Post on 25-Sep-2018
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Facultad de Economía y Negocios
Microeconomía II
Prof. Carlos R. Pitta
1
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IV Cuarta Parte:
Equilibrio General y Bienestar
2
1. Equilibrio General
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Sistema de Precios Perfectamente Competitivo
• Asumiremos que todos los mercados son
perfectamente competitivos
– Existe un gran número de bienes homogéneos en la
economía• Tanto bienes de consumo como factores de producción
– Cada bien tiene un precio de equilibrio
– No existen costos de transacción o transporte
– Los individuos y las firmas tienen información
perfecta
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Ley de un Solo Precio• Un bien homogéneo se comercializa al
mismo precio, no importa quien lo
compra o quien lo vende
– Si un bien es comercializado a dos precios
diferentes, los consumidores comprarían el
bien donde es barato y las firmas
intentarían venderlo donde el precio es alto
• Ambas acciones tenderían a igualar el precio
del bien
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Supuestos de Competencia Perfecta
• Hay un gran número de personas
comprando cada bien
– Cada persona toma el precio como dado e
intenta maximizar su utilidad sujeta a su
restricción presupuestal
• Hay un gran número de firmas
produciendo cada bien
– Cada firma toma los precios como dados e
intenta maximizar sus ganancias
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Equilibrio General
• Asuma que existen solo dos bienes: x, y
• Se asume que todos los individuos
tienen las mismas preferencias
– Representadas mediante un mapa de
indiferencia
• La curva de posibilidades de producción
muestra como se encuentran
relacionados los insumos como los
productos
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La Caja de Edgeworth• La construcción de la curva de
posibilidades de producción para x, y
comienza con el supuesto de que los
montos de k y l son fijos
• Una Caja de Edgeworth muestra cada
forma posible en que el k y l existentes
pueden ser usados para producir x y y
– Cualquier punto en la caja representa una
locación de pleno empleo de los recursos
disponibles, para producir x, y
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La Caja de Edgeworth
Ox
Oy
Trabajo Total
Cap
ital To
tal
A
Cap
ital
pa
ra x
Cap
ital p
ara
y
Trabajo para yTrabajo para x Capital en
producción
de y
Capital
en la
producción
de x
Trabajo en la producción de y
Trabajo en la producción de x
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La Caja de Edgeworth
• Muchos lugares en la Caja de Edgeworth
son técnicamente ineficientes
– Es posible producir más x y más y moviendo
el capital y el trabajo
• Asumiremos que los mercados
competitivos no escogerán combinaciones
ineficientes de insumos
• Queremos encontrar los puntos eficientes
– Ellos ilustrarán los resultados de producción
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La Caja de Edgeworth
• Usaremos un mapa de isocuantas para
los dos bienes
– El mapa de isocuantas del bien x usa Ox
como su origen
– El mapa de isocuantas del bien y usa Oy
como su origen
• Los puntos eficientes ocurrirán donde las
isocuantas son tangentes unas con las
otras
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La Caja de Edgeworth
Ox
Oy
Trabajo Total
Cap
ital To
tal
x2
x1
y1
y2
A
El punto A es ineficiente, dado que moviéndose sobre y1, podemos
incrementar x de x1 a x2 mientras y no varía
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La Caja de Edgeworth
Ox
Oy
Trabajo Total
Cap
ital To
tal
x2
x1
y1
y2
A
También podríamos incrementar y de y1 a y2 manteniendo
constante x moviéndonos sobre x1
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La Caja de Edgeworth
Ox
Oy
Trabajo Total
Cap
ital To
tal
En cada punto eficiente, la Tasa de Sustitución Técnica
(RTS de k por l) es igual tanto en la producción de x
como en la producción de y
x2
x1
x4
x3
y1
y2
y3
y4
p4
p3
p2
p1
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Frontera de Posibilidades de Producción
• El conjunto de puntos eficientes
muestran el producto máximo de y que
puede ser producido para cada nivel de
x
– Podemos usar esta información para
construir una Frontera de Posibilidades de
Producción (FPP)
• La FPP muestra la producción alternativa de x
e y que pueden ser producidos con los montos
fijos de capital y trabajo que son empleados
eficientemente
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Frontera de Posibilidades de Producción
Cantidad de x
