Límite de una función en un...

1

MATEMÁTICAS II

UNIDAD 1: LÍMITE, CONTINUIDAD Y DERIVADA TEMA 1: LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

1. Límite de una función en un punto. 2. Límites laterales. 3. Limites infinitos. 4. Límites en el infinito. 5. Propiedades de los límites. 6. Operaciones con infinito. 7. Cálculo de límites. 8. Cálculo de límites cuando x tiende a ∞. 9. Límite de un número partido por cero. 10. Indeterminaciones.

TEMA 2: CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

1. Continuidad de una función en un punto. 2. Continuidad lateral. 3. Continuidad de funciones. 4. Discontinuidad de funciones.

TEMA 3: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

1. Derivada de una función en un punto 2. Interpretación geométrica de la derivada 3. Función derivada 4. Derivadas laterales 5. Derivabilidad y continuidad 6. Tabla de derivadas inmediatas

UNIDAD 2: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS TEMA 4: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

1. Monotonía: Crecimiento y decrecimiento de una función 2. Determinación de extremos relativos 3. Optimización de funciones 4. Curvatura: Concavidad o curvatura de una función 5. Puntos de inflexión 6. Aplicaciones de las derivadas al cálculo de límites

TEMA 5: GRÁFICA DE UNA FUCIÓN UNIDAD 3: INTEGRALES TEMA 6: INTEGRAL INDEFINIDA

1. Concepto de integral 2. Tabla de integrales 3. Integrales potenciales 4. Integrales logarítmicas y exponenciales 5. Integrales trigonométricas 6. Integrales trigonométricas inversas 7. Métodos de integración

http://www.vitutor.com/fun/3/a_1.html










http://www.vitutor.com/fun/3/b_1.html




http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integral_indefinida.html

http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/tabla_integrales.html

http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integrales_inmediatas.html

http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integrales_logaritmicas.html

http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integrales_trigonometricas.html

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2

TEMA 7: INTEGRALES DEFINIDAS. APLICACIONES 1. Integral definida. Propiedades 2. Función integral 3. Teorema fundamental del cálculo integral 4. Regla de Barrow 5. Teorema del valor medio 6. Área encerrada bajo una curva y el eje x 7. Área encerrada por dos curvas

UNIDAD 4: MATRICES Y DETERMINANTES TEMA 8: MATRICES Y DETERMINANTES

1. Definición de matriz. 2. Tipos de matrices. 3. Suma de matrices. 4. Producto de un número real por una matriz. 5. Producto de matrices. 6. Ejercicios 7. Determinante de una matriz. 8. Menor complementario y adjunto. 9. Propiedades de los determinantes. 10. La matriz inversa mediante determinantes. 11. Rango de una matriz mediante determinantes.

UNIDAD 5: SISTEMAS DE ECUACIONES TEMA 9: SISTEMAS DE ECUACIONES

1. Sistemas de ecuaciones lineales 2. Expresión matricial de un sistema 3. Clasificación de sistemas de ecuaciones 4. Teorema de Rouché-Fröbenius 5. Discusión de sistemas 6. Método de Gauss 7. Regla de Cramer 8. Sistemas homogéneos

UNIDAD 6: GEOMETRÍA TEMA 10: ESPACIO VECTORIAL

1. Vectores en el espacio 2. Estructura de espacio vectorial 3. Dependencia e independencia lineal. bases 4. Producto escalar 5. Producto vectorial 6. Producto mixto

TEMA 11: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

1. Ecuaciones de la recta en el espacio 2. Ecuaciones del plano 3. Haz de planos 4. Posiciones relativas de dos planos 5. Posiciones relativas de tres planos 6. Posiciones relativas de una recta y un plano 7. Posiciones relativas de dos rectas

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http://www.vitutor.com/algebra/matrices/tipos.html

http://www.vitutor.com/algebra/matrices/operaciones.html

http://www.vitutor.com/algebra/matrices/producto_n.html

http://www.vitutor.com/algebra/matrices/producto.html

http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/determinantes.html

http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/adjunto.html

http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/propiedades.html

http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/inversa.html

http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/rango.html

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TEMA 12: PROBLEMAS MÉTRICOS A) ÁNGULO ENTRE RECTAS Y PLANOS

A.1) Ángulo entre dos rectas A.2) Ángulo entre dos planos A.3) Ángulo entre recta y plano

B) DISTANCIA ENTRE RECTAS Y PLANOS

B.1) Distancia de un punto a un plano B.2) Distancia entre planos paralelos B.3) Distancia entre un plano y una recta paralela B.4) Distancia entre un punto y una recta B.5) Distancia entre rectas paralelas B.6) Distancia entre rectas que se cruzan

4

UNIDAD 1: LÍMITE, CONTINUIDAD Y DERIVADA

TEMA 1: LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

11. Límite de una función en un punto. 12. Límites laterales. 13. Limites infinitos. 14. Límites en el infinito. 15. Propiedades de los límites. 16. Operaciones con infinito. 17. Cálculo de límites. 18. Cálculo de límites cuando x tiende a ∞. 19. Límite de un número partido por cero. 20. Indeterminaciones.

1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

El límite de la función f(x) en el punto x = a, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor “a”. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a “a”. Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x = 2, dando valores a x a la izquierda y a la derecha de 2:

X f(x) x f(x)

1,9 3,61 2,1 4.41

1,99 3,9601 2,01 4,0401

1,999 3,996001 2,001 4,004001

... ... ... ...

↓ ↓ ↓ ↓

2 4 2 4 Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4. Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a a”, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de “a” que cumplen la condición |x - a| < δ , se cumple que |f(x) - L| <ε .

εδδε <−→<−<>∃>∀↔=→

LxfaxLxfax

)(00,0)(lim

2. LÍMITES LATERALES Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x (a+δ, a ) , entonces |f (x) - L| <ε .

( ) εδδε <−→−∈>∃>∀↔=−→

LxfaaxLxfax

)(,0,0)(lim











5

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es L , si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x (a, a + δ), entonces |f (x) - L| <ε .

( ) εδδε <−→+∈>∃>∀↔=+→

LxfaaxLxfax

)(,0,0)(lim

TEOREMA: El límite de una función en un punto si existe, es único. Por tanto, El límite de una función existe si existen y coinciden los límites laterales Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.

3. LÍMITE INFINITO LÍMITE INFINITO POSITIVO

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x tiende hacia “a”, si fijado un número real positivo K > 0 se verifica que f(x) > K para todos los valores próximos a “a”.

KxfaxKxfax

>→<−<>∃ℜ∈∀↔∞= +

→)(00,)(lim δδ

EJEMPLO:

( )+∞=

−→ 42 25lim

xx

LÍMITE INFINITO NEGATIVO

Una función f(x) tiene por límite - ∞ cuando x tiende hacia “a”, si fijado un número real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a “a”.

KxfaxKxfax

<→<−<>∃ℜ∈∀↔−∞= −

→)(00,)(lim δδ

6

EJEMPLO: ( )

−∞=−−

→ 21 12lim

xx

4. LÍMITES EN EL INFINITO

LÍMITE CUANDO X TIENDE A MAS INFINITO

εε <−→>>∃>∀↔=+∞→

LxfMxMLxfx

)(0,0)(lim

KxfMxMKxf

x>→>>∃ℜ∈∀↔+∞= +

+∞→)(0,)(lim

KxfMxMKxf

x<→>>∃ℜ∈∀↔−∞= −

+∞→)(0,)(lim

LÍMITE CUANDO X TIENDE A MENOS INFINITO

εε <−→<<∃>∀↔=−∞→

LxfMxMLxfx

)(0,0)(lim

KxfMxMKxf

x>→<<∃ℜ∈∀↔+∞= +

−∞→)(0,)(lim

KxfMxMKxf

x<→<<∃ℜ∈∀↔−∞= −

−∞→)(0,)(lim

EJEMPLOS:

1. 122

12lim −=−+

+∞→ xx

x

122

12lim −=−+

−∞→ xx

x

7

2. −∞=+

−+∞→ 12

3lim2

xx

x

+∞=+

−−∞→ 12

3lim2

xx

x

5. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

1. Límite de una constante KKax

=→

lim

2. Límite de una suma ( ) )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf

axaxax →→→±=±

3. Límite de un producto ( ) )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf

axaxax →→→⋅=⋅

4. Límite de un cociente )(lim

)(lim

)()(lim

xg

xf

xgxf

ax

ax

ax→

→

→= si 0)(lim ≠

→xg

ax

5. Límite de una potencia [ ] [ ] )(lim)( )(lim)(lim xg

ax

xg

axaxxfxf →

→→=

6. Límite de una función compuesta [ ] [ ])(lim)(lim xfgxfg

axax →→=

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.

6. OPERACIONES CON INFINITO

1. Sumas con infinito

→∞−∞∞=∞+∞∞=±∞

detIn

k

2. Productos con infinito ( )

→∞⋅∞=∞⋅∞

≠±∞=±⋅∞

det0

0,

In

kk

8

3. Cocientes con infinito y cero

→∞∞

→

±∞=∞

=∞

±∞=∞

=∞

±∞==

indind

kk

kk

00

000

00

00

4. Potencias con infinito y cero

INDETINDETINDETK →→∞→= ∞1,,0,1 000

∞

=0

0K sisi

negativoKpositivoK

,0,0

<>

=∞

=∞

=∞

∞=∞

∞+∞−

+∞

011

∞===

=

∞+∞−

+∞

01

010

00

Si K >1

==

∞=→

∞+∞−

+∞

01K

K

K Si 0 < K < 1

∞==

=→

∞+∞−

+∞

KK

K1

0

7. CÁLCULO DE LÍMITES Si f(x) no es una función definida a trozos, y está definida en el punto a, entonces se

suele cumplir que )()(lim afxfax

=→

Es decir, para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x. Ejemplo: 24131)43(lim 22

1=+⋅−=+−

→xx

x

Sólo si la solución que se obtiene es una indeterminación, habrá que aplicar otros procedimientos.

Cálculo del límite en una función definida a trozos - Si x tiende a un punto interior de uno de los intervalos de definición, se calcula

igual que antes, usando la función que se ha definido para ese intervalo. - Si x tiende a uno de los puntos donde cambia la función, tenemos que estudiar

los límites laterales, si coinciden este es el valor del límite y si no coinciden, el límite no existe.

Ejemplo:

−−−

=4

132

)(2xxx

xf sisisi

3

322

≥<<

<

xx

x

9

132)32(lim1

−=−=−→

xx

1)(lim112)1(lim134)32(lim

)(lim2

2

22

=

→

=−=−

=−=−→

→→

→

→+

− xfxx

xfx

x

xx

→

→

=−=−

=−=−→

→→

→

→+

−

)(lim549)4(lim

213)1(lim)(lim

32

3

3

3xfx

xxf

xx

x

xno existe

8. CÁLCULO DE LÍMITES CUANDO X TIENDE A ∞.

Para calcular el límite de una función cuando x → ∞ se sustituyen las x por ∞. Casos: Límite de funciones polinómicas en el infinito

El límite cuando x → ∞ de una función polinómica es + ∞ o ∞− dependiendo únicamente del término de mayor grado. Ejemplo:

−∞=∞⋅−=∞⋅−=−+−+∞→

33)543(lim 22 xxx

( ) −∞=∞⋅−=∞−⋅−=−+−−∞→

33)543(lim 22 xxx

∞=∞⋅=∞⋅=−−++∞→

33)523(lim 323 xxxx

( ) ( ) −∞=∞−⋅=∞−⋅=−−+−∞→

33)523(lim 323 xxxx

Límite de la función exponencial

Hay que tener en cuenta que:

Si K >1

==

∞=→

∞+∞−

+∞

01K

KK

Si 0 < K < 1

∞==

=→

∞+∞−

+∞

KK

K1

0

Ejemplos:

01212222lim 33)543( 22

=∞

===== ∞∞−∞⋅−∞⋅−−+−

+∞→

xx

x

∞==== ∞∞⋅∞⋅−+

+∞→2222lim 33)543( 22 xx

x

∞====== ∞∞−∞⋅−∞⋅−−+−

+∞→ 01

5.015.05.05.05.0lim 33)543( 22 xx

x

∞====== ∞∞−∞⋅−∞⋅−−+−

+∞→ 01

5.015.05.05.05.0lim 33)543( 22 xx

x

05.05.05.05.0lim 33)543( 22

==== ∞∞⋅∞⋅−+

+∞→

xx

x

Límite de la función logarítmica

En los logaritmos hay que tener en cuenta el dominio, hay intervalos donde no existe función y por tanto puede no existir uno de los límites laterales y por tanto el límite general (no existe el logaritmo de números negativos ni de cero).


10

Además, hay que tener en cuenta que - Si a > 1 (es el caso del

Ln) • −∞→0log a • ∞→∞alog

- Si 0 < a < 1 • ∞→0log a • −∞→∞alog

Ejemplo:

( ) ( )∞−∞−=→−= ,22,)()4ln()( 2 xDomfxxf , por tanto: • ( ) ( ) ∞=∞=−

+∞→ln4lnlim 2x

x

• ( ) ( ) ∞=∞+=−−∞→

ln4lnlim 2xx

• ( ) ( ) −∞==−−−→

0ln4lnlim 2

2x

x

• ( )→−+−→

4lnlim 2

2x

xno existe función a la derecha de – 2 (ej x = –1), por tanto no

existe el límite • ( )→−

−→4lnlim 2

2x

xno existe porque no existe uno de los límites laterales.

• ( ) ( )→−=−→

4ln4lnlim 2

0x

xno existe

9. LÍMITE DE UN NÚMERO PARTIDO POR CERO

0)(lim kxf

ax=

→

El límite puede ser + ∞, − ∞ o no tener límite. Hay que estudiar los límites laterales

tomando valores próximos a la derecha y a la izquierda de “a” Ejemplos:

1. 05

23lim

2=

−+

→ xx

x

Tomamos los límites laterales para determinar el signo de ∞: Límite por la izquierda:

Si damos a x un valor que se acerque a 2 por la izquierda como 1.999; el numerador es positivo y el denominador es negativo, por lo que el límite por la izquierda será – ∞:

( )( ) −∞=−+

=−+

−→ 23lim

2 xx

x

Límite por la derecha: Si damos a x un valor que se acerque a 2 por la derecha como 2,001. Tanto el

numerador como el denominador serán positivos, por lo que el límite por la derecha será + ∞.

( )( ) +∞=++

=−+

+→ 23lim

2 xx

x

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite cuando x →2.

11

2. 053lim 20

=+

→ xx

x

Tomamos los límites laterales para determinar el signo de ∞: Límite por la izquierda:

Si damos a x un valor que se acerque a 0 por la izquierda como -0.0001 el numerador como el denominador serán positivos, por lo que el límite por la izquierda será: +∞:

( )( ) +∞=++

=+

−→ 20

3limx

xx

Límite por la derecha:

Si damos a x un valor que se acerque a 0 por la derecha como 0,0001. Tanto el numerador como el denominador serán positivos, por lo que el límite por la derecha será: ∞.

( )( ) +∞=++

=+

+→ 20

3limx

xx

Como coinciden los límites laterales, existe +∞=+

→ 20

3limx

xx

10. INDETERMINACIONES

Existen siete tipos de indeterminaciones que ya se vieron en el apartado 6. Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino

que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas. En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones.

INDETERMINACIÓN INFINITO PARTIDO INFINITO

∞∞

=+∞→ )(

)(limxQxP

x

Podemos resolver esta indeterminación por dos métodos: I. Teniendo en cuenta que el término que determina el límite es el de mayor grado de cada polinomio, nos quedamos con estos términos y simplificamos la fracción. Después sustituimos la x por infinito y resolvemos:

022lim2lim112lim.3

23

23lim

23lim

12123lim.2

223lim

23lim

12123lim.1

22

2

2

2

2

22

=∞

===++

−=

−=

−=

++−−

−∞=∞−

=−

=−

=+

+−−

+∞→+∞→+∞→

+∞→+∞→+∞→

+∞→+∞→+∞→

xxx

xx

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

12

II. Dividimos todos los términos por “x elevada al grado del denominador”:

010

11

12

11

12

lim1

12

lim112lim.3

23

12

123

12

123lim

12

123

lim12

123lim.2

23

12

123

12

123lim

12

123

lim12

123lim.1

2

2

2

2

22

2

22

2

2

2

2

2

22

2

222

2

2

2

2

2

==

∞+

∞+

∞=+

+=

+

+=

++

−

=

∞+

∞+

∞−−

=+

+−−=

+

+−−

=+

+−−

−∞=∞−

=

∞+

∞+−∞−

=+

+−−=

+

+−−

=+

+−−

+∞→+∞→+∞→

+∞→+∞→+∞→

+∞→+∞→+∞→

x

xx

xxx

xxx

xx

x

xx

xxx

xxx

xx

xxx

x

xx

xxx

xxx

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

INDETERMINACIÓN CERO PARTIDO CERO

Dos casos: A. Función racional sin radicales: Se descomponen en factores los polinomios y se simplifica la fracción.

1. ( )( )( )( )

( )( ) 4

1222

12lim

1222lim

00

234lim

222

2

2=

−+

=−+

=−−+−

→=+−

−→→→ x

xxxxx

xxx

xxx

2. ( )( )( )

( )( ) →=

−+

=−+

=−

+−→=

+−−

→→→?

04

2222

22lim

222lim

00

444lim

2222

2

2 xx

xxx

xxx

xxx

Hay que calcular los límites laterales dando valores próximos a 2 a la izquierda y a la derecha (ver apartado 9): Límite por la izquierda:

Si damos a x un valor que se acerque a 2 por la izquierda como 1.999; el numerador es positivo y el denominador es negativos, por lo que el límite por la izquierda será: -∞:

( )( ) −∞=−+

=−+

−→ 22lim

2 xx

x

Límite por la derecha: Si damos a x un valor que se acerque a 2 por la derecha como 2,001. Tanto el

numerador como el denominador serán positivos, por lo que el límite por la derecha será: ∞.

( )( ) +∞=++

=−+

+→ 22lim

2 xx

x

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite cuando x →2.

13

B. Función racional con radicales: En primer lugar multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de la expresión irracional. Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción. Recuerda ( )( ) 22 bababa −=−+

( )( )( )( )

( )( )( )

( )( ) ( ) 21112312lim3

123lim

12

123lim1212

123lim00

123lim

33

22333

=+=+−=+−=−

+−−

=−−

+−−=

+−−−

+−−→=

−−

−

→→

→→→

xx

xx

x

xxxx

xxxx

xx

xxx

INDETERMINACIÓN INFINITO MENOS INFINITO

A. Con funciones racionales. Ponemos a común denominador.

∞−∞=−=

+−+

−−−

→ 08

02

345

31lim 23 xx

xxx

x

( )( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ?04

1343lim

13512lim

13511lim

135

31lim

2

3

2

333

−=

−−−−

=−−

−−+−=

−−+−−−

=

−−

+−

−−

→

→→→

xxxx

xxxxx

xxxxx

xxx

xx

x

xxx

Calculamos los límites laterales:

( )( ) −∞=−−−−

−→ 1343lim

2

3 xxxx

x ( )( ) +∞=

−−−−

+→ 1343lim

2

3 xxxx

x

No coinciden, por tanto no existe límite. B. Cuando se trata de funciones irracionales Podemos multiplicar y dividir por el conjugado.

( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) →

∞∞

=++−

−−=

++−

−−−=

++−

+−−

=++−

++−+−−→∞−∞=+−−

∞→∞→∞→

∞→∞→

xxx

x

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxxxxxxx

xxx

xx

2222

22

22

22

22

22

222222

2

2lim2

2lim2

2lim

2

22lim2lim

Nos quedamos con los términos de mayor grado de cada polinomio:

( ) 21

2limlimlim

22

−=

−=

+−

=+

−∞→∞→∞→ x

xxx

x

xx

xxxx

14

EJERCICIOS DE LÍMITES

1) ( )163 2

1+−

→xxlim

x 2) ( )122 +−

∞→xxlim

x 3) ( )xxlim

x+−

−∞→

33

4) ( )22

2 1ax

axaxlimax −

++−→

5) 122

2

2

1 +−−+

→ xxxxlim

x 6)

−+

+∞→ 21

21

xxlimx

7) 122

2

2

1 +−−+

−→ xxxxlim

x 8)

441

2 +−∞→ xxlimx

9) 632 34

4

−+−∞→ xxxlim

x

10) 2

2

0

96x

xxlimx

+−→

11) xx

xlimx 5

252

2

5 −−

→ 12)

xxxxxlim

x 6222

23

−+−

∞→

13) 15

24

+−

∞→ xxxlim

x 14)

123

2

25

−+−

−∞→ xxxlim

x 15)

axaxlim

ax −−

→

16) x

xlimx

330

−+→

17) ( )xxlimx

−+→

3 2

52 18)

xxxlim

x

21 +−+∞→

19)

−++

∞→xxxxlim

x 20)

4211

2

2

−+

−+∞→ x

xlimx

21) 1

12

++

−∞→ xxlim

x

22) 3

1

3 421 −

→

−−

+

x

x xxlim 23)

+−−

∞→xxxxlim

x 24)

111212

−−+−−+

∞→ xxxxlim

x

25) ( )( )11 −−+∞→

xxxlimx

26) ( )( )xxxxxlimx

32221 553 +−−+∞→

27)

−

+−

∞→1

11

xxxlim

x 28) ( )

xxxxxxlim

x 6336

2

2

+−+

−−−∞→

29) 1

5634

23

1 −+−+−

→ xxxxxxlim

x

30) ( )( )4

3

3 31

++

−→ xxlim

x 31)

9157935

23

23

3 +++−++

−→ xxxxxxlim

x 32)

211422

23

34

2 −−+−+−

→ xxxxxxlim

x

33)

234

234

2 444454

xxxxxxxlim

x ++++++

−→ 34)

122386

34

24

1 −+−−+−

→ xxxxxxlim

x 35)

−−

−−−

→ 24

42 2

22 xx

xxlim

x

36) 13

23 −+

++−→ x

xlimx

37) 13

20 −+

+→ x

xlimx

38) 13

22 −+

+−→ x

xlimx

39) 13

2−+

+∞→ x

xlimx

40) 13

2−+

+−∞→ x

xlimx

41) ( )16sen2

24 −−

→ xxlim

x

15

TEMA 2: CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

5. Continuidad de una función en un punto. 6. Continuidad lateral. 7. Continuidad de funciones. 8. Discontinuidad de funciones.

1. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Existe f(a) (es un número real) 2. Existe realnxfxfxf

axaxaxº)(lim)(lim)(lim ==→

+− →→→

3. )(lim)( xfafax→

=

2. CONTINUIDAD LATERAL

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto x = a si )(lim)( xfaf

ax −→=

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto x = a si )(lim)( xfafax +→

=

Una función definida en un intervalo cerrado [a, b], es continua en los extremos si se cumple que en “a” es continua por la derecha y en “b” por la izquierda.

3. CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Las funciones polinómicas, radicales de índice impar, exponenciales, seno y coseno son continuas en R. El resto de funciones son continuas en todos los puntos de su dominio:

Función racional: )()()(

xQxPxf =

Es continua en R excepto en los puntos que anulan al denominador Ejemplo:

{ }3,232

06565

52)( 22 −

ℜ=→==

→=+−→+−

−= Dom

xx

xxxx

xxf = dominio de

continuidad Raíces de índice par: )()( xPxf = Es continua en los intervalos de R en los que el radicando es positivo o cero Ejemplos: 1. 06565)( 22 ≥+−→+−= xxxxxf . Estudio el signo mediante una tabla:





16

Calculo los puntos donde cambia de signo:

==

→=+−32

0652

xx

xx

Para estudiar el signo tomamos un valor en cada intervalo: 2 3 ( )( )( ) si

sisi

→∞→→∞−

,33,22,

→=→=→=

45.2

1

xxx

→

→>=+−→−=+−

→>=+−

positivonegativo

positivo

026)4(5425.06)5.2(55.2

026)1(51

2

2

2

Dominio de continuidad = ( ] [ )∞∞− ,32,

2. →≥−−

→−−

= 032

32)(

xx

xxxf Estudio el signo mediante una tabla

Calculo los puntos donde cambia de signo el numerador y el denominador:

303202

=→=−=→=−

xxxx

Para estudiar el signo tomamos un valor en cada intervalo: 2 3

( )( )( ) si

sisi

→∞→→∞−

,33,22,

→=

→=

→=

4

5.2

1

x

x

x

→

→>=−−

→−=−

=−−

→>−−

=−−

positivo

negativo

positivo

012

3424

15.0

5.035.225.2

021

3121

Dominio de continuidad = ( ] ( )∞∞− ,32, . Observa que x = 2 si pertenece al dominio porque es un cero del numerador y la fracción valdrá cero mientras que x = 3 no pertenece al dominio porque es un cero del denominador y la fracción valdrá infinito. Funciones logarítmica: )(log)( xPxf a= Es continua en los intervalos de R en los que P(x) es positivo (no cero) 1. ( ) 06565ln)( 22 >+−→+−= xxxxxf . Estudio el signo mediante una tabla: Calculo los puntos donde cambia de signo:

==

→=+−32

0652

xx

xx

Para estudiar el signo tomamos un valor en cada intervalo:

17

2 3 ( )( )( ) si

sisi

→∞→→∞−

,33,22,

→=→=→=

45.2

1

xxx

→

→>=+−→−=+−

→>=+−

positivonegativo

positivo

026)4(5425.06)5.2(55.2

026)1(51

2

2

2

Dominio de continuidad = ( ) ( )∞∞− ,32, Observa que en los logaritmos los intervalos siempre son abiertos

2. →>−−

→−−

= 032

32log)(

xx

xxxf Estudio el signo mediante una tabla

Calculo los puntos donde cambia de signo el numerador y el denominador:

303202

=→=−=→=−

xxxx

Para estudiar el signo tomamos un valor en cada intervalo: 2 3

( )( )( ) si

sisi

→∞→→∞−

,33,22,

→=

→=

→=

4

5.2

1

x

x

x

→

→>=−−

→−=−

=−−

→>−−

=−−

positivo

negativo

positivo

012

3424

15.0

5.035.225.2

021

3121

Dominio de continuidad = ( ) ( )∞∞− ,32, . Observa que en los logaritmos los intervalos siempre son abiertos Funciones definidas a trozos Las funciones definidas a trozos son continuas si: - cada función lo es en su intervalo de definición, - lo son en los puntos de división de los intervalos, por tanto tienen que coincidir sus límites laterales. Operaciones con funciones continuas Si f y g son continuas en x = a, entonces: f + g es continua en x = a. f · g es continua en x = a. f / g es continua en x = a, si g(a) ≠ 0. f ο g es continua en x = a.

