la discontinuidad.
Solución: a) Sí es continua en x 1. b) No, en x 2 es discontinua porque no está definida en ese punto. Como sí tiene límite en ese punto, es
una discontinuidad evitable.
EJERCICIO 29 : Averigua si la siguiente función es continua en x 2:
2si2
2si2xxxxxf
Solución:
.fxflimx
f
xlimxflim
xlimxflim
xxx
xx2porque2 en continua Es
42
42
42
222
22
12
EJERCICIO 30 : Comprueba si la siguiente función es continua en x 0.
0si2
20si12 2
xxxx
xf
Solución:
.0 porque0 en continua Es
10
12
2
112
000
2
00
fxflimx
f
xlimxflim
xlimxflim
xxx
xx
EJERCICIO 31 : :1 en continua seaque para de valor el Halla xxf k
1si
1si12xkxxxf
Solución:
En x 1:
311.2)1(f
.kxflim
31x2limxflimxflim
1x
1x1x1x
k = 3
Solución: f continua en x = 1 si k = 3 EJERCICIO 32 : Estudia la continuidad de las siguientes funciones y represéntalas gráficamente:
a)
0si20si2 2
xxxxxf b)
1si11si2 2
xxxxxf c)
1si11si1
2 xxxxxf
d)
0si10si1
2 xxxxf e)
2si12
2si2
2
xx
xxxf f)
2si12si32
xxxxf
g)
1si2
131si2
xxxx
xf h)
0si10si2 2
xxxxf i)
2si2si32
2 xxxxxf
j)
0si10si1 2
xxxxxf
Solución: a) Continuidad:
f continua en R – {0}
En x 0:
202)0(f
.0x2limxflim
2x2limxflimxflim
20x0x
20x0x
0x
f discontinua inevitable de salto finito(2) en x=0
Representación:
0si20si2 2
xxxxxf
parábola. de un trozo es ,0x Si (Vx = 0) recta. de trozo un es,0 Si x
X - -2 -1 0 0+ 1 + Y - -2 1 2 0 2 +
4 22
4
24
2 4
Y
X
13 b) Continuidad
f continua en R – {1}
En x 1:
21.2)1(f
.21xlimxflim
2x2limxflimxflim
21x1x
21x1x
1x f continua en x = 1
Solución: f continua en todo R. Representación parábola. de un trozo es ,1x Si (Vx = 0)
recta. de trozo un es ,1 Si x
X - -2 -1 0 1 1+ 2 + Y + 8 2 0 2 2 3 +
4 22
24
2 4
6
8Y
X
c) Continuidad
f continua en R – {-1}
En x -1:
011)1(f
.01xlimxflim
01xlimxflimxflim 2
1x1x
1x1x
1x
f continua en x = -1
Solución: f continua en todo R. Representación: recta. de un trozo es,1xSi
parábola. de trozo un es ,1Si x (Vx = 0)
X - -2 -1 -1+ 0 1 2 + Y - -1 0 0 -1 0 3 +
46 2246
2
4
2 4
Y
X
d) Continuidad
f continua en R – {0}
En x 0:
11)0(f
.1x1limxflim
11limxflimxflim 2
0x0x
0x0x
0x f continua en x = 0
Solución: f continua en todo R Representación: .horizontal recta de un trozo es ,0xSi
parábola. de trozo un es ,0Si x (Vx = 0)
X - -1 0 0 1+ 2 + Y 1 1 1 1 0 -3 -
4 26246
24
2 4
Y
X
14 e) Continuidad:
f continua en R – {2}
En x 2:
22
2)2(f
.51x2limxflim
22
xlimxflimxflim
22x2x
2
2x2x2x
f discontinua inevitable de salto finito(3) en x=2
Representación: parábola. de un trozo es ,2x Si (Vx = 0)
recta. de un trozo es ,2xSi
4 26
2
2
2 4 6
Y
X
468
f) Continuidad:
f continua en R – {2}
En x 2:
132)2(f
.11limxflim
13xlimxflimxflim
22x2x
22x2x
2x
f continua en x = 2
Solución: f continua en todo R. Representación: Si x 2, es un trozo de parábola. (Vx = 0)
Si x > 2, es un trozo de recta horizontal.