Cantidad de y
p4
p3
p2
p1
y1
y2
y3
y4
x1 x2 x3 x4
Ox
Oy
Cada punto eficiente de producción se
Transforma en un punto de la FPP
La pendiente negativa de la
FPP es la Tasa de
Transformación del Producto
(TTP)
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Tasa de Transformación del Producto (TTP)
• La Tasa de Transformación de Producto
(TTP) entre dos productos es la
pendiente negativa de la Frontera de
Posibilidades de Producción:
FPP de pendiente )por (de yxTTP
) (sobre )por (de TP yxOOdx
dyyxT
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Tasa de Transformación del Producto (TTP)
• La TTP muestra como x puede ser
“transado” técnicamente por y mientras
continuamos usando eficientemente los
recursos productivos disponibles
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Forma de la FPP
• La FPP ilustrada anteriormente exhibía
una TTP creciente
– Esta forma cóncava caracterizará la mayor
parte de las situaciones productivas
• TTP es igual al cociente del Costo
Marginal de X (MCx) al Costo Marginal
de Y (MCy)
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Forma de la FPP
• Suponga que los costos de cada
combinación de productos son C(x,y)
– Sobre la FPP, C(x,y) es constante
• Podemos escribir el diferencial total de
la función de costos como:
0
dy
y
Cdx
x
CdC
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Forma de la FPP
• Reescribiendo, tenemos:
y
xyx
MC
MC
yC
xCOO
dx
dyTTP
/
/) (sobre
• La TTP es una medida de los costos
marginales relativos de dos bienes
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Forma de la FPP
• A medida que la producción de x sube y la
producción de y cae, el cociente de MCx a MCy
sube
– Esto ocurre si ambos bienes son producidos bajo
retornos decrecientes
• Incrementar la producción de x sube MCx, mientras que reducir
la producción de y baja MCy
– Esto también puede ocurrir si algunos insumos son más
adecuados para la producción de x que para la
producción de y
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Forma de la FPP
• Pero hemos asumido que los insumos
son homogéneos
• Necesitamos una explicación que
incluya que insumos homogéneos y
retornos constantes a escala
• La FPP será cóncava si los bienes x e y
usan los insumos en diferentes
proporciones
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Costos de Oportunidad
• La FPP demuestra que existen muchas
combinaciones eficientes posibles de 2
bienes
• Producir más de un bien requiere de
disminuir la producción del otro bien
– Esto es a lo que los economistas llamamos
Costo de Oportunidad
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Costos de Oportunidad
• El costo de oportunidad de una unidad
adicional de x es la reducción en la
producción de y que supone
• Así, el costo de oportunidad se mide
más adecuadamente como la TTP (de x
por y) en el punto pertinente sobre la
FPP
– El costo de oportunidad sube a medida que
se produce más de x
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Concavidad de la FPP
• Suponga que la producción de x e y
depende solamente del trabajo y que las
funciones de producción son:
5.0)( xxfx ll 5.0)( yyfy ll
• Si la oferta de trabajo se fija en100, entonces
lx + ly = 100
• Entonces, la FPP será:
x2 + y2 = 100 for x,y 0
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Concavidad de la FPP
• La TTP puede ser calculada tomando el
diferencial total:
y
x
y
x
dx
dyTydyxdx
2
)2(TP ó 022
• La pendiente de la FPP se incrementa a medida que la producción de x sube
– La FPP es cóncava
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Determinación de los Precios de Equilibrio
• Podemos usar la FPP conjuntamente
con un conjunto de curvas de
indiferencia para demostrar como se
determinan los precios de equilibrio
– Las curvas de indiferencia representan las
preferencias de los individuos por los dos
bienes
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Determinación de los Precios de Equilibrio
Cantidad de x
Cantidad de y
U1
U2
U3
y1
x1
La producción será x1, y1
Si los precios de x e y son px y py, la
restricción presupuestal de la
sociedad es C
y
x
p
p pendiente
C
C
Los individuos
demandarán x1’, y1’
x1’
y1’
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Determinación de los Precios de Equilibrio
Cantidad de x
Cantidad de y
y1
x
1
U1
U2
U3
y
x
p
p slope
C
C
El precio de x subirá y el
precio de y bajará
x1’
y1’
Hay exceso de demanda por x y
exceso de oferta de y
Exceso
de Oferta
Exceso de
Demanda
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Determinación de los Precios de Equilibrio
Cantidad de x
Cantidad de y
y1
