Cálculo Diferencial

Otoño 2014

Límites y Continuidad

Contenido

2.1 Introducción al concepto de límite de una función.

2.2 Límites unilaterales en funciones algebraicas, compuestas y especiales.

2.3 Técnicas para calcular límites

2.4 Límites al infinito relacionadas a las asíntotas verticales y horizontales.

2.5 Continuidad y teoremas sobre continuidad

2.1 Introducción al concepto de límite de una función

• La tangente a una curva es una recta que toca la curva.

• En otras palabras, una recta tangente debe tener la misma dirección que la curva en el punto de contacto

Ejemplo

• Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 en el punto (1, 1).

• SOLUCIÓN: • Podremos encontrar la ecuación de

la recta tangente t conociendo su pendiente m.

• La dificultad es que solo conocemos un punto P sobre t, y para calcular la pendiente se necesitan dos puntos.

• Podemos calcular una aproximación a m eligiendo un punto cercano Q(x, x 2) sobre la parábola

• Calculando la pendiente mPQ de la recta secante PQ.

Ejemplo

• Elegimos x 1 de manera que Q P.

• Por ejemplo:

1

12

x

xmPQ

5.25.0

25.1

15.1

125.2

PQm

Ejemplo

• Decimos que la pendiente de la recta tangente es el límite de las pendientes de las rectas secantes, y esto lo expresamos simbólicamente escribiendo

• La ecuación de la recta tangente en (1, 1) como

Aproximación a la tangente

Ejemplo

• Supongamos que una pelota se deja caer desde la plataforma superior de observacion de la Torre CN en Toronto, a 450 m sobre el suelo.

• Encuentre la velocidad de la pelota después de 5 segundos.

Solución

• La distancia que recorre cualquier cuerpo en caída libre es proporcional al cuadrado del tiempo que ha estado cayendo. (Este modelo de caída libre no considera la resistencia del aire.)

• Si la distancia de caída después de t segundos se denota por s(t) y se mide en metros,

222 9.42

8.9

2

1ttgtts

• La dificultad para encontrar la velocidad después de 5 s es que se trata de un solo instante de tiempo

Ejemplo

• La siguiente tabla muestra los resultados de cálculos similares de la velocidad promedio durante periodos cada vez mas pequeños

• Parece que, a medida que acorta el periodo, la velocidad promedio es cada vez mas cercana a 49 m/s.

• La velocidad instantánea cuando t = 5 se define como el valor limite de estas velocidades promedio, durante periodos cada vez mas cortos que comienzan en t =5

Ejemplo

Limites

Ejemplo

• Encuentre el valor de

• Sin embargo, la función no esta definida en x=1

• Eso no importa, porque la definición del limite considera los valores x que están cerca de a, pero no son iguales a a.

Solución

Ejemplo:

• Encuentre el valor de • Solución:

Ejemplo:

• Determine el valor

• Basados en estos resultados podríamos inferir que:

Limites Laterales

Limites Laterales

Limites Laterales

Solución

2.3 Técnicas para calcular límites

Ejemplo

Solución

Solución

Leyes de los limites

Ejemplo

Solución

Sustitución Directa

Ejemplo

Propiedades de los limites

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Ejercicio

Ejercicio

Teoremas

Ejemplo

Solución

Ejemplo

Encuentre el limite del Coseno cuando el ángulo tiende a cero

Ejemplo

Encuentre el limite del Seno cuando el ángulo tiende a cero

Ejemplo

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

2.2 Límites unilaterales

• Definición formal del limite

Ejemplo

• Encuentre un numero tal, que

Solución

1240.1

4510.1

5751.2

02.45

8.165

3

2

1

3

3

x

x

x

xx

xx

9114.0

6364.1

5478.2

08.35

2.265

3

2

1

3

3

x

x

x

xx

xx

Solución

Ejemplo

Solución

Ejercicio

Limite por la izquierda y derecha

Ejemplo

2.4 Límites al infinito relacionadas a las asíntotas verticales y horizontales.

Limites Infinitos

Limites Infinitos

Limites Infinitos

Limites Infinitos

Ejemplo

Ejercicio

Limites Infinitos

Limites cuando x se aproxima a infinito

Ejercicio

Asintota Vertical

Ejemplo

Asíntota Horizontal

Limites infinitos

2.5 Continuidad y teoremas sobre continuidad

Ejemplo

Ejemplo

Solución

Discontinuidades

Discontinuidad Removible

Discontinuidad Removible

Discontinuidad Infinita

Discontinuidad de salto

Continuidad por la derecha

Continua sobre un intervalo

Ejemplo

Teorema

Funciones polinomial y racional

Ejemplo

Ejemplo

En que puntos son continuas las siguientes funciones

Composición de funciones

Ejemplo

Ejemplo

Ejercicio

Teorema del Valor Intermedio

Ejemplo

Ejercicio

Ejercicio