X - -2 -1 0 1 2 2+ 3 + Y + 1 -2 -3 -2 1 1 1 1
g) Continuidad f continua en R – {1}
En x 1:
11)1(f
.1
21x3limxflim
1xlimxflimxflim
21x1x
21x1x
1x
f continua en x = 1
Solución: f continua en todo R. Representación: Si x 1, es un trozo de parábola. (Vx = 0)
Si x > 1, es un trozo de recta.
X - -2 -1 0 1 1+ 2 + Y + 4 1 0 1 1 5/2 +
h) Continuidad
f continua en R – {0}
En x 0:
202)0(f
.11limxflim
2x2limxflimxflim
0x0x
20x0x
0x
f discontinua inevitable de salto finito(1) en x=0
15 Representación: Si x 0, es un trozo de parábola.(Vx = 0)
Si x > 0, es un trozo de recta horizontal.
X - -2 -1 0 2+ 3 + Y - -2 1 2 1 1 1
i) Continuidad
f continua en R – {-2}
En x -2:
13)2.(2)2(f
.4xlimxflim
13x2limxflimxflim 2
2x2x
2x2x
2x
f discontinua inevitable de salto finito(5) en
x=-2 Representación Si x –2
es un trozo de recta. Si x > –2 es un trozo de parábola. (Vx = 0)
X - -3 -2 -2+ -1 0 1 2 + Y - -3 -1 4 1 0 1 4 +
j) Continuidad
f continua en R – {0}
En x 0:
101)0(f
.11xlimxflim
1x1limxflimxflim
20x0x
20x0x
0x
f continua en x = 0
Solución: f continua en todo R Representación: Si x 0, es un trozo de parábola.(Vx = 0)
Si x > 0, es un trozo de recta.
X - -2 -1 0 2+ 3 + Y - -3 0 1 3 4 +
ASÍNTOTAS EJERCICIO 33 : Calcula el límite de la siguiente función en el punto x 3 y estudia su
comportamiento por la izquierda y por la derecha: 3
1
x
xf
Solución: 303 xx Calculamos los límites laterales:
3
13
133 x
limx
limxx
3
16 EJERCICIO 34 : Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y
a la derecha de x 3: 9
123 x
limx
Solución: 331
91
323
xxlim
xlim
xx
Calculamos los límites laterales:
9
19
12323 x
limx
limxx
3
EJERCICIO 35 : Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda
y por la derecha de x 0: xx
xlimx 2
1220
Solución: 212
212
020
xx
xlimxx
xlimxx
Calculamos los límites laterales:
xx
xlimxx
xlimxx 2
12212
2020
EJERCICIO 36 : Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda
y por la derecha de x 2: 22 2
1
x
xlimx
Solución:
222222 2
121
21
xxlim
xxlim
xxlim
xxx
2
EJERCICIO 37 : 2. en )(de límite el calcula,65
1función la Dada2
xxf
xx
xxf Representa
la información que obtengas.