18

4. DISCONTINUIDAD DE FUNCIONES

1. Discontinuidad evitable. Dos posibilidades:

I. No existe función. Ejemplo

=4

)(2x

xf sisi

→><

22

xx

4)(lim4)(lim

42)(lim2

2

2

2 =→

=

==→

→

→

+

− xfxfxf

xx

x , pero no existe f(2)

II. La imagen no coincide con el límite. Ejemplo

=1

2)(

2

xx

xf sisisi

222

=><

xxx

)(lim)2(

1)2(

4)(lim4)(lim

42)(lim

22

2

2

2

xff

f

xfxfxf

xx

x

x

→→

→

→

≠→

=

=→

=

==

+

−

Cuando una función presenta una discontinuidad evitable en un punto se puede redefinir en dicho punto para convertirla en una función continua. 2. Discontinuidad inevitable o de primera especie.

Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en x = a, pero son distintos: )(lim)(lim xfxf

axax +− →→≠

Salto es la diferencia en valor absoluto de los límites laterales:

)(lim)(lim xfxfaxax +− →→

−

Dos tipos:

I. De salto finito

=1

)(2x

xf sisi

→≥<

22

xx

→

=

==

+

−

→

→

1)(lim42)(lim

2

2

2xf

xf

x

x En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto

finito

II. De salto infinito.

−=

22)(

2

x

xxf

sisi

→≥<

22

xx

→

∞==

==

+

−

→

→

02)(lim

42)(lim

2

2

2

xf

xf

x

x En x = 2 hay una discontinuidad inevitable de salto

infinito. 3.Discontinuidad esencial o de segunda especie.

Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales en x = a.




19

EJERCICIOS DE CONTINUIDAD

a) 1

12 ++

=xxy

b) 252

53)( 2 +−+

=xx

xxf

c) 463

1234 −+−−

=xxx

xy

d) 5)( −= xxf

e) 252)( 2 +−= xxxf

f) 4)( 2 ++= xxxf

g) 31)(

−+

=xxxf

h) 34ln

2

+−

=x

xy

i) ( )65ln 2 +−= xxy

j)

+−=

06

1

)(xx

xf

sisisisi

66331

1

>≤<≤<

≤

xxx

x

k)

−

−

=

senxx

xxf

22

12)(

sisisi

4

400

>≤≤

<

xx

x

20

TEMA 3: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

7. Derivada de una función en un punto 8. Interpretación geométrica de la derivada 9. Función derivada 10. Derivadas laterales 11. Derivabilidad y continuidad 12. Tabla de derivadas inmediatas

1. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental. Dos formas de calcularla:

hafhafaf

axafxfaf

h

ax

)()(lim)('

)()(lim)('

0

−+=

−−

=

→

→

2. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

La ecuación de la recta tangente vendrá dada por el punto A(a, f(a)) y la pendiente m = f'(a): ))((')( axafafyrt −=−≡

La ecuación de la recta normal vendrá dada por el punto A(a, f(a)) y la

pendiente m = -1/ f'(a): )()('

1)( axaf

afyrn −−

=−≡

3. FUNCIÓN DERIVADA La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se denota por f'(x).

hxfhxfxf

h

)()(lim)('0

−+=

→

4. DERIVADAS LATERALES

Derivada por la izquierda ax

afxfafax −

−=

−→

− )()(lim)('

Derivada por la derecha ax

afxfafax −

−=

+→

+ )()(lim)('

Una función es derivable en un punto si es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden. 5. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a. El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.

21

6. TABLA DE DERIVADAS INMEDIATAS 1. Derivada de una constante 0'=→= yky

2. Derivada de x 1'=→= yxy

3. Derivada de una potencia 1' −⋅=→= nn xnyxy

')(' 1 ffnxffy nn ⋅⋅=→= −

4. Derivada de una raíz cuadrada x

yxy2

1'=→=

f

fff

yfy2

''2

1' =⋅=→=

5. Derivada de una raíz n n

n

xnyxy

1

1'−⋅

=→=

n nn n

n

fnff

fnyfy

11

''1'−− ⋅

=⋅⋅

=→=

EJEMPLOS

f(x) f’(x)

-2 0

-5x -5

327

−− x 2

7−

4x

34x

44

1 −= xx

55 44

xx −

=− −

3

212

−x

22

21262

2123

−⋅=⋅

−⋅ xx

25 +x 25255

2521

+=⋅

+ xx

4 42 −x ( ) ( )4 34 3 422

12424

1

−⋅=⋅

−⋅ xx

211 −

= xx

323

231

21

21

2

121

21

xxxx −=−=−=−−−−

6. Derivada de una suma ''' gfygfy +=→+=

22

7. Derivada de una constante por una función '' fkyfky ⋅=→⋅=

8. Derivada de un producto ''' gfgfygfy ⋅+⋅=→⋅=

9. Derivada de un cociente 2

'''g

gfgfygfy ⋅−⋅

=→=

EJEMPLOS f(x) f’(x)

252 2 +−− xx 54 −− x

2523 23 +−− xxx

549 2 −− xx

( )( )xxx 31 32 +− ( ) ( )( )33132 223 +−++ xxxxx

( ) ( )3232

253

523

+=+ xx

( ) ( ) 2222 2

518

22353

+⋅=⋅+⋅⋅ xxxx

1523

2

3

+++

xxx

( )( ) ( )( )

( )( )

( )22

24

22

24224

22

322

15120415

1520103015945

1510231519

+

+−+

=+

++−+++

=+

⋅++−++

xxxx

xxxxxxx

xxxxxx

11

+−

xx

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )22

2

2

22

1123

112)1(21

112

121

1

112

1

1

11112

1

+⋅−

+−=

+⋅−

−⋅−++−

−−+

=+

−−−

+

=+

⋅−−+−

xxx

xxxx

xx

xx

x

xx

x

x

xxx

x2

( ) xxxx

xx

x1

12

120

2

−=

−=

⋅−⋅

10. Derivada de la función exponencial aayay xx ln'=→= 'ln' faayay ff ⋅⋅=→=

11. Derivada de la función exponencial de base e xx eyey =→= ' '' feyey ff ⋅=→= EJEMPLOS:

23

f(x) f’(x)

12

2 −x 2ln22 12

⋅⋅ −xx

12

3 −x 1

3ln33ln3212

12

11

2

22

−

⋅⋅=⋅⋅⋅

−

−−

x

xxx

xx

xe1

xe

x

1

2

1⋅

−

xex 33 −⋅ ( ) xxx exxexex 3323332 33)3(3 −−− ⋅−=⋅−⋅+⋅

xe x2

( )

( )

( )xxex

xxexe

xx

exe

xx

exe

xxx

xxxx

214

24

24

212

222

222

2

22

−=

−⋅⋅

=

−⋅⋅

=⋅−⋅⋅

12. Derivada de un logaritmo ax

yxy a ln1'log⋅

=→=

af

ffaf

yfy a ln''

ln1'log

⋅=⋅

⋅=→=

13. Derivada del logaritmo neperiano x

yxy 1'ln =→=

fff

fyfy ''1'ln =⋅=→=

EJEMPLOS: f(x) f’(x)

( )xx 3log 42 −

( ) ( ) ( ) 2ln33434

2ln31

4

33

4 xxxx

xx −−

=−⋅−

34 3log x

( ) ( )3 24

3 24 3log4ln3

134ln3

1

3log3

1

xxxx ⋅⋅=⋅

⋅⋅

⋅

+−

xx

11ln

( ) ( )( ) ( )

( )( ) 2

22

12

112

111

111

1111

11

1

xxx

xxx

xxx

xx

xx

−−

=+−

−

=+⋅

+−

+−−−=

+

−−+−⋅

+−

xx ln5 ⋅ 4454 ln51ln5 xxxx

xxx +⋅=⋅+⋅

( )53ln x ( ) ( )x

xx

x4

4 3ln53313ln5 =⋅⋅

24

xx

−+

11log

( ) ( )( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )2

22

2

2

110ln1

1110ln22

11110ln2

2

11110ln2

11

11111

112

1

10ln11

1

xxx

xxx

xxx

xx

xxx

xx

xx

−⋅=

−+⋅⋅

=−

−+

⋅⋅=

−

−+

⋅⋅

++−

=−

−+−−⋅⋅

−+

⋅

⋅

⋅−+

14. Derivada del seno

ffysenfy

xysenxycos''

cos'⋅=→=

=→=

15. Derivada del coseno

senffyfy

senxyxy⋅−=→=

−=→=''cos

'cos

16. Derivada de la tangente

( )

ffffftgfytgfy

xxxtgytgxy

222

222

cos'sec'1''

cos1sec1'

=⋅=+⋅=→=

==+=→=

17. Derivada de la cotangente

( )

( )fsen

ffecffgfygfy

xsenxecxgygxy

222

222

'cos'cot1''cot

1coscot1'cot

−=⋅−=+⋅−=→=

−=−=+−=→=

18. Derivada del arcotangente

2

2

1''

11'

ffyarctgfy

xyarctgxy

+=→=

+=→=

EJEMPLOS: f(x) f’(x)

)4( xsen )4cos(4 x⋅

)( 4xsen ( )43 cos4 xx ⋅

( )44 senxxsen = xxsen cos4 3 ⋅

5cos x

5senx−

( )13cos 2 −+ xx ( ) ( )1316 2 −++− xxsenx

25

(2

5cos21

25cos xx

=

( ) xsenxxsenx 55cos5555cos2

21

⋅−=⋅−⋅⋅

xtg xx

2sec2

1⋅

24cot xg 22 4cos8 xcx ⋅−

(2 4cot4cot xgxg =

( ) xgxcxg co4cot84cos44cot2 2 ⋅−=−⋅⋅

19. Regla de la cadena

[ ] ( ) )(''')( xggfyxgfy ⋅=→=

f(x) f’(x)

x3cos ( ) xxxx sensen 33ln333ln3 ⋅−=−⋅

( )xtg ln ( )xx

lnsec1 2

( )senxsen ( )senxx coscos ⋅

( )xsen 31ln − ( )( ) ( )x

xx31lncos3

311

31ln21

−−⋅−

⋅−

( )xarctg ln ( )2ln111

xx +⋅

26

EJERCICIOS DE DERIVADAS 1. Utiliza la definición para calcular la derivada de las siguientes funciones en

los puntos que se indican:

a) 2

1)(x

xf = en x = 1

b) x

xxf 2)( += en x = 1

c) 1

1)( 2 −−

=x

xxf en x = 0

d) 323)( 2 +−= xxxf en x = -2

2. Calcula la recta tangente y la recta normal de las funciones anteriores en los

puntos que se indican. 3. Utiliza la definición para calcular la función derivada de las siguientes

funciones:

a) 2

1)(x

xf =

b) x

xxf 2)( +=

c) 1

1)( 2 −−

=x

xxf

d) 323)( 2 +−= xxxf

4. Utilizando la tabla, calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) 51)(

2

−−

=xxxf

b) xxxf =)(

c) 2

2 )3()(xxsenxf +

=

d) 2

32

)(x

exfx +

=

e) 2

2 )3ln()(x

xxf +=

5. 2008 MODELO 2 OPCIÓN A. Ejercicio 1. Sea f: R → R la función definida por:

>−−≤+

=2423

)( 2

2

xsibxxxsixax

xf

a) [1’5 puntos] Halla a y b sabiendo que f es derivable en R. b) [1 punto] Determina la recta tangente y la recta normal a la gráfica de

f en el punto de abscisa x = 3.

6. 2008 MODELO 4 OPCIÓN B. Ejercicio 1. Sea la función f : [0, 4] → R definida por

≤≤+<≤++

=42120

)(2

xsicxxsibaxx

xf

a) [2 puntos] Determina a, b y c sabiendo que f es continua en el intervalo cerrado [0, 4], derivable en el intervalo abierto (0, 4) y que f(0) = f(4).

b) [0’5 puntos] ¿En qué punto del intervalo se anula la derivada de la función?

7. 2009 MODELO 4 OPCIÓN B.

Ejercicio 1.- Sea f : R+ → R la función definida por ( )( )

=

≠−=

1,

1,1

ln)( 2

2

xa

xx

xxxf

a) [1’25 puntos] Sabiendo que f es continua, calcula a

27

b) [1’25 puntos] Estudia la existencia de asíntota horizontal para la gráfica de esta función. En caso de que exista, determina su ecuación.

8. 2009 MODELO 5 OPCIÓN A. Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Se sabe que la función f: R →R definida por

>→+−≤→++−

=12511

)( 2

2

xaxaxxbxx

xf , es derivable. Determina los valores de a

y b

9. 2010 MODELO 3 OPCIÓN A Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea la función f : R → R dada por

+++

=1

)()( 2

2

xcbxaxxe

xfx

00

>≤

xsixsi

Calcula las constantes a, b y c sabiendo que f es derivable y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1 tiene pendiente 3.

10. 2010 MODELO 5 OPCIÓN B

Ejercicio 1. Considera la función f:[0,4] → R definida por

++

=cx

baxxxf

2

)( 4220

≤<≤≤

xsixsi

(a) [1’75 puntos] Sabiendo que f es derivable en todo el dominio y que verifica f(0) = f(4), determina los valores de a, b y c.

(b) [0’75 puntos] Para a = -3, b = 4 y c = 1 halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).


Ejercicio 1. [2’5 puntos] Considera la función f : R → R definida por

≤+

<<−≤

=

−

xsix

xsixxsie

xf

x

11

2101

0)( 2

Estudia su continuidad y derivabilidad. Determina la función derivada de

f.

12. 2011 MODELO 1 OPCIÓN B Ejercicio 1.- Sea f : [1/e,4] → R la función definida por

−++−

=2ln1

)ln()(

bxaxx

xf sisi

42

2/1≤<≤≤

xxe

donde ln denota la función logaritmo neperiano (a) [1'25 puntos] Calcula los valores de a y b para que f sea derivable en el intervalo (1/e, 4). (b) [1'25 puntos] Para a = 0 y b = 1/2 halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

28

EJERCICIOS DE REPASO UNIDAD 1

1. Calcula los siguientes límites:

a) 12lim 2 +−∞→

xxx

b) 6262

23lim 23

2

1 −−+++

−→ xxxxx

x

c) 87

1lim 3

2

1 −+−

→ xxx

x

d)

−−

−→ 912

32lim 23 xxx

e) 1

1lim 2

23

−−+++

∞→ xxxxx

x

f)

1331464lim 23

234

1 −+−+−+−

−→ xxxxxxx

x

2. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

a)

>

≤−=

1,21,3

)(2

xx

xxxf

b)

−

−+

=

x

xxx

x

xf

1

12)(2

1

10

0

≥

<≤

<

x

x

x

c)

−−−

=1

11

)(2

3

xxx

xf 2

211

≥<<

≤

xx

x

d) 9)( 2 −= xxf

e) 41)( 2

2

+−

=xxxf

f) 94ln 2 −

−=

xxy

g) 3164

−−

=x

xy

i) ( )xxxy 23ln 23 +−=

3. Utiliza la definición para calcular la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican:

a) 4

1)( 3 −=

xxf en x = 1

b) 413)(

−+

=xxxf en x = 1

c) 1

)( 2

2

−−

=x

xxxf en x = 0

d) 35)( 2 ++= xxxf en x = - 2 e) 323)( 2 +−= xxxf en x = 1

4. Calcula la recta tangente y la recta normal de las funciones anteriores en los puntos

que se indican. 5. Utiliza la definición para calcular la función derivada de las siguientes funciones:

a) 2

1)(x

xf = b) x

xxf 2)( +=

29

c) 1

1)( 2 −−

=x

xxf d) 323)( 2 +−= xxxf

6. 2004 MODELO 3 OPCIÓN A.

Ejercicio 2. Se sabe que la función f : (− 1, 1) → ℜ definida por

−

+−=

x

cxxxf1

212)(

2

1001

<≤<<−

xx

es derivable en el intervalo (− 1, 1). (a) [1 punto] Determina el valor de la constante c. (b) [0’5 puntos] Calcula la función derivada de f . (c) [1 punto] Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f que son paralelas a la recta de ecuación y = x.

7. 2006 MODELO 5 OPCIÓN B. Ejercicio 1. Se sabe que la función f : [0, 5] → ℜ definida por

−+−+

=14

)(2

xbxax

xf 5220

≤≤<≤

xx

es derivable en el intervalo (0, 5). (a) [1’75 puntos] Calcula las constantes a y b. (b) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2.

30

UNIDAD 2: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

TEMA 4: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

7. Monotonía: Crecimiento y decrecimiento de una función 8. Determinación de extremos relativos 9. Optimización de funciones 10. Curvatura: Concavidad o curvatura de una función 11. Puntos de inflexión 12. Aplicaciones de las derivadas al cálculo de límites

1. MONOTONÍA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN

Si f(x) es derivable,

• f(x) es estrictamente creciente en (a, b) si su derivada es positiva (f’(x) > 0) • f(x) es estrictamente decreciente en (a, b) si su derivada es negativa (f’(x) < 0)

Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento Ejemplo: f(x) = x3 − 3x + 2 Pasos:

1. Se deriva la función: f '(x) = 3x2 −3 2. Se obtienen los ceros de la derivada primera: f ´(x) = 0.

11033 22 ±=→=→=− xxx

3. Formamos intervalos abiertos con los ceros de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (ceros del numerador y del denominador, si hubiese un cociente)

4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada

primera. • Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, f'(−2) = 3(−2)2 −3 > 0

• Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, f'(0) = 3(0)2 −3 < 0

• Del intervalo (1, ∞) tomamos x = 2, f'(2) = 3(2)2 −3 > 0

5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

• Creciente en: (−∞, −1) (1, ∞) • Decreciente en: (−1,1)

EJERCICIO RESUELTO:

( ) 121)( 2

3

2

3

+−=

−=

xxx

xxxf , { }1)( −ℜ=xDomf

31

1. Derivo la función:

( ) ( )22

234

22

34234

22

322

)12(34

)12(22363

)12(22)12(3)('

+−+−

=+−

−−+−=

+−−−+−

=xx

xxxxx

xxxxxxx

xxxxxxf

2. Igualo a cero el numerador y el denominador para calcular los puntos donde

cambia de signo el cociente:

CEROS DEL NUMERADOR:

( )

==

→=+−

=→=→=+−→=+−

31

034

00034034 2

2

22234

xx

xx

xxxxxxxx

CEROS DEL DENOMINADOR: 10122 =→=+− xxx

3. Divido la recta en intervalos: - ∞ 0 1 3 ∞ 4. Estudio el signo de la derivada en cada intervalo:

5. Expreso los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

Creciente ( ) ( ) ( )∞∞− ,31,00, Decreciente en (1, 3)

2. EXTREMOS RELATIVOS O LOCALES.

Máximos locales (la función cambia de creciente a decreciente) Si f y f ´ son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

1. f ´(a) = 0 2. f ´´(a) < 0

Mínimos locales (la función cambia de decreciente a creciente) Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:

1. f ´(a) = 0 2. f ´´(a) > 0


32

Cálculo de máximos y mínimos Ejemplo: f(x) = x3 − 3x + 2 Pasos:

1. Hallo la derivada primera y calculamos sus ceros:

11033)(' 22 ±=→=→=−= xxxxf

2. Realizo la 2ª derivada, y sustituimos los valores obtenidos en el paso 1:

→<−=−→−=→>=→=

→=máximofx

mínimofxxxf

06)1(''106)1(''1

6)(''

3. Sustituyo en la función f(x) = x3 − 3x + 2 (sin derivar) para obtener la segunda

coordenada de los puntos:

• Si x = 1: f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0 Mínimo(1, 0)

• Si x = -1: f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4 Máximo(−1, 4) EJERCICIO RESUELTO:

( ) 121)( 2

3

2

3

+−=

−=

xxx


1. Derivo la función e igualo a cero:

( ) ( )

→=+−+−

=+−

−−+−=

+−−−+−

=

0)12(

34)12(

22363)12(

)22)12(3)('

22

234

22

34234

22

322

xxxxx

xxxxxxx

xxxxxxxxf

El denominador pasa a la derecha multiplicando a cero y desaparece:

( )

==

→=+−

=→=→=+−→=+−

31

034

00034034 2

2

22234

xx

xx

xxxxxxxx

2. Realizo la 2ª derivada, y sustituimos los valores obtenidos en el paso 1, o bien me fijo en el crecimiento de la función para averiguar si son máximos o mínimos:

Teniendo en cuenta la tabla:

• En x = 0 no hay extremo local (no cambia la monotonía) • En x = 1 hay una asíntota (es un cero del denominador de la función) • En x = 3 hay un mínimo (cambia de decreciente a creciente)

33

3. Sustituyo en la función ( ) 121

)( 2

3

2

3

+−=

−=

xxx

xxxf para obtener la segunda

coordenada de los puntos:

• En x = 1 ( )

→=−

=01

111)( 2

3

xf no hay función

• En x = 3 ( )

→

→=

−=

427,3

427

133)3( 2

3

f es un mínimo

3. OPTIMIZACIÓN Pasos para la resolución de problemas de optimización

1. Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar. 2. Se plantea una ecuación que relacione las dos variables del problema, y se despeja

una de ellas 3. Se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable. 4. Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales. 5. Se realiza la 2ª derivada para comprobar si el resultado obtenido es un máximo o

un mínimo, o se estudia la monotonía Ejemplo

De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome

área máxima.

1. Se plantea la función que hay que maximizar en función de las variables

2hbS ⋅

=

34

2222

22222 222

yxyyxy

Syxhyhxh

yb−⋅=

−⋅=→

−=→+=→

=

22 yxyS −⋅=

2. Relacionamos las variables , utilizando el valor del perímetro:

yxyx −=→=+ 61222 3. Sustituimos en la función:

( ) yyyyyyyyyyxyS 123612366 222222 −⋅=−+−⋅=−−⋅=−⋅=

Podemos introducir la y que multiplica a la raíz para que la derivada sea más sencilla:

( ) 322 12361236 yyyyS −=−=

4. Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

( ) →=−

−=

−

−=−

−= 0

12361836

1236236723672

123621'

32

2

32

22

32 yyyy

yyyyyy

yyS

El denominador desaparece al pasarlo a la derecha multiplicando a cero y queda la

ecuación:

==

→−20

1836 2

yy

yy

5. Comprobamos si es un máximo o un mínimo. Para ello realizamos la 2ª derivada y

sustituimos por x = 2, ya que la solución y = 0 la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero.

6. La otra variable es: x = 6 – y = 4

La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el triángulo de área máxima sería un triángulo equilátero. 4. CURVATURA: CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD. Si f ´(x) es derivable,

• f(x) es convexa en (a, b) si su segunda derivada es positiva (f ´´(x) > 0) • f(x) es cóncava en (a, b) si su segunda derivada es negativa (f ´´(x) < 0)

Ejemplo: f(x) = x3 − 3x + 2 Pasos:

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.


35

f ´(x) = 3x2 −3 f ´´(x) = 6x = 0 x = 0 2. Formamos intervalos abiertos con los ceros de la segunda derivada y los puntos de

discontinuidad (ceros del numerador y del denominador, si hubiese un cociente)

3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada

segunda. • Del intervalo (− ∞, 0) tomamos x = −1, f ´´(−1) = 6(−1) < 0 Cóncava. • Del intervalo (0, ∞) tomamos x = 1, f ´´(1) = 6 (1) > 0 Convexa.

4. Escribimos los intervalos:

Concavidad: (−∞, 0) Convexidad: (0, ∞) EJERCICIOS RESUELTOS

( ) 121)( 2

3

2

3

+−=

−=

xxx


1. Derivo la función dos veces:

( ) ( )22

234

22

34234

22

322

)12(34

)12(22363

)12(22)12(3)('

+−+−

=+−

−−+−=

+−−−+−

=xx

xxxxx

xxxxxxx

xxxxxxf

( ) ( )22

234

22

34234

22

322

)12(34

)12(22363

)12(22)12(3)('

+−+−

=+−

−−+−=

+−−−+−

=xx

xxxxx

xxxxxxx

xxxxxxf

( )( ) ( ) ( )( )( )42

22342223

122212234126124)(''

+−

−+−⋅+−−+−+−=

xxxxxxxxxxxxxxf

En el numerador se puede sacar factor común ( 122 +− xx ) y simplificarlo con un factor del denominador:

( )( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )2232

2

32

23

32

23344523234345

32

234223

126

12126

126126

1212121616446126122412484

124434126124)(''

+−=

+−

+−=

+−

+−

=+−

−++−−−+−+−+−+−

=+−

−⋅+−−+−+−=

xxx

xxxxx

xxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxf

2. Igualo a cero el numerador y el denominador para calcular los puntos donde

cambia de signo el cociente:

36

CEROS DEL NUMERADOR: 006 =→= xx CEROS DEL DENOMINADOR: 10122 =→=+− xxx

3. Divido la recta en intervalos: - ∞ 0 1 ∞ 4. Estudio el signo de la derivada segunda en cada intervalo:

5. Expreso los intervalos de curvatura:

Convexa en ( ) ( )∞,11,0 Cóncava en ( )0,∞− 5. PUNTOS DE INFLEXIÓN DE UNA FUNCIÓN. Son los puntos de la función en los que cambia de curvatura Si f y f' son derivables en a, a es un PUNTO DE INFLEXIÓN si se cumple:

1. f ´´(a) = 0 2. f ´´´(a) ≠ 0

Estudio de los puntos de inflexión EJEMPLO: f(x) = x3 − 3x + 2 Pasos:

a) Hallamos la derivada segunda y calculamos sus ceros: f '(x) = 3x2 −3 f''(x) = 6x = 0 x = 0

b) Realizamos la derivada tercera, y sustituimos en ella los ceros de derivada segunda y si:

f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión. f'''(x) = 6, por tanto x = 0 será un punto de inflexión.

c) Calculamos la imagen (en la función f(x) = x3 − 3x + 2) del punto de inflexión. f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2 Punto de inflexión: (0, 2)

6. TEOREMA DE L’HÔPITAL

1. Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables en x = a, y sea 0)(lim)(lim ==→→

xgxfaxax

.