x1
U1
U2
U3
y
x
p
p pendiente
C
C
x1’
y1’
La producción de equilibrio
será x1* y y1*y1*
x1*
Los precios de equilibrio
serán px* y py*
C*
C*
*
* pendiente
y
x
p
p
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Análisis de Estática Comparativa
• El cociente de precios de equilibrio
tenderá a persistir hasta que las
preferencias o las tecnologías de
producción cambien
• Si las preferencias crecieran hacia el
bien x, px /py subirá y más x y menos y
será producido
– Nos moveríamos en un dirección a las
manecillas de reloj sobre la FPP
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Análisis de Estática Comparativa
• El progreso técnico en la producción del
bien x desplazará la curva de
Posibilidades de Producción hacia afuera
– Esto baja el precio relativo de x
– Más x será consumido
• si x es un bien normal
– El efecto sobre y es ambiguo
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Progreso Técnico en la Producción de x
Cantidad de x
Cantidad de y
U1
U2
U3
x1*
El precio relativo de x caerá
Se consumirá más x
x2*
Progreso técnico en la producción de
x desplazará hacia afuera la FPP
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Formación de los Precios
de Equilibrio General• Suponga que la FPP puede ser
representada mediante:
x 2 + y 2 = 100
• Además, suponga que las preferencias
de la comunidad pueden ser
representadas mediante:
U(x,y) = x0.5y0.5
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Formación de los Precios
de Equilibrio General• Una firma que maximiza ganancias
igualará su TTP con el cociente px /py
y
x
p
p
y
xTTP
• Mientras que la maximización de utilidad
requiere que:
y
x
p
p
x
yTMS
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Formación de los Precios
de Equilibrio General• El equilibrio requiere que tanto las
firmas como los individuos enfrenten el
mismo cociente de precios:
TMSx
y
p
p
y
xTTP
y
x
Es decir,
x* = y*
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37
Existencia de los Precios de Equilibrio General
• A principios del siglo 19, cierta
investigación conducida por Leon Walras,
había examinado si acaso existe (o no) un
vector de precios que equilibrase todos
los mercados simultáneamente
– Y, si dicho conjunto de precios existiese,
¿Cómo podría ser encontrado?
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Existencia de los Precios de Equilibrio General
• Suponga que existen n bienes cuya oferta
es fija en una economía
– Defina Si (i =1,…,n) como la oferta total
disponible del bien i
– Defina pi (i =1,…n) como e precio del bien i
• La demanda total del bien i depende de
todos los precios
Di (p1,…,pn) for i =1,…,n
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Existencia de los Precios de Equilibrio General
• Escribiremos esta función de demanda
como dependiente de TOTO el conjunto
de precios, (P)
Di (P)
• Problema de Walras: ¿Existirá un
conjunto de precios de equilibrio tales que
Di (P*) = Si
para todo valor de i ?
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Funciones de Exceso de
Demanda• La función de Exceso de Demanda para
cualquier bien i a cualquier conjunto de
precios (P) se define como
EDi (P) = Di (P) – Si
• Esto significa que la condición de
Equilibrio puede ser reescrita como
EDi (P*) = Di (P*) – Si = 0
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Funciones de Exceso de
Demanda• RECORDEMOS DE MICRO 1: Las funciones
de demanda son Homogéneas de grado cero
– Esto implica que solo podemos establecer precios
relativos de equilibrio en un modelo de tipo
Walrasiano
• Walras también asumió que las funciones de
demanda son continuas
– Es decir, pequeños cambios en el precio generan
pequeños cambios en la cantidad demandada
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Ley de Walras
• Una observación final que Walras hizo
fue que las n ecuaciones de exceso de
demanda no son independientes una de
la otra
• La Ley de Walras muestra que el valor
total de exceso de demanda es cero
para cada conjunto de precios, es decir:
n
i
ii PEDP1
0)(
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Ley de Walras
• La Ley de Walras se mantiene para
cualquier conjunto de precios (no solo
los precios de equilibrio)
• No puede existir ni exceso de demanda
para todos los bienes, ni exceso de
oferta para todos los bienes
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Prueba de Walras de la Existencia de los Precios de Equilibrio
• Las condiciones de equilibrio de mercado
proveen (n-1) ecuaciones independientes en
(n-1) precio relativos
– ¿Podemos resolver un sistema para una
condición de equilibrio?