Solución: 321
651
2
xx
xxx
x
Calculamos los límites laterales:
651
321
222 xxxlim
xxxlim
xx
2
EJERCICIO 38 : Halla las asíntotas verticales de las siguientes funciones y sitúa las curvas respecto a ellas:
a) 112
2
xxxf b)
121
2
xxxf
Solución: a) .1;1012 xxx Las asíntotas verticales son x 1 y x 1. Posición de la curva respecto a ellas:
17
112
1112
211 xxlim
xxxlim
xx
1
12112
2121 xxlim
xxlim
xx
11
b) 10122 xxx Solo tiene una asíntota vertical: x 1 Posición de la curva respecto a la asíntota:
22 1
112
1
xxx
2121 1
11
1x
limx
limxx
1
EJERCICIO 39 : Halla las ramas infinitas de las siguientes funciones y representa los resultados obtenidos:
a) xxxxf 223
23
b) 33 xxf c) 2
41x
xxf d)
xxxxf
1
2 3
Solución:
a)
xxxlim
xxxlim
x
x
223
22323
23
b)
33 33 xlimxlimxx
c)
2
4
2
4
1
1
xxlim
xxlim
x
x
d)
xxxlim
xxxlim
x
x
12
12
3
3
EJERCICIO 40 : funciones siguientes las decuando infinitas, ramas las Halla ,x y representa la información que obtengas: 42a) xxf 2b) xxxf Solución:
42a) xlimx
2) xxlimbx
EJERCICIO 41 : ,x cuando infinitas, ramas las Halla de las siguientes funciones y representa los resultados que obtengas: 31a) xxf xxxf 2b) Solución:
31a) xlimx
xxlimx
2b)
18
EJERCICIO 42 : Calcular las asíntotas horizontales de estas funciones y representa los resultados que obtengas:
a) 112
2
2
xxxf b)
221
2
xxxf
Solución:
a)
2)100(f2)100(f
2y.V.A
21x
1x2lim
21x
1x2lim
2
2
x
2
2
x
2
b)
0)100(f0)100(f
0y.V.A0
2x2
1xlim
02x2
1xlim
2x
2x
EJERCICIO 43 : Las siguientes funciones tienen una asíntota oblicua. Hállala y sitúa las curvas respecto a ellas:
a) 122
x
xxxf b) 1
22
3
xxxf
Solución: y = mx + n
a)
1xy
111
1xxlim
1xxxx2xlimx.1
1xx2xlimmx)x(flimn
1xx
x2xlimx
1xx2x
limx
)x(flimm
x
22
x
2
xx
2
2
x
2
xx
1x y :oblicua Asíntota
)100(tsinA)100(f)100(tsinA)100(f
1
1
y x+= 1
b)
x2y
01x
x2lim1x
x2x2x2limx.21x
x2limmx)x(flimn
2xx
x2limx
1x
x2
limx
)x(flimm
2x2
33
x2
3
xx
3
3
x
2
3
xx
x y 2 :oblicua Asíntota
)100(tsinA)100(f)100(tsinA)100(f
2
1 y=2x
19 EJERCICIO 44 : Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa las curvas respecto a ellas:
a) 112
2
2
xxxf b) 2
2 3x
xxxf
Solución: a) Asíntotas verticales: Puntos que anulan el denominador: x2 – 1 = 0 x = 1
x = 1
1x
1x2lim
;1x
1x2lim
2
2
1x
2
2
1x x = 1
1x
1x2lim
;1x
1x2lim
2
2
1x
2
2
1x
Asíntota horizontal: 2
112
2112
2
2
2
2
xxlim
xxlim
x
x y = 2
2)100(f2)100(f
Representación:
b) Asíntota vertical: Puntos que anulan el denominador x2 = 0 x 0
x
3xlim
x3xlim
x3xlim
x
3xxlimx
x3xlim
0x
0x0x20x2
2
0x
Asíntota horizontal:
1x
x3xlim
1x
x3xlim
2
2
x
2
2
x
y = 1
1)100(f1)100(f
Representación:
LÍMITES – Cálculo y representación
1. 1+x
2x-xlim 2
23
1→x
2. 2-x
1+xlim
2
2→x
3. x2+x
x2-xlim 2
3
0→x
4. 2-x+x
3-x2+xlim 2
2
1→x
5. 2
∞-→x)4+x2(lim
6. 2+∞→x -xx3
1+x2lim
7. 2
2
+∞→x 2x
3x-xlim
8. x
x3lim
2
2
3
+∞→x
9. x-x2+xlim 2
+∞→x
10. x-x2+xlim 4
+∞→x
11. 2-1+x
9-xlim
2
3→x
12. x+x2+xlim 2
+∞→x
13. x-
+∞→x 4+4x
3+2xlim
14. x2
∞+→x 4+4x
3+4xlim
15. 2-x
1
2→x 3+x
2+xlim
16. x-2
3
2→x 2+x
2xlim
ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS – Cálculo y representación 1. y = x3 – 2x -1
2. y = 1+x
1+x2
3. y = x+x
1+x2
4. y = 1+x
1+x2 2
5. y = 2
4
x
1+x