Si existe )(')('lim

)()(lim

)(')('lim

xgxf

xgxf

xgxf

axaxax →→→=→


37

2. Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables en x = a, y sea

∞==→→

)(lim)(lim xgxfaxax

. Si existe )(')('lim

)()(lim

)(')('lim

xgxf

xgxf

xgxf

axaxax →→→=→

3. Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables, y sea 0)(lim)(lim ==∞→∞→

xgxfxx

. Si

existe )(')('lim

)()(lim

)(')('lim

xgxf

xgxf

xgxf

xxx ∞→∞→∞→=→

4. Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables, y sea ∞==

∞→∞→)(lim)(lim xgxf

xx. Si

existe )(')('lim

)()(lim

)(')('lim

xgxf

xgxf

xgxf

xxx ∞→∞→∞→=→

Para aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la forma )()(lim

xgxf

ax→, donde a

puede ser un número o infinito, y aparecer las indeterminaciones: 00 o

∞∞

EJEMPLOS

1. ( )00

)1(12lnlim

2

1=

−−

→ xtgx

x

( ) ( ) 401

401

14

)1(112

4

lim)1(12lnlim 22

2

1

2

1=

+=

+=

−+−

=−−

→→ tgxtgx

x

xtgx

xx

2. 00lim 30

=−

→ xsenxx

x

61

6lim

3cos1limlim

02030==

−=

−→→→ x

senxx

xxsenxx

xxx

3. ( ) 0

0ln

)1cos(1lim 21=

−−→ x

xx

( )

21

210

112

0cos10112

)1cos()1(1lim

ln2)1(limln2

)1(limln

)1cos(1lim

1

1121

=+

=⋅

⋅+⋅=

⋅

−+−⋅

=−⋅

=−

=−−

→

→→→

sen

x

xxxsen

xxsenx

xx

xsenxx

x

xxx

4. 001coslim 2

2

0=

−→ x

xx

12

)10(22

cos)cos(2lim2

cos2lim1coslim002

2

0

−=+−

=+⋅−−

=⋅−

=−

→→→

xsenxsenxx

senxxx

xxxx

38

INDETERMINACIÓN INFINITO MENOS INFINITO En la indeterminación infinito menos infinito, si son fracciones, se ponen común

denominador y se transforma en 00 o

∞∞

EJEMPLO

1. ∞−∞=

−

→ xgx

x

1cotlim0

020

coscoscoslim

'cos

limcos

coscoslim

'coslim1coslim

0

00

00

==

⋅++⋅−−

=

⋅+⋅−

=

⋅+−⋅−

=

⋅−

=

−

→

→→

→→

senxxxxxxsenx

HLxxsenx

senxxxxsenx

xsenxxx

HLsenxx

senxxxxsenx

x

x

xx

xx

INDETERMINACIÓN CERO POR INFINITO La indeterminación cero por infinito, se transforma del siguiente modo:

B

ABAaxax 1

lim)(lim→→

=⋅

EJEMPLO

( ) ( )∞−⋅=⋅+→

0lnlim0

xxx

( )

0)(limlim1

1

lim

'1lnlimlnlim

0

2

0

2

0

00

=−=−

=−

==⋅

+++

++

→→→

→→

xxx

x

x

HL

x

xxx

xxx

xx

39

EJERCICIOS DE APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1. 2008 MODELO 1 OPCIÓN A.

Ejercicio 1. Sean f : R → R y g : R → R las funciones definidas por f(x) = x2 + ax + b y g(x) = ce -(x + 1)

Se sabe que las gráficas de f y g se cortan en el punto (−1, 2) y tienen en ese punto la misma recta tangente. (a) [2 puntos] Calcula los valores de a, b y c. (b) [0’5 puntos] Halla la ecuación de dicha recta tangente.


Ejercicio 1. [2’5 puntos] De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto (1, 2), encuentra aquella que forma con las partes positivas de los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Halla el área de dicho triángulo. 3. 2008 MODELO 3 OPCIÓN B.

Ejercicio 1. [2’5 puntos] De entre todos los rectángulos de perímetro 8cm, determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud.


Ejercicio 1. [2’5 puntos] Dada la función f: R → R definida por f(x) = (x + 1)/(ex), determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión.


Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sea f : R R la función definida por f(x)==ax3+bx2+cx+d. Calcula los valores de a, b, c y d sabiendo que f verifica: • El punto (0 , 1) es un punto de inflexión de la gráfica f • f tiene un mínimo local en el punto de abscisa x = 1 • La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene pendiente 1 6. 2009 MODELO 1 OPCIÓN B.

Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Se divide un segmento de longitud L = 20 cm. en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro un rectángulo en el que la base es el doble de la altura. Calcula la longitud de cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima.


Ejercicio 1.- [2'5 puntos] De entre todos los rectángulos cuya área mide 16 cm2, determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud


Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Se sabe que la función f :R → R definida por dcxbxaxxf +++= 23)( , tiene extremos relativos en (0 , 0) y (2 , 2). Calcula a, b, c

y d.

9. 2009 MODELO 6 OPCIÓN B. Ejercicio 1.- [2’5 puntos] De todos los triángulos cuya base y altura suman 20 cm.,

¿qué base tiene el de área máxima? 10. 2010 MODELO 1 OPCIÓN A.

40

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. 11. 20010 MODELO 1 OPCIÓN B.

Ejercicio 1. Sea f : (0, +∞) → R la función definida por f(x) = ln(x2 +3x), donde ln denota el logaritmo neperiano. a) [1’5 puntos] Determina, si existen, los puntos de la gráfica de f en los que la

recta tangente a la gráfica es paralela a la recta de ecuación x − 2y +1 = 0. b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica

de f en el punto de abscisa x=3.

12. 2010 MODELO 2 OPCIÓN A. Ejercicio 1. Sea f la función definida como f(x) = (ax2 + b) / (a – x) para x ≠ a. a) [1'5 puntos] Calcula a y b para que la gráfica de f pase por el punto (2,3) y

tenga una asíntota oblicua con pendiente - 4. b) [1 punto] Para el caso de a = 2, b = 3, obtén la ecuación de la recta tangente

a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1

13. 2010 MODELO 3 OPCIÓN B. Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea f : R → R la función f(x) = (x + 1)∙ √3 − 𝑥3 .

Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = −5 y en el punto de abscisa x = 2.

14. 2010 MODELO 4 OPCIÓN A

Ejercicio 1. [2’5 puntos] La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 90 cm. Si se hace girar alrededor de uno de sus catetos, el triángulo engendra un cono. ¿Qué medidas han de tener los catetos del triángulo para que el volumen del cono engendrado sea máximo? (Recuerda que el volumen del cono es V = (1/3)πr2h). 15. 2010 MODELO 5 OPCIÓN A

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Una hoja de papel tiene que contener 18 cm2 de texto. Los márgenes superior e inferior han de ser de 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo.


Ejercicio 1. [2’5 puntos] Dada la función f : R → R, f(x) = a.sen(x)+ bx2 + cx + d, determina los valores de las constantes a, b, c y d sabiendo que la gráfica de f tiene tangente horizontal en el punto (0, 4) y que la segunda derivada es f ´´(x) = 3.sen(x) − 10.


Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo.

De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m, halla las dimensiones del marco de la de área máxima.

41

18. 2011 MODELO 2 OPCIÓN A Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de

perímetro 8 y de área máxima.

19. 2011 MODELO 3 OPCIÓN A Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Dada la función f : R → R definida por f(x) = ax3 + bx2 +

cx, determina a, b y c sabiendo que su gráfica tiene un punto de inflexión en (1,0), y que la recta tangente en ese punto tiene por ecuación y = - 3x + 3.


Ejercicio 1.- [2'5 puntos] En el primer cuadrante representamos un rectángulo de tal manera que tiene un vértice en el origen de coordenadas y el vértice opuesto en la parábola y = - x2 + 3. Determina las dimensiones del rectángulo para que su área sea máxima.

. 21. 2011 MODELO 4 OPCIÓN A

Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular para unos caballos en una zona llana. Cada metro del lado del cercado que está junto a la carretera nos cuesta 100 euros, mientras que para el resto del cercado nos cuesta 10 euros el metro. ¿Cuáles son las dimensiones del prado de área máxima que podemos cercar con 3000 euros?


Ejercicio 1.- [2'5 puntos] En una empresa los ingresos (en euros) dependen de la edad. Si la edad, x, es de 18 a 50 años, los ingresos vienen dados por la fórmula – x2 + 70x, mientras que para edades iguales o superiores a 50 años los ingresos están

determinados por la expresión 30

400−x

x . Calcula cuál es el máximo de los ingresos y a

qué edad se alcanza.

23. 2011 MODELO 5 OPCIÓN A Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Un alambre de 100 m de longitud se divide en dos trozos.

Con uno de los trozos se construye un cuadrado y con el otro un rectángulo cuya base es doble que su altura. Calcula las longitudes de cada uno de los trozos con la condición de que la suma de las áreas de estas dos figuras sea mínima.


Ejercicio 1.- Sea f : R → R la función definida por f(x) = 4 – x2

a) [1 punto] Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2.

b) [1'5 puntos] Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es perpendicular a la recta x +2y – 2 = 0.


Ejercicio 1.- [2'5 puntos] Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total igual a 54 m2. Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que éste tenga volumen máximo.

42

26. 2011 MODELO 6 OPCIÓN A Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sea f :[1,+∞) → R la función definida como

1)( −= xxf . Determina el punto P de la gráfica de f que se encuentra a menor distancia del punto A(2, 0). ¿Cuál es la distancia?

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD: LÍMITES

27. SELECTIVIDAD 2000: MODELO 2 OPCIÓN A

Ejercicio 2. [2.5 puntos] Calcula )tan(

lim 2xsenxx

ox

⋅→

28. SELECTIVIDAD 2001: MODELO 1 OPCIÓN B

Ejercicio 2. [2.5 puntos] Calcula

−

−→ xxx

x ln1

1lim

1


Ejercicio 2. [2.5 puntos] Calcula ( )23

1limxxsenxe x

ox −⋅−

→


Ejercicio 2. Calcula

(a) [1.25 puntos] 2

211limx

xox

−−→

(b) [1.25 puntos] x

xex 32lim −

+∞→⋅


Ejercicio 2. [2.5 puntos] Determina α sabiendo que existe y es finito el límite:

senxxxee xx

ox −+− −

→

αlim

Calcula dicho límite. 32. SELECTIVIDAD 2002: MODELO 3 OPCIÓN A

Ejercicio 2. Considera la función f definida por 1

22)(2

−+−

=x

xxxf para 1≠x

(a) [1.5 puntos] Calcula las asíntotas de la gráfica de f. (b) [1 punto] Estudia la posición de la gráfica f respecto de sus asíntotas. 33. SELECTIVIDAD 2002: MODELO 5 OPCIÓN B

Ejercicio 2. Considera la curva de ecuación 32

22

3

−−+

=xx

xxy

(a) [1.5 puntos] Determina sus asíntotas (b) [2.5 puntos] ¿Corta la curva a alguna de sus asíntotas en algún punto? Justifica la

respuesta.

43


Considera la función ℜ→ℜ:f definida por 22)(x

exxf ⋅= (a) [1 punto] Calcula

)(lim xfx +∞→

y )(lim xfx −∞→

(b) [1.5 puntos] Calcula los intervalos de monotonía y los extremos locales de f (puntos donde se obtienen y valor que se alcanzan)


Ejercicio 2. [2.5 puntos] Calcula senxx

senxxLnox ⋅

−+→

)1(lim


Ejercicio 2. Considera la función f definida para 2−≠x por 2

22)(2

++

=xxxf

(c) [1.5 puntos] Halla las asíntotas de la gráfica de f. (d) [1 punto] Estudia la posición de la gráfica f respecto de sus asíntotas. 37. SELECTIVIDAD 2003: MODELO 6 OPCIÓN A

Ejercicio 2. Considera la función f definida por ( )2

3

1)(

xxxf+

= para 1≠x

(e) [1.5 puntos] Calcula las asíntotas de la gráfica de f. (f) [1 punto] Estudia la posición de la gráfica f respecto de sus asíntotas. 38. 2005 MODELO 3 OPCIÓN A.

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se sabe que 2limx

senxxox

⋅−→

α es finito. Determina el valor

de α y calcula el límite. 39. 2006 MODELO 1 OPCIÓN B.

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Calcula

−−

→ 111lim

1 xLnxx

siendo Ln la función logaritmo neperiano.

40. 2008 MODELO 3 OPCIÓN A. (JUNIO)

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea f la función definida, para x ≠ 0, por xexxf1

)( ⋅= Determina las asíntotas de la gráfica de f.


Ejercicio 1. [2’5 puntos] Dada la función f definida, para 0≠x , por

11)(

−+

= x

x

eexf determina las asíntotas de su gráfica.


Ejercicio 1. [2’5 puntos] Se considera la función f : (1, +∞) → R definida por

xxxxf +−= 2)( Determina las asíntotas.

44

43. 2009 MODELO 3 OPCIÓN A (JUNIO) Ejercicio 1. [2'5 puntos] Calcula el siguiente límite (In denota logaritmo

neperiano),

−−

→ 121lim 21 xLnxx


Ejercicio 1. [2’5 puntos] Calcula

−→ 20

limx

ee senxx

x

45

TEMA 5: GRÁFICA DE UNA FUCIÓN

Para representar una función tenemos estudiaremos los siguientes apartados:

1. Dominio de una función 2. Simetría

Simetría respecto del eje de ordenadas f(-x) = f(x)

Simetría respecto al origen f(- x) = - f(x)

3. Periodicidad )(),()(/ xDomfxxfTxfT ∈∀=+ℜ∈∃

T = periodo

4. Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con el eje OX

Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos y = 0 y resolvemos la ecuación resultante.

Punto de corte con el ejes OY Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos x = 0 y calculamos el valor de f(0).

5. Asíntotas Asíntotas horizontales Si kxf

x=

±∞→)(lim , entonces la función tiene una asíntota

horizontal en y = k

Ejemplo: →=−+

→−+

=∞→

2132lim

132)( 2

2

2

2

xx

xxxf

xla función tiene una asíntota

horizontal en y = 2

Asíntotas verticales Si →±∞=→

)(lim xfkx

la función tiene una asíntota vertical en

x = K En un cociente, las posibles asíntotas verticales son los puntos que no pertenecen al dominio (valores de x que anulan el denominador)

Ejemplo: 101132)( 2

2

2

±=→=−→−+

= xxxxxf

→

±∞==−+

±∞==−+

−→

→

05

132lim

05

132lim

2

2

1

2

2

1

xx

xx

x

xla función tiene dos asíntotas verticales, una en x =1

y otra en x = - 1

46

En un logaritmo, las posibles asíntotas verticales se obtienen igualando a cero la función sobre la que actúa el logaritmo. Si, además, esta función es un cociente, también son posibles asíntotas los ceros del denominador.

Ejemplo:

=→=−−=→=+

→−+

=101303

13log)(

xxxx

xxxf

→

−∞==−

=−+

+∞=∞==

−+

−→

→

0log4

0log13loglim

log04log

13loglim

3

1

xxxx

x

xla función tiene dos asíntotas

verticales, una en x =1 y otra en x = - 3

Asíntotas oblicuas f(x) tiene asíntota oblicua y = mx + n, si m y n existen y son finitos. Se calculan resolviendo los siguientes límites:

( )xmxfnxxfm

x

x

⋅−=

=

∞→

∞→

)(lim

)(lim

Si la función tiene asíntota horizontal, no tiene asíntota oblicua.

EJEMPLO: Calcular las asíntotas de la función: 22)(

2

−+

=x

xxf

Asíntotas horizontales: →∞=−+

∞→ 22lim

2

xx

xno hay asíntota horizontal

Asíntotas verticales: →±∞==−+

→ 06

22lim

2

2 xx

xhay asíntota vertical en x = 2

Asíntotas oblicuas

→=

−+

=

−

−−+=

−

−+

=

→=−+

=−+

=

∞→∞→∞→

∞→∞→

22

22lim2

)2(2lim22lim

122lim2

2

lim

22

2

2

2

xx

xxxxx

xxn

xxx

xx

x

m

xxx

xx

Hay una asíntota oblicua de ecuación y = x + 2

6. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos relativos

7. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión

Ejemplo de representación de una función

21)(

xxxf+

=

Dominio: Todos los números reales Puntos de corte con los ejes:

47

Punto de corte con OX: ( )0,0001

)( 2 →=→=+

= xx

xxf

Punto de corte con OY: ( )0,0001

0)0( 2 →=+

=f

Asíntotas

Asíntota horizontal →=+∞→

01

lim 2xx

xAsíntota horizontal en y = 0

Asíntota vertical no tiene porque si igualo el denominador a cero, no tiene solución

Asíntota oblicua no tiene, porque tiene asíntota horizontal Crecimiento y decrecimiento

−=→=+±=→=−

+−

=+

⋅−+=

101101

)1(1

)1(2)1(1)(' 22

2

22

2

22

2

xxxx

xx

xxxxxf

( )1,−∞− (- 1, 1) ( )∞,1

f’(x) - + -

f(x)

Mínimos

−−→

−=

+−

=−=→−=21,1

21

111)1(1 fyx

Máximos

→=

+==→=

21,1

21

111)1(1 fyx

Concavidad y convexidad

( )

( )

±=→=−=

=−→=−

→+−

=+

+−−−=

+−⋅⋅−+−

=

→+

−⋅⋅+−+−=→

+−

=

3030

0)3(2062

)1(62

)1(4422

)1(122)1(2)(''

)1(12)1(2)1(2)(''

)1(1)('

223

32

3

32

33

32

22

42

2222

22

2

xxx

xxxx

xxx

xxxxx

xxxxxxf

xxxxxxxf

xxxf

( )3,−∞− ( )0,3− ( )3,0 ( )∞,3

f’’(x) - + - +

f(x)

Convexa en ( ) ( )∞− ,30,3 Cóncava en ( ) ( )3,03, −∞− Puntos de inflexión

−−

43,3 ( )0,0

43,3

48

Representación gráfica

Ejercicio 6. Sea f : R → R la función definida por f(x) = (3x − 2x2)ex . (a) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . (b) [1 punto] Calcula los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). SOLUCIÓN Los apartados (a) y (b) se pueden hacer juntos pues lo único que hay que estudiar es la primera derivada f’(x), de la cual saldrá el crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos

f ´(x) = (x − 4x)ex + (3x − 2x2)ex = ex(– 2x2 – x + 3) De f ´(x) = 0 → (– 2x2 – x + 3) = 0, puesto que la exponencial ex nunca se anula. – 2x2 – x + 3 = 0 → x = 1 y x = – 1’5, que serán los posibles máximos y mínimos relativos. – 1,5 1 en (– ∞ , –1’5): f ´(–2) = e –2 (– 2(–2)2 – (–2) + 3) = e -2(– 3) < 0, f(x) es estrictamente decreciente en (–1’5, 1): f ´(0) = e 0 (3) = 1( 3) > 0, f(x) es estrictamente creciente en (1, +∞ ): f ´(2) = e (2) (– 2(2)2 – (2) + 3) = e 2(– 7) < 0, f(x) es estrictamente decreciente - ∞ - 1,5 1 ∞ f’ - + - f Por definición x = –1’5 es un mínimo relativo que vale f(–1’5) = (3(−1’5) − 2(–1’5)2)e -1’5 = – 9.e -1’5

Por definición x = 1 es un máximo relativo que vale f(1) = (3(1) − 2(1)2)e 1 = e

49

EJERCICIOS DE GRÁFICA DE FUNCIONES 1. 2008 MODELO 5 OPCIÓN A.

Ejercicio 1. Sea f : [0, 2π] → R la función definida por f(x)= ex(sen x + cos x). (a) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento (b) [1’25 puntos] Calcula los puntos de inflexión de la gráfica de f.


Ejercicio 1. Sea f : R R la función definida por 2)ex . (a) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento (b) [1 punto] Calcula los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y

valores que se alcanzan).


Ejercicio 1. Sea f : R → R la función definida por

≥−−

<−=

0,13

0,1

1)(

2 xxx

xxxf

(a) [0'75 puntos] Estudia su continuidad y derivabilidad. (b) [1'25 puntos] Determina sus asíntotas y sus extremos relativos. (c) [0'5 puntos] Esboza la gráfica de f.


Ejercicio 1.- Sea Sea f : R → R la función definida por 3)(( 2 +⋅= xxxf . a) [1’5 puntos] Estudia la continuidad y derivabilidad de f b) [1’5 puntos] Estudia el crecimiento y decrecimiento de f. Calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan)

5. 2009 MODELO 6 OPCIÓN A. Ejercicio 1.- Sea la función f:R→ R definida por xexxf −+=)(

a) [0’75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f, así como los extremos relativos o locales de f b) [0’5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y convexidad de f c) [0’75 puntos] Determina las asíntotas de la gráfica de f. d) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f


Ejercicio 1. Sea f la función definida como 1

)( 2

3

−=

xxxf para x ≠ - 1 y x ≠ 1.

(a) [1 punto] Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f (b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. (c) [0’5 puntos] Con los datos obtenidos esboza la gráfica de f .


Ejercicio 1.- Sea f la función definida por 3

4 13)(x

xxf += , para x ≠ 0.

(a) [1’25 puntos] Estudia las asíntotas de la gráfica de la función. (b) [1’25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

50

UNIDAD 3: INTEGRALES

TEMA 6: INTEGRAL INDEFINIDA

8. Concepto de integral 9. Tabla de integrales 10. Integrales potenciales 11. Integrales logarítmicas y exponenciales 12. Integrales trigonométricas 13. Integrales trigonométricas inversas 14. Métodos de integración

1. INTEGRAL INDEFINIDA

Integrar es el proceso recíproco de derivar, es decir, dada una función f(x) buscamos aquellas funciones F(x) cuyas derivadas son f(x). Se dice que F(x) es una primitiva de f(x)

Es decir, las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que: F ´(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas

ellas en una constante. [F(x) + C] ´ = F'(x) + 0 = F ´(x) = f(x)

Integral indefinida es el conjunto de todas las infinitas primitivas que puede tener

una función. Se representa por ∫ f(x) dx. Se lee: integral de x diferencial de x.

• ∫ es el signo de integración. • f(x) es el integrando o función a integrar. • dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. • C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivarla. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integral_indefinida.html

http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/tabla_integrales.html

http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integrales_inmediatas.html

http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integrales_logaritmicas.html

http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integrales_trigonometricas.html

http://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integrales_trigonometricas_inversas.html

51

2. TABLA DE INTEGRALES CONSTANTE 1. ∫ += Cxdx

2. ∫ +⋅=⋅ Cxkdxk POTENCIA

3. ∫ ++

=+

Cnxdxx

nn

1

1

, si 1−≠n ∫ ++

=⋅→+

Cnfdxff

nn

1'

1

, si 1−≠n

(En el integrando debe aparecer la derivada de la BASE) LOGARÍTMICA

4. ∫ += Cxdxx

ln1 ∫ +=→ Cfdxff ln'

(En el NUMERADOR debe aparecer la derivada del DENOMINADOR) EXPONENCIAL

5. ∫ += Ca

adxax

x

ln ∫ +=→ C

aadxaf

ff

ln'

6. ∫ += Cedxe xx ∫ +=→ Cedxef ff' (En el integrando debe aparecer la derivada del EXPONENTE)

TRIGONOMÉTRCAS

(En el integrando debe aparecer la derivada del ÁNGULO) 7. ∫ +−=⋅ Cxdxsenx cos ∫ +−=⋅→ Cfdxfsenf )cos()('

8. ∫ +=⋅ Csenxdxxcos ∫ +=⋅→ Cfsendxff )()cos('

9. Ctgx

dxx

dxxtg

dxx

+=

⋅

⋅+

⋅

∫

∫∫

2

2

2

cos1

)1(

sec

Cftg

dxf

f

dxftgf

dxff

+=

⋅

⋅+

⋅⋅

→

∫

∫∫

)(

)(cos'

))(1('

)(sec'

2

2

2

10. Cgx

dxxsen

dxxg

dxxec

+−=

⋅

⋅+

⋅

∫

∫∫

cot

1

)cot1(

cos

2

2

2

Cfg

dxfsen

f

dxfgf

dxfecf

+−=

⋅

⋅+

⋅⋅

→

∫

∫∫

)(cot

)('

))(cot1('

)(cos'

2

2

2

ARCOTANGENTE

11. ∫ +=⋅+

Carctgxdxx 21

1 ∫ +=⋅+

→ Cfarctgdxf

f )(1

'2

(En el NUMERADOR debe aparecer la derivada de la BASE del cuadrado)

52

3. INTEGRAL DE UNA POTENCIA

∫ ++

=+

Cnxdxx

nn

1

1

, si 1−≠n ∫ ++

=⋅→+

Cnfdxff

nn

1'

1

, si 1−≠n

(En el integrando debe aparecer la derivada de la BASE) EJERCICIOS 1. ∫ += Cxdx 77

2. ∫ += Cxdxx6

65

3. ∫ += Cxdxx4

774

3

4. CxCxCxdxx +=+=++

=∫+

53

351

32

3 5351

32

32

5. Cx

CxCxCxdxxdxx

+−=+−=+−

=++−

⋅== −−+−

−∫ ∫ 33

3144

4

13

314

333

6. CxCxCxCxdxxdxx +⋅

=+=+=++

==∫ ∫+

43

43

341

31

3 434

341

31

31

3

7. CxCxCxCxdxxdxx

+⋅=+=+=++

−==∫ ∫

+−

−33

1311

32

32

3 233

311

32

1

8. ( )∫ ++−−=+−− Cxxxxdxxxx 43

65

426 235

24

9.