• Las ecuaciones no son necesariamente lineales
• Todos los precios deben ser no negativos
• Para resolver tales complicaciones, Walras
estableció una prueba MUY complicada
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45
Prueba de Walras de la Existencia de los Precios de Equilibrio
• Comience con un conjunto de precios arbitrario
• Manteniendo los otros n-1 precio constante,
encuentre el precio de equilibrio para el bien 1
(p1’)
• Manteniendo p1’ y los otros n-2 precios
constantes, resuelva los precios de equilibrio
del bien 2 (p2’)
– Al cambiar p2 desde su posición inicial hasta p2’, el
precio calculado para el bien 1 no tiene porqué
continuar siendo un precio de equilibrio
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46
Prueba de Walras de la Existencia de los Precios de Equilibrio
• Usando dichos precios provisionales p1’ y p2’,
encuentre p3’
– Y proceda de esta forma hasta que un conjunto
entero de precios relativos provisionales haya sido
encontrado
• En la 2da iteración de la prueba de Walras,
p2’,…,pn’ se mantienen constantes mientras
que un nuevo precio de equilibrio es calculado
para el bien 1
– Proceda de esta forma hasta que el conjunto
completo de nuevos precios es encontrado
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Prueba de Walras de la Existencia de los Precios de Equilibrio
• La importancia de la Prueba de Walras
es su habilidad para demostrar la
naturaleza simultánea del problema de
encontrar precios de equilibrio
• Debido a que es muy compleja, no es
muy usada en la actualidad
• Más bien, se usan nuevas herramientas
matemáticas recientes
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Teorema del Punto Fijo de Brouwer
• Cualquier mapeo continuo [F(X)] de un
conjunto cerrado, acotado y convexo
hacia él mismo tiene por lo menos un
punto fijo (X*) tal que F(X*) = X*
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Teorema del Punto Fijo de Brouwer
x
f (X)
1
1
0
45
Cualquier función continua
debe, entonces, cruzar la línea
de 45
Suponga que f(X) es una función continua definida
en el intervalo [0,1] y que f(X) toma valores que
también pertenecen al intervalo [0,1]
Este punto de intersección es
llamado un “punto fijo” debido
a que f mapea este punto (X*)
hacia sí mismo
X*
f (X*)
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50
Teorema del Punto Fijo de Brouwer
• Un mapeo es una regla que asocia los puntos en
un conjunto con puntos en otro conjunto
– Sea X un punto para el cual el mapeo (F) se
encuentra definido
• El mapeo asocia a X con algún punto en Y = F(X)
– Si un mapeo está bien definido para un subconjunto
del espacio n-dimensional (S), y si cada punto en S se
encuentra asociado (mediante la regla F) con algún
otro punto en S, dicho mapeo se denomina un mapa
de S hacia sí mismo.
