Fundamentos para el Cálculo

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 1

Unidad 4:

FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS

Clase 4.1: Límite de una función

Límites laterales

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 2

¡Reflexión!

Suponga que la función costo promedio unitario, en dólares por tonelada, al producir q toneladas de arroz está dado por

¿A qué valor se acerca el costo promedio unitario cuando se produce cada vez menos, cercano a cero toneladas?

qqC

200050)(

Veamos el comportamiento de la función g(x) = 2x + 1 para valores de x próximos a 2.

x g(x)

1,9 4,8

1,99 4,98

1,999 4,998

1,9999 4,9998

2 5Observe que a medida que el valor de x se acerca a 2, el valor g(x) se acerca a 5.

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 3

x g(x)

2,1 5,2

2,01 5,02

2,001 5,002

2,0001 5,0002

2 5

4

Definición

Si f (x) se acerca más y más al número L cuando x se aproxima cada vez más a a, entonces L es el límite f (x) cuando x tiende a a.

Este comportamiento se expresa:

x→ a ←x

L

f (x)↓

↑f (x)

x

y

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

5

Ejercicio 1:

Determine el límite mediante aproximaciones.

11

lim3

1

xx

xa.

b.

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

20

1lim

xx

)(lim xfax

6

Vemos que f (x) tiende a 4.

Cuando x se aproxima a 3 con valores mayores a 3, se dice que x se aproxima a 3 por la derecha.

x

Esto se simboliza por:

4)(l im3

xfx

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

Consideremos la función f definida por:Límites laterales

7

Cuando x se aproxima a 3 con valores menores a 3, se dice que x se aproxima a 3 por la izquierda.

Vemos que f (x) tiende a 4.

Esto se simboliza por:

4)(l im3

xfx

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

x

Límites laterales

xx

8

Si realizamos ambas aproximaciones a la vez vemos que

f (x) tiende a 4 y se simboliza por

4)(l im3

xfx

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

Se aprecia que cuando x 3 ya sea por la izquierda o por la derecha, f (x) 4

Límites laterales

Decimos que existe si y sólo si

9

¿qué ocurre con el valor de g (x) cuando x 3 ?

x x

Veamos el comportamiento de la función g cuando x se aproxima a 3

3si,8

3si,1)(

xx

xxxg

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

Se aprecia que

5)(lim3

xgx

4)(lim3

xgx

Por lo tanto existe no)(lim3

xgx

10

Ejercicio 2:(a) De la gráfica de la función f, determine el límite de f (x) cuando x tiende a: −4, − 3, − 2, 0, 2, 3, 4, 5.

1 2 3 4 5 x

1

2

3

4

5

−1−2−3−4−5−6−1

−2

−3

−4

y

f

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

11

Fórmulas de limites

1.

2.

2015-1 FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

ccax

lim

nn

axax

lim

12

Propiedades de los limites

1.

2.

3.

Si y existen, entonces

2015-1 FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

)(lim xfax

)(lim xgax

)(lim).(lim))(.(lim xgxfxgfaxaxax

)(lim)(lim))((lim xgxfxgfaxaxax

)(lim)(lim xfcxcfaxax

Si f es una función polinomial, entonces

)()(lim afxfax

13

Propiedades de los limites

4.

5.

Si y existen, entonces

2015-1 FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

)(lim xfax

)(lim xgax

,)(lim

)(lim))((lim

xg

xfx

gf

ax

ax

ax

0)(limsi

xg

ax

nax

n

axxfxf )(lim)(lim

14

Ejercicio 3:

521

lim5

x

x

x

a.

b.

c.

Calcule los siguientes límites, si existen:

2015-1 FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

4

16lim

16

x

xx

3364

lim2

3

xx

x

23

12

2

1lim

xx

x

x3

36lim

2

0

x

xx

4

7lim

3

x

xx

d.

e.

f.