Cx

xCxxCxxdxxxdxx

x +−=+−

+=++−

++

=

+=

+

−+−+

−∫ ∫ 53

523

16121

621

6

225

10

23

316

10

1213103103

10. ∫ +=⋅ Cxsenxdxsenx 2

21cos

11. ( ) ( ) Cxtgxdxtgxtgdxxtgxtg +=⋅+=+∫ ∫ 41

43253

53

4. INTEGRALES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES LOGARÍTMICA

12. ∫ += Cxdxx

ln1 ∫ +=→ Cfdxff ln'

(En el NUMERADOR debe aparecer la derivada del DENOMINADOR) EXPONENCIAL

13. ∫ += Ca

adxax

x

ln ∫ +=→ C

aadxaf

ff

ln'

14. ∫ += Cedxe xx ∫ +=→ Cedxef ff' (En el integrando debe aparecer la derivada del EXPONENTE)

EJERCICIOS

15. Cxdxx

xdxx

x++=

+=

+ ∫∫ 8ln31

83

31

83

3

2

3

2

16. ∫ ∫ +== Csenxdxsenx

xgxdx lncoscot

17. Cxxxdxx

xdxx

xxx+−+=

−+=

−+∫∫ ln1122 2

2

23

18. Cdxdx

x

x

x

x

+

=

=∫ ∫

32ln

32

32

32

19. Cedxexdxex xxx +=⋅=⋅ ∫∫222

212

21

20. Cedxesenxdxesenx xxx +−=⋅−−=⋅ ∫∫ coscoscos

21. Cedxx

e tgxtgx

+=∫ 2cos

22. Cdxx

dxx

dxx

xxx

x

+===∫ ∫∫ 5ln525

212515

23. Cedxexdxex xsenxsenxsen +=⋅=⋅ ∫∫ 555

515cos5

515cos

5. INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

(En el integrando debe aparecer la derivada del ÁNGULO)

1. ∫ +−=⋅ Cxdxsenx cos ∫ +−=⋅→ Cfdxfsenf )cos()('

2. ∫ +=⋅ Csenxdxxcos ∫ +=⋅→ Cfsendxff )()cos('

54

3. Ctgx

dxx

dxxtg

dxx

+=

⋅

⋅+

⋅

∫

∫∫

2

2

2

cos1

)1(

sec

Cftg

dxf

f

dxftgf

dxff

+=

⋅

⋅+

⋅⋅

→

∫

∫∫

)(

)(cos'

))(1('

)(sec'

2

2

2

4. Cgx

dxxsen

dxxg

dxxec

+−=

⋅

⋅+

⋅

∫

∫∫

cot

1

)cot1(

cos

2

2

2

Cfg

dxfsen

f

dxfgf

dxfecf

+−=

⋅

⋅+

⋅⋅

→

∫

∫∫

)(cot

)('

))(cot1('

)(cos'

2

2

2

EJERCICIOS 24. ( ) Cxsenxdxsenxx ++=−∫ coscos

25. ( ) Ctgxxdxxx +−=−∫ 322 sec3

26. ( ) ( ) Cesendxee xxx +=∫ cos

27. ( ) ( ) ( ) Cxdxxxsendxxxsen ++−=+=+ ∫∫ 5cos2152

215 222

6. INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

ARCOTANGENTE

∫ +=⋅+

Carctgxdxx 21

1 ∫ +=⋅+

→ Cfarctgdxf

f )(1

'2

(En el NUMERADOR debe aparecer la derivada de la BASE del cuadrado) EJERCICIOS

28. ( )∫ ∫ +=+

=+

Cxarctgdxx

dxx 5

11

151

551

22

29. ( )

( )∫ ∫ +=+

=+

Cxarctgdxx

dxx

441

414

41

1611

22

55

30.

∫ ∫ ∫ ∫ +

=

+

=

+

=+

=+

Csenxarctgdxsenx

x

dxsenx

xdxxsen

xdxxsen

x55

5

51

5cos

55

51

cos51

51

cos51

5cos

2222

31. ( ) ( )

( )∫ ∫ ∫ +=+

=+

=+

Cxarctgdxxxdx

xxdx

xx 3

23

2

23

2

6

2

31

13

31

11

32. ( )

( )∫ ∫ +=+

=+

Cearctgdxe

edxe

e x

x

x

x

x

22 11

7. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

1. INTEGRALES RACIONALES ∫ dxxQxP)()(

Si el numerador no puede convertirse en la derivada del denominador, se descompone la fracción en suma de fracciones simples y se integra.

Si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador, primero hay que realizar la división y expresar la fracción de la siguiente manera:

)()()(

)()(

xQxRxC

xQxP

+= , siendo C(x) el cociente y R(x) el resto. Así, la integral quedaría:

∫ ∫∫∫ +=

+= dx

xQxRdxxCdx

xQxRxCdx

xQxP

)()()(

)()()(

)()(

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.

Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes tipos de fracciones racionales:

1º Fracciones racionales con raíces reales simples: ( )( )...)( bxaxxQ −−=

La fracción puede escribirse así: ...)()(

+−

+−

=bx

Bax

AxQxR

Los coeficientes A, B y C son números que se obtienen efectuando la suma y dando valores a x. 2º Integrales racionales con raíces reales múltiples: ( )( ) ...)( nbxaxxQ −−=

Al factor múltiple le corresponde tantas fracciones como indica su grado, en la

primera se eleva a 1, en la segunda a 2, y así sucesivamente. La fracción puede escribirse así:

( ) ( ) ( )nbxK

bxD

bxC

bxB

axA

xQxR

−+

−+

−+

−+

−= ...

)()(

32

http://www.vitutor.com/integrales/metodos/integrales_racionales.html

56

Una vez descompuesta la fracción en suma de fracciones múltiples, integramos como suma de integrales, teniendo en cuenta que:

• La integral del cociente es la integral de un polinomio ∫ dxxC )(

• Si el denominador está elevado a 1 es logarítmica:

∫ ∫ −⋅=−

=−

axAdxax

Adxax

A ln1

• Si el denominador está elevado a un número mayor o igual que dos (factor múltiple) es una potencia y se escribe en el numerador con exponente negativo:

( )( ) ( )

∫ ∫ +−−

⋅=−=−

+−−

1

1

naxAdxaxAdx

axA n

nn

EJEMPLOS

1. ∫ −−+ dxxx

xx2

532

3

. Realizamos la división pues el numerador es de mayor grado:

∫∫∫ −−+

++=

−−+

++=−−

+ dxxx

xxxdxxx

xxdxxx

xx2

61432

32

614332

532

2

22

3

Para realizar la integral que nos queda, descomponemos la fracción en suma de fracciones simples, teniendo en cuenta los factores del denominador:

( )( )

( )( ) ( )( )12)2()1(

12614

:122

614122

2

2

+−−++

=+−

+

→+

+−

=−−+

→+−=−−

xxxBxA

xxx

sumamosx

Bx

Axx

xxxxx

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales. Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al denominador:

=→=→⋅+⋅=+→=

=→−=→−⋅+⋅=+−→−=→−++=+

3343340)3(6282

3838)3(06141

)2()1(614AABAx

BBBAxxBxAx

La fracción queda descompuesta de la forma: 1

38

23

34

2614

2 ++

−=

−−+

xxxxx , y la integral

queda:

57

Cxxxxdxx

dxx

xx

dxxx

xxxdxxx

xxdxxx

xx

+++−++=+

+−

++

=−−+

++=

−−+

++=−−

+

∫∫

∫∫∫

1ln382ln

3343

23

11

38

21

3343

23

26143

23

261433

253

22

2

2

22

3

2. ∫ +−−+ dx

xxxx

153

23 El numerador es de menor grado por lo que no hay que dividir.

Descomponemos en fracciones simples teniendo en cuenta los factores del denominador (se descompone por la Regla de Ruffini)

( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )1111)1()1(

1153

:1111

53111

2

2

2

223

223

+−+++−+−

=+−

+

→−

+−

++

=+−−

+→+−=+−−

xxxCxxBxA

xxx

sumamosx

Cx

Bx

Axxx

xxxxxx

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales. Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al denominador, y otro más:

( ) ( )

−=−+=→⋅+⋅−+⋅=→=

=→=→−=+−→−=

==→⋅=+→=

→

→+++−+−=+

2154

21141)1(1

2150

2142)2(531

4282531

11)1()1(53

2

2

BBx

AAAx

CCx

xCxxBxAx

( )

( )

( ) Cx

xxCxxx

dxxdxx

dxx

dxxxx

xxxxxxx

x

+−

−−−+=+−−

+−−+

=−+−

−+

=+−−

+

→−

+−

−+

+=

+−−+

−

−∫∫∫∫

141ln

211ln

21

1141ln

211ln

21

141

121

11

21

153

14

121

121

153

1

223

223

2. INTEGRACIÓN POR PARTES

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula: ∫ ∫ ⋅−⋅=⋅ duvvudvu “u” será la primera de las funciones que aparece en el siguiente orden:

http://www.vitutor.com/integrales/metodos/integral_partes.html

58

• Arcotangente, arcoseno,…. • Logaritmos • Polinomios • Exponenciales • Seno, coseno, tangente,…

“dv” será la otra función multiplicada por dx “du” se calcula derivando u y multiplicando por dx “v” se calcula integrando dv Es decir:

∫ ∫

==

→=→=

→⋅⋅ dxxgvdxxfdu

dxxgdvxfu

dxxgxf )()('

)()(

)()(

∫ ∫ ⋅−⋅=⋅⋅ duvvudxxgxf )()( EJEMPLOS 1. ∫ ⋅⋅ dxxx cos

∫ ∫ ===

→=→=

→⋅⋅ senxxdxvdxdu

xdxdvxu

dxxx cos1

coscos

∫ ∫ ++⋅=+−−⋅=⋅−⋅=⋅⋅ CxsenxxCxsenxxdxsenxsenxxdxxx cos)cos(1cos 2. ∫ ⋅ dxex x3

∫ ∫ ====

→=→=

→⋅ xxxx

edxedvvdxxdu

dxedvxu

dxex23

3 3

∫ ∫∫ ===

→=→=

→⋅−⋅=⋅ xxxxxx

edxevxdxdu

dxedvxu

dxxeexdxex63

32

233

( )→−⋅−⋅=⋅ ∫∫ xdxeexexdxex xxxx 63 233 Quitamos paréntesis:

∫∫∫ ===

→=→=

→+⋅−⋅=⋅ xxxxxxx

edxevdxu

dxedvxu

xdxeexexdxex66

63 233

( )( ) CexxxCeexexex

dxeexexexdxeexexexdxexxxxxx

xxxxxxxxx

+−+−=+−⋅+⋅−⋅

=−⋅+⋅−⋅=−⋅+⋅−⋅=⋅ ∫∫∫663663

6636632323

23233

59

NOTA: si en el integrando hay un polinomio multiplicando a una exponencial, el método se aplica reiteradamente hasta que desaparece dicho polinomio. El número de veces que se aplica coincide con el grado del polinomio. DOS INTEGRALES PARTICULARES: Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes suponiendo que dicha funciones están multiplicadas por 1 y “dv = 1dx”

∫∫

==+

=

→=→=

→xdxv

dxx

dudxv

arctgxuarctgxdx

11

1

12

∫∫∫ →+

−⋅=+

⋅−⋅= dxx

xarctxxdxx

xarctxxarctgxdx 22 111

La integral que queda es inmediata ya que el numerador se puede convertir en la derivada del denominador multiplicando y dividiendo por 2 y será logarítmica:

( ) Cxarctgxxdxxxarctgxxarctgxdx ++−⋅=

+−⋅= ∫∫ 2

2 1ln21

12

21

3. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla. ∫ ∫= dttgdxxf )()( PASOS PARA INTEGRAR POR CAMBIO DE VARIABLE

1. Identifico qué es “t” 2. Despejo x como una función de t 3. Calculo dx como la derivada de la función obtenida en el paso 2º por dt 4. Sustituyo en la integral, simplifico e integro 5. Escribimos la solución en función de la variable x

EJEMPLO

1. dxx

x∫ +3

2

21

dttdxtxxtxt2

32

1212123

33 =→−

=→+=→+=

( )

Cttt

dttttdttttdtttt

dtttttdtt

t

tt

dttt

t

dxx

x

+

++

=+−=⋅+−

=⋅+−

=⋅+−

=⋅

+−

=⋅

−

=+

∫∫∫

∫∫∫∫

23

56

83

81

36381

8363

23

412

23

412

234

12

232

1

21

258

474736

2362

36

2

23

3

2

http://www.vitutor.com/integrales/metodos/integrales_sustitucion.html

60

→+= 3 21 xt ( ) ( ) ( ) Cxxxdxx

x+

++

++

+=

+∫ 2213

5216

8213

81

21

235383

3

2

2. dxx

x∫

−3

1

dttdxtxxt 566 6=→=→=

( ) ( ) Cttdtttdtttdttt

tdttt

tdxx

x+−=−=−=

−=

−=

−∫∫∫∫∫ 7

64

6666161611 7463335

2

35

3 6

6

3

→= 6 xt ( ) ( ) ( ) ( ) CxxCxxdxx

x+−=+−=

−∫ 7

62

37

62

3176237646

3

61

EJERCICIOS DE INTEGRALES


Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula ( )( )∫−

− −−

1

2 2 1xxxdx


Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula ∫ +⋅1

0)1ln( dxxx (ln denota la función

logaritmo neperiano).


Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula ∫ +⋅e

dxxx1

2 )1ln( (ln denota la función

logaritmo neperiano).

4. 2008 MODELO 6 OPCIÓN A. Ejercicio 2. Considera las funciones f :(0,π) R y g : (0, + ∞)

por x

senxxf 3cos)( = y g(x) = x3.ln(x). [ ln denota la función logaritmo neperiano].

(a) [1’25 puntos] Halla la primitiva de f que toma el valor 1 cuando x = /3 (se puede hacer el cambio de variable t = cos x). (b) [1’25 puntos] Calcula ∫ dxxg )( .


Ejercicio 2.- [2'5 puntos] Sea f la función definida por 494

)(x

xxf−

=

Halla la primitiva F de f que cumple F(0) = 3. (Sugerencia: Utiliza el cambio de variable

2

23 xt = )


Ejercicio 2.- a) [1’25 puntos] Calcula ∫ ⋅ senxdxx b) [1’25 puntos] Sean las funciones f, g : R → R, definidas por f(x) = – x2 + 1 y g(x) = x – 1. Calcula el área del recinto limitado por sus gráficas.

7. 2010 MODELO 1 OPCIÓN A. Ejercicio 2. [2’5 puntos] Sea f :(−2, +∞) → R, f(x) = ln(x + 2). Halla una

primitiva F de f que verifique F(0) = 0. (ln denota el logaritmo neperiano)


Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula ∫ ⋅2

0)(

πdxxsenx

(Sugerencia: Efectúa el cambio tx = )

62


Ejercicio 2. Sea ∫ −+= dx

eI

x15

(a) [ 1 punto] Expresa I haciendo el cambio de variable t2 = e-x. (b) [ 1’5 puntos] Determina I.


Ejercicio 2. Sea la función f dada por f(x) = xx +2

1 para x ≠ -1 y x ≠ 0. Determina una

primitiva F de f tal que F(1) = 1.

11. 2011 MODELO 1 OPCIÓN B. Ejercicio 2.- [2'5 puntos] Sea f : (0;+∞) → R la función definida por ( )xxxf ln1)( −= ,

donde ln denota la función logaritmo neperiano. Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto P(1,1).


Ejercicio 2.- [2'5 puntos] Calcula: ∫ ⋅20

)cos(π

dxxx


Ejercicio 2.- [2'5 puntos] Determina la función f :(-1,+∞) → R tal que su segunda derivada es f’’(x) = 1/x y su gráfica tiene tangente horizontal en el punto P(1,1).


Ejercicio 2.- [2'5 puntos] Calcula: dxxxxx

∫ −++

22

23


Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Halla ( )( )∫ +−dx

eee

xx

x

112

Sugerencia: efectúa el cambio t = ex.

63

TEMA 7: INTEGRALES DEFINIDAS. APLICACIONES 8. Integral definida. Propiedades 9. Función integral 10. Teorema fundamental del cálculo integral 11. Regla de Barrow 12. Teorema del valor medio 13. Área encerrada bajo una curva y el eje x 14. Área encerrada por dos curvas

1. INTEGRALES DEFINIDAS. PROPIEDADES

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b.

Se representa por ∫b

a

dxxf )( .

∫ es el signo de integración. a límite inferior de la integración. b límite superior de la integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. PROPIEDADES DE LA INTEGRALES DEFINIDAS 1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

∫∫ −=a

b

b

a

dxxfdxxf )()(

2. Si los límites de integración coinciden, la integral definida vale cero.

0)( =∫a

a

dxxf

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

∫∫∫ +=b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales

[ ] ∫∫∫ +=+b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

64

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫∫ ⋅=⋅b

a

b

a

dxxfkdxxfk )()(

2. FUNCIÓN INTEGRAL Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la

función integral: ∫=x

adttfxF )()( , que depende del límite superior de integración.

Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x. Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo [a, b]. 3. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

La derivada de la función integral, F(x), de la función continua f(x) es la propia f(x):

F'(x) = f(x).

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración

son operaciones inversas: si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la función original. EJEMPLOS Calcula la derivada de las siguientes funciones:

1. 21

2 11)('

1'11)(

xxF

txt

dtt

xFx

+=→

==

→+

= ∫

2. 21

2

1

2 11)('

1'11

11)(

xxF

txt

dtt

dtt

xFx

x +−=→

==

→+

−=+

= ∫∫

3. ( )

xx

xx

xFxt

xtdt

txF

x

21

121

1)('2'1

1)( 422

2

12

2

⋅+

=⋅+

=→

==

→+

= ∫

65

4. ( )

26

2232

3

12 3

113

11)('

3'11)(

3

xx

xx

xFxtxt

dtt

xFx

⋅+

=⋅+

=→

==

→+

= ∫

5. ( ) xexexFxt

xtdtexF xx

xt 22)('

2')(

422

2

22

1

⋅=⋅=→

==

→= ∫

4. REGLA DE BARROW

Isaac Barrow (1630-1677) fue un matemático inglés, cuya aportación más importante a las Matemáticas fue la unión del cálculo diferencial e integral.

La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un

intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva F(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

[ ] )()()()( aFbFxFdxxf ba

b

a

−==∫

EJEMPLOS Calcula las siguientes integrales definidas aplicando la regla de Barrow: 1.

( ) ( ) ( ) ( )

381

21

31

431

21

31

43

121

31

4131

21

31

413

2343)13(

234234

1

1

2341

1

23

−=

+++−

−+−

=

−−

−+

−−

−−

−+−

⋅

=

−+−=−+−

−−∫ xxxxdxxxx

2. [ ] 1011lnlnln11

1

=−=−==∫ exdxx

ee

3. [ ] 110)0cos(2

coscos 20

2

0

=+=−−−=−=∫ππ

π

xsenxdx

4. ),2()4(log4

2

FFxdx −=∫ siendo

xv

dxx

dudxdv

xuxdxxF

=

=→

==

→= ∫ 10ln1log

log)(

xxxdxxxdxx

xxxxF10ln1log

10ln1log

10ln1log)( −=−=−= ∫∫

10ln22log62

10ln12log24

10ln14log4

10ln1loglog

4

2

4

2

−=

−−

−=

−=∫ xxxxdx

66

5. TEOREMA DEL VALOR MEDIO El teorema de la media o teorema del valor medio para integrales dice que:

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el interior del intervalo tal que:

)()()( cfabdxxfb

a

⋅−=∫

6. ÁREA DE UNA FUNCIÓN Y EL EJE DE ABSCISAS

1. SI LA FUNCIÓN ES POSITIVA

Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

∫=b

a

dxxfA )(

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos: 1º Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación. 2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte. EJEMPLOS 1. Calcula el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.

67

==

→=−→=−40

0)4(04 2

xx

xxxx

En segundo lugar se calcula la integral:

( ) 24

0

324

0

2

3320

36432

324 uxxdxxxA =−

−=

−=−= ∫

2. Halla el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.

En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas: 10ln 0 ==→= exx

En segundo lugar se calcula la integral: ∫ −==e

FeFxdxA1

)1()(ln . Calculamos la

primitiva utilizando el método de integración por partes:

−=−=−==−=−=

→−=−=⋅−=

=

=→

==

→=

∫∫ ∫

∫

11011ln1)1(0ln)(

ln1ln1lnln

1lnln)(

FeeeeeeF

xxxdxxxdxx

xxxxdx

xv

dxx

dudxdv

xuxdxxF

2

11)1(0)1()(ln uFeFxdxA

e=−−=−== ∫

2. SI LA FUNCIÓN ES NEGATIVA

Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

→−= ∫b

a

dxxfA )( ∫=b

a

dxxfA )(

EJEMPLOS 1. Calcula el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.

68

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.

==

→=−→=−40

0)4(042

xx

xxxx

Luego se calcula la integral:

( ) ( ) 24

0

324

0

24

0

2

3320

36432

3244 uxxdxxxdxxxA =−

−=

−=−=−−= ∫∫

2. Halla el área limitada por la curva y = cos x y el eje OX entre π/2 y 3π/2.

[ ] ( ) 223

2

23

2

21122

3cos usensensenxxdxA =−−−=

−−=−=−= ∫

πππ

π

π

π

3. LA FUNCIÓN TOMA VALORES POSITIVOS Y NEGATIVOS

En ese caso el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos: 1. Se calculan los puntos de corte con el eje OX, resolviendo la ecuación f(x) = 0 y se

ordenan de menor a mayor pues serán los límites de integración. 2. El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto en cada

intervalo. EJEMPLO 1. Calcula el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX. Primero se calculan los puntos de corte con el eje OX

==

→=+−

=→=+−→=+−

42

086

00)86(086 2

223

xx

xx

xxxxxxx

69

( )∫

=+−=

=+−=

=

→+−=+−=

06412864)4(

416164

16)2(

0)0(

424

86)( 234

23

F

F

F

xxxdxxxxxF

( )( )

221

2

4

2

232

1

2

0

231

84440)2()4(86

4404)0()2(86uAAA

AFFdxxxxA

AFFdxxxxA=+=→

=→−=−=−=+−→

=→=−=−=+−→

∫∫

7. ÁREA COMPRENDIDA ENTRE DOS FUNCIONES

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está

situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.

Si las gráficas se cortan en más de dos puntos, irán cambiando las posiciones relativas entre ellas. EJEMPLOS 1. Calcula el área limitada por la curva y = x2 -5x + 6 y la recta y = 2x.

En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración. Para ello igualamos las expresiones de ambas funciones y resolvemos la ecuación:

==

→=+−→=+−61

067265 22

xx

xxxxx

De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola. Si no tenemos la gráfica

podemos averiguarlo calculando el valor e ambas funciones en un punto interior del intervalo, por ejemplo x = 3, y observar cuál es mayor. El área será por tanto la integral entre 1 y 6 de la recta menos la parábola:

( ) ( )[ ] ( )

( )

2

23

6

1

2326

1

2

6125

61718

63621236126726

27

3136

267

36

62

73

67652

u

xxxdxxxdxxxxA

=

−−

=

−+−

−−+−=

−+−−

−

⋅+−

=

−+−=−+−=+−−= ∫∫

70

2. Calcula el área limitada por las gráficas de las funciones 3

2xy = e y = −x2 + 4x.

Hallamos los puntos de corte de las funciones, que nos darán los límites de integración.

==

→=−→=−→+−=→+−=30

0)124(012412343

22222

xx

xxxxxxxxxx

( )

2233

0

23

3

0

23

0

223

0

22

618120329342

94

43

43

43

4

uxx

dxxxdxxxxdxxxxA

=+−=−

⋅+

⋅−=

+−

=

+−=

−+−=

−+−= ∫∫∫

71

EJERCICIOS DE LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES

1. 2008 MODELO 1 OPCIÓN A. Ejercicio 2. [2’5 puntos] Dadas las funciones f : [0,+ ∞ ) → R y g : [0, + ∞ )

→ R definidas por xxf =)( y 3)( xxg =

Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.

2. 2008 MODELO 1 OPCIÓN B. Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea f: R → R la función definida por f(x) = ax3 + bx2 + cx

+ d. Se sabe que f tiene un máximo local en x = 1, que el punto (0, 1) es un punto de

inflexión de su gráfica y que 49)(

1

0=∫ dxxf . Calcula a, b, c y d.


Ejercicio 2. Sea g: (0, + ∞) → R la función dada por g(x) = ln x (ln denota logaritmo neperiano).

(a) [0’75 puntos] Justifica que la recta de ecuación 𝑦 = 1𝑒𝑥 es la recta

tangente a la gráfica de g en el punto de abscisa x = e. (b) [1’75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g, el eje

de abscisas y la recta tangente del apartado anterior.

4. 2008 MODELO 2 OPCIÓN A. Ejercicio 2. Dada la función g: R → R, definida por g(x) = 2x + |x2 - 1|.

(a) [1 punto] Esboza la gráfica de g.

(b) [1’5 puntos] Calcula ∫2

0)( dxxg


Ejercicio 2. Sean f: R → R y g: R → R las funciones definidas por f(x) = x2 – 1 y g(x) = 2x + 2

(a) [0’5 puntos] Esboza las gráficas de f y g. (b) [2 puntos] Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.