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Teorema del Punto Fijo de Brouwer
• Un mapeo es continuo si puntos que se
encuentran “cerca” entre sí son mapeados hacia
puntos que también se encuentran “cerca” de
ellos
• El Teorema del Punto Fijo de Brouwer considera
mapeos definidos en ciertos conjuntos
– Cerrado (es decir, contienen a sus fronteras)
– Acotados (Es decir, ninguna de sus dimensiones es
infinitamente grande)
– Convexos (Es decir, no tienen “hoyos” en ellos)
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52
Prueba de la Existencia de Precios de Equilibrio
• Dado que solo nos importan los precios
relativos, es conveniente asumir que los
precios han sido definidos de manera tal que la
suma de todos los precios es igual a 1
• Así, dado un conjunto arbitrario de precios
(p1,…,pn), podemos usar precios normalizados
de la forma:
n
i
i
ii
p
pp
1
'
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Prueba de la Existencia de Precios de Equilibrio
• Estos nuevos precios retendrán sus
valores relativos originales y sumarán 1
1'1
n
i
ip
j
i
j
i
p
p
p
p
'
'
• (Sumarán 1):
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54
Prueba de la Existencia de Precios de Equilibrio
• Asumiremos que el conjunto factible de
precios (S) está compuesto de todos los
números no negativos que suman 1
– S es el conjunto al cual aplicaremos el
Teorema de Brouwer
– S es cerrado, acotado, y convexo
– Necesitaremos definir un mapeo continuo
de S hacia sí mismo
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Mapeando el Conjunto de Precios hacia sí mismo
• Para lograr el equilibrio, los precios de
los bienes con exceso de demanda
subirán, mientras que aquellos con
exceso de oferta bajarán sus precios
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56
Mapeando el Conjunto de Precios hacia sí mismo
• Definimos el mapeo F(P) para cualquier
conjunto normalizado de precios (P),
tales que el i-ésimo componente de F(P)
esté dado por:
F i(P) = pi + EDi (P)
• Este mapeo desempeña la tarea crítica
de subir o bajar apropiadamente los
precios
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57
Mapeando el Conjunto de Precios hacia sí mismo
• Aun así, existen dos problemas con este
mapeo
• Primero, nada asegura que los precios
serán no negativos
– El mapeo debe ser redefinido para
garantizar dicha condición:
F i(P) = Max [pi + EDi (P),0]
– Así, los nuevos precios definidos por el
nuevo mapeo deben ser positivos o cero
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Mapeando el Conjunto de Precios hacia sí mismo
• Segundo, los precios recalculados no
estarán, necesariamente, normalizados
– No sumarán 1
– Requerimos normalizar tal que:
n
i
i PF1
1)(
– Asumiremos que dicha normalización ha
sido hecha adecuadamente
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Aplicación del Teorema de Brouwer
• Así, la nueva F satisface las condiciones
del Teorema del Punto Fijo de Brouwer
– Es un mapeo continuo del conjunto S hacia
sí mismo
• Por lo tanto, debe existir un punto (P*)
que se mapea hacia sí mismo
• En este punto, ocurre:
pi* = Max [pi* + EDi (P*),0] para todo i
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Aplicación del Teorema de Brouwer
• Esto implica que P* es un conjunto de precios de equilibrio
– Para pi* > 0,
pi* = pi* + EDi (P*)
EDi (P*) = 0
– Para pi* = 0,
pi* + EDi (P*) 0
EDi (P*) 0
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Ejemplo: Equilibrio General con 3 Bienes
• Suponga que en la economía de Oz se
compone solamente de 3 metales
preciosos: (1) plata, (2) oro, y (3) platino
– Existen 10 (mil) onzas disponibles de cada
mineral
• Suponga que las demandas por oro y
platino son:112
1
3
1
22
p
p
p
pD 182
1
3
1
23
p
p
p
pD
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Equilibrio General con 3 Bienes
• El equilibrio en los mercados de Oro y
Platino requiere que la demanda sea
igual a la oferta en ambos mercados de
manera simultánea:
101121
3
1
2 p
p
p
p
101821
3
1
2 p
p
p
p
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Equilibrio General con 3 Bienes
• Este sistema de ecuaciones simultáneas puede ser resuelto mediante:
p2/p1 = 2 p3/p1 = 3
• En equilibrio:– El precio del Oro en equilibrio será el doble que el
de la Plata
– El precio del Platino será el triple que el de la Plata
– El precio del Platino será 1.5 veces lo que el precio del Oro
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Equilibrio General con 3 Bienes
• Dado que la Ley de Walras debe prevalecer, sabemos que
p1ED1 = – p2ED2 – p3ED3
• Y, substituyendo las funciones de exceso de
demanda para el Oro y la Plata tenemos:
3
1
23
1
322
1
32
1
22
11 822 pp
p
p
ppp
p
pp
p
pEDp
1
3
1
2
21
23
21
22
1 822p
p
p
p
p
p
p
pED
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