Ejercicio 2. Sea f : R → R la función definida por f(x) = e -2x

(a) [1 punto] Justifica que la recta de ecuación y = -2ex es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = -1/2.

(b) [1’5 puntos] Calcula el área el recinto limitado por la gráfica e f, el eje de ordenadas y la recta tangente del apartado anterior.

7. 2008 MODELO 4 OPCIÓN A. Ejercicio 2. Sean f: R → R y g : R → R las funciones definidas mediante

f(x) = x3 − 4x y g(x) = 3x − 6 (a) [0’75 puntos] Determina los puntos de corte de las gráficas de f y g. (b) [1’75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.

72

8. 2008 MODELO 5 OPCIÓN A. Ejercicio 2. [2’5 puntos] Sean f : R → R y g : R → R las funciones dadas por

f(x) = x2 y g(x) = a (con a > 0) Se sabe que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f y g

es 4/3. Calcula el valor de la constante a.


Ejercicio 1. Sea f : R → R la función definida por

−⋅

=xxx

xf6

)( sisi

22

>≤

xx

(a) [0’75 puntos] Esboza la gráfica de f. (b) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f. (c) [0’75 puntos] Calcula el área comprendida entre la gráfica de f y el eje de abscisas.


Ejercicio 2. Sea g : R → R la función definida por xxxxg +−= 23

41)( .

(a) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de g. (b) [0’75 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g en el punto de abscisa x = 2. (c) [1’25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g y el eje de abscisas.


Ejercicio 2.- Considerar las funciones f : R → R y g : R → R definidas por xxf =)( y 26)( xxg −=

a) [1 punto] Esboza el recinto limitado por sus gráficas b) [1’5 puntos] Calcula el área de dicho recinto


Ejercicio 2.- La recta tangente a la gráfica de la función f : R → R, definida por f(x) = mx2 + nx - 3 en el punto (1 , - 6), es paralela a la recta y = - x a) [1’25 puntos] Determina las constantes m y n. Halla la ecuación de dicha recta tangente b) [1’25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función, la recta tangente anterior y el eje de ordenadas


Ejercicio 2.- La curva 2

21 xy = divide el rectángulo de vértices A = (0,0) ,

B = (2,0) ,C=(2,1) y D = (0, 1) en dos recintos a) [0’75 puntos] Dibujar dichos recintos

b) [1’75 puntos] Hallar el área de cada uno de ellos

14. 2009 MODELO 3 OPCIÓN A. Ejercicio 2. Sea f : R → R la función definida por f(x) = 1−⋅ xx .

(a) [0'5 puntos] Esboza la gráfica de f.

73

(b) [0'75 puntos] Comprueba que la recta de ecuación y = x es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0. (c) [1'25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y la de dicha tangente.

15. 2009 MODELO 3 OPCIÓN B. Ejercicio 2. Considera la curva de ecuación y = x3 - 3x.

(a) [0'5 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x = - 1. (b) [2 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la curva dada y la recta y = 2.


Ejercicio 2.- Sea f : R+ → R definida por f (x) =1 + ln x , siendo ln la función logaritmo neperiano

a) [1 punto] Comprueba que la recta de ecuación xe

y 11+= es la recta tangente a la

gráfica de f en el punto de abscisa x = e b) [1’5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisa y la recta tangente del apartado a)


Ejercicio 2.- Se consideran las funciones f : R+ → R y g : R → R definidas por:

xxf 3)( = y 2

31)( xxg =

a) [0’5 puntos] Haz un esbozo de sus gráficas b) [2 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráficas de ambas funciones.


Ejercicio 2.- Sea las funciones f:R→ R y g:R→ R definidas por xxxf += 2)( y g(x) = 2 a) [1 punto] Determina los puntos de corte de las gráficas de f y g. Esboza dichas gráficas. b) [1’5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por dichas graficas


Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula un número positivo a, menor que 4, para que el recinto limitado por la parábola de ecuación y = x2 y las dos rectas de ecuaciones y =

4 y y = a, tenga un área de 328 u2


Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula el valor de a > 0 sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola y = x2 + ax y la recta y + x = 0 vale 36 unidades cuadradas.

74

21. 2010 MODELO 2 OPCIÓN B. Ejercicio 2. Considera la función f dada por f(x) = 5 – x y la función g definida

como g(x) =x4 para x ≠ 0.

(a) [1 punto] Esboza el recinto limitado por las gráficas de f y g indicando sus puntos de corte. (b) [1’5 puntos] Calcula el área de dicho recinto.


Ejercicio 2. [2’5 puntos] Dada la función f definida por f(x) = 45

32 +− xx

para x ≠1y x ≠ 4. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas, y las rectas x = 2, x = 3.


Ejercicio 2. Considera la función f : R → R definida por f(x) = x|2 − x|. (a) [1 punto] Esboza su gráfica. (b) [1’5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje

de abscisas y la recta de ecuación x = 3.

24. 2010 MODELO 4 OPCIÓN A. Ejercicio 2. Considera las funciones f, g : R → R definidas por f(x) = 2 – x2, g(x) = |x|.

(a) [ 1 punto] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados. (b) [ 1’5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.


Ejercicio 2. Dada la función f: (0,+∞) → R definida por f(x) = ln x, donde ln la función logaritmo neperiano, se pide:

a) [0’75 puntos] Comprueba que la recta de ecuación y = - ex + 1+ e2 es la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = e. b) [1’75 puntos] Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f , el eje de abscisas y la recta normal del apartado (a).


Ejercicio 2. Considera la función f: R → R dada por f(x) = x2 + 4. (a) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. (b) [1’75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, el eje de ordenadas y la recta de ecuación y = 2x + 3. Calcula su área


Ejercicio 2. Sean f, g : R → R las funciones definidas por f(x) = x2 − 2x +3 y

g(x) = 121 2 +x .

(a) [1 punto] Esboza las gráficas de f y g, y halla su punto de corte. (b) [1’5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y el eje de ordenadas.

75

28. 2011 MODELO 1 OPCIÓN A. Ejercicio 2.- [2’5 puntos] Calcula el valor de b > 0, sabiendo que el área de la

región comprendida entre la curva xy = y la recta bxy = es de 34 unidades

cuadradas. 29. 2011 MODELO 2 OPCIÓN A.

Ejercicio 2.- Considera las funciones f, g: R → R definidas por f(x) = 6x – x2 y g(x) = x2 – 2x.

(a) [0'75 puntos] Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte. (b) [1’75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.


Ejercicio 2.- Sean f, g: R → R las funciones definidas por 441)( 2 += xxf y

1)( 2 −= xxg (a) [0'75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = -2. (b) [1’75 puntos] Esboza el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta y = x + 5. Calcula el área de este recinto


Ejercicio 2.- Sean f : R → R y g: R → R las funciones definidas por: xxf 34)( −= y 2)( xxg =

(a) [1 punto] Esboza las gráficas de f y g. Determina sus puntos de corte. (b) [1'5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.

32. 2011 MODELO 4 OPCIÓN A. Ejercicio 2.- [2'5 puntos] Calcula un número positivo a, menor que 2, para que el

recinto limitado por la parábola de ecuación 2

21 xy = y las dos rectas horizontales de

ecuaciones

y = a e y = 2, tenga un área de 3

14 unidades cuadradas.


Ejercicio 2.- Dada la función f : R → R definida por f(x) = - 2x2 + 3x - 1 (a) [0'5 puntos] Prueba que las rectas y = - x + 1 e y = 3x - 1 son tangentes a su gráfica. (b) [2 puntos] Halla el área del recinto limitado por la gráfica de f y las rectas mencionadas en el apartado anterior.


Ejercicio 2.- Sea f :(-1,+∞) → R la función definida como f(x) = ln(x + 1), donde ln denota la función logaritmo neperiano. (a) [0'75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, el eje OY y la recta y = 1. Calcula los puntos de corte de las gráficas. (b) [1’75 puntos] Halla el área del recinto anterior

76

UNIDAD 4: MATRICES Y DETERMINANTES

TEMA 8: MATRICES Y DETERMINANTES

12. Definición de matriz. 13. Tipos de matrices. 14. Suma de matrices. 15. Producto de un número real por una matriz. 16. Producto de matrices. 17. Ejercicios 18. Determinante de una matriz. 19. Menor complementario y adjunto. 20. Propiedades de los determinantes. 21. La matriz inversa mediante determinantes. 22. Rango de una matriz mediante determinantes.

1. DEFINICIÓN DE MATRIZ

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

EJEMPLO:

−

−=

130121

A

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un

elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.

=

mnmm

n

mxn

aaa

aaaA

.......................................................

....................

21

11211

En el ejemplo: la matriz A es de orden 2x3 El elemento a13 = 1, a22 = 3, a21 = 0 Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que

ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales. 2. TIPOS DE MATRICES

• Matriz fila: Es una matriz constituida por una sola fila. ( )102 −

• Matriz columna: Es una matriz con una sola columna.

−

−

12

01

• Matriz rectangular: Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

• Matriz cuadrada: La que tiene el mismo número de filas que de columnas.

http://www.vitutor.com/algebra/matrices/matrices.html

http://www.vitutor.com/algebra/matrices/tipos.html

http://www.vitutor.com/algebra/matrices/operaciones.html

http://www.vitutor.com/algebra/matrices/producto_n.html

http://www.vitutor.com/algebra/matrices/producto.html

http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/determinantes.html

http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/adjunto.html

http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/propiedades.html

http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/inversa.html

http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/rango.html

77

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

→

−

−

120231

201 Es una matriz de orden 3

Diagonal principal • Matriz nula: “O” Todos los elementos son nulos. • Matriz triangular superior: Los elementos situados por debajo de la diagonal

principal son 0.

−

100030311

• Matriz triangular inferior: Los elementos situados por encima de la diagonal principal son 0.

312001́002

• Matriz diagonal: Todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

−

3000010000200001

• Matriz escalar: Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

2000020000200002

• Matriz identidad o unidad: “I” Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

I =

100010001

• Matriz transpuesta: “At” Dada una matriz A, se llama transpuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

=→

=

422301

420231 tAA

PROPIEDADES: 1. (At)t = A 2. (A + B)t = At + Bt

3. (α · A)t = α· At 4. (A · B)t = Bt · At

• Matriz idempotente: Si A2 = A.

78

• Matriz involutiva:Si A2 = I. • Matriz simétrica: Es aquella matriz cuadrada que verifica: A = At. Una

matriz es simétrica si es cuadrada y el elemento aij es igual al elemento aji

−

−=→

−

−=

231302121

231302121

tAA

• Matriz antisimétrica o hemisimétrica: Es aquella matriz cuadrada que verifica: A = - At. La matriz debe ser cuadrada y aij = - aji, por tanto los elementos de la diagonal aii deben ser nulos

AAA t −=

−−−

=→

−−

−=

031302120

031302120

• Matriz ortogonal: Si verifica: A·At= I 3. SUMA DE MATRICES

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=( aij + bij ).

Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.

−

−=

−−−−−−+

=−

−=

++++−+−

=+

−=

−=

032324

113002211331

232142

113002211331

130213

102131

BA

BA

B

A

PROPIEDADES

• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C • Elemento neutro: A + O = A • Elemento opuesto: A + (-A) = O • Conmutativa: A + B = B + A

4. PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ

Dada una matriz A=(aij) y un número real k R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k: kA=(kaij)

Es decir, todos los elementos de A quedan multiplicados por k

−

=→

−

=6393

32131

AA

PROPIEDADES

• a · (b · A) = (a · b) · A A∈Mmxn, a, b ℜ∈ • a · (A+B) = a · A + a · B A,B∈Mmxn a ℜ∈ • (a+b)·A = a·A + b·A A∈ Mmxn a, b ℜ∈ • 1 · A = A A∈ Mmxn

79

5. PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A

coincide con el número de filas de B. Mmxn x Mnxp = Mmxp El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Es decir, se multiplica cada fila de A por cada columna de B como si fuese un producto escalar de vectores

−=

+−++++−+−

=

=

−−−−−

=⋅

−=

−=

8111714

910192610162

)3,1)(3,1()0,1)(3,1()3,2)(3,1()3,1)(2,1()0,1)(2,1()3,2)(2,1(

303112

3121

BAB

A

PROPIEDADES

• Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C • Elemento neutro: A · I = A • No es Conmutativa: A · B ≠ B · A • Distributiva del producto respecto de la suma: A · (B + C) = A · B + A · C

6. EJERCICIOS

1. Dadas las matrices:

−

−=

122013121

A y

−=231214

013B

Calcular: a) A + B b) A – B c) A.B d) B.A e) At.

2. Demostrar que: A2 - A- 2 I = 0, siendo:

=

011101110

A

3. Sea A la matriz

100010101

. Hallar An , para n

4. Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

−−−−−

=−

−

=+

101234

3

012221

2

BA

BA

80

5. Sean las matrices:

−

−=

122013121

A

−=231214

013B

−

−=

123111

211C

Calcula: a) (A + B)2 b) (A - B)2 c) (B)3 d)A·Bt·C.

7. CONCEPTO DE DETERMINANTE Es un escalar que se asigna a cada matriz cuadrada A. Se expresa como |A| o det (A). DETERMINANTE DE ORDEN UNO |a11| = a11 55 =→ 22 −=− DETERMINANTE DE ORDEN DOS

743)2(2131223

211222112221

1211 =+=−−⋅=−

→−⋅= aaaaaaaa

DETERMINANTE DE ORDEN TRES Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:

=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

(a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) – (a13 a22 a31 + a12 a21 a33 + a11 a23 a32)

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo). Regla de Sarrous

Pierre Sarrous (1798, 1861) fue un matemático francés que estableció una regla para calcular determinantes de orden 3:

• Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

• Los términos con signo – están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

81

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

Ejemplo

( ) ( )[ ]

15161)0106(405

101512213212013511502111

321

−=−=++−−+=

=−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=−

8. MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO DE UN ELEMENTO MENOR COMPLEMENARIO αij Se llama menor complementario de un elemento aij al valor del determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.

8)4(42412

124201312

23 =−−=−

=→−

α

ADJUNTO DE UN ELEMENTO DE UN DETERMINANTE Aij Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario multiplicado por (- 1)i+j , es decir, anteponiendo: El signo es + si i+j es par. El signo es – si i+j es impar.

[ ] 8)4(42412

2412

)1(124201312

3223 −=−−−=

−−=

−−=→

−+A

CALCULO DE UN DETERMINANTE POR LOS ADJUNTOS DE UNA LÍNEA El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una línea por sus adjuntos correspondientes: Ejemplo

=−−=−+−−++→

=+−+−−=

−++

−+

−+−→

=++−−=

−

++

−+

−+−→

=−−

23)12(11)1002()308(

23)5(1)2(0)9(21213

14253

04151

21

23)1(2)1(3)9(25110

24110

34151

21

412513102

SARROUS

F

C

82

9. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1. El determinante de una matriz A y el de su transpuesta At son iguales. |At|= |A|

2. |A|=0 si posee dos líneas paralelas iguales 0212103212==→ A (la fila 1 y 3 son

iguales)

3. |A|=0 si todos los elementos de una línea son nulos 0000103212==→ A

4. |A|=0 si los elementos de una línea son combinación lineal de las otras

0315103212==→ A (F3 = F1 + F2)

5. En una matriz triangular el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

40542512043002

=⋅⋅==→ A

6. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

103031212

031103212

−=→ (se ha cambiado la fila 2 con la 3)

7. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

( )

→

−=−=++−++=

−=−=++−−+=−

15321701814089902211721

15161)0106(405502111

321

a la C3 se le ha sumado 2C1

+ C2

8. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

83

⋅←−

⋅←−

=−

2

1

3502131

361

3502111

963

502111

3213

C

F

9. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

102

341

102

341

102

341fdbecafedcba +=+++

10. El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes: |A·B| =|A|·|B|

EJEMPLOS:

1. Sabiendo que cbavutzyx

= - 6 , calcula, indicando las propiedades que utilices,

los siguientes determinantes:

(a) [0’75 puntos] cbavutzyx

333 −−−

. (b) [0’75 puntos] cabvtuzxy

222

−−−

.

(c) [1 punto] czbyax

vutzyx

−−− 222

2. Sabiendo que 2==ihgfedcba

A , calcula, indicando las propiedades que

utilices, los siguientes determinantes:

(a) [1 punto] | - 3A| y |A -1| (b) [0'75 puntos] (c) [0'75 puntos]

84

3. Sabiendo que 2==ihgfedcba

A , calcula, indicando las propiedades que

utilices, los siguientes determinantes:

(a) [1 punto] ihgfedcba

551533

(b) [1’5 puntos] hihgefedbcba

222

+++

10. MATRIZ INVERSA La matriz inversa de una matriz cuadrada, es otra matriz que cumple que:

A · A-1 = A-1 · A = I No todas las matrices cuadradas tienen inversa. Para que exista la matriz inversa de A su determinante tiene que ser distinto de cero:

A-1 existe si 0≠A PROPIEDADES

1. (A · B)-1 = B-1 · A-1 2. (A-1)-1 = A 3. (k · A)-1 = k-1 · A-1

4. (A t)-1 = (A -1)t CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA

( )tdAA

A ⋅=− 11 , siendo Ad la matriz formada por los adjuntos de los elementos de

A

EJEMPLO 3)000(300115003102

115003102

=++−++==→

= AA

Hallamos los adjuntos de cada elemento:

01100

11 =+=A 31503

12 −=−=A 31503

13 =+=A

11110

21 =−=A 31512

22 −=+=A 21502

23 −=−=A

00010

31 =+=A 30312

32 =−=A 00302

33 =+=A

−−

−=

030231

330dA

85

Calculamos la transpuesta de la matriz adjunta.

( )

−−−=

023333010

tdA

La matriz inversa se obtiene dividiendo todos los elementos de (Ad)t entre el determinante de A.

( )

−−−==−

0321

111

0110

311 tdAA

11. RANGO DE UNA MATRIZ Es el número de filas o columnas linealmente independientes, utilizando esta

definición, se puede calcular usando el método de Gauss. También podemos decir que el rango es: el orden de la mayor submatriz

cuadrada de determinante no nulo. Utilizando esta definición se puede calcular el rango usando determinantes. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES

−−

−−=

411017123

701115232312

B

1. Podemos descartar una línea si:. • Todos sus coeficientes son ceros. • Hay dos líneas iguales. • Una línea es proporcional a otra. • Una línea es combinación lineal de otras. Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos

primeras:

C3 = C1 + C2

−−

−−→

−−

−−

−

→

4101723

711123212

411017123

701115232312

2. Calculamos los determinantes de las submatrices cuadradas de mayor orden posible, si hay alguno distinto de cero, el orden de la submatriz es el rango de B

0711

123212

=−−

0410

123212

=−

01723

711212

=−

−− 0410711

212=

−−− …

Son todos nulos, por tanto el determinante es menor que 3. 3. Buscamos si hay alguna submatriz de orden 2 cuyo determinante sea no nulo:

86

→≠=−= 01342312

rango = 2

CÁLCULO POR EL MÉTODO DE GAUSS Podemos descartar una línea si:

• Todos sus coeficientes son ceros. • Hay dos líneas iguales. • Una línea es proporcional a otra. • Una línea es combinación lineal de otras.

En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas. EJEMPLOS: 1.

3

1310347000001241

123132

13101012361231241

=→

−−

−−

→

−−

→

−−

−−−−

= rgDFFFF

D

87

EJERCICIOS DE MATRICES Y DETERMINANTES

1. 2008 MODELO 1 OPCIÓN B Ejercicio 3. [2’5 puntos] Dadas las matrices

=

221010111

A

−=1210

01B

−

−−=

111102

C

Calcula la matriz P que verifica AP − B = CT (CT es la matriz transpuesta de C).

2. 2008 MODELO 5 OPCIÓN A Ejercicio 3. [2’5 puntos] Sea I la matriz identidad de orden 3 y

−−−−

=311201210

A . Calcula, si existe, el valor de k para el cual ( )2IkA ⋅−

es la matriz nula. 3. 2008 MODELO 5 OPCIÓN B

Ejercicio 3. Dadas las matrices

=

111121211

A y

−=

111402201

B

(a) [1 punto] Calcula, si existen, la matriz inversa de A y la de B. (b) [1’5 puntos] Resuelve la ecuación matricial AX + B = A + I, donde I denota la matriz identidad de orden 3.


Ejercicio 3. Dada la matriz

=

KK

KA

7131

31

(a) [1’25 puntos] Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k. (b) [1’25 puntos] Para k = 0, halla la matriz inversa de A.


Ejercicio 3. Sean A, B, C y X matrices que verifican que AXB = C (a) [1 punto] Si las matrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que el

determinante de A es 3, el de B es – 1 y el de C es 6, calcula el determinante de X y 2X

(b) [ 1’5 puntos] Si

−

=20

11A ,

−−

=3221

B y

=

2430

C , calcula la

matriz X 6. 2009 MODELO 2 OPCIÓN B

Ejercicio 3. [2’5 puntos] Sean las matrices:

88

−−−−

=101

112121

A ,

−

=121013

B y

−

−=

3021

12C

Determina la matriz X que verifica AX – Bt =2C

7. 2009 MODELO 3 OPCIÓN A Ejercicio 3. Sean F1, F2 , F3 , las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz B de orden 3, cuyo determinante vale -2. Calcula, indicando las propiedades que utilices: (a) [0'5 puntos] El determinante de B -1. (b) [0'5 puntos] El determinante de (B t)4 (Bt es la matriz transpuesta de B). (c) [0'5 puntos] El determinante de 2B. (d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 5F1 - F3, 3F3, F2.


Ejercicio 3. Dada las matrices

=

2173

A y

−

−=

2431

B

(a) [1 punto] Calcula, si existe, la matriz inversa de A (b) [1’5 puntos] Calcula las matrices X e Y que satisfacen las ecuaciones matriciales

XA = A + 2B AY = A + 2B


Ejercicio 3. Considera las matrices

−−−−

−−=

221212

122A y

=

zyx

X

(a) [1 punto] Calcula, si existe, A-1 (b) [1’5 puntos] Resuelve la ecuación AX = 3X e interpreta

geométricamente el conjunto de soluciones.


Ejercicio 3.- Se consideran las matrices

−

−=

1213

A y IkAB ⋅−= , donde k

es una constante e I la matriz identidad de orden 2 a) [0’75 puntos] Determina los valores de k para los que B no tiene inversa b) [0’5 puntos] Calcula 1−B para k = -1 c) [1’25 puntos] Determina la constantes α y β para las que se cumple A2+αA= βI


Ejercicio 3. Considera las matrices A =

αα

2031321

y B =

−

432

89

(a) [0’5 puntos] Determina los valores de α para los que A tiene inversa. (b) [1’25 puntos] Calcula la inversa de A para α = 1. (c) [0’75 puntos] Resuelve, para α = 1, el sistema de ecuaciones AX = B.


Ejercicio 3. Sean las matrices A =

−

−

mm14

30101

, B =

− 112301

y

C =

−−−

223435

a) [0'5 puntos] Indica los valores de m para los que A es invertible. b) [2 puntos] Resuelve la ecuación XA – Bt = C para m = 0. (Bt es la matriz transpuesta de B)


Ejercicio 3. Considera las siguientes matrices A =

−1021

y B =

−

−12

03

(a) [0’75 puntos] Calcula A -1. (b) [1’75 puntos] Resuelve la ecuación matricial AXAt − B = 2I, donde I es la matriz identidad de orden 2 y At es la matriz transpuesta de A.


Ejercicio 3. [2’5 puntos] Obtén un vector no nulo v =(a, b, c), de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango 2.

A =

cba

110111

B =

−

cba

1310

02


Ejercicio 3. Sea la matriz A =

−−−−

144112245

.

(a) [1’25 puntos] Comprueba que se verifica 2A − A2 = I. (b) [1’25 puntos] Calcula A-1. (Sugerencia: Puedes utilizar la igualdad del apartado (a)).


Ejercicio 3. [2’5 puntos] Sean las matrices

−

=1101

A ,

−−=210110

001B y

−

=210

213C . Calcula la matriz X que cumpla la ecuación AXB = C

90


Ejercicio 3. De la matriz A =

dcba

se sabe que det(A) = 4. Se pide:

(a) [1’25 puntos] Halla det( tA3− ) y det

−− cd

ab33

22. Indica las propiedades

que utilizas. (b) [0’75 puntos] Calcula det( tAA ⋅−1 ). (c) [0’5 puntos] Si B es una matriz cuadrada tal que IB =3 , siendo I la matriz identidad, halla det(B).


Ejercicio 3.- Considera las matrices

−=

λλ10

10001

A y

=

010001100

B

(a) [1 punto] ¿Hay algún valor de λ para el que A no tiene inversa? (b) [1’5 puntos] Para λ = 1, resuelve la ecuación matricial A-1.X.A = B.


Ejercicio 3.- Dadas las matrices

−−−−

=α

αα

111111

A y

=

110

B

(a) [1’75 puntos] Calcula el rango de dependiendo de los valores de α. (b) [0’75 puntos] Para α = 2, resuelve la ecuación matricial A.X = B.


Ejercicio 3.- Sean las matrices

−

=31

αα

A y

−

=241131

B

(a) [1’25 puntos] Calcula los valores de α para los que la matriz inversa de A es

A121 .

(b) [1’25 puntos] Para α = -3, determina la matriz X que verifica la ecuación BXAt =⋅ .


Ejercicio 3.- Sean A y B dos matrices que verifican

=+

2324

BA y

−

=−2142

BA

(a) [1 punto] Halla las matrices (A + B)(A − B) y A2 − B2 . (b) [1’5 puntos] Resuelve la ecuación matricial XA − XB − (A + B)t =2I, siendo I la matriz identidad de orden 2 y (A + B)t la matriz transpuesta de A + B.

91


Ejercicio 3.- Sea la matriz

−−=3055

03

λλ

λA

(a) [1 punto] Determina los valores de λ para los que la matriz A − 2I tiene inversa, siendo I la matriz identidad de orden 3 (b) [1’5 puntos] Para λ = −2, resuelve la ecuación matricial AX = 2X + I.


Ejercicio 3.- Dada la matriz

−

−=

1211

A

(a) [1 punto] Demuestra que A2 + 2A = I y que A−1 = A +2I, siendo I la matriz identidad de orden 2. (b) [1’5 puntos] Calcula la matriz X que verifica la ecuación A2 + XA +5A =4I.


Ejercicio 3.- Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son |A| = 1/2 y |B| = -2. Halla: (a) [0'5 puntos] |A3|. (b) [0'5 puntos] |A-1|. (c) [0'5 puntos] |-2A|. (d) [0'5 puntos] tBA ⋅ , siendo Bt la matriz transpuesta de B. (e) [0'5 puntos] El rango de B.



−−−=431541

430A

(a) [0'5 puntos] Demuestra que se verifica la igualdad A3 = - I, siendo I la matriz identidad de orden 3. (b) [1'25 puntos] Justifica que A es invertible y halla su inversa. (c) [0'75 puntos) Calcula razonadamente A100.



−

+=

1101λ

A

(a) [1’25 puntos] Determina los valores de λ para los que la matriz A2 + 3A no tiene inversa. (b) [1’25 puntos] Para λ = 0, halla la matriz X que verifica la ecuación AX + A = 2I, siendo I la matriz identidad de orden 2.

92

UNIDAD 5: SISTEMAS DE ECUACIONES

TEMA 9: SISTEMAS DE ECUACIONES 9. Sistemas de ecuaciones lineales 10. Expresión matricial de un sistema 11. Clasificación de sistemas de ecuaciones 12. Teorema de Rouché-Fröbenius 13. Discusión de sistemas 14. Método de Gauss 15. Regla de Cramer 16. Sistemas homogéneos

1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

..........................................................

......

......

2211

22222121

11212111

xi son las incógnitas, (i = 1,2,...,n). aij son los coeficientes, (i = 1,2,...,m) (j = 1,2,...,n). bi son los términos independientes, (i = 1,2,...,m).

Solución de un sistema: Es cada conjunto de valores que satisface a todas las ecuaciones simultáneamente.

Dos sistemas son equivalentes si tienen la misma solución. 2. EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA El sistema de m ecuaciones con n incógnitas se puede expresar de la siguiente forma: IXA =⋅ Siendo:

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

.....................................................

..................

..................

21

22221

11211

La matriz del sistema (formada por los coeficientes)

=

nx

xx

X....

2

1

La matriz de las incógnitas

=

mb

bb

B....

2

1

La matriz de los términos

independientes.

93

=+++

=+++=+++

→

=

⋅

mnmnmm

nn

nn

mnmnmm

n

n

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

..........................................................

......

......

..........................

.......................................................................

2211

22222121

11212111

2

1

2

1

21

22221

11211

3. CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES Atendiendo al número de sus soluciones INCOMPATIBLE: No tiene solución. COMPATIBLE DETERMINADO: Solución única. COMPATIBLE INDETERMINADO: Infinitas soluciones. 4. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada sean iguales. Siendo

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

.....................................................

..................

..................

21

22221

11211

la matriz del sistema y

=

mmnmm

n

n

baaa

baaabaaa

A

...........................................................

..................

..................

21

222221

111211

* la matriz ampliada

Si rgA = rgA* Sistema Compatible.

AMPLIACIÓN DEL TEOREMA Sistema Compatible Determinado: rgA = rgA*= n (NÚMERO DE INCÓGNITAS). Sistema Compatible Indeterminado: rgA = rgA*< n. Sistema Incompatible: rgA ≠ rgA* EJEMPLO Estudiar el sistema:

=−=+−=++−−=−−

622820222

yxzyxzyxzyx

94

1. Tomamos la matriz de los coeficientes y le hallamos el rango:

−−

−−−

=

022121111212

A

DETERMINANTES DE ORDEN 3: 302121111212

=→≠=−

−−

rgA

2. Hallamos el rango de la matriz ampliada

−−

−−−−

=

6022812101112212

*A

DETERMINANTE DE ORDEN 4 0

6022812101112212

=

−−

−−−−

porque f4 = f1 + f2+ f3

DETERMINANTE DE ORDEN 3 (el mismo que A)

302121111212

* =→≠=−

−−

rgA

3. Aplicamos el teorema de ROUCHÉ-FRÖBENIUS rgA = rgA*= 3 (número de incógnitas), el sistema es compatible determinado. 5. DISCUSIÓN DE SISTEMAS Para discutir un sistema con parámetros, calculamos el determinante de la matriz cuadrada (A o A*), lo igualamos a cero y resolvemos la ecuación que se obtiene para ver los distintos casos que se pueden dar. EJEMPLO

→

=−+=−+⋅

=+−

123145

32

zyxzyxk

zyx

−−

−=

12345

211kA y

−−

−=

11231453211

* kA

Hallamos el determinante de la matriz cuadrada:

5015312345

211=→=→−=

−−

−= kAkkA

DOS CASOS: I) Si →≠→≠ 05 Ak Es un determinante de orden tres distinto de cero,

como no existen de orden cuatro, rgA = rgA* = 3 (número de incógnitas)→COMPATIBLE DETERMINADO.

95

II) Si →=→= 05 Ak

−−

−=

123455

211A y

−−

−=

112314553211

*A

Rango de A: no puede ser tres porque su determinante es cero y no hay más determinantes de ese orden. Buscamos un determinante de orden dos distinto de cero:

2010)5(55511

=→≠=−−=−

rgA

Rango de A*: Además del determinante de A, dentro de A* existen tres determinantes más de orden tres. Comprobamos si alguno es distinto de cero: (quitando la columna 1)

3*0137)11024(1544112145321

=→≠+−=++−−−+=−−

−rgA

Aplicamos el teorema de ROUCHÉ-FRÖBENIUS →

==

3*2

rgArgA

SISTEMA INCOMPATIBLE 6. MÉTODO DE GAUSS

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea triangular. Es decir, vamos a aplicar el método de reducción para hacer ceros todos los coeficientes de las x1 por debajo de la primera ecuación, todos los coeficientes de las x2 por debajo de la segunda ecuación, todos los coeficientes de las x3 por debajo de la tercera ecuación,…

=++++

=++++=++++=++++

→

=+++

=+++=+++

mnmn

nn

nn

nn

mnmnmm

nn

nn

bxaxxx

bxaxaxxbxaxaxaxbxaxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

''......000....................................................

''......'00''......''0''......'''

..........................................................

......

......

321

3333321

223232221

11313212111

2211

22222121

11212111

Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que

pondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta). Se podrá operar entre filas, pero no entre columnas

mmnmm

n

n

baaa

baaabaaa

...........................................................

..................

..................

21

222221

111211

(el año pasado a cada fila le llamábamos Ei)

Hay que tener en cuenta que:

96

- Si al reducir dos ecuaciones, una fila está formada por ceros, podemos

eliminarla. - Si nos interesa, podemos cambiar las filas de posición. - Si al reducir una ecuación, todos los coeficientes de las x son ceros y el

término independiente es distinto de cero, el sistema no tiene solución (INCOMPATIBLE)

- Si todos los números de una fila son múltiplos de un mismo número, podemos simplificarla dividiendo todos los coeficientes entre dicho número

- Si el terminar de triangular obtenemos tantas ecuaciones como incógnitas, el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO

- Si el terminar de triangular obtenemos menos ecuaciones que incógnitas, el sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO

EJEMPLO

=−+=++=++

12435

123

zyxzyxzyx

→

− 111124351123

cambio la fila 1 con la fila 3 para facilitar los

cálculos

→

−

112324351111

(f2 – 5f1)→ 3920'5555:5

2435:

2

1

2

−−−−−−

ff

f (f3 – 3f1)→

2410'3333:3

1123:

3

1

3

−−−−−−

ff

f

−−−−

−

39202410

1111 He cambiado el orden de la fila 2 y la fila 3 por comodidad

(f3 – 2f2)→ 1100'4820:23920:

3

2

3

ff

f−−

−−

−−

−

11002410

1111

97

Ya está triangulado, escribimos las ecuaciones resultantes y resolvemos de abajo hacia arriba.

El sistema es compatible determinado porque hemos obtenido tres ecuaciones y hay tres incógnitas.

4116:624:

1:1:

24:1:

1

2

3

3

2

1

−=→=−+=→−=+−

=

→

=−=+−=−+

xxEyyE

zEzE

zyEzyxE

SOLUCIÓN (x, y, z) = (- 4, 6, 1)

7. REGLA DE CRAMER

La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:

• El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. • El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer (n ecuaciones y n incógnitas)

=+++

=+++=+++

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

..........................................................

......

......

2211

22222121

11212111

Sea Δ =

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

.....................................................

..................

..................

21

22221

11211

=

Y sean Δ1, Δ2 , Δ3, ... , Δn los determinantes que se obtiene al sustituir la 1ª columna , la 2ª columna, la 3ª columna y la enésima columna respectivamente, por la columna de los términos independientes

Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las siguientes

expresiones:

∆∆

== 12

2222

1121

1

.....................................................

..................

..................

Aaab

aabaab

x nnnn

n

n

∆∆

== 21

2221

1111

2

.....................................................

..................

..................

Aaba

abaaba

x nnnn

n

n

…..

98

EJEMPLO

2101321111

5232

1=−==∆→

=+=+−=++

Azx

zyxzyx

11501221111

8151321111

21105322111

321 −=−=∆−==∆=−=∆

SOLUCIÓN ( )

−

−=

−−

=211,4,

221

211,

28,

221,, zyx

8. SISTEMAS HOMOGÉNEOS Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo.

=+++

=+++=+++

0..........................................................

0......0......

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

.....................................................

..................

..................

21

22221

11211

la matriz del sistema y

=

0...........................................................0..................0..................

21

22221

11211

*

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A la matriz ampliada

Las dos matrices van a tener el mismo rango, por tanto siempre es compatible.

- Si el rango de las matrices coincide con el número de incógnitas, será COMPATIBLE DETERMINADO, Y LA ÚNICA SOLUCIÓN POSIBLE ES LA TRIVIAL:

X1 = X2 = X3 = ……=Xn = 0

- Si el rango de las matrices no coincide con el número de incógnitas, será COMPATIBLE INDETERMINADO Y HABRÁ QUE RESOLVERLO POR GAUSS

99

EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES 1. 2008 MODELO 1 OPCIÓN A.

Ejercicio 3. Dado el sistema de ecuaciones lineales x + λy − z = 0 2x + y + λz = 0

x + 5y − λz = λ +1 (a) [1’5 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro λ. (b) [1 punto] Resuélvelo λ = −1.

2. 2008 MODELO 2 OPCIÓN A. Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones

x + y + z = a - 1 2x + y + az = a x + ay + z = 1

(a) [1’5 puntos] Discútelo según los valores del parámetro a. (b) [1 punto] Resuelve el caso a = 2.


Ejercicio 3. Sabemos que el sistema de ecuaciones

=−+=+−22132

zyxzyx

Tiene las mismas soluciones que el que resulta al añadirle la ecuación

ax + y + 7z = 7 (a) [1’25 puntos] Determina el valor de a.. (b) [1’25 puntos] Calcula la solución del sistema inicial de dos ecuaciones,

de manera que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a la unidad.

4. 2008 MODELO 3 OPCIÓN A. Ejercicio 3. Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20 y 50

euros. En total hay 130 billetes con un importe de 3000 euros. (a) [1’25 puntos] ¿ Es posible que en el cajero haya el triple número

de billetes de 10 que de 50? (b) [1’25 puntos] Suponiendo que el número de billetes de 10 es el

doble que el número de billetes de 50, calcula cuantos billetes hay de cada t


Ejercicio 3. Considera la matriz

=

2

22

111

mmmmmmA .

(a) [1 punto] Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3

(b) [1’5 puntos] Estudia si el sistema

=

⋅

111

zyx

A tiene solución para

cada uno de los valores de m obtenidos en el apartado anterior.

100

6. 2008 MODELO 4 OPCIÓN A. Ejercicio 3. [2’5 puntos] Dado el siguiente sistema de ecuaciones

x + y = 1 ky + z = 0 x +(k + 1)y + kz = k +1

(a) [1’25 puntos] Determina el valor del parámetro k para que sea incompatible.

(b) [1’25 puntos] Halla el valor del parámetro k para que la solución del sistema tenga z = 2.

7. 2008 MODELO 4 OPCIÓN B. Ejercicio 3. [2’5 puntos] Halla los valores del parámetro m que hacen

compatible el sistema de ecuaciones: − x +2y − 2z = 2 2x + y + z = m x +3y − z = m2


Ejercicio 3. (a) [1 punto] Determina razonadamente los valores del parámetro m para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución:

2x + y + z = mx x +2y + z = my x +2y +4z = mz

(b) [1’5 puntos] Resuelve el sistema anterior para el caso m = 0 y para el caso m = 1.


Ejercicio 3.- a) [1’75 puntos] Discute según los valores λ el siguiente sistema: 3x+λy=0 x+λz=λ x+y+3z=1

b) [0’75 puntos] Resuélvelo para λ=0

10. 2009 MODELO 4 OPCIÓN B. Ejercicio 3. Dado el sistema de ecuaciones lineales

x + λy +z = 4 x + 3y +z = 5 λx + y + z = 4

(a) [1’5 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro λ. (b) [1 punto] Resuélvelo para λ = 1.

11. 2009 MODELO 5 OPCIÓN A. Ejercicio 3.- [1’25 puntos] a) Resuelve el sistema de ecuaciones

=++−=++−

=+

25202

2

zyxzyx

zx

101

b) [1’25 puntos] Calcula λ sabiendo que el siguiente sistema tiene alguna solución común con el del apartado a)

−=++=++−

=++

3213

1

zyxzyx

zyx

λ


Ejercicio 3.- Sea el sistema de ecuaciones

=−+=+++=+

mzymxzmyx

myx11

a) [1’5 puntos] Determina los valores de m para los que el sistema es compatible b) [1 punto] Resuelve el sistema en el caso m = -1


Ejercicio 3. Considera el sistema 3x − 2y + z = 5 2x − 3y + z = −4

(a) [1’5 puntos] Calcula razonadamente un valor de λ para que el sistema resultante al añadirle la ecuación x + y + λz = 9 sea compatible indeterminado. (b) [1 punto] ¿Existe algún valor de λ para el cual el sistema resultante no tiene solución?


Ejercicio 3. Sea el siguiente sistema de ecuaciones λx + y + z = λ + 2 2x - λy + z = 2 x - y + λz = λ

(a) [1’75 puntos] Discútelo según los valores de λ. ¿Tiene siempre solución? (b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema para λ = -1.


Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones (m + 2)x – y – z = 1 – x – y + z = –1 x + my – z = m

(a) [1’75 puntos] Discútelo según los valores de m. (b) [1 punto] Resuelve para el caso m = 1.


Ejercicio 3. (a) [1’75 puntos] Discute, según los valores del parámetro λ, el siguiente sistema de ecuaciones

– x + λy + z = λ λx + 2y + (λ +2)z = 4 x + 3y + 2z = 6- λ

(b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema anterior para λ = 0.

102

17. 2010 MODELO 6 OPCIÓN A. Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones

λx +2y + 6z = 0 2x + λy + 4z = 2 2x + λy + 6z = λ − 2

(a) [1’75 puntos] Discútelo según los valores del parámetro λ. (b) [0’75 puntos] Resuélvelo para λ = 2.


Ejercicio 3.- Dadas las matrices

+−−−+=

3012112

011

ttttA y

=

zyx

X

(a) [1'75 puntos] Calcula el rango de A según los diferentes valores de t. (b) [0'75 puntos] Razona para qué valores de t el sistema homogéneo AX = O tiene más de una solución.


Ejercicio 3.- Considera el sistema de ecuaciones 2x − 2y + 4z = 4 2x + z = a −3x − 3y + 3z = −3

(a) [1’75 puntos] Discútelo según los valores del parámetro a. (b) [0’75 puntos] Resuélvelo cuando sea posible.


Ejercicio 3.- Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales -λx + y + z = 1 x + λy + z = 2 λx + y + z = 1

(a) [1’75 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. (b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema para λ = 0.

PROBLEMAS CON SISTEMAS DE ECUACIONES

21. 1996 MODELO 2 OPCIÓN B. Ejercicio 3. Un punto M se mueve en el espacio tridimensional de manera que en un instante de tiempo t se encuentra en el punto (1+t, 3+t, 6+2t) (a) [0’5 puntos] ¿Es esta trayectoria una línea recta? Si es así, escribe sus ecuaciones de dos formas distintas. (b) [1 punto]Halla el instante de tiempo en el que el punto está en el plano dado por la ecuación x – 2y + z – 7 = 0.. (c) [1 punto] Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a la trayectoria de M y pasa por el punto (1,1,0)


Ejercicio 3. Una fábrica de electrodomésticos tiene una producción semanal fija de 42 unidades. La fábrica abastece a tres establecimientos - digamos A, B y C - que demandan toda su producción. En una determinada semana el

103

establecimiento A solicitó tantas unidades como B y C juntos y, por otro lado, B solicitó un 20% más que la suma de la mitad de lo que pidió A más la tercera parte de lo que pidió C. ¿ Cuantas unidades solicitó cada establecimiento dicha semana?.


Ejercicio 4.- Una persona trata de adivinar, mediante ciertas pistas, el coste de tres productos A, B y C que un amigo suyo ha comprado.

Pista 1: Si compro una unidad de A, dos de B y una de C me gasto 900 ptas.

Pista 2: Si compro m unidades de A, m + 3 de B y 3 de C me gasto 2950 ptas. (a) [1 punto] ¿Hay algún valor de m para el que estas dos pistas no son compatibles? (b) [1puntos] Si en la Pista 2 se toma m = 4, ¿es posible saber el coste de cada uno de los productos? (c) [2'5 puntos] Pista 3. el amigo le dice finalmente que el producto C vale 5 veces lo que vale el producto A y que en la Pista 2 se tiene m = 4. ¿Cuánto valen A, B y C?


Ejercicio 4. [2'5 puntos] En un supermercado se ofrecen dos lotes formados por distintas cantidades de los mismos productos. - El primer lote está compuesto por una botella de cerveza, tres bolsas de

cacahuetes y siete vasos y su precio es de 565 ptas. - El segundo lote está compuesto por una botella de cerveza, cuatro bolsas

de cacahuetes y diez vasos y su precio es de 740 ptas. Con estos datos, ¿podrías averiguar cuánto debería valer un lote formado por una botella de cerveza, una bolsa de cacahuetes y un vaso? Justifica la respuesta.


Ejercicio 4. [2'5 puntos] Un mayorista de café dispone de tres tipos base, Moka, Brasil y Colombia, para preparar tres tipos de mezcla, A, B y C, que envasa en sacos de 60 Kg. Con los siguientes contenidos en kilos y precios del kilo en euros:

Mezcla A

Mezcla B

Mezcla C

Moka 15 30 12

Brasil 30 10 18

Colombia 15 20 30

Precio (cada Kg.) 4€ 4'5€ 4'7€

Suponiendo que el preparado de las mezclas no supone coste alguno, cual es el precio de cada uno de los tipos de café.

104

26. 2001 MODELO 1 OPCIÓN A. Ejercicio 3. [2'5 puntos]. En el sector de las aceitunas sin hueso, tres empresas A, B y C, se encuentran en competencia. Calcula el precio por unidad dado por cada empresa sabiendo que verifican las siguientes relaciones: - El precio de la empresa A es 0'6 euros menos que la media de los precios

establecidos por B y C. - El precio dado por B es la media de los precios de A y C. - El precio de la empresa C es igual a 2 euros más 2/5 del precio dado por

A más 1/3 del precio dado por B.

27. 2003 MODELO 6 OPCIÓN B. Ejercicio 3. [2'5 puntos] Una empresa cinematográfica dispone de tres salas, A, B y C. Los precios de entrada a estas salas son de 3, 4 y 5 euros, respectivamente. Un día la recaudación conjunta de las tres salas fue de 720 euros y el número total de espectadores fue de 200. Si los espectadores de la sala A hubieran asistido a la sala B y los de la sala B a la sala A, se hubiese obtenido una recaudación de 20 euros más. Calcula el número de espectadores que acudió a cada una de las salas.


Ejercicio 3. Un tendero dispone de tres tipos de zumo en botellas que llamaremos A, B y C. El mencionado tendero observa que si vende a 1€ las botellas del tipo A, a 3 € las del tipo B y a 4 € las del tipo C, entonces obtiene un total de 20 € . Pero si vende a 1€ las del tipo A, a 3 € las del B y a 6 € las del C, entonces obtiene un total de 25 €

(a) [0’75 puntos] Plantea el sistema de ecuaciones que relaciona el número de botellas de cada tipo que posee el tendero. (b) [1 punto] Resuelve dicho sistema. (c) [0’75 puntos] ¿Puede determinarse el número de botellas de cada tipo de que dispone el tendero? (Ten en cuenta que el número de botellas debe ser entero y positivo).

29. 2005 MODELO 5 OPCIÓN A. Ejercicio 3. [2’5 puntos] Álvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Álvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros.


Ejercicio 3. [2’5 puntos] En una excavación arqueológica se han encontrado sortijas, monedas y pendientes. Una sortija, una moneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 gramos. Además, 4 sortijas, 3 monedas y 2 pendientes han dado un peso total de 90 gramos. El peso de un objeto deformado e irreconocible es de 18 gramos. Determina si el mencionado objeto es una sortija, una moneda o un pendiente, sabiendo que los objetos que son del mismo tipo pesan lo mismo.

105

31. 2008 MODELO 3 OPCIÓN A. Ejercicio 3. Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20 y 50 euros. En total hay 130 billetes con un importe de 3000 euros. (a) [1’25 puntos] ¿Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50? (b) [1’25 puntos] Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 50, calcula cuantos billetes hay de cada t


Ejercicio 3.- Tratamos de adivinar, mediante ciertas pistas, los precios de tres productos A , B y C Pista 1: Si compramos una unidad de A, dos de B y una de C gastamos 118 euros Pista 2: Si compramos n unidades de A, n+3 de B y tres de C gastamos 390 euros

a) [1’5 puntos] ¿Hay algún valor de n para el que estas dos pistas sean

incompatibles? b) [1 punto] Sabiendo que n = 4 y que el producto C cuesta el triple que el

producto A, calcula el precio de cada producto

33. 2009 MODELO 3 OPCIÓN B. Ejercicio 3. [2'5 puntos] Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de 40500 euros. Calcula cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos se ha comprado el 30 % de las cajas.


Ejercicio 3.- Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelera por la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos. (a) [1'25 puntos] ¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y

el de la calculadora? Razona las respuestas. (b) [1'25 puntos] Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran

sufrido un 50 %, un 20% y un 25% de descuento respectivamente, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcula el precio de cada artículo.

106

UNIDAD 6: GEOMETRÍA

TEMA 10: ESPACIO VECTORIAL

7. Vectores en el espacio 8. Estructura de espacio vectorial 9. Dependencia e independencia lineal. bases 10. Producto escalar 11. Producto vectorial 12. Producto mixto

1. VECTORES EN EL ESPACIO

Un vector fijo →

AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

ELEMENTOS DE UN VECTOR

• Dirección de un vector: es la dirección de la recta que contiene al vector.

• Sentido de un vector: El sentido del vector →

AB es el que va desde el origen A al extremo B (hacia el punto al que se dirige).

• Módulo de un vector →

AB es la longitud del segmento AB, se representa por →

AB . El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.

VECTORES LIBRES Definimos una relación de equipolencia entre vectores de forma que dos vectores son equipolentes si tienen igual módulo, direcciones paralelas y el mismo sentido.

Un vector libre es un representante de cada conjunto de vectores equipolentes. Se caracteriza porque lo puedes dibujar en cualquier parte del plano. COORDENADAS DE UN VECTOR LIBRE:

Para expresar un vector libre utilizamos su representante en el origen, de forma que las coordenadas del vector son las coordenadas del punto final, el punto inicial será (0, 0, 0)

107

COORDENADAS DE UN VECTOR DADO POR DOS PUNTOS Si las coordenadas de los puntos extremos son A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3)

Las coordenadas del vector →

AB son las coordenadas del extremo B menos las coordenadas del origen A

( )332211 ,, abababAB −−−=→

VECTOR DE POSICIÓN

El vector a que une el origen de coordenadas O con un punto A se llama vector de posición del punto A. Un punto y su vector de posición tienen las mismas coordenadas. Las coordenadas de un vector dado por dos puntos A y B se pueden expresar de la

forma abAB −=

→

CÁLCULO DEL MÓDULO DE UN VECTOR Si 222),,( cbaucbau ++=→=

EJEMPLO: uuu 211641)4,2,1( =++=→−−=

En el caso de un vector dado por dos puntos, ( )332211 ,, abababABu −−−==→

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos A y B es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos. Ejemplo: Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).

( ) ( ) uBAdAB 13904),(3,0,230,22,11 =++=→−−=−−−−=→

VECTOR NORMAL O UNITARIO

Un vector normal es un vector unitario, es decir, de módulo la unidad. La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su

módulo. aaua

=

EJEMPLO: El vector unitario asociado a ( ) →=++=→−= 51041,0,2 aa

−=

51,0,

52

au , es un vector con la misma dirección y sentido que a

pero de módulo 1. 2. ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL SUMA DE VECTORES Para sumar dos vectores se suman sus componentes.

( )( ) ( )332211

321

321 ,,,,,,

bababababbbbaaaa

+++=+

==

108

EJEMPLO ( )( ) ( )1,1,1

1,0,22,1,3

−=+

−=−=

baba

PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES (GRUPO CONMUTATIVO)

1. ASOCIATIVA ( ) ( ) wvuwvu ++=++

2. CONMUTATIVA vwwv +=+

3. ELEMENTO NEUTRO ( ) vovo =+→= 0,0,0

4. ELEMENTO OPUESTO ( ) ouu =−+

PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL (ESCALAR) POR UN VECTOR

Se multiplican las componentes del vector por dicho número ( ) ( )321321 ,,,, akakakakaaaa ⋅⋅⋅=⋅→=

EJEMPLO: ( ) ( )3,9,631,3,2 −=⋅→−= aa PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR

1. ASOCIATIVA ( ) ( ) uu ⋅⋅=⋅⋅ βαβα

2. DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA DE VECTORES ( ) baba

ααα +=+ 3. DISTRIBUTIVA RESPECTO A LOS ESCALARES ( ) uuu

⋅+=+ βαβα 4. ELEMENTO NEUTRO uu

=⋅1

( )•ℜ+,,3V TIENE ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL 3. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL. BASES COMBINACIÓN LINEAL

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares: cbau

⋅+⋅+⋅= λβα VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES

Varios vectores libres del espacio se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

( )0,0,0==⋅+⋅+⋅ ocba λβα Si para que esta igualdad se cumpla todos los coeficientes tienen que ser cero (solución trivial), entonces los vectores son linealmente independientes. PROPIEDADES

1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

2. Dos vectores del espacio son linealmente dependientes si, y sólo si, son

paralelos, y por tanto, proporcionales: ( )( ) k

ba

ba

ba

bbbbaaaa

===

==

3

3

2

2

1

1

321

321

,,,,

Si no son proporcionales, entonces los vectores son linealmente independientes.

109

3. Tres vectores del espacio son linealmente dependientes si, y sólo si, están en un mismo plano (son coplanarios). Si son linealmente dependientes, al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros dos, por tanto el determinante que forman sus coordenadas es nulo:

( )( )( )

0,,,,,,

321

321

321

321

321

321

=→

===

cccbbbaaa

ccccbbbbaaaa

Si el determinante es distinto de cero, entonces los vectores son linealmente independientes. EJEMPLO Determinar los valores de k para los que son linealmente dependientes los vectores

( )6,,3 −= ku , ( )3,1,2 +−= kv y ( )4,2,1 += kw . Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que

forman es nulo, es decir que el rango de la matriz es menor que 3.

( ) →=+++−−−++++→=+

+−−

0181538624123120421

31263

22 kkkkkkk

kk

=−=

→=−−62

01242

kk

kk

Los vectores son linealmente dependientes si k = -2 o k = 6 BASE ORTONORMAL

Una base es ortonormal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen módulo 1.

BASE CANÓNICA: { }( )( )( )

=→=

=→=

=→=

→

11,0,0

10,1,010,0,1

,,

kk

jjii

kji

y ji

⊥ ki

⊥ kj

⊥ j

i

x k

z Cualquier vector se puede expresar en la base canónica de la forma

( ) kujuiuuuuu⋅+⋅+⋅== 321321 ,,

4. PRODUCTO ESCALAR

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

αcos⋅⋅=⋅ vuvu

110

EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR Si expresamos las coordenadas de los vectores en la base canónica

( ) kujuiuuuuu⋅+⋅+⋅== 321321 ,, y ( ) kvjvivvvvv

⋅+⋅+⋅== 321321 ,, ,

podemos obtener la expresión ( )( ) 332211321321 vuvuvukvjvivkujuiuvu ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅=⋅

Ya que

=⋅⋅=⋅⋅=⋅

=⋅⋅=⋅⋅=⋅

=⋅⋅=⋅⋅=⋅

1111º0cos

1111º0cos1111º0cos

kkkk

jjjjiiii

=⋅⋅=⋅⋅=⋅

=⋅⋅=⋅⋅=⋅

=⋅⋅=⋅⋅=⋅

0011º0cos

0011º0cos

0011º90cos

kiki

kjkj

jiji

EJEMPLO Hallar el producto escalar de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1). (1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5 ÁNGULO DE DOS VECTORES

vuvuvuvu

vuvuvuvu

⋅⋅+⋅+⋅

=⋅⋅

=→⋅⋅=⋅ 332211coscos αα

EJEMPLO Determinar el ángulo que forman los vectores ( )3,2,1 −=u y ( )1,4,2−=v

º92'792943

21143cos

3382211164

14941=→=

⋅=→

=−+−=⋅=++==++=

ααvu

vu

VECTORES ORTOGONALES Dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de 90º, cos90º = 0, por tanto, su producto escalar es 0.

0332211 =⋅+⋅+⋅=⋅ vuvuvuvu PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR

1. CONMUTATIVA vwwv ⋅=⋅

2. ASOCIATIVA ( ) ( ) ( )wkvwvkwvk ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅

3. DISTRIBUTIVA ( ) bcacbac⋅+⋅=+⋅

4. El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo. ( ) 00,0,0 2 >=⋅→≠ uuuu

5. PRODUCTO VECTORIAL El producto vectorial de dos vectores vu

× es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u hacia v. Su módulo es igual a αsenvuvu ⋅⋅=×

111

El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:

( )131211131211

321

321 ,, AAAkAjAiAvvvuuukji

vu =⋅+⋅+⋅==×

EJEMPLOS Calcular el producto vectorial de los vectores ( )3,2,1=u y ( )2,1,1−=v

( )35,13511121

2131

2132

211321 −−=⋅+⋅−⋅=⋅

−+⋅

−

−+⋅=−

=× kjikjikji

vu

ÁREA DEL PARALELOGRAMO Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores: vusenvuhuA

×=⋅⋅=⋅= α

EJEMPLO Dados los vectores ( )1,1,3 −=u y ( )4,3,2=v , hallar el área del paralelogramo que tiene por lados dichos vectores

( )7,14,771473213

4213

4311

432113 −=⋅+⋅−⋅=⋅+⋅

−−+⋅

−=−=× kjikji

kjivu

22944919649 uvuA =++=×=

ÁREA DE UN TRIÁNGULO

112

EJEMPLO Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).

)2,2,1( −=−=→

abAB

)2,2,4( −−=−=→

acAC

( ) 2

27272363606,6,0

224221 uAACABkji

ACAB =→=++=×→−−=−−

−=×→→→→

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL

1. ANTICONMUTATIVA uvvu ×−=×

2. HOMOGÉNEA ( ) ( ) ( )vuvuvu ⋅×=×⋅=×⋅ ααα

3. DISTRIBUTIVA ( ) wuvuwvu ×+×=+×

4. El producto vectorial de dos vectores paralelos en igual al vector nulo. (tendríamos un determinante con dos filas proporcionales)

6. PRODUCTO MIXTO El producto mixto de los vectores u , v y w es igual al producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos. El producto mixto se representa por [u , v , w ] = u .( v x w ) El producto mixto de tres vectores es igual al determinante que tiene por filas las coordenadas de dichos vectores:

[ u , v , w ] = u .( v x w ) =

321

321

321

wwwvvvuuu

EJEMPLOS Calcular el producto mixto de los vectores ( )3,1,2 −=u , ( )5,2,0 −=v y ( )2,1,1 −−=w

[ u , v , w ] = ( ) 191630106058211520

312−=−−=++−++−=

−−−

−

VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO El valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son tres vectores con origen en un mismo vértice. EJEMPLO Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores ( )5,2,3 −=u ,

( )1,2,2 −=v y ( )2,3,4−=w

[ u , v , w ] = 39191234122

523uV =→=

−−

−

113

VOLUMEN DE UN TETRAEDRO El volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del producto mixto, en valor absoluto. EJEMPLO Obtener el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) y D(1, 1, 7).

)3,0,2(−=−=→

abAB D

)2,2,1( −=−=→

acAC C

)6,1,2( −−=−=→

adAD A B

[ u , v , w ] = 3

655

615

612221302

uV =⋅=→=−−−

−

PROPIEDADES DEL PRODUCTO MIXTO

1. El producto mixto no varía si se permutan circularmente sus factores, pero cambia de signo si éstos se trasponen. [ u , v , w ] = [ v , w , u ] = [ w , u , v ]

[ u , v , w ] = - [ v , u , w ] = - [ u , w , v ]

2. Si tres vectores son linealmente dependientes, es decir, si son coplanarios, producto mixto vale 0.

114

EJERCICIOS DE VECTORES EN EL ESPACIO 1. Determinar el valor del parámetro k para que los vectores ( )3,2,−= ka y )1,,2( kb −=

sean: a) Ortogonales. b) Paralelos

2. Dados los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) y C(1, 6, a), se pide: a) Hallar para qué valores del parámetro a están alineados. b) Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres vértices de un

paralelogramo de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos.

3. Hallar dos vectores de módulo la unidad y ortogonales a u=(2, −2, 3) y v =(3, −3, 2). 4. Dados los vectores ( )3,2,1=u , ( )1,0,2=v ( )0,3,1−=w , hallar:

a) vu ⋅ y wv

⋅ b) vu

× y wv ×

c) ( ) wvu ⋅× y ( ) uwv

⋅× d) u , v y w e) ),cos( vu y ),cos( wv

5. Dados los vectores ( )1,1,3 −=u y ( )4,3,2=v , hallar:

a) El producto vectorial de u y v · b) El área del paralelogramo que tiene por lados los vectores u y v ·

6. Dados los vectores ( )3,1,2=u , ( )3,2,1=v ( )0,1,1 −−=w , hallar el producto mixto [ ]wvu ,, . ¿Cuánto vale el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los vectores dados? 7. Sean A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1) los tres vértices de un triángulo. Se pide:

a) Calcular el coseno de cada uno de los tres ángulos del triángulo. b) Calcular el área del triángulo.

8. Considerar la siguiente figura:

Se pide:

a) Coordenadas de D para qué ABCD sea un paralelogramo. b) Área de este paralelogramo.

9. Dados los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) y C(1, 6, a), se pide:

a) Hallar para qué valores del parámetro a están alineados. b) Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres vértices de un

paralelogramo de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos.

115

TEMA 11: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

8. Ecuaciones de la recta en el espacio 9. Ecuaciones del plano 10. Haz de planos 11. Posiciones relativas de dos planos 12. Posiciones relativas de tres planos 13. Posiciones relativas de una recta y un plano 14. Posiciones relativas de dos rectas

1. ECUACIONES DE LA RECTA EN EL ESPACIO

Una recta queda determinada por un punto y un vector director (vector con la misma dirección que la recta)

= ),,(),,(

321

321

uuuuaaaA

r

A) ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA ℜ∈⋅+= tuuutaaazyxr ),,,(),,(),,(: 321321

EJEMPLO: ℜ∈⋅+−=

→

=−

ttzyxruA

r ),1,1,2()3,2,1(),,(:)1,1,2()3,2,1(

B) ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA Operando en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:

⋅+=⋅+=⋅+=

tuaztuaytuax

r

33

22

11

: , ℜ∈t

EJEMPLO:

+=+=+−=

→

=−

tztytx

ruA

r32

21:

)1,1,2()3,2,1(

, ℜ∈t

C) ECUACIONES CONTINUAS DE LA RECTA Despejando e igualando t en las ecuaciones paramétricas se tiene:

3

3

2

2

1

1

uaz

uay

uax −

=−

=−

EJEMPLO: 1

31

22

1:)1,1,2()3,2,1( −

=−

=+

→

=− zyxr

uA

r

D) ECUACIONES IMPLÍCITAS DE LA RECTA Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.

=+++=+++

00

:2222

1111

DzCyBxADzCyBxA

r

116

Si en las ecuaciones continuas de la recta escogemos dos de las igualdades, quitamos denominadores y pasamos todo al primer miembro, obtenemos las ecuaciones implícitas. EJEMPLO:

=+−→−=−→−

=−

=+−→−=+→−

=+

→−

=−

=+

→

=−

01321

31

2

0524211

22

1

13

12

21:

)1,1,2()3,2,1(

zyzyzy

yxyxyx

zyxruA

r

Para obtener las ecuaciones paramétricas de la recta, a partir de las

ecuaciones implícitas, se resuelve el sistema por Gauss, como sólo hay dos ecuaciones y tres incógnitas, quedará en función de “t” 2. ECUACIONES DEL PLANO Un plano queda determinado por:

- un punto y dos vectores directores (vectores paralelos al plano)

==

),,(),,(

),,(:

321

321

321

vvvvuuuu

aaaA

π

- un punto y un vector normal (vector perpendicular al plano)

= ),,(),,(

:321

321

nnnnaaaA

π

El vector normal se puede obtener como producto vectorial de los vectores directores:

321

321

vvvuuukji

vun

=×=

A) ECUACIÓN VECTORIAL

( ) ),,(),,(),,(,,: 321321321 vvvuuuaaazyx ⋅+⋅+= βαπ , ℜ∈βα , EJEMPO:

( )

( )

⋅+−⋅+−=→

=−=

−)1,1,1()3,0,2()4,3,1(,,:

)1,1,1()3,0,2(

4,3,1: βαππ zyx

vu

A

, ℜ∈βα ,

B) ECUACIONES PARAMÉTRICAS DEL PLANO

⋅+⋅+=⋅+⋅+=⋅+⋅+=

βαβαβα

π

333

222

111

:vuazvuayvuax

, ℜ∈βα ,

117

EJEMPO:

( )

+⋅−=+=

⋅+⋅+−=→

=−=

−

βαβ

βαππ

343

121:

)1,1,1()3,0,2(

4,3,1:

zy

x

vu

A

, ℜ∈βα ,

C) ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA DEL PLANO

→

= ),,(),,(

:321

321

nnnnaaaA

π 0=+++ DCzByAx

A, B y C son las coordenadas del vector normal, y D se obtiene sustituyendo las coordenadas del punto. EJEMPO:

( )( )

( ) 100815304235)1(34,3,1

0253:

2,5,31102

,1132

,1130

111302

)1,1,1()3,0,2(

4,3,1:

=→=++−−→=+⋅+⋅−−→

−=++−

→−=

−−

−=−=

→

=−=

−

DDDA

Dzyx

kjin

vu

A

π

π

010253: =++−→ zyxπ Para obtener las ecuaciones paramétricas del plano, a partir de la ecuación

implícita, se resuelve el sistema por Gauss, como sólo hay una ecuación y tres incógnitas, quedará en función de dos parámetros. 3. HAZ DE PLANOS HAZ DE PLANOS PARALELOS

Todos los planos paralelos a uno dado tienen el mismo vector normal, por tanto, en la ecuación general solo cambia D. La ecuación del haz de planos será de la forma:

ℜ∈=+++ kkCzByAx ,0 HAZ DE PLANOS QUE PASAN POR UNA RECTA

Se llama haz de planos de eje r al conjunto de todos los planos que contienen a la recta r.

118

Si r viene definida por sus ecuaciones implícitas:

=+++=+++

00

:2222

1111

DzCyBxADzCyBxA

r

la ecuación del haz de planos de eje r nieve dada por la igualdad: ( ) ( ) 022221111 =+++++++ DzCyBxADzCyBxA µλ

Si dividimos por λ y, la ecuación del haz resulta: ( ) ( ) 022221111 =+++++++ DzCyBxAkDzCyBxA EJEMPLO Hallar en la ecuación del plano que pasa por el punto (3, 2, −3) y pertenece al haz de

planos de eje en la recta:

=+++−=−−+

02320932

:zyx

zyxr

Haz de planos: ( ) ( ) 0232932 =+++−+−−+ zyxkzyx Sustituyendo las coordenadas del punto (3, 2, −3), obtenemos el valor de k que le corresponde a ese plano: ( ) ( ) →=→=−→=+−+−+−++ 1066029439366 kkk El plano será: ( ) ( ) 072502321932 =−++→=+++−+−−+ zyxzyxzyx 4. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS

Los planos se expresan en forma general:

=+++=+++

00

:2222

1111

DzCyBxADzCyBxA

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

≠≠ 2

1

2

1

2

1

2

1

DD

CC

BB

AA

≠== 2

1

2

1

2

1

2

1

DD

CC

BB

AA

===

5. POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS


=++=++=++

3333

2222

11111

:DzCyBxADzCyBxADzCyBxA

Y se estudian las posibles soluciones del sistema de ecuaciones que forman. Sean:

=

333

222

111

CBACBACBA

A Y

=

3333

2222

1111

*DCBADCBADCBA

A

119

CASOS: 1. rgA = rgA* =3 (COMPATIBLE DETERMINADO)

Planos secantes en un punto (El punto se puede calcular resolviendo el sistema)

2. rgA = 2, rgA* =3 (INCOMPATIBLE)

2.1 Planos secantes dos a dos.

2.2 Dos planos paralelos y el tercero secante

Hay que estudiar las posiciones relativas de dos en dos para saber de qué caso se trata 3. rgA = rgA* =2 (COMPATIBLE INDETERMINADO)

3.1 Planos secantes y distintos

3.2 Dos planos coincidentes y uno secante

Hay que estudiar las posiciones relativas de dos en dos para saber de qué caso se trata

120

4. rgA = 1, rgA* =2 (INCOMPATIBLE)

4.1 Planos paralelos y distintos dos a dos

4.2 Planos paralelos y dos coincidentes

Hay que estudiar las posiciones relativas de dos en dos para saber de qué caso se trata 5. rgA = rgA* =1 (COMPATIBLE INDETERMINADO)

6. POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO La ecuación del plano debe venir dada en forma implícita, mientras que la recta tiene dos posibilidades:

1. LA RECTA VIENE DEFINIDA EN FORMA IMPLÍCITA (por dos planos secantes)

Sea la recta:

=+++=+++

00

:2222

1111

DzCyBxADzCyBxA

r y el plano :π 0=+++ DCzByAx .

Para estudiar la posición relativa de la recta y el plano discutimos el sistema:

−=++−=++−=++

3333

2222

1111

DzCyBxADzCyBxADzCyBxA

Sean

=

333

222

111

CBACBACBA

A Y

−−−

=

3333

2222

1111

*DCBADCBADCBA

A

TEN EN CUENTA QUE AL SER LAS ECUACIONES DE LA RECTA DOS PLANOS SECANTES, LOS RANGOS NO PUEDEN SER MENOR QUE DOS

121

CASOS:

1.1 Si rgA = rgA* = 3, el sistema es compatible determinado, la recta corta al plano en un punto, que se puede calcular resolviendo el sistema (SECANTES)

1.2 Si →

==

3*2

rgArgA

sistema incompatible, no tienen puntos en común,

PARALELOS

1.3 Si rgA = rgA* = 2, compatible indeterminado, infinitos puntos en común, la recta está CONTENIDA en el plano (no se puede decir que coincidan)

2. LA RECTA VIENE DEFINIDA POR UN PUNTO Y UN VECTOR

Sea una recta

= ),,(),,(

321

321

uuuuaaaA

r y un plano :π 0=+++ DCzByAx , cuyo rector

normal es ( )CBAn ,,= .

CASOS: Multiplico el vector director de la recta por el vector normal del plano:

1.1 Si 0≠⋅ nu , SECANTES

1.2 Si 0=⋅ nu , sustituyo el punto de la recta en el plano, y si no verifica la ecuación, PARALELOS

1.3 Si 0=⋅ nu , sustituyo el punto de la recta en el plano, y si sí verifica la ecuación, RECTA CONTENIDA EN EL PLANO

122

8. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS Rectas de las que conocemos un punto y el vector director.

Si la recta r viene determinada por

= ),,(),,(

321

321

uuuuaaaA

r y la recta s por

= ),,(),,(

321

321

vvvvbbbB

s ,

La posición relativa de r y s viene dada por la posición de u , v y →

AB . Empezamos por estudiar el rango de las matrices:

=

33

22

11

vuvuvu

A y

−−−

=

3333

2222

1111

*abvuabvuabvu

A

CASOS

I. si rgA* = 3, →≠−−−

0

3333

2222

1111

abvuabvuabvu

los tres vectores son linealmente

independientes, no están en el mismo plano, por tanto las rectas se CRUZAN (no son paralelas, pero no están el mismo plano). Se dice que las rectas NO SON COPLANARIAS

II. Si →=−−−

0

3333

2222

1111

abvuabvuabvu

los tres vectores son linealmente dependientes, están

en el mismo plano, por tanto las rectas SON COPLANARIAS. Tendremos tres posibilidades: II.1. Si rgA = 2, u , v no son proporcionales pero las rectas están en el mismo plano SECANTES

II.2. Si rgA = rgA* = 1, los tres vectores son paralelos, las rectas COINCIDEN

II.3 Si rgA = 1 ( u , v son paralelos ) y rgA* = 2 (

→

AB no es paralelo a ellos), rectas PARALELAS

123

A. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS


=+++=+++

00

:2222

1111

DzCyBxADzCyBxA

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

≠≠ 2

1

2

1

2

1

2

1

DD

CC

BB

AA

≠== 2

1

2

1

2

1

2

1

DD

CC

BB

AA

===

SECANTES PARALELOS COINCIDEN

B. POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS


=++=++=++

3333

2222

11111

:DzCyBxADzCyBxADzCyBxA

CASOS: 1. rgA = rgA* =3 (COMPATIBLE DETERMINADO): Secantes en un punto 2. rgA = 2, rgA* =3 (INCOMPATIBLE)

2.1 Planos secantes dos a dos. 2.2 Dos planos paralelos y el tercero secante

Hay que estudiar las posiciones relativas de dos en dos para saber de que caso se trata 3. rgA = rgA* =2 (COMPATIBLE INDETERMINADO)

3.1 Planos secantes en una misma recta 3.2 Dos planos coincidentes y uno secante (en una recta)

Hay que estudiar las posiciones relativas de dos en dos para saber de que caso se trata 4. rgA = 1, rgA* =2 (INCOMPATIBLE)

4.1 Planos paralelos y distintos dos a dos 4.2 Planos paralelos y dos coincidentes

Hay que estudiar las posiciones relativas de dos en dos para saber de que caso se trata 5. rgA = rgA* =1 (COMPATIBLE INDETERMINADO) Los tres planos coinciden

C. POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO

Sea la recta:

=+++=+++

00

:2222

1111

DzCyBxADzCyBxA

r y el plano :π 0=+++ DCzByAx .

CASOS:

2.1 Si rgA = rgA* = 3, el sistema es compatible determinado, la recta corta al plano en un punto, que se puede calcular resolviendo el sistema (SECANTES)

2.2 Si →

==

3*2

rgArgA

sistema incompatible, no tienen puntos en común,

PARALELOS

2.3 Si rgA = rgA* = 2, compatible indeterminado, infinitos puntos en común, la recta está CONTENIDA en el plano (no se puede decir que coincidan)

124

D. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

Rectas de las que conocemos un punto y el vector director.

Si la recta r viene determinada por

= ),,(),,(

321

321

uuuuaaaA

r y la recta s por

= ),,(),,(

321

321

vvvvbbbB

s ,

La posición relativa de r y s viene dada por la posición de u , v y →

AB . Empezamos por estudiar el rango de las matrices:

=

33

22

11

vuvuvu

A y

−−−

=

3333

2222

1111

*abvuabvuabvu

A

CASOS

I. Si rgA* = 3, →≠−−−

0

3333

2222

1111

abvuabvuabvu

los tres vectores son linealmente

independientes, no están en el mismo plano, por tanto las rectas se CRUZAN

II. Si rgA* < 3 →=−−−

0

3333

2222

1111

abvuabvuabvu

los tres vectores son linealmente dependientes,

están en el mismo plano, por tanto las rectas SON COPLANARIAS. Tendremos tres posibilidades:

II.1. Si rgA = rgA* = 2 SECANTES II.2. Si rgA = rgA* = 1 COINCIDEN II.3 Si rgA = 1 y = rgA* = 2 PARALELAS

125

TEMA 12: PROBLEMAS MÉTRICOS

A) ÁNGULO ENTRE RECTAS Y PLANOS A.1) Ángulo entre dos rectas A.2) Ángulo entre dos planos A.3) Ángulo entre recta y plano

B) DISTANCIA ENTRE RECTAS Y PLANOS

B.1) Distancia de un punto a un plano B.2) Distancia entre planos paralelos B.3) Distancia entre un plano y una recta paralela B.4) Distancia entre un punto y una recta B.5) Distancia entre rectas paralelas B.6) Distancia entre rectas que se cruzan

A) ÁNGULO ENTRE RECTAS Y PLANOS A.1) ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

El ángulo que forman dos rectas es igual al ángulo agudo determinado por los vectores directores de las rectas.

23

22

21

23

22

21

332211),cos(),cos(vvvuuu

vuvuvuvuvu

vusr++⋅++

⋅+⋅+⋅=

⋅

⋅==

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son ortogonales, es

decir, si el producto escalar es nulo: srvu ⊥→=⋅ 0 EJEMPLOS Hallar el ángulo que forman las rectas:

a) zyxr =+=−

≡ 12

2 y zyxs ==−+

≡21

1

Los vectores directores de r y s son respectivamente ( )1,1,2=u y ( )1,2,1−=v

º41,8061arccos,

61

66122

),cos( =

=→=

⋅

++−=

∧

srsr

b)

=++−=+−+

≡0220132

zyxzyx

r y

=+−+=−+−

≡0132033

zyxzyx

s

Los vectores directores de r y s se obtienen multiplicando vectorialmente los vectores normales de los planos que las definen:

( )5,5,5211132 −−=

−−=kji

u

y ( )5,11,2312

113 =−

−=kji

v

º70,481125070arccos,

1125070

15075255510

),cos( =

=→=

⋅−−

=∧

srsr

126

A.2) ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS El ángulo formado por dos planos es igual al ángulo agudo determinado por los vectores normales de dichos planos, ( )1111 ,, CBAn =

y ( )2222 ,, CBAn =

22

22

22

21

21

21

212121

21

212121 ),cos(),cos(

CBACBA

CCBBAAnnnn

nn++⋅++

⋅+⋅+⋅=

⋅

⋅==

ππ

Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales son ortogonales, es

decir, si el producto escalar es nulo: 21212121 0 ππ ⊥→=⋅+⋅+⋅ CCBBAA EJEMPLO: Hallar el ángulo que forman los planos 0121 =−+−= zyxπ y 032 =++= zxπ Los vectores normales de los planos son ( )1,1,21 −=n y ( )1,0,12 =n

º30123arccos,

123

26102

),cos( 2121 =

=→=

⋅

++=

∧

ππππ

A.3) ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO El ángulo que forman una recta, r, y un plano, π, es el ángulo formado por r con su proyección ortogonal sobre π, r'.

El ángulo que forman una recta y un plano es igual al complementario (ángulos que suman 90º) del ángulo agudo que forman el vector director de la recta y el vector normal del plano. Si βαβα cosº90 =→=+ sen

Sea ( )321 ,, uuuu = el vector director de la recta, y sea ( )CBAn ,,=

el vector normal del plano

22223

22

21

321),cos(),(CBAuuu

CuBuAununu

nursen++⋅++

⋅+⋅+⋅=

⋅

⋅==

π

Si la recta r y el plano π son perpendiculares, el vector director de la recta y el

vector normal del plano tienen la misma dirección y, por tanto, sus componentes son

proporcionales: Cu

Bu

Au 321 ==

EJEMPLO: Determina el ángulo que forman la recta 2

12

1 zyxr =+=−

≡ y el plano

01 =−+≡ yxπ .

127

El vector director de la recta es ( )2,1,2=u y el vector norma del plano ( )0,1,1=n

º45183,

183

29012

),cos(),( =

=→=

⋅

++==

∧

arcsenrnursen ππ

B) DISTANCIA ENTRE RECTAS Y PLANOS B.1) DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO La distancia de un punto, P, a un plano, π, es la menor de la distancia desde el punto a los infinitos puntos del plano. Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto al plano. Se puede calcular mediante una fórmula o calculando la proyección del punto sobre el plano. FÓRMULA:

Sea P(p1, p2, p3) y 222

321),(0:CBA

DCpBpApPdDCzByAx

++

+++=→=+++ ππ

EJEMPLO Hallar la distancia del punto P(3, 1, −2) al plano 012 =+−+≡ zyxπ

uPd6

10114

1)2(132),( =

+++−−+⋅

=π

PROYECCIÓN DEL PUNTO SOBRE EL PLANO

Se llama proyección de P sobre π al punto P’ del plano que se obtiene al trazar una perpendicular a π que pase por P P P’ π

Calculando la proyección de P sobre el plano, la distancia del punto al plano será

la distancia entre los dos puntos. Para calcular P’:

• Construyo la recta que pasa por P y es perpendicular a π:

= πnuP

rr

:

• P’ será el punto de corte entre la recta construida y el plano. Para hallarlo, se expresa P’ con las paramétricas de r y se sustituye en π. Obtendremos el valor de t que corresponde al punto P’ y con ello P’

• La distancia del punto P al plano será →

= '),( PPPd π EJEMPLO Hallar la distancia del punto P(3, 1, −2) al plano 012 =+−+≡ zyxπ

128

( )( ) ( )

−−++=→

−−=+=+=

→−==

−tttP

tztytx

rnu

Pr

r

2,1,23'21

23:

1,1,22,1,3

:π , por ser un punto de r.

Al ser también un punto del plano, P’ verifica su ecuación:

( ) ( ) ( )3506100121232 −

=→=+→=+−−−+++→ tttttπ

( )urPdPP

P

P3

509

150),(35,

35,

310'

2,1,331,

32,

31

352,

351,

3103'

==→

−−

=→

−

−−−

=

+−−−= →

B.2) DISTANCIA ENTRE PLANOS PARALELOS

Es igual a la distancia de un punto cualquiera de uno de los planos al otro plano B.3) DISTANCIA ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA PARALELA

Es igual a la distancia entre un punto de la recta y el plano (no al revés)

B.4) DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA La distancia de un punto, P, a una recta, r, es la menor de la distancia desde el

punto a los infinitos puntos de la recta. Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto hasta la recta.

Se puede calcular mediante una fórmula o calculando la proyección del punto sobre la recta: FÓRMULA: Sea A un punto cualquiera de la recta y u el vector director de la recta,

u

APurPd

→

×=),(

EJEMPLO: Hallar la distancia desde el punto P(1, 3, −2) a la recta

−=+−=+=

tztytx

r21

132

:

Un punto de la recta es A(2, -1, 1) y el vector director ( ) 142,1,3 =→−= uu

( ) ( ) 31513,11,53412133,4,1 =×→=

−−−=×→−−=−=

→→→

APukji

APuapAP

.

uu

APurPd

245

14315

14315),( ===

×=

→

129

PROYECCIÓN DEL PUNTO SOBRE LA RECTA Se llama proyección de P sobre r al punto P’ de la recta que se obtiene al trazar una perpendicular a r que pase por P P r P’

Calculando la proyección de P sobre r, la distancia del punto a la recta será la

distancia entre los dos puntos. Para calcular P’:

• Expreso P’ con las paramétricas de r

• El vector '→

PP es perpendicular al vector director de la recta, por tanto el

producto escalar es cero: →=⋅→

0' uPP obtenemos una ecuación que nos permite calcular el valor de t que corresponde a P’ y con ello el valor de P’.

• La distancia del punto P a la recta r será →

= '),( PPrPd

EJEMPLO: Hallar la distancia desde el punto P(1, 3, −2) a la recta

−=+−=+=

tztytx

r21

132

:

→=→=→=+−+−+→=⋅

−=−+−+=→−+−+

→

→

2/17140464930'

)2,1,3()23,4,31(')21,1,32('

tttttuPP

utttPPtttP

( )urPdPP

P

P245

490),(2,

27,

25'

2,3,1

0,21,

27)11,

211,

232('

==→

−

=→

−

−

=−+−+ →

B.5) DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS

La distancia de una recta, r, a otra paralela, s, es la distancia desde un punto cualquiera de s a r.

130

Se calcula un punto B de s y se calcula su distancia a r utilizando una de las dos formas anteriores. B.6) DISTANCIA ENTRE RECTAS QUE SE CRUZAN

La distancia entre dos sectas que se cruzan es la distancia entre los dos planos paralelos que las contienen.

Se puede calcular de tres formas: mediante una fórmula, mediante un plano que contenga a una recta y sea paralela a la otra o con la perpendicular común.

FÓRMULA: Sea A y B un punto cualquiera de las rectas r y s respectivamente, y u y v los vectores directores de las rectas,

vu

vuABsrd

×

=

→

,,),(

EJEMPLO Sabiendo que 6

310

28

−=−

=+

≡ zyxr y 4

12

111 −

=−

=−−

≡zyxs se cruzan,

halla la mínima distancia entre ellas ( )

( )

=−

1,3,26,10,8

:uA

r ( )( )

−= 4,2,11,1,1

:v

Bs

( )

( )

usrd

vuAB

vukji

vu

AB

230136),(

136)721815(209108421132599

,,

2307,9,10421132

5,9,9

=→

=−+−−+=−

−−=

=×→−=−

=×

−−=

→

→

PLANO QUE CONTIENE A s Y ES PARALELO A r: A r ),(),( πAdsrd = s π

131

El plano π se calcula teniendo en cuenta que los puntos de s son puntos del plano, y los vectores directores de las rectas son vectores directores del plano. Se escribirá en forma implícita y calculamos la distancia del punto A de r al plano. EJEMPLO

Sabiendo que las rectas 6310

28

−=−

=+

≡ zyxr y 4

12

111 −

=−

=−−

≡zyxs se cruzan, halla

la mínima distancia entre ellas. ( )

( )

=−

1,3,26,10,8

:uA

r ( )( )

−= 4,2,11,1,1

:v

Bs

( )( )( )

( ) 07910:7,9,10421132

4,2,11,3,2

1,1,1=++−→

−=−

=×=→

−== Dzyx

kjivun

vu

Bππ

Sustituyo B(1, 1, 1) para calcular D 10 – 9 + 7 + D = 0, D = - 8 087910: =−+−→ zyxπ Si utilizamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano:

uAdsrd230

1364981100

8429080),(),( =

++

−+−−== π

PERPENDICULAR COMÚN:

Se llama así a la única recta que corta perpendicularmente a dos rectas que se cruzan. Podremos obtener la distancia entre las rectas como la distancia entre los puntos de corte de la perpendicular común con las rectas que se cruzan: A r

→

= ABsrd ),( B s Perpendicular común Para calcular A y B:

• Expresamos sus coordenadas con las ecuaciones paramétricas de la recta que los contiene, de forma que A sólo dependerá del parámetro t de r, y B del parámetro t’ de s

• Construimos el vector →

AB

132

• Teniendo en cuenta que →

AB es perpendicular a r y a s, y por tanto a sus vectores

directores, los productos escalares son nulos,

=⋅

=⋅→

→

0

0

s

r

vAB

uAB

, y resolviendo el sistema de

ecuaciones que se forma, obtendremos el valor de t y de t’ para A y B EJEMPLO

Sabiendo que las rectas 6310

28

−=−

=+

≡ zyxr y 4

12

111 −

=−

=−−

≡zyxs se cruzan, halla

la mínima distancia entre ellas. Escribimos las ecuaciones en forma paramétrica:

( )( ) )6,310,28(

631028

1,3,26,10,8

: tttAtztytx

uP

r ++

+−→

+=+=+−=

→

=−

( )( ) ( )

++−→

+=+=−=

→

−='41,'21,'1

'41'21

'1

4,2,11,1,1

: tttBtzty

tx

vQ

s

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )→

=+−−++−−+−−−→=⋅

=+−−++−−+−−→=⋅

+−−+−−−−=

→

→

→

0'454'2392'2910

0'451'2393'2920

'45,'239,'29

ttttttvAB

ttttttuAB

ttttttAB

115273',

11541

0'218470'81414

==→

=+−−=+−−

tttttt

−=

+−−+−−−−=

→

115476,

115612,

115680

1151092

115415,

115546

1151239,

115273

115829AB

uABsrd1159258

132251063520),( ===

→

133

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. 2008 MODELO 1 OPCIÓN A (vectores y ecuaciones)

Ejercicio 4.- Los puntos A(−2, 3, 1), B(2, −1, 3) y C(0, 1, −2) son vértices consecutivos del paralelogramo ABCD.

(a) [1 punto] Halla las coordenadas del vértice D. (b) [1 punto] Encuentra la ecuación de la recta que pasa por B y es paralela a la diagonal AC. (c) [0’5 puntos] Halla la ecuación del plano que contiene a dicho paralelogramo.

2. 2008 MODELO 1 OPCIÓN B (posiciones relativas)

Ejercicio 4. Sea la recta r:

−=−−=−+mzyx

mzyx 22 y el plano π definido por x + my − z =1

(a) [1 punto] ¿Existe algún valor de m para el que π y r son paralelos ? (b) [1 punto] ¿Para qué valor de m está la recta contenida en el plano ? (c) [0’5 puntos] ¿Cuál es la posición relativa de la recta y el plano cuando m = 0?

3. 2008 MODELO 2 OPCIÓN A (ecuaciones y posiciones relativas)

Ejercicio 4. Sea la recta s:

=+−=−

321

zyzx

(a) [1’25 puntos] Halla la ecuación del plano π1 que es paralelo a la recta s y contiene a la recta r, dada por x - 1 = - y + 2 = z - 3

(b) [1’25 puntos] Estudia la posición relativa de la recta s y el plano π2, de ecuación x + y = 3, y deduce la distancia entre ambos.

4. 2008 MODELO 2 OPCIÓN B (vectores y ecuaciones)

Ejercicio 4. Considera los puntos A(1,1,0), B(1,1,2) y C(1,-1,1). (a) [1’5 puntos] Comprueba que no están alineados y calcula el área del triángulo que determinan. (b) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene al punto A y es perpendicular a la recta determinada por B y C.

5. 2008 MODELO 3 OPCIÓN A (ecuaciones)

Ejercicio 4. Dada la recta r: 23

12

1−=

+=

− zyx

(a) [1’25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a r. (b) [1’25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a r.

6. 2008 MODELO 3 OPCIÓN B (vectores) Ejercicio 4. [2’5 puntos] Dado los puntos A(2,1,1) y B(0,0,1), halla los puntos C en el eje OX tales que el área del triángulo de vértices A, B y C es 2.


Ejercicio 4.- Considera la recta r:

=+=

330

zyx

y la recta s:

==−0

32y

zx

(a) [1 punto] Estudia la posición relativa de r y s. (b) [1’5 puntos] Halla la ecuación general de un plano que contiene a s y es paralelo a r.

134

8. 2008 MODELO 4 OPCIÓN B (ecuaciones)

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Sea la recta r:

=−=

01

yxx

y sean los planos π1: x + y + z =0, y

π2: y + z = 0. Halla la recta contenida en el plano π1, que es paralela al plano π2 y que corta a la recta r.


Ejercicio 4.- Se sabe que los planos de ecuaciones π1: x +2y + bz = 1, π2: 2x + y + bz = 0, y π3: 3x +3y − 2z = 1 se cortan en una recta r.

(a) [1’25 puntos] Calcula el valor de b. (b) [1’25 puntos] Halla unas ecuaciones paramétricas de r.

10. 2008 MODELO 5 OPCIÓN B (lugares geométricos) Ejercicio 4. [2’5 puntos] Dados los puntos A(2, 1, −1) y B(−2, 3, 1) y la recta r:

−=−−=−−5231

zxzyx

Halla las coordenadas de un punto de la recta "r" que equidiste de los puntos A y B.

11. 2008 MODELO 6 OPCIÓN A (vectores y ecuaciones) Ejercicio 4.- Se considera la recta r: mx = y = z + 2, (m ≠ 0), y la recta s: (x − 4)/4 = y − 1 = z/2

(a) [1’5 puntos] Halla el valor de m para el que r y s son perpendiculares. (b) [1 punto] Deduce razonadamente si existe algún valor de m para el que r y s

son paralelas.

12. 2008 MODELO 6 OPCIÓN B (ecuaciones y lugares geométricos) Ejercicio 4. Considera los puntos A(2, 0, 1), B(−1, 1, 2), C(2, 2, 1) y D(3, 1, 0).

(a) [1 punto] Calcula la ecuación del plano π que contiene a los puntos B, C y D. (b) [1’5 puntos] Halla el punto simétrico de A respecto del plano π.

13. 2009 MODELO 1 OPCIÓN A (ecuaciones y distancias)

Ejercicio 4. Considera el punto A(1, -2, 1) y la recta r:

=++=+

722

zyxyx

(a) [1 punto] Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A (b) [1’5 puntos] Calcula la distancia del punto A a la recta r



=−−=

221

zxy

y la recta s: ℜ∈

+=−=+=

ttztytx,

453

34

Halla la ecuación general de un plano que contiene a r y es paralelo a s.


Ejercicio 4. Considera el punto P (1, 0, 0), la recta r:21

23

−+

==−zyx y la recta

)0,2,1()0,1,1(),,(: −+= λzyxs , λ ϵ R

135

(a) [1’25 puntos] Estudia la posición relativa de r y s (b) [1’25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por P y es paralelo a r y s



=−−+=+−

0103

zyxyx

y la recta s:

=+−=+

032012

zxy

(a) [1’5 puntos] Halla la ecuación de un plano que contiene a r y es paralelo a s. (b) [1’5 puntos] ¿Existe algún plano que contenga a r y sea perpendicular a s?. Razona

la respuesta.


Ejercicio 4. [2'5 puntos] Considera la recta r:

−===

211

λzyx

, y la recta s:

−=−=

=

11

zy

xµµ

.

Halla la ecuación de la recta perpendicular común a "r"

18. 2009 MODELO 3 OPCIÓN B (posiciones relativas y vectores)

Ejercicio 4. Considera la recta r:

=+=+

02

zyyx

y la recta s que pasa por los puntos

A(2,1, 0) y B(1, 0, -1). (a) [1 punto] Estudia la posición relativa de ambas rectas. (b) [1'5 puntos] Determina un punto C de la recta "r" tal que los segmentos CA y CB sean perpendiculares.


Ejercicio 4. Considera el punto P (1, 0, -2), la recta r:

=−+=−−

02012

zyyx

y el plano

π: 2x + y + 3z – 1 = 0 (a) [1’25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por P, es paralelo a r y perpendicular a π (b) [1’25 puntos] Halla la ecuación de la recta que pasa por P, corta a r y es paralela a π


Ejercicio 4. Considera el el plano π: 3x - 2y - 2z= 7 y la recta r:2

212

2 −=+=

− zyx

(a) [1’25 puntos] Halla la ecuación del plano paralelo a π que contiene a r (b) [1’25 puntos] Halla la ecuación del plano ortogonal a π que contiene a r


Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1 , 1 , -1), es paralela al plano de ecuación x – y + z = 1 y corta al eje Z

22. 2009 MODELO 5 OPCIÓN B (ecuaciones y distancias)


=+=+03023

zxyx

(a) [1’5 puntos] Halla la ecuación de un plano perpendicular a r que pasa por P(1, 1, 1). (b) [1’5 puntos] Halla los puntos de r cuya distancia al origen es 4 unidades

136



−=−−=−

32

zxyx

y la recta s:

−=−=

221

zyx

a) [1 punto] Estudia la posición relativa de r y s b) [1’5 puntos] Halla la ecuación del plano que contiene a s y es paralelo a s

24. 2009 MODELO 6 OPCIÓN B (ecuaciones y vectores)

Ejercicio 4.- Sea el punto P(2 , 3 , -1) y la recta r:

=−−=++

14212

zyxzyx

a) [1’25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por P y contiene r b) [1’25 puntos] Halla el punto de r que está más cerca de P

25. 2010 MODELO 1 OPCIÓN A (ecuaciones y distancias)

Ejercicio 4. Considera los puntos A(1, 0, 2), B(−1, 2, 4) y la recta r:

311

22 −

=−=+ zyx

(a) [1’5 puntos] Determina la ecuación del plano formado por los puntos que equidistan de A y de B. (b) [1 punto] Halla la ecuación del plano paralelo a r y que contiene los puntos A y B.


Ejercicio 4. Considera los puntos A(1, 1, 1), B(0, −2, 2), C(−1, 0, 2) y D(2, −1, 2). (a) [1 punto] Calcula el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D. (b) [1’5 puntos] Determina la ecuación de la recta que pasa por D y es

perpendicular al plano que contiene a los puntos A, B y C.

27. 2010 MODELO 2 OPCIÓN A (ecuaciones y ángulos)

Ejercicio 4. Considera las rectas r: x – 1 = y = 1 – z, y s:

=+−=−1

12zyyx

(a) [0'75 puntos] Determina su punto de corte. (b) [1 punto] Halla el ángulo que forma "r" y "s". (c) [0’75 puntos] Determina la ecuación del plano que contiene a "r" y "s".

28. 2010 MODELO 2 OPCIÓN B (ecuaciones y ángulos)

Ejercicio 4. Los puntos P(2,0,0) y Q(-1,12,4) son dos vértices de un triángulo. El tercer

vértice S pertenece a la recta r:

==+0

3334y

zx

(a) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas del punto S sabiendo que "r" es perpendicular a la recta que pasa por P y S. (b) [1 punto] Comprueba si el triángulo es rectángulo.

29. 2010 MODELO 3 OPCIÓN A (ecuaciones y vectores)

Ejercicio 4. Considera los puntos A(1, 2, 1) y B(−1, 0, 3). (a) [1’25 puntos] Calcula las coordenadas de los puntos que dividen el segmento AB en tres partes iguales. (b) [1’25 puntos] Halla la ecuación del plano perpendicular al segmento AB y que pasa por A.

137


Ejercicio 4. Considera el plano π: 2x − y + nz = 0 y la recta r:2

14

1 −==

− zym

x con

m ≠ 0. (a) [1’25 puntos] Calcula m y n para que la recta r sea perpendicular al plano π. (b) [1’25 puntos] Calcula m y n para que la recta r esté contenida en el plano π.

31. 2010 MODELO 4 OPCIÓN A (vectores)

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano 6x + 3y + 2z = 6 con los ejes coordenados.


Ejercicio 4. Sean los puntos A(1,1,1), B(-1,2,0), C(2,1,2) y D(t, -2, 2) (a) [1’25 puntos] Determina el valor de t para que A, B, C y D estén en el mismo plano. (b) [1’25 punto] Halla la ecuación de un plano perpendicular al segmento determinado por A y B que contenga al punto C.


Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla la ecuación del plano que es paralelo a la recta

r ≡

=−+=+−

01920112

zyyx

y contiene a la recta s:

ℜ∈

+=+−=−=

λλλλ

,2232

51

zyx


Ejercicio 4. Considera los planos π1: x + y = 1, π2 : ay + z = 0, y π3: x + (1+ a)y + az = a + 1 (a) [1’5 puntos] ¿Cuánto ha de valer "a" para que no tengan ningún punto en común? (b) [1 punto] Para a = 0, determina la posición relativa de los planos.

35. 2010 MODELO 6 OPCIÓN A (lugares geométricos)

Ejercicio 4. [2’5 puntos] Halla el punto simétrico de P(1,1,1) respecto de la recta

r: 11

321

−+

==− zyx

36. 2010 MODELO 6 OPCIÓN B (vectores y ecuaciones y distancias)

Ejercicio 4. Sean los puntos A(2, λ, λ), B(−λ, 2, 0) y C(0, λ, λ − 1). (a) [1 punto] ¿Existe algún valor de λ ∈ R para el que los puntos A, B y C estén alineados? Justifica la respuesta. (b) [1’5 puntos] Para λ = 1 halla la ecuación del plano que contiene al triangulo de vértices A, B y C. Calcula la distancia del origen de coordenadas a dicho plano.

37. 2011 MODELO 1 OPCIÓN A (vectores y ecuaciones)

Ejercicio 4.- Dados los puntos A(1,0,0), B(0,0,1) y P(1,−1,1), y la recta r:

==−−

002

zyx

(a) [2 puntos] Halla los puntos de la recta r cuya distancia al punto P es de 3 unidades. (b) [0’5 puntos] Calcula el área del triángulo ABP.

138


Ejercicio 4.- Dados el punto P(1,1,-1) y la recta r:

=+=+

01

zyzx

(a) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene a r y pasa por P. (b) [1'5 puntos] Halla la ecuación de la recta contenida en el plano de ecuación y + z = 0, que es perpendicular a r y pasa por P.

39. 2011 MODELO 2 OPCIÓN A (vectores)

Ejercicio 4.- Considera los puntos A(-1,k,3), B(k+1,0,2), C(1,2,0) y D(2,0,1).

(a) [1’25 puntos] ¿Existe algún valor de k para que los vectores →

AB ,→

BC y →

CD sean linealmente dependientes? (b) [1’25 puntos] Calcula los valores de k para que los puntos A, B, C y D formen un tetraedro de volumen 1.

40. 2011 MODELO 2 OPCIÓN B (lugares geométricos)

Ejercicio 4.- Dado el plano π de ecuación x + 2y – z = 0 y la recta r:

−=−+=−

13453

zyxyx

(a) [1’75 puntos] Halla el punto de intersección del plano π y la recta r. (b) [0’75 puntos] Halla el punto simétrico del punto Q(1,-2,3) respecto del plano π.

41. 2011 MODELO 3 OPCIÓN A (ecuaciones, lugares geométricos y distancias)

Ejercicio 4.- Sea el punto P(2,3,−1) y la recta r:

=−==

λλ

zy

x21

(a) [1 punto] Halla la ecuación del plano perpendicular a “r” que pasa por P . (b) [1’5 puntos] Calcula la distancia del punto P a la recta “r” y determina el punto simétrico de P respecto de r.

42. 2011 MODELO 3 OPCIÓN B (distancias)

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Considera los planos π1: (x,y,z) = (−2,0,7) + λ(1,−2,0) +

μ(0,1,−1) y π2: 2x + y − z + 5 = 0. Determina los puntos de la recta r:311

−−

=+=zyx

que equidistan de π1 y π2.

43. 2011 MODELO 4 OPCIÓN A (ecuaciones) Ejercicio 4.- Dada la recta “r” definida por (x – 1)/3 = (y +1)/2 = −z + 3 y la recta

s:

−=−=

221

zyx

(a) [1’25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a “r”. (b) [1’25 puntos] Halla la ecuación del plano que contiene a “s” y es paralelo a “r”.

139

44. 2011 MODELO 4 OPCIÓN B (lugares geométricos)

Ejercicio 4.- Dada la recta r: zyx=

−−

=+

17

27 , y la recta s:

=−=

=

λzyx

52

(a) [1’75 puntos] Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a ambas. (b) [0’75 puntos] Calcula la distancia entre “r” y “s”.

45. 2011 MODELO 5 OPCIÓN A (vectores y ecuaciones)

Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1,0,2) y B(1,2,-1). (a) [1'25 puntos] Halla un punto C de la recta de ecuación (x-1)/3 = y/2 = z que verifica que el triángulo de vértices A, B y C tiene un ángulo recto en B. (b) [1'25 puntos] Calcula el área del triángulo de vértices A, B y D, donde D es el punto de corte del plano de ecuación 2x – y + 3z = 6 con el eje OX .


Ejercicio 4.- [2'5 puntos] Considera los planos π1:3x – y + z – 4 = 0, π2:x - 2y + z – 1 = 0, π3:x + z – 4 = 0 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3,1,-1), es paralela al plano π1 y corta a la recta intersección de los planos π2 y π3 .

47. 2011 MODELO 5 OPCIÓN A (lugares geométricos)

Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Determina el punto simétrico del punto A(-3,1,6) respecto de la recta x – 1 = (y + 3)/2 = (z + 1)/2.


Ejercicio 4.- Considera los puntos A(1,0,-1) y B(2,1,0), y la recta r:

=+=+

21

zxyx

(a) [1’75 puntos] Determina la ecuación del plano que es paralelo a r y pasa por A y B. (b) [0’75 puntos] Determina si la recta que pasa por los puntos P(1,2,1) y Q(3,4,1) está contenido en dicho plano.

Límite de una función en